高考專題復習--參數方程?一、教學目標1.知識與技能目標學生能夠理解參數方程的概念，明確參數的意義。熟練掌握直線、圓、橢圓的參數方程及其應用。學會將參數方程化為普通方程，以及根據普通方程求參數方程。2.過程與方法目標通過對參數方程概念的引入和理解，培養學生的抽象概括能力。在參數方程與普通方程的互化過程中，提升學生的數學運算能力和邏輯推理能力。通過實例分析，讓學生體會參數方程在解決實際問題中的應用，增強學生運用數學知識解決實際問題的能力。3.情感態度與價值觀目標培養學生對數學的興趣，激發學生探索數學知識的熱情。讓學生體會數學的嚴謹性和科學性，培養學生的數學思維品質。二、教學重難點1.教學重點參數方程的概念和常見曲線的參數方程。參數方程與普通方程的互化。2.教學難點如何引導學生理解參數的作用和意義。在參數方程與普通方程互化過程中，如何根據方程的特點選擇合適的方法進行轉化。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）課程導入（5分鐘）1.引導語同學們，在之前的學習中，我們已經對解析幾何有了一定的了解，知道通過建立直角坐標系，可以用方程來表示曲線。今天我們將學習一種新的表示曲線的方法參數方程。2.實例引入展示一個簡單的例子：一輛汽車在直線道路上行駛，其位置與時間的關系可以用兩個方程來描述。設汽車的初始位置為原點，行駛方向為x軸正方向，速度為v。那么在時刻t，汽車的橫坐標x=vt，縱坐標y=0（假設汽車在x軸上行駛）。這里的時間t就是一個參數，它幫助我們確定了汽車在不同時刻的位置。通過這樣的例子，讓學生初步感受參數在描述事物變化過程中的作用。（二）參數方程的概念（10分鐘）1.定義講解一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數：\(\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\)，并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點\((x,y)\)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x、y的變數t叫做參變數，簡稱參數。相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。2.深入理解通過幾個簡單的例子，進一步幫助學生理解參數方程的概念。例如，給出參數方程\(\begin{cases}x=2+3t\\y=1t\end{cases}\)，讓學生思考當t取不同值時，對應的\((x,y)\)點在平面直角坐標系中的位置，從而體會參數方程是如何通過參數來確定曲線上的點的。（三）直線的參數方程（15分鐘）1.直線參數方程的推導已知直線過點\(M_0(x_0,y_0)\)，傾斜角為\(\alpha\)，設直線上任意一點\(M(x,y)\)，則向量\(\overrightarrow{M_0M}=(xx_0,yy_0)\)。設\(\overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{e}\)（\(t\)為參數），其中\(\overrightarrow{e}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)是直線的單位方向向量。則\(\begin{cases}xx_0=t\cos\alpha\\yy_0=t\sin\alpha\end{cases}\)，整理可得直線的參數方程為\(\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha\\y=y_0+t\sin\alpha\end{cases}\)（\(t\)為參數）。2.參數\(t\)的幾何意義通過圖形分析，講解參數\(t\)的幾何意義：\(\vertt\vert\)表示直線上動點\(M\)到定點\(M_0\)的距離。當\(t\gt0\)時，點\(M\)在\(M_0\)的上方（沿直線向上方向）；當\(t\lt0\)時，點\(M\)在\(M_0\)的下方（沿直線向下方向）；當\(t=0\)時，點\(M\)與\(M_0\)重合。3.例題講解例1：已知直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=1+2t\\y=2+t\end{cases}\)（\(t\)為參數），求直線\(l\)的斜率和傾斜角。解：將參數方程化為普通方程，由\(y=2+t\)可得\(t=y2\)，代入\(x=1+2t\)中，得到\(x=1+2(y2)\)，整理得\(x2y+3=0\)，所以直線\(l\)的斜率\(k=\frac{1}{2}\)，傾斜角\(\alpha=\arctan\frac{1}{2}\)。例2：已知直線\(l\)過點\(P(2,3)\)，傾斜角\(\alpha=45^{\circ}\)，求直線\(l\)與坐標軸的交點坐標。解：直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=2+t\cos45^{\circ}\\y=3+t\sin45^{\circ}\end{cases}\)（\(t\)為參數），即\(\begin{cases}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{cases}\)。令\(x=0\)，則\(0=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\)，解得\(t=2\sqrt{2}\)，代入\(y\)的方程得\(y=32=1\)，所以直線\(l\)與\(y\)軸交點坐標為\((0,1)\)。令\(y=0\)，則\(0=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\)，解得\(t=3\sqrt{2}\)，代入\(x\)的方程得\(x=23=1\)，所以直線\(l\)與\(x\)軸交點坐標為\((1,0)\)。（四）圓的參數方程（15分鐘）1.圓參數方程的推導設圓的圓心為\(C(a,b)\)，半徑為\(r\)，圓上任意一點\(P(x,y)\)。以圓心\(C\)為原點建立新的直角坐標系\(x'Cy'\)，在新坐標系下，點\(P\)的坐標為\((x',y')\)，則\(x'=xa\)，\(y'=yb\)。根據圓的標準方程\((x')^2+(y')^2=r^2\)，設\(x'=r\cos\theta\)，\(y'=r\sin\theta\)（\(\theta\)為參數），則可得圓的參數方程為\(\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數），其中\(\theta\)的幾何意義是圓心角（以圓心為頂點，圓上一點與圓心連線和\(x\)軸正半軸所成的角）。2.例題講解例1：已知圓\(C\)的參數方程為\(\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2+2\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數），求圓\(C\)的圓心坐標和半徑。解：由圓的參數方程可知，圓心坐標為\((1,2)\)，半徑\(r=2\)。例2：將圓\(x^2+y^2=4\)的參數方程表示出來。解：令\(x=2\cos\theta\)，\(y=2\sin\theta\)（\(\theta\)為參數），則圓\(x^2+y^2=4\)的參數方程為\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=2\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數）。（五）橢圓的參數方程（15分鐘）1.橢圓參數方程的推導設橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以原點為圓心，\(a\)、\(b\)為半徑分別作兩個同心圓。設點\(A\)為大圓上一點，坐標為\((a\cos\varphi,a\sin\varphi)\)，過點\(A\)作\(x\)軸的垂線，交小圓于點\(B\)，再過點\(B\)作\(y\)軸的平行線，交橢圓于點\(P(x,y)\)。由相似三角形可得\(\frac{x}{a}=\frac{b\sin\varphi}{b}\)，\(\frac{y}{b}=\frac{a\cos\varphi}{a}\)，即\(\begin{cases}x=a\cos\varphi\\y=b\sin\varphi\end{cases}\)（\(\varphi\)為參數），這就是橢圓的參數方程，其中\(\varphi\)叫做離心角。2.例題講解例1：已知橢圓\(C\)的參數方程為\(\begin{cases}x=2\cos\varphi\\y=\sin\varphi\end{cases}\)（\(\varphi\)為參數），求橢圓\(C\)的標準方程。解：將參數方程變形為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)，所以橢圓\(C\)的標準方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。例2：已知橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)上一點\(P\)的橫坐標為\(x=\sqrt{3}\)，求點\(P\)的縱坐標及離心角\(\varphi\)。解：把\(x=\sqrt{3}\)代入橢圓方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，得\(\frac{(\sqrt{3})^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，解得\(y=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}\)。當\(x=\sqrt{3}\)，\(y=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)時，\(\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，則\(\varphi=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\)；當\(x=\sqrt{3}\)，\(y=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)時，\(\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，則\(\varphi=2\pi\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\)。（六）參數方程與普通方程的互化（20分鐘）1.參數方程化為普通方程代入消元法通過具體例子講解如何運用代入消元法將參數方程化為普通方程。例如，對于參數方程\(\begin{cases}x=1+t^2\\y=t\end{cases}\)，由\(y=t\)可得\(t=y\)，代入\(x=1+t^2\)中，得到\(x=1+y^2\)，這就是化為后的普通方程。利用三角函數關系消元對于含有三角函數的參數方程，可利用三角函數的平方關系等進行消元。如參數方程\(\begin{cases}x=2\cos\theta\\y=3\sin\theta\end{cases}\)，由\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，可得\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)。2.普通方程化為參數方程直接引入參數法對于一些簡單的普通方程，可直接引入參數。例如，對于直線方程\(y=2x+1\)，可設\(x=t\)，則\(y=2t+1\)，參數方程為\(\begin{cases}x=t\\y=2t+1\end{cases}\)（\(t\)為參數）。利用三角函數關系引入參數對于圓或橢圓的方程，常利用三角函數關系引入參數。如對于圓\(x^2+y^2=r^2\)，可設\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)（\(\theta\)為參數）。通過多個例題進行練習鞏固，讓學生掌握參數方程與普通方程互化的方法。（七）課堂練習（15分鐘）1.已知直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=1+3t\\y=24t\end{cases}\)（\(t\)為參數），求直線\(l\)的斜率和傾斜角。2.已知圓\(C\)的參數方程為\(\begin{cases}x=3+5\cos\theta\\y=2+5\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數），求圓\(C\)的圓心坐標和半徑。3.將橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的參數方程表示出來。4.已知橢圓的參數方程為\(\begin{cases}x=2\cos\alpha\\y=\sin\alpha\end{cases}\)（\(\alpha\)為參數），點\(P\)在橢圓上，當\(\alpha=\frac{\pi}{3}\)時，求點\(P\)的坐標。5.將參數方程\(\begin{cases}x=2+3\cost\\y=1+3\sint\end{cases}\)化為普通方程，并指出它表示什么曲線。（八）課堂小結（5分鐘）1.引導學生回顧本節課所學內容，包括參數方程的概念、直線、圓、橢圓的參數方程及其參數的幾何