專題13.2全等三角形的判定【八大題型】

【華東師大版】

?題型梳理

【題型1全等三角形的判定條件】.......................................................................1

【題型2靈活選擇判定方法證明兩個三角形全等】......................................................5

【題型3運用全等三角形證明線段相等或角相等】......................................................9

【題型4運用全等三角形證明線段間的位置關系】......................................................13

【題型5運用全等三角形解決實際測最問題】..........................................................17

【題型6作輔助線構造全等三角形證明線段間的和差倍分關系】.......................................21

【題型7與三角形全等有關的動點探究題】............................................................25

【題型8與三角形全等有關的線段或角之間的規律的探究題】.........................................31

【知識點全等三角形的判定】

判定方法解釋圖形

邊邊邊

三條邊對應相等的兩個三角形全等

(SSS)

邊角邊兩邊和它們的夾角對應相等的兩個

(SAS)三角形全等

角邊角兩角和它們的夾邊對應相等的兩個

(ASA)三角形全等

角角邊兩個角和其中一個角的對邊對應相

(AAS)等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊對應相等的兩個

(HL)直角三角形全等/4

【題型1全等三角形的判定條件】

【例1】(2023春?廣東深圳?八年級校聯考期中)如圖，在△4BC和△84。中，zC=ZD=90°.在以下條件:

①AC=BD；?AD=BC；?/.BAC=AABD；?^ABC=Z.BADx⑤4C4Q=4D8C中，再選一個條件，就

能使三△BAD,共有()選擇.

C.4利?D.5科,

【答案】C

【分析】先得到“=乙。=90°,若添加"=BD,則可根據“HL”判斷△ABC^△BAD；若添加8c=AD,

則可根據“HL”判斷△ABCw△于是AC=8。，然后利用前面的結論可得到△ABC三△ZMD；若添加0月=

OB,則乙力8c=乙BAD,于是可利用“AAS”判斷△ABC三△BAD；若添力口/BAC=乙ABD,則可直接利用“AAS”

判斷△力BCWA84Z).

【詳解】解：VAC1BC,AD1BD,：,^C==90°,

在Rt△4BC和Rt△BAD中,

(AC=BD

l4B=BA'

ARt△ABC^Rt△BAD(HL)f所以(1)正確;

VAC1BC,AD1BD,

：.LC=ZD=90°,

在RtAABC和Rt^BA。中，

(AC=BD

UB=BA'

???RtAABCwRtA84D(HL),所以(2)正確；

VOA=OB,

：.LABC=乙BAD,

^EAABC^UABAD^,

(ZC=ZD

l^ABC=乙BAD,

(AB=BA

???AA8CNZ\84Z)(AAS),所以(4)正確：

在zk/BC*口△84。中，

(乙C=LD

\^BAC=乙ABD，

(AB=BA

：.AABC^ABAD(AAS),所以(3)正確;

故選:c.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

【變式1?1】(2023春?廣東佛山.八年級校考期中)如圖，點。在AB上，點E在47上，且乙請結合

圖形，補充1個條件，使△ABE絲△4CD,則可以添加的條件是_________.

B

【答案】AB=AC（答案不唯一，合理即可）

【分析】根據」知條件推出兩組相等的角，再根據判定方法添加條件即可.

【詳解】解：由題意，zF=zC,=

若添加條件48=AC,可根據“ASA”證明全等，

故答案為：AB=AC（答案不唯一，合理即可）.

【點睛】本題考查全等三角形判定條件的確定，掌握判斷全等三角形的方法是解題關鍵.

【變式1-2］（2023春?湖南長沙?八年級校聯考期末）在ZMBE與AD8C中，BC=BE,AB=DB,要使這兩

個三角形全等，還需具備的條件是（）

A.ZF=Z.CB.Z,ABD=Z.CBEC.乙ABE二乙DBED.Z.A=ZD

【答案】B

【分析】本題要判定△A8E三ADBC,已知BC=BE,AB=08,具備了兩組邊對應相等，故添加乙18。=乙CBE

后可根據SAS判定兩三角形全等.

【詳解】解：A.添加乙E=4C,結合BC=BE,AB=DB,根據SSA不能證明△4BEDBC,故選項A不

符合題意；

B.添力UN/1BO=Z.CBE.

*：LABD=Z.CBE

：.LABD+Z.DCE=Z.CBE+乙DCE,即N/BE=乙CBD

?:BC=BE,AB=DB,

:.AABE=△DBC

故選項B符合題意：

C.添加乙4BE=WBE不能得出幺8D=ABE,故不能根據SAS判定△ABEWADBC,故選項C不符合題意；

3

35°

2B

此時交點c是唯一的，

故甲添加BC=BC=3cm時,△48C與△4夕。'全等，

故甲獲勝，故本說法正確；

③若第2輪乙添加條件修改為匕4=乙A=90。，

若第3輪甲添加一邊相等，可根據邊角邊或斜邊直角邊判定△力BC與全等，則乙獲勝.

若第3輪甲添加一角相等，可根據角角邊或角邊角判定△48C與全等，則乙獲勝，

故乙必勝，故本說法正確；

④若第2輪乙添加條件修改為BC=B'C=3cm,

第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定A48C與夕C'全等，則乙獲勝；

甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定與夕U全等，

第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定△4BC與夕L全等，則乙獲勝；乙若添加一組角相

等,滿足角角邊（或角邊角），能判定△力夙?與△4夕U全等，則甲獲勝，

此時此游戲4輪能分勝負，故本說法正確.

故答案為：②③④

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

【題型2靈活選擇判定方法證明兩個三角形全等】

【例2】（2023春?廣東清遠?八年級統考期末）如圖，△ABC的高8。與CE相交于點。，OD=OE,A。的延

長線交于點M,請你寫出圖中三對全等的直角三角形，并選擇其中一對全等三角形進行證明.

【答案】圖中全等的直角三角形有：△A。。三△力E。，ADOOEOB,ACOMWABOM,^ACM=^ABM,

^ADB^^AEC,ABCE亙ACBD,證明見解析

(分析】結合已知條件與三角形全等的判定方法證明即可.

【詳解】解：△ADO^△AEO,△DOC三△EOB.△COM三△BOM,△ACM^△ABM,△ADB^△AEC,△BCE三△

CBD.

理由如下：

在么/1。0與4力￡。中，/-ADO=^AEO=90°,

(OA=OA

lOD=OE'

：.LADO^LAEOWV).

：.￡DAO=/-EAO,AD=AE,

iELDOC^AEOB^,

NODC=Z-OEB=90°

OD=OE

乙DOC=Z.EOB

???△D0CwaE08(ASA),

：.DC=EB,OC=OB,

：.DC+AD=EB+AE,即AC=AB,

*：LDAO=乙EAO,

/.AM1BC,CM=BM.

在ACOM與△BOM中，Z.OMC=LOMB=90°,

(OC=OB

(OM=OM'

???ACOM￡ABOM(HL).

在A/1CM與△力BM中，Z.AMC=LAMB=90°,

(AC=AB

14M=AM'

在A/1OB與△AEC中，

(AD=AE

l^DAB=Z.EAC,

(AB=AC

三△力EC(SAS).

在ABCE與△CBD中，LBEC=LCDB=90°,

(BC=CB

iBE=CD

AABCE=△CBO（HL）.

綜上所述，圖中全等的直角三角形有：△40。三△AEO,△DOC三AEOB,△COM三△B0M,△ACM^△ABM,

△403三△4EC,△BCE^△CBD（任選三對即可）.

【點睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定兩個直角三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有

邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

【變式2-1］（2023?云南?模擬預測）如圖，點E在A8上，N4=N8=NC瓦）=90。，CE=ED.求證：

【答案】見解析

【分析】通過余角的性質可得NC=NOEB,再用AAS證明三角形全等即可.

【詳解】證明：???NA=NB=NCEQ=90。，

.,.ZC+ZCE4=90°,NCEA+NDEB=90。,

:.NC=NDEB.

在A4。￡和4BED中,

乙A=

,/乙C=乙DEB,

CE=ED

/.（AAS）.

【點睛】本題主要考查了用AAS或ASA證明三角形全等，通過余角的性質得到NC=NOEB是解題的關鍵.

【變式2-2］（2023?福建泉州?統考一模）如圖，在EL48CO中，延長邊04至點X,使得AE=40,連接CE■交4/5

于點尸，求證：△AEF=△BCF.

AD

【答案】見解析

【分析】首先根據平行四邊形的性質得到/。II8C,AD=BC,進而得到NE=iBCF,然后證明△/lEFwa

BCF(AAS)即可.

【詳解】在團ABCO中,V4D||BC,AD=BC,

：.LE=乙BCF,

a

：AE=ADt

.\AE=BC,

在A4E/與△BCF中,

(ZE=Z-BCF

\^LAFE=Z-CFB

(AE=BC

/.AzlEF^AfiCF(AAS).

【點睛】此題考杳了平行四邊形的性質，全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

【變式2-3](2023春?全國?八年級期中)如圖，AB//CD,ZB=ZD,O是CD的中點，連接AO并延K,

交BC的延長線于點E.

(1)試判斷AD與BE有怎樣的位置關系，并說明理由；

(2)試說明△AODg^EOC.

BCE

【答案】(1)AD//BE,理由見解析；(2)見解析.

【分析】(1)由AB//CD可得NB=NDCE,進而可得NDCE=/D,問題得證；

(2)由O是CD的中點，可得DO=CO,結合(1)中NDCE=ND,再結合對頂角，可根據ASA判定全等.

【詳解】(1)AD//BE,

理由：VAB//CD,

，NB=NDCE,

VZB=ZD,

AZDCE=ZD,

AAD//BE：

(2)???0是CD的中點，

ADO=CO,

在AADO^AECO中，

(LD=乙DCE

DO=CO

(Z.AOD=Z.COE

AAAOD^AEOC(ASA).

【點睛】本題主要考查了全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

【題型3運用全等三角形證明線段相等或角相等】

【例3】(2023春?湖南株洲,八年級校考期中)如圖，AD=CB,AB=CD,BELAC,垂足為E,DFLAC,

三△CDA；

(2)BE=DF.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

【分析】(1)直接用SSS即可證明△48C三△CZM：

(2)由三△C7M,可得出乙4c8=NZZ4C,^BE1AC,DF1AC,

可得出/BEC凡4=90。，由AAS即可得出△力尸。三△CEB,即可得出結論.

【詳解】(1)證明：在△力8C和△CD4中

(AD=CB

\AB=CD

(A。=CA

/.AABC三△CO/1(SSS)

(2),：LABC^^CDA,

：,LACB=乙DAC,

*：BE1AC,DFLAC,

：.LBEC=Z.DFA=90°,

在A＜尸0和4CEB中，

(Z.DEA=乙BEC

^DAF=BCE,

(DA=BC

：.LAFDwaCEB(AAS),

，BE=DF.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，靈活運用各種方法進行判定三角形全等是解題的關鍵.

【變式3-1](2023春?四川南充?八年級統考期中)已知AABN和△ACM的位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,

BD=CE.

(I)求證：Z1=Z2；

(2)求證：NAME=/AND.

【答案】(I)見詳解；(2)見詳解.

【分析】⑴利用SSS證明△A即gAACE即可得出結論;

(2)利用AS4證明△八E用四即可得出結論.

【詳解】證明(1)：48:AC,AD=AE,BD=CE

，LA8。空△ACE(SSS)

AZ1=Z2

ay：LABD^/XACE

???NADB=NAEC

/.1800-NA08=I80°-/AFC

即NADN=/AEM

5LZDAE=ZDAE,AD=AE

:./^ADN^/\AEM(ASA)

/.AAME=ZAND

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

【變式3-2](2023春?山東威海?八年級統考期中)如圖，AD=AC,AB=AE,"AB="AE.

(1)寫出△ADE與AACB全等的理由；

(2)判斷線段DF與CF的數量關系，并說明理由.

【答案】(I)見解析

⑵DF=CF,理由見解析

【分析】(1)由=得出4再根據S4S判斷△4OE與△4C8全等即可；

(2)由△A08與△/!(?￡1全等得出08—EC,乙FDB-乙FCE,判斷△08尸號△EC尸全等，最后利用全等三角形

的性質可得.

【詳解】(1)全等，理由如下：

'：LDAB=LCAE,

：,LDAE=Z.CAB,

在ZMOE與ZMCB中

(AD=AC

\z-DAE=乙CAB

IAB=AE

/.AADE三AACB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下:

在UDB與中

(AD=AC

\^DAB=^.CAE,

(AB=AE

：,LADB空△4CE(SAS),

：.ADBA=^CEA,

.:公ADE三〉ACB,

：.LABC=LAED,

工乙DBF=LCEF,

在AD8尸與△ECF中

(Z.DFB=Z.CFE

IADBF=Z.CEF，

(DB=EC

/.ADBF"CEF(AAS),

:,DF=CF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質的應用，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，

此題比較典型.

【變式3-3](2023?陜西西安?八年級校考開學考試)如圖，在△48C中，4B=4C,點。在8C邊上，點E在/1C

邊上，連接40、OE,若4O=OE,AC=CD.

（1）求證：△ABD^LDCE.

（2）若BD=3,CD=5,求4E的長.

【答案】（1）見解析；（2）2

【分析】（1）根據4O=OE,4C=C。可知：Z.DAE=2.DEA,ADAC=2.ADC,繼而推出N/EO=Z/OC,

領補角相等，則=1。8=△。￡配結合已知條件，利用“角角邊”證明三角形全等即可；

（2）根據（1）的結論可知：EC=8。,則A￡=AC-EC即可求得

【詳解】（1）；A。=DE

LDAE=/.DEA

???AC=CD

:.LDAC=Z.ADC

:.LAED=Z.ADC

180°-Z.AED=180°-/.ADC

即：（ADB=LDEC

vAB=AC,AC=CD

/B=Z.C,AB=CD

在小80和4DCE中

(Z.ADB=乙DEC

Z.B=ZC

(AB=DC

???△ABDm&DCE(AAS)

(2)v△ABDDCE,BD=3,CD=5,

CE=BD=3.

???AC=AB

AC=5

:.AE=AC-CE=5-3=2

【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，證明乙4。8=乙。￡7?是解題的關鍵.

【題型4運用全等三角形證明線段間的位置關系】

【例4】(2023春?云南紅河?八年級校考期中)如圖，D為△ABC的邊BC上的一點，E為AD上一點，已知

Z1=Z2,Z3=Z4.求證：AD±BC.

【答案】證明見解析.

【分析】在△48E和AACE中，由AAS判定△ABEMZiACE,再根據全等三角對應邊相等的性質，得到力B=

AC,繼而可以證明△力BDMA/1CD(S4S),根據全等三角形對應角相等的性質得到乙1D8=44)配最后由

平角的定義解題即可.

【詳解】證明：證明：在△48E和A4CE中，

(Z1=Z2

z3=Z4

(AE=AE

：.AABEACE(AAS),

*?AB=AC,

,:在△力BD和△力CD中,

（AB=AC

zl=z2

\AD=AD

???△ABO三△4co（sns）,

：.AADB=/,ADC

\^ADB+^ADC=180°,

：.LADB=90°,

:.AD1BC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

【變式4-1]（2023春?江蘇南京?八年級期中）如圖，在平行四邊形A8CO中，E,尸是對角線4c上兩點,

且4尸=CE,連接BE,DF,求證：BE||DF.

【答案】見解析

【分析】證明：根據平行四邊形48CD,可以證明ZkA。尸4ZXCBE,從而得NAFD=NCEB,所以NDFC:NBEA,

由平行線的性質，即可得到Df〃

【詳解】證明：???平行四邊形ABC。，

/.AD//BC,

.??ZDAF=ZBCE

在AN。b和48CE中,

AD=CB

[Z.DAF=乙BCE，

AF=CE

r.△ADFBACBE,

JNAFD=/CEB

：.ZDFC=ZBEA,

：.DF//BE.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題關鍵

是熟悉并靈活應用以上性質解題.

【變式4-2]（2023春?江西宜春?八年級校考期中）如圖，已知力D平分且乙1二乙2.

（I）求證：BD=CD；

⑵判斷與8C的位置關系，并說明理由.

【答案】（1）證明過程見詳解

（2MD1BC,理由見詳解

【分析】（1）根據"角角邊''證明△48。三△4CD（AAS）,由此即可求解.；

（2）由（1）可知△ABC是等腰三侑形，再根據等腰三角形“三線合一”即可求解.

【詳解】（1）解：:人。平分NBAC,

：,LBAD=Z.CAD,

在AABD,^4co中，

（Z.BAD=Z.CAD

Z1=Z2,

（AD=AD

AAABD三△ACD（AAS）,

:.BD=CD.

（2）解；AD1BC,理由如下,

如圖所示，延長4。交8C于點E,

由（I）可知，△4802△ACD（AAS）,

*.AB=AC

???△ABC是等腰三角形，

?ZD平分484C,

：.AD1BC.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定，性質，等腰

三角形的性質是解題的關鍵.

【變式4-31（2023春?山東臨沂?八年級統考期末）如圖，在△ABC和AADE中,4BHC=Z-DAE=90。,48=AC,

AD=AE,連接CD,C、D、E三點在同一條直線上，連接BD,BE.

（2）判斷8。與CE的位置關系并說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）BD1CE,見解析

【分析】（1）由“SAS”可證△84。三△口!￡1,可得結論；

（2）由全等三角形的性質可得447￡二乙48。，由三角形內角和定理可求解.

【詳解】（1）證明：*：^BAC=Z.DAE=90°,

：.LBAC+LCAD=LDAE4-/,CAD,RflzBAD=Z.CAE,

AB=AC

在A84。和△CAE中,乙BAD=LCAE?

AD=AE

：.LBAD三△CTIE(SAS),

???BD=CE；

(2)解：BD1CE,理由如下:

如圖，設AC與BD于G,

VABAD"CAE,

：,LACE=Z-ABD,

*：LAGB=^CGD,^BAC=90°,

?"COG=90°,

：.BD1CE.

【點睛】本題考杳了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定是本題的關

鍵.

【題型5運用全等三角形解決實際測量問題】

【例5】（2023春?八年級單元測試）如圖，某市新開發了一個旅游區，有一湖心島C,需測算景點力，8與C處

的距離，請你設計一個方法，測量/C,BC的長度，并說明理由.

【答案】見解析

【分析】過點A作NB4M=乙區40過點3作乙48N=4ABC,AM,8N交于點。，測量49,8。的長度即可.

【詳解】解：過點4作ZJMM=過點8作4力8N=448C,AM,BN交于短D,測量4。,80的長度即

可，

理由：yZ.BAM=ABAC,乙ABN=^ABC,AB=AB,

：,LABD三△/IBC(ASA),

【點睛】此題考查了全等三角形的應用，正確理解題意作出全等的三角形是解題的關鍵.

【變式5-1]（2023春?河南信陽?八年級統考期中）某建筑測量隊為了測量?棟居民樓ED的高度，在大樹

AB與居民樓ED之間的地面上選了一點C,使B,C,D在一直線上，測得大樹頂端A的視線AC與居民

樓頂端E的視線EC的夾角為90。，若AB=CD=12米，BD=64米，請計算出該居民樓ED的高度.

田

田

田

【答案】52米

【分析】先根據大樹頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90。以及AB=CD可以推出

AABC^ACDE,從而得到坑）=BC,進而計算出8c即可.

【詳解】解：由題意可知：LB=Z.CDE=LACE=90°,

???/.ACB+乙DCE=180°-90°=90。，

乙ACB+ABAC=90°,

Z.ACB+Z.DCE=Z.ACB+Z.BAC,

:.Z.DCE=Z.BAC,

在NA8C和4cOE中，

（Z.BAC=Z.DCE

jLB=Z.CDE,

（AB=CD

AABC^ACDE,

:.ED=BC?

又?；CD=12米,BD=64米，

???BC=BD-CD=64-12=52米，

???ED=52米，

答：該居民樓ED的高度為52米.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，利用AAS證明AABC/ACDE是解題的關鍵.

【變式5-2］（2023春?八年級單元測試）如圖，某校學生為測量點B到河對面的目標力之間的距離，他們在點

8同側選擇了一點。，測得70。，Z.ACB=40°,然后在M處立了標桿，使乙C8M=70。，為了測量兒

8之間的距離，他們應該（）

A

A.直接測量BM的長B.測量BC的長

C.測量乙4的度數D.先作NBCN=40。，交BM于點N,再測量8N的長

【答案】D

【分析】根據全等三角形的判定及性質解答即可

【詳解】解：為了測量4,B之間的距離，他們應該先作ZBCN=40。，交8M于點N,再測量BN的長,

理由：Vz.BC/V=40°,乙4cB=40°,

:,乙BCN=Z.ACB,

?；“BM=/.ABC=70°,BC=BC,

：.4BCN三ABC力（ASA）,

:.BN=AB,

故迄D

A

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

【變式5-3]（2023春?全國?八年級專題練習）某同學根據數學知識原理制作了如圖所示的一個測量工具一

拐尺，其中O為AB的中點《慶_1人8,13口，人13?人=134現要測量一透明隔離房間的深度,如何使用此測量工具,

說明理由.

C

,n隔離房

D

【答案】理由見解析.

【分析】使AC與房間內壁在一條直線上，且C與一端點接觸，然后人在BD的延長線上移動至F,使F、O、

E三點正好在一條直線上，記下F點，這時量出DF長，即為房間深度CE.通過證△EAOgZxFBO,可得

BF=AE,則BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

【詳解】解：如圖，使AC與房間內壁在一條直線上，且C與一端點接觸，然后人在BD的延長線上移動至F,使

F.O,E三點正好在一條直線上，記下F點，這時量出DF長,即為房間深度CE.理由如下:由

ZA=ZB=90°,OA=OB,ZEOA=ZFOB,

/.△EAO^AFBO,

得BF=AE,

則BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

r

t

i

r

r

/

--------￡—

B/A

/

ri/

u

VF

【點睛】本題考核知識點：全等三角形判定的應用.解題關鍵點：構造全等三角形.

【題型6作輔助線構造全等三角形證明線段間的和差倍分關系】

【例6】（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，在△ABC中，48=60。，△48C的角平分線、CE相交于點

O,求證：AE+CD=AC.

【答案】證明見解析

【分析】根據三角形內角和定理和角平分線的定義，得到乙4。。=120。，^AOE=Z.COD=60,在4。上截

取71尸=AE,連接OF,分別證明AAOE三△AOF(SAS),△COD與△COF(ASA),得至IJCD=CF即可證明結

論.

【詳解】證明：v=60°,

???Z.BAC+乙ACB=180°一(B=120°,

???AD.CE分別平分NB4C、4力CB,

11

WAC-^.OAB--^-BAC,40cA-AOCB--^.ACB,

22

:./.OAC+Z-OCA=^Z.BAC+^Z.ACB=+Z-ACB)=60。，

???Z.AOC=120°,

???Z.AOE=乙COD=180°-Z,AOC=60°,

如圖，在AC上截取人尸=AE,連接0戶,

在AAOE和△AO/中，

(AE=AF

I^LOAE=乙OAF,

(AO=AO

???△ROE三Zk/l。尸(SAS),

???Z.AOE=乙4OF=60°,

???LCOV=Z.AOC-Z.AOF=120°-60°=60°,

???Z.COD=60°,

???乙COD=Z.COF,

在ACOD和△CO尸中，

(Z.OCD=Z.OCF

CO=CO，

(〃OD=Z.COF

.?.△CO0三△COF(ASA),

ACD=CF,

vAF=AE,

???AF+CF=AE+CD=AC.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，做輔助線構造全等三

角形是解題關鍵.

【變式6-1]（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，在梯形A3CD中,AD//BC,4E平分N84D,BE平分

/ABC,且AE、BE文CD于點E.試說明-BC?的理由.

AK_______D

R

【答案】見解析

【分析】在A4上找到廠使得A〃=A。，易證△AEFgZkAE。，可得AF=A。，/AFE=/D,根據平行線性

質可證NC=N8FE,即可證明△8￡。且△切次可得BP=3C,即可解題.

【詳解】證明：在AB上找到/使得A/=AO,

平分N/M。，

：.ZEAD=ZEAF,

???在△AE尸和△AED中,

(AD=AF

1/.EAD=Z.EAF,

(AE=AE

：.^AEF^AAED,(SAS)

：.AF=ADtNAFE=ND,

，：AD〃BC,

/.ZD+ZC=180°,

???NAFE+NBFE=180。

：?4C=/BFE,

??UE平分NBA。，

；?NFBE=/C,

??,在△BEC和△BEF中,

(LBFE—乙C

"BE="BE,

(BE=BE

工△BECWLBEF,(AAS)

:.BF=BC,

'：AB=AF+BF,

：.AB=AD-\-BC.

即AD=AB-BC.

【點睛】本題考杳了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證

△AEF^AAED和^BEC^ABEF是解題的關鍵.

【變式6?2】（2023春?八年級單元則試）如圖，在中,乙4。8二90。，點。是A8的中點，小明發現，

用已學過的“倍長中線”加倍構造全等，就可以測量C。與4B數量關系.請根據小明的思路，寫出C。與AB

的數景關系，并證明這個結論.

A

【答案】證明過程詳見解析

【分析】延長C。到點E,使ED=CD,連接BE,根據全等三角形的判定和性質即可求解.

【詳解】解：CD=/B,證明：如圖，延長C。到點E,使瓦上CD,連接BE,

在ABDE和A/IOC中，

(BD=AD

UBDE=￡ADC

(ED=CD

:?EB=AC,NDBE=NA,

??.陽|AC,

*/NAC8=90。，

/.Z￡BC=180°-ZACB=90°,

；,/EBC=/ACB，

在AEC8和△ABC中，

EB=AC

Z-EBC=Z.ACB

.CB=EC

9△A8C(SAS),

EC=AB,

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是正確的作出輔助線.

【變式6-3］（2023春?八年級課時練習）如圖，在四邊形0/1C8中，CEJ.。4于E,Z1=z2,Gl=C8.求證:

乙3+44=180°：OA+OB=2OE.

OEA

【答案】詳見解析

【分析】過點。向OA、OB作垂線，構建全等三角形，繼而根據平角定義以及線段的和差即可證得結論.

【詳解】如圖，過點C作CT1OB與點八則NF=NCEO=90。，

zl=z2,OC=OC,

AAFOC三AEOC,

???CE=CF,OE=OF,

?:CA=CB,/.CEA=乙CFB=90°,

???RtACAE會RtACBF(HL),

z4=乙CBF,AE=BF,

Vz3+乙CBF=180°,43+44=180°,

???OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2OE.

F

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確添加輔助線溝建全等三角形是解題的關鍵.

【題型7與三角形全等有關的動點探究題】

【例7】（2023春山東德州?八年級校考期中）如圖，已知長方形ABC。的邊長=20cm,BC=16cm,

點E在邊A8上，AE=6cm,如果點尸從點B出發在線段8c上向點C運動，同時，點Q在線段0c上從

點。向點C運動，已知點。的運動速度是2cm/s,則經過______s,ABPE與2CQP全等.

【答案】1或4

【分析】分兩種情況：①當=時，&BPE三&CQP,②當8P=CP時，ABEPWCQP,進而求出即可.

【詳解】解：設運動的為ts,分兩師情況：

①當￡3=PC,Z?P=QC時，△DPECQP,

'.'AB=20cm,AE=6cm,

EB=14cm,

:,PC=14cm,

*：BC=16cm,

1.BP=2cm,

:.QC=2cm,

丁點。從點3出發在線段8c上以2cm/s的速度向點C運動，

??.亡=2+2=1(s),此時點Q的運動速度為2+1=2(cm/s)；

②當BP=CP,BE=QC=14cmJt,ABEPBCQP,

由題意得：2t=16-2t,

解得：t=4(s),此時點Q的運動速度為14+4=3.5(cm/s)；

綜上，點P經過1或4s時；ABPE與ACQP全等.

故答案為：I或4.

【點睛】此題主要考杳了全等三角形的判定和性質等知識，關鍵是掌握兩個三角形全等的判定和性質.

【變式7-1](2023春?河南許昌?八年級統考期末)如圖，CALAB,垂足為點A,AB=24cm,AC=12cm,

射線8MJL48,垂足為點B,一動點E從4點出發以3cm/s沿射線4V運動，點。為射線BM上一動點，隨著

E點運動而運動，且始終保持ED=C8,當點E經過()秒時，ADEB與△8C4全等.(注：點E與A

不重合）

A.4B.4、12C.4、8、12D.4、12、16

【答案】D

【分析】設點￡經過/秒時，ADEB與ABCA全等;由斜邊的二。8,分類討論8/=力。或=時的情況,

求出f的值即可.

【詳解】解：設點E經過，秒時，ADEB與ABCA全等；此時HE=3￡cm,

分情況討論：

（I）當點E在點8的左側時，&DEB三2BCA,則BE=AC,

A24-3t=12,

t=4；

（2）當點E在點8的右側時，

①么DEBNABCA,BE=4。時，3t=24+12,

：.t=12：

@AEDB^^BCA,BE=AB\ii，3t=24+24,

t=16.

綜上所述，點E經過4、12、16秒時，&DEB與&BCA全等.

故選:D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法；分類討論各種情況下的三角形全等是解決問題的關鍵.

【變式7-2］（2023春?甘肅定西?八年級校考期末）如圖所示，在A/IBC中，AABC=68°,BD平分乙48C,P為

線段BD上一動點，Q為邊力B上一動點，當月P+PQ的值最小時，乙4PB的度數是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

【答案】D

【分析】先在BC上截取BE=BQ,連接PE,證明△PBQPBE(SAS),得出PE=PQ,說明AP+PQ=AP+

PE,找出當A、尸、E在同一直線上，且力EIBC時，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過點A作AE18C于

點E,交BD于點P,根據三角形外角的性質可得答案.

【詳解】解：在8C上截取BE=BQ,連接PE,如圖：

：B0平分乙48C,Z.ABC=68°,

：

,￡ABD=Z,CBD=-2Z-ABC=34%

TBP=BP,

/.APBQ三△PBE(SAS),

：.PE=PQ,

：.AP+PQ=AP+PE,

???當A、P、七在同一直線上，且AEJL8C時，4P+PE最小，即力尸+PQ最小，過點A作4E1BC于點E,

交BD于點、P,如圖：

'：LAEB=90°,Z-CBD=34°,

=(AEB+Z.CBD=124c.

故選:D.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，三角形內角和定理與三

角形的外角的性質，解題的關鍵是找出使AP+PQ最小時點P的位置.

【變式7-3](2023春?八年級單元測試)如圖，在△ABC中，AZ)為高，AC=12.點￡為42上的一點，使

CE=^AE,連接BE,交AQ于。，若ZBDO^AADC.

備用圖

(1)求N4EC的度數；

(2)有一動點。從點A出發沿射線AC以每秒8個單位長度的速度運動，設點Q的運動時間為Z秒，是否存

在i的值，使得ABOQ的面積為24?若存在，請求出，的值：若不存在，請說明理由；

(3)在(2)條件下，動點尸從點。出發沿線段08以每秒2個單位長度的速度向終點8運動，P、。兩點同

時出發，當點P到達點3時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為，秒，點”是更線3。上一點，且C"=AO.當

△4。尸與△/CQ全等時，求，的值.

【答案】(1)90。

(2)存在，/三或七|

⑶淖2

【分析】(1)根據全等三角形的性質得到NOa>NCAO,利用三角形內角和得到NAEO=NOD8=90。即可;

(2)根據全等三角形的性質求出4￡=8,CE=4,分兩種情況：①當0</<1時，Q在線段AE上，②當。1

時，。在射線EC上，根據三角形的面積公式列方程求解；

(3)由△BQOgZVIOC得到N30D=NACO,①當點尸在線段BC延長線上時，如圖3,當OP=CQ時，

^AOP^AFCQ(SAS),得到2『12-8f,求解即可；②當點F在線段BC上時，如圖4,當OP=CQ時,

△AOP^^FCQ(SAS),列得2f=8L12,計算即可.

【詳解】(1)???在△A4C中，為高，

???Z0013=90°t

又?「△BQOgZXA。。，

：.ZOBD=ZCAD,

在AA。￡與^OB。中

?：NOBD=/CAD,NBOD=NAOE，

，NAEO=N008=90。，

.??^13EC=\^°-ZAEO=90°；

(2)V△BDO^/\ADC,AC=12,

：,BO=AC=\2,

VAC-12,CE-^AE,

：.AE=8,CE=4,

①當0</<l時，。在線段AE上，

，SABOQ《B()XQE=1X12x(8-8f)=24,

解得r=1：

②當々1時，Q在射線KC上，

???SABOQ《BOXQE=1X12X(8Z-8)=24,

解得七*

?,?存在，f=：或/=1；

(3),:△BDgRADC,

：.ZBOD=ZACD,

①當點?在線段8c延長線上時，如圖3,

*：ZBOD=ZACD,

：.NAOP=NACF,

,：AO=CF,

.?.當OP=CQ時，△(SAS),

此時，2r=12-8r,

解得：f==;

②當點尸在線段8C上時，如圖4,

?:NBOD=/ACD,

JZAOP=ZFCQ,

,：AO=CF,

.?.當。尸=CQ時，＞AOPQXFCQ(SAS),

此時，2r=8r-12,

解得：f=2；

綜上所述，當與△R7Q全等時，，的值為3或2.

【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，圖形與動點問題，熟練掌握全等三角形的性質并應用是解題

的關鍵,解題中還需注意運用分類思想解決問題.

【題型8與三角形全等有關的線段或角之間的規律的探究題】

【例8】(2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級統考期末)閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

已知：如圖，點E是8c的中點，點A在OE上，且NB4E=NCOE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明

的兩條線段，它們不在問一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證A5=C。，必

須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形.

(I)現給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明.

①如圖1,延長。E到點尸，使EF=DE,連接3”；

②如圖2,分別過點8、C作CG±DE,垂足分別為點RG.

(2)請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；

【分析】（1）①如圖I,延長DE到點尸，使EF=DE,連接"，△BEF^ACED,ZBAE=ZF,AB=CD；

②如圖2,分別過點B、C作B/_LOE,CGLDE,垂足分別為點尸，G,△BEF^^CEG

△BAF^ACDG,A3=CD；

（2）如圖3,過。點作。“〃43,交OE的延長線于點M,則N84￡=N￡MC,△BAE^ACFE（AAS）,

ZF=ZEDC,CF=CD,AB=CD；

【詳解】（1）①如圖1,

延長。E到點立使Er=OE,連接8F,

???點E是BC的中點，:?BE=CE,

在ABEF^\^CEO中，

BE=CE

乙BEF=LCED,

EF=ED

:?△BEF^ACED(SAS),:,BF=CD,NF=NCDE,

*/NBAE=NCDE,：.NBAE=ZF,

:.AB=BF,：,AB=CD；

②如圖2,

D

圖2

分別過點8、。作B凡LOE,CG1DE,垂足分別為點F,G,

,ZF=ZCGE=ZCGD=90°,

???點七是的中點，；,BE=CE,

在ABEF^WLCEG中，

(ZF=乙CGF=90°

LBEF=Z.CEG，

(BE=CE

:.ABEF出ACEG(AAS),:?BF=CG,

在48A/和△CZ)G中，

LBAE=LCDE

LF=乙CGD=90°,

BF=CG

?二△BA必△C7)G(AAS),

：.AB=CDx

圖3

過C點作CM〃AB,交。E的延長線于點M,

則N8AF=NEMC,

???￡是4c中點，

：,BE=CE,

在A胡七和4CM￡中，

(LBAE=4CME

l^BEA=乙CEM,

(BE-CE

:.'BAE烏l\CFE(AAS)，：,CF=AB,ZBAE=ZF,

°：4BAE=/EDC,

:ZF=/EDC,:?CF=CD,：,AB=CD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，對頂角相等，平行線的性質，構造出全等三角形是解本

題的關鍵.

【變式8-1]（2023春?江蘇?八年級專題練習）問題發現：如圖1,已知C為線段上一點，分別以線段4C,

8C為直角邊作等腰直角三角形，LACD=90°,CA=CD,CB=CE,連接/IE,BD,線段/E,BD之間的數

量關系為;位置關系為.

拓展探究：如圖2,把RtZkACD繞點C逆時針旋轉，線段AE,8。交于點F,則AE與BC之間的關系是否仍然

成立？請說明理由.

【答案】問題發現：AE=BD,AE1BD；拓展探究：成立，理由見解析

【分析】問題發現：根據題目條件證再根據全等三角形的性質即可得出答案；

拓展探究：用SAS證△力CE會根據全等三角形的性質即可證得.

【詳解】解：問題發現：延長8D,交AE于點、F,如圖所示：

VLACD=90°,

：.LACE=Z.DCB=90°,

又?；C4=CD,CB=CE,

:QACE三XDCB(SAS),

???AE=ED,Z.CAE=Z.CDB,

?:乙CDB+乙CBD=

+乙。8D=90°,

：.AAFD=90°,

：.AF1FB,

???AE1BD,

故答案為：AE=BD,AE1BD；

拓展探究：成立.

理由如下：設CE與80相交于點G,如圖I所示:

'：LACD