中考數學復習幾何旋轉解答題專題練習

1.如圖，在△ABC中，N4〃C=90。，NACB=30。，將△ABC繞點C順時針旋轉60。能與

△DEC重合，點尸是邊AC中點.

(1)求證：△CFDmLABC；

(2)連接8E,求證：四邊形8ED尸是平行四邊形.

2.如圖，在RlA/WC中，ZC=90°,將△ABC繞著點8逆時針旋轉得到△戶BE,點C,A

的對應點分別為E,F.點七落在8A上，連接AF.

(1)若/BAC=40。，求N84尸的度數：

(2)若AC=8,BC=6,求A尸的長.

3.如圖①，ZkAAC和△EC。都是等邊三角形.

(1)若B、C、￡在同一條直線上，4c與8。相交于點MAE與C。相交于點BD

與4E相交于點。，試判斷AE與8。的數量關系為；NAOB度數為；

(2)將△ECD繞點C順時針旋轉，B、C、E不在一條直線上時，如圖②，則(1)中的

結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

AA

4.如圖，在RsABC中,4ABe=90。,NACB=30。，將△ABC繞點C順時針旋轉一定的

角度a得到△DEC，點A,B的對應點分別是點。，E.

(1)如圖①，當點E恰好在AC邊上時，連接A。，求NAQE的度數；

(2)如圖②，當a=60。時，若點F為AC邊匕的動點,當NF8C為何值時，四邊形8FQE

為平行四邊形？請說出你的結論并加以證明.

N8=45。，將^ABC繞點A按順時針旋轉一定

角度得到aADE.當點B的對應點。恰好落在BC邊上時，求C。的長.

6.如圖，矩形ABCO中，BC=4,將矩形ABC。繞點C順時針旋轉得到矩形AbCO.當

點F恰好落在邊AO上時，旋轉角為a,連接89.若NAB'B=75。,求旋轉角a及的

長.

7.如圖，在RtZk/lAC中，ZC=90°,ZCBA=32°,如果A/WC繞點8順時針旋轉至△￡4。,

使點。落在AB邊上，連接4E,求NE4B的度數.

8.如圖，在正方形48CO中，射線AE與動。。交于點E,將射線4E繞點A順時針旋轉,

與CB的延長線交于點F,BF=DE,連接產￡

(1)求證：AF=AE；

(2)若NZ)AE=30。，OE=2,直接寫出aAEF的面積.

9.如圖，在△4BC中，NC48=70。，在同一平面內，將△4BC繞點A旋轉到△A8C的位

置，使得CC〃A8,求/CCA的度數.

10.如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉30。得到△ASC：旦夕，。兩點分別與&C兩點對

應，延長8c與夕。邊交于點E,求NCEC的度數.

八

II.如圖，RSABC中，/B4C=90。，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△4E/Z且點。在

邊BC上.

(1)若ND4c=50。，則/A8E=度；

(2)求證：BELBCx

(3)若點。是BC的中點,AC=2,求8E的值.

12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,連接對角線4C,點E為BC邊上一點，將線段AE

繞點4逆時針旋轉45。得到線段AF,點E的對應點廠恰好落在邊C。上,過尸作FMLAC

于點M.

(1)求證：8E=FM；

(2)求3￡的長度.

13.如圖，正方形A8CD中，尸是對角線AC上的一個動點(不與A、C重合)，連接BP,

將5P繞點8順時針旋轉90。到8。,連接。P,CQ,求證:AP=CQ.

DC

14.正方形ABC。中，點F為正方形A3C。內的點，△6PC繞著點8按逆時針方向旋轉90。

后與△BE4重合.

（1）如圖①，若正方形ABCO的邊長為2,/汨=1,FC=V3?求證：AE//BF.

（2）如圖②，若點尸為正方形ABCD對角線AC上的點（點”不與點A、C重合），試

探究4E、AF.8/之間的數量關系并加以證明.

15.如圖，將△A8C繞點4順時針旋轉60。得△O4E,點C的對應點E恰好落在/W的延長

線上，連接AO,AC,QE相交于點P.

（1）求證：AAQ8是等邊三角形；

（2）直接寫出N4P。的度數.

16.已知：如圖1,/4OB=30。，NBOC=3/AOC.

4

（1）求/AOC的度數；

（2）如圖2,若射線OP從OA開始繞點。以每秒旋轉10的速度逆時針旋轉，同時射線

OQ從OB開始繞點O以每秒旋轉6。的速度逆時針旋轉；其中射線OP到達OC后立即改

變運動方向，以相同速度繞。點順時針旋轉，當射線OQ到達時，射線OP,OQ同

時停止運動，設旋轉的時間為，秒，當NPOQ=10。時，試求/的值：

(3)如圖3,若射線OP從0A開始繞O點逆時針旋轉一周，作0M平分NAOP,ON

平分NC。尸，試求在運動過程中,NMOV的度數是多少？(請直接寫出結果)

圖I圖2圖3備用圖

17.將兩塊全等的三角板按如圖I所示擺放，其中N4CBi=NAC8=90。，ZAi=ZA=30°.

(1)將圖1中的△ABC按順時針方向旋轉45。得圖2,4c與A3交于點為，AiBi與8c

交于點Q,求證：CPi=CQ；

(2)在圖2中,若月Pi=2,求CQ的長.

圖1

18.如圖，將RtAAOB繞直角頂點0順時針旋轉得到RtACOD,使點A的對應點。落在

交A。的延長線于點E,求證：ZBCO=ZE.

19.如圖①，在矩形A8CD中，AB=6,BC=8,四邊形EFGH是正方形，EH與BD重.合,

將圖①中的正方形EFGH繞著點。逆時針旋轉.

(1)旋轉至如圖②位置，使點G落在BC的延長線上，DE交BC于點L.已知旋轉開始

時，即圖①位置NCQG=37。，求正方形EFGH從圖①位置旋轉至圖②位置時，旋轉角的

度數.

(2)旋轉至如圖③位置.，DE交BC于點、L.延長8C交于點M,延長。。交E尸于

點N.試判斷/)L、EN、GM之間滿足的數量關系，并給予證明.

圖③

20.將正方形A3CD的邊A6繞點A逆時針旋轉至月以，記旋轉角為a,連接過點。

作。￡垂直于直線3加，垂足為點￡,連接。幼，CE.

BBi

(I)如圖1,當a=60。時，△DEB\的形狀為，連接BD,可求出一L的值

CE

為;

(2)當0。<(1<360。且a,90。時，(1)中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就

圖2的情形進行證明；如果小成立，請說明理由.

圖1圖2

21.如圖，在矩形48co中，AO=8,A8=6,將△AOC繞點A按順時針旋轉到△AEF(A,

B,￡在同一直線上)，連接CR求C*的大小.

22.如圖，點E是正方形A5CO內的點，連接AE、BE、CE,將AAbE繞點5順時針旋

轉90。到△CBF的位置，連接ER若A￡=l,BE=a.

(I)求石尸的長;

(2)當七。=而時，求/AEB的度數.

23.如圖，在4c中，BA=BC,NA6c=40。，將△A3c繞點6按逆時針方向旋轉100。,

得到△O8E,連接A。，CE交于點、F.

(I)求證：△ABgACBE；

(2)求/AR7的度數.

24.如圖①，在等邊三角形ABC中，點。、石分別在邊48、AC上，AD=AE,連接BE、

C。，點M、N、P分另！是BE、CD、BC的中點，連接。E、PM、PN、MN.

(1)觀察猜想：圖①中△PMN是三角形(填“等腰”或“等邊”)；

(2)探究證明：如圖②，4ADE繞點A按逆時針方向旋轉，其他條件不變，MAPMN

的形狀是否發生改變？并說明理由.

25.如圖，將矩形人8CQ繞著點C按順時針方向旋轉得到矩形/TCG,點8與點上對應,

點E恰好落在人。邊上，BHLCE交于點H,求證：CG=BH.

E

26.如圖，等邊三角形ABC的外部有一點P,且N8%=30。，將4P繞點8逆時針旋轉60。

得到CQ，連接80.

(1)求證：AAB尸且△C8Q；

(2)若AP=4,BP=3,求P,C兩點之間的距離.

27.如圖，將△A8C繞點A逆時針旋轉得到△AQE,點C和點七是對應點，若NC4E=90。,

28.如圖，在邊長為6的王方形ABC。內作/￡4尸=45。，AE交8C于點E,AF交8于點、

F,連接)，將△AD尸繞點4順時針旋轉90。得到AA8G.

(1)求證：GE=FE；

29.如圖，△/WC是等腰三角形，其中4^=8。,將&ABC澆頂點B逆時針旋轉50。到△A\BC\

的位置，A8與4。相交于點。，4。與4Ci,BCi分別相交于點E,F.

(1)求證：△BCFqABA\D；

（2）當NC=50。時，判斷四邊形的形狀并說明理由.

30.在△A8C中，AB=AC,N84C=a,點P為線段CA延長線上一動點，連接P8,將線

段24繞點「逆時斜旋轉，旋轉角為a,得到線段2O,連接。6,DC.

（1）如圖1,當a=60。時，猜想以和。。的數量關系并說明理由：

（2）如圖2,當a=120。時，猜想必和0c的數量關系并說明理由.

31.如圖1,直角三角形與直角三角形4RC的斜邊在同一直線上，ZEDF=36°,NABC

=40。,（7。平分/八。8,將4。￡尸繞點。按逆時針方向旋轉，記乙4。廣為a（0VaV180。），

在旋轉過程中：

（1）如圖2,當Na=時，DE//BC,當Na=時，DEVBCx

（2）如圖3,當頂點C在△￡）￡：尸內部時，邊。尸、OE分別交8C、4c的延長線于點〃、

N.

①此時/a的度數范圍是；

②N1與N2度數的和是否變化？若不變，求出N1與N2度數和；若變化，請說明理由.

③若使得N2N2N1,求Na的度數范圍.

副

32.如圖I,將三角板AEC與三角板AQE擺放在一起；如圖2,其中NACB=30。，ZDAE

=45°,ZfiAC=ZD=90°.固定三角板ABC,將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉,

記旋轉角NCAE=a(0°<a<180°).

操作發現:

(1)在旋轉過程中，當a為度時，AD//BC,當a為度時，ADVBCx

(2)當△4QK的一邊與△A4C的某一邊平行(不共線)時，直接寫出旋轉角a的所有

可能的度數：

拓展應用：

當0。<0(<45。時，連接BD,利用圖3探究N8DE+NC4E+NDBC值的大小變化情況，

并說明理由.

33.在RtZkABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,將△A8C繞點8逆時針旋轉一個角度a

后得到△D6E,點A,。的對應點分別為點。，E.

(1)如圖1,若點。恰好落在邊4c的延長線上，連接C￡,求NQEC的度數.

(2)如圖2,若a=60。，F為8。的中點，連接CO,CF,EF,請判斷四邊形C/)￡〃是

什么特殊的四邊形，并說明理由.

B

圖1圖2

34.如圖，點0是等邊三角形ABC內的一點，ZBOC=150°,將△80。繞點。按順時針方

向旋轉?定的角度，得到△AQC,連接OQ，0A.

(1)求NOOC的度數:

(2)試判斷八。與的位置關系，并說明理由;

(3)若08=2,0C=3,求人0的長(直接寫出結果).

BC

參考答案

1.如圖，在△ABC中，NA8C=90。，N4C8=30。，將△ABC繞點C順時針旋轉60。能與

△DEC重合，點產是邊4C中點.

(1)求證：△CFDgLABC；

(2)連接求證：四邊形是平行四邊形.

【解答】證明：(1)丁點尸是邊AC中點，

:.CF=1AC,

2

VZBCA=30°,

：.BA=^AC,NA=60。，

2

：,AB=CF,

???將△ABC繞點、C順時針旋轉60。得到△DEC,

：,AC=CD,ZACD=60°,

/.ZACB=ZDCE,

在4€77)和△ABC中，

'AB二CF

<NA=NFCD，

AC=CD

：./\CFD^^ABC(SAS)；

(2)延長B尸交CE于點G,

由(1)得，FC=BF,

/.ZBCF=ZFBC=30\

VZBCE=60°,

/.ZBCE+ZCBG=NBGE=90。,

VZDEC=ZABC=90°

NBGE=/DEC,

：.BF//ED,

?：BF=^C=AB,AB=DE,

2

：.BF=DE,

???四邊形BED/是平行四邊形.

2.如圖，在RSABC中，ZC=90°,將△A8C繞著點8逆時針旋轉得到△/BE,點C,A

的對應點分別為￡,F.點E落在84上，連接AE

(1)若NA4c=40。，求/助廠的度數；

(2)若AC=8,BC=6,求4尸的長.

【解答】解：(1)在RS48C中,ZC=90°,N84C=40。,

,NA8C=50。，

???將△A8C繞著點8逆時針旋轉得到4FBE,

：,^EBF=ZABC=50\AB=BF,

.'.Z^AF=Z^M=A(180°-50")=65u；

2

(2)VZC=90°,AC=8,8c=6,

：.AB=\0,

???將△ABC繞著點B逆時針旋轉得到^/；BE,

:?BE=BC=6,EF=AC=S,

：.AE=AB-BE=W-()=4,

?'A尸=7AE2+EF2=V16+64=4^5.

3.如圖①,△ABC和△ECD都是等邊三角形.

(1)若8、C、E在同一條直線上，AC與8Z)相交于點N,AE與C。相交于點M.BD

與4E相交于點0,試判斷AE與8。的數量關系為AE=BD度數為60。；

(2)將△ECO繞點C順時針旋轉，B、C、￡不在一條直線上時，如圖②，則(1)中的

結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

【解答】解：(1)???△43C是等邊三角形，

：.AC=BC,ZBAC=ZACT=60°,

???△EC。是等邊三角形，

：.CE=CD,NOCE=60。，

JNACB=NOCE=60。，

/.ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE,

即NAC￡=N4C。，

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

<NACE=NBCD，

CE=CD

:.△ACE9XBCD(SAS),

???AE=8。，/CAE=/CBD,

在△A3。中，ZAOB=\SO°-(NZMO+NA8O)

=180°-(ZBAO+ZCBO+ZABC)

=180°-(ZBAC+ZABC)

=180°-<60°+60°)=60°,

/.NAO8=60°,

故答案為：AE=BD,60°；

(2)成立.

證明：???△46C和△EC。都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,

NACB=NDCE=60。,

/.NACB+NACO=ZDCE+ZACD,

即NACE=/8CO,

在AACE和△BCO中，

fAC=BC

ZACE=ZBCD-

|CE=CD

，△ACE經△BCD(SAS),

：.AE=BD,/CAE=NCBD,

又丁/ANO=/BNC,

Al80O-ACAE-N4NO=180。-ZCBD-/BNC,

/.ZAOB=ZACB=W.

4.如圖，在RgAAC中，N4AC=90。，ZACB=30°,將△4AC繞點C順時針旋轉一定的

角度Ct得到△。石。，點A,8的對應點分別是點。，E.

(1)如圖①，當點E恰好在AC邊上時，連接4D,求NAOE的度數；

(2)如圖②，當a=60。時，若點尸為AC邊上的動點，當NF8C為何值時，四邊形BFDE

為平行四邊形？請說出你的結論并加以證明.

D

E

【解答】解：（1）.??將△/IBC繞點C順時針旋轉一定的角度a得到△。七C,E點、在AC

上,

：.CA=CD,NECD=/BCA=30。,

???NC3NS4=](18O。-30°尸5。，

又：4DEC=NABC=90。，

???ZAD￡=90°-75°=15°；

(2)/尸8。=30。時，四邊形8FQE為平行四邊形,

???ZABF=ZA=60A,

：,BF=CF=AF,

是等邊三角形，

；.BF=AB,

???將△ABC繞點CJ唳時針旋轉60。得到△DEC,

：,DE=AB,ABCE是等邊三角形,ZDEC=ZABC=90°,

:?/EBF=/EBC-ZFBC=30°,

???NOE8+NEB/=180°,

：?DE=BF,DE//BF,

???四邊形BFDE為平行四邊形.

5.如圖,在AABC中，AB=近,BC=3,ZB=45°,將△ABC繞點A按順時針旋轉一定

角度得到△/1/)￡當點4的對應點力恰好落在4c邊上時，求CQ的長.

【解答】解：???由旋轉的性質可知AO=43=&,

；?NB=NBDA=45。.

，ND48=90。.

，DB=V(V2)2+(V2)2=2.

：.CD=BC-DB=3-2=

故。C的氏為1.

6.如圖，矩形ABC。中，8c=4,將矩形ABC。繞點。順時針旋轉得到矩形AbCD.當

點9恰好落在邊AO上時，旋轉角為明連接8夕.若NAB5=75。，求旋轉角a及從8的

【解答】解：???四邊形A8CO是矩形,

：.AD//BC,

：?NCBB'=NAB'B=75。,

由旋轉的性質得：CB=CB,

；?NCB，B=/CBB，=75。,

JNBC"180。-75°-75°=30°,

即旋轉角a為30。；

作于￡,如圖所示：

則AB=B'E=^-CB'=2.

2

7.如圖，在RSABC中,ZC=90°,NCSA=32。,如果AA5C繞點8順時針旋轉至△ESQ,

便點。落在A8i力匕連接求NE48的度數.

【解答】解：由旋轉可知：ZEBA=ZCBA=32°,AB=EB,

：.ZEAB^ZAEB=^-(180°-32°)=74A.

2

8.如圖，在正方形ABC。中，射線AE與邊。交于點E,將射線A￡繞點4順時針旋轉,

與。4的延長線交于點F,BF=DE,連接尸￡

(1)求證：AF=AE；

(2)若ND4E=30。，DE=2,直接寫出△AE尸的面積.

【解答】(1)證明：???四邊形是正方形,

：,AB=AD,ZABC=ZD=ZBAD=90°,

JNAB尸=90°,

在△與△AO￡中，

'AB=AD

<ZABF=ZD=90°，

BF=DE

:.XAB2XNDE(SAS),

：,AF=AE；

(2)解：由(1)知，

：.ZBAF=ZDAE,

：.NBAF+NBAE=ZDAE+ZBAE=90a,

AZME=90°,

:./\AEF是等腰百角三角形，

在R1△人OE中，ZD=90°,ZDAE=30°,DE=2,

：,AE=2DE=4,

AAAEF的面積=i<4x4=8.

2

9.如圖，在△ABC中，NC4B=70。，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△4BC的位

置,使得CC〃A8,求NCCA的度數.

【解答】解：???cc〃/18,

/.NACC=NA4C=70。，

:△ABC繞點A旋轉到△A8C的位置，

：,AC=AC,

AZCCA=ZACC=70°,

10.如圖,將△ABC繞點A逆時針旋轉30。得到△AB77：旦夕，。兩點分別與&C兩點對

應，延長8C與夕。邊交于點E,求NCEC的度數.

八

???將△ABC繞點、A逆時針旋轉30。得到△4萬C,

N8AB'=30°,

???/AFB=NB'FE,

BEB'=NBAB'=30°,

:.ZCEC=1800-NBEB'=150°.

11.如圖，RS48C中，/BAC=9()。，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AEO,且點。在

邊BC上.

(1)若ND4C=50。，則N4BE=65度;

(2)求證：BE工BC；

(3)若點。是8C的中點，AC=2,求BE的值.

【解答】解：(1)???將△A3C繞點A順時針旋轉得到AAED,

：.AB=AE,NOAE=NCAB,

/.ZAEB=ZA8E,ZEAB=ZCAD=50°,

:.ZABE=18Q°~5Q：，=65°,

2

故答案為：65：

(2)證明：???將△A8c繞點A順時斜旋轉得到△AE。，

.\AD=AC,

：.NAOC=NC=x,

，ND4C=180。-2x,

由旋轉的性質得NE4B=ND4C=180。-2x,

AE=AB,

??.NE朋=180°-(180°-2x)

2X

VZBAC=90°,

:.ZABC=90a-x,

AZEBC=ZEBA+ZABC=x+(900-x)=90。，

即BEL3C；

(3)由旋轉的性質得.4O=AC=2,

???/B4C=90。，點。是BC的中點，

：,BD=DC=AD=2,

：,BC=4,

VDF=BC=4,

^=VDE2-BD2=2V3.

12.如圖，正方形A6c。的邊K為4,連接對角線AC,點￡為6。邊上點，將線段AE

繞點A逆時針旋轉45。得到線段點E的對應點廠恰好落在邊。。上，過“作FMA.AC

于點M.

(1)求證：BE=FM；

(2)求BE的長度.

DF

【解答】(l)證明：???將線段繞點A逆時針旋轉45。得到線段AP,

：.AE=AF,NE45=NC4B=45。，

：.ZFAC=ZEABf

在△ABE和△AM/中，

rZB=ZAMF=90°

<ZEAB=ZFAM,

AE=AF

???△■■△AM尸(AAS),

:?BE=FM；

(2)???四邊形48CQ是正方形，

：,AC=42AB=442,NACO=45。，

???將線段AE繞點A逆時針旋轉45。得到線段AF,

：,AM=AB=4t

：.CM=4^2-4,

VFM1AC,ZACD=45°,

；?NACD=/CFM,

：.FM=CM=442-4,

:,BE=4近-4.

13.如圖，正方形ABC。中，。是對角線AC上的一個動點(不與A、C重合)，連接BP,

將切繞點8順時針旋轉90。到8Q,連接QP,CQ,求證：AP=CQ.

【解答】證明：:四邊形48CQ是正方形,

:.AB=BC,NA8C=90°,

???將BP繞點B順時針旋轉90。到BQ,

:.BP=BQ,NPBQ=90。,

.\ZPBQ=ZABC,

/.ZABP=ZCBQ,

在△人4。和4C4Q中，

rAB=BC

'ZABP=ZCBQ-

BP=BQ

：.XABPWXCBQCSAS）,

：,AP=CQ.

14.正方形ABC。中，點尸為正方形A8CO內的點，△8FC繞著點8按逆時針方向旋轉90。

后與△3E4重合.

（1）如圖①.若正方形AAU。的邊長為2.BF=1,FC=A/3.求證：AE//RF.

（2）如圖②，若點尸為正方形ABCO對角線AC上的點（點F不與點4、C重合），試

探究A￡、AF.B/之間的數量關系并加以證明.

【解答】(1)證明：???△8R?繞著點8按逆時針方向旋轉90。后與△8E4重合,

:?△BFCQ4BEA,

:?BE=BF=T,N￡4F=NA8C=9()。，NAEB=NBFC,

VBF2+FC2=12+(V3)2=^*BC2=22=4,

:?B戶+Fd=B&

；?NBFC=90o=NAEB,

???NAEB+NEB/=I8O。，

:.AE//BF、

(2)解：AE^+AF2=2BF2,理由如下:

VAC是正方形ABCD的角平分線，

AZBCA=ZBAC=45\

???/次產=45。+45°=90。，

：.AE1+AF1=EF2,

???△3FC繞著點B按逆時針方向旋轉90。后與△B￡A重合,

；?BE=BF,N￡5"=9D°,

：.2BF1=EF2,

：.AE1+AF2=2BF2.

15.如圖，將△ABC繞點8順時針旋轉60。得ADBE,點C的對應點E恰好落在AB的延長

線上，連接A。，AC,OE相交于點P.

(1)求證：AAOB是等邊三角形：

(2)直接寫出N4PO的度數60°.

【解答】解：(1)???將△ABC繞點4順時針旋轉60。得△

；?AB=DB,N4BO=60°,

???△4DB是等邊三角形；

(2)如圖：

???點C的對應點E恰好落在AB的延長線上,

JZABD=ZBDE+ZE,

由(1)知△AQ8是等邊三角形，

???NBDE+NE=NA4Z)=6()0,

???將△ABC繞點B順時針旋轉60。得4DBE,

/./BDE=ZBAP,

???N84P+NE=60。，

/.ZAPD=N8AP+/￡=60。；

故答案為：60°.

16.已知：如圖1,NAO3=3（）°,ZBOC=^-ZAOC.

4

（1）求/AOC的度數：

（2）如圖2,若射線0P從OA開始繞點。以每秒旋轉10的速度逆時針旋轉，同時射線

OQ從OB開始繞點O以每秒旋轉6。的速度逆時針旋轉；其中射線OP到達OC后立即改

變運動方向，以相同速度繞。點順時針旋轉，當射線OQ到達。。時,，射線OP,0Q同

時停止運動，設旋轉的時間為，秒，當NPOQ=10。時，試求/的值；

（3）如圖3,若射線0P從OA開始繞O點逆時針旋轉一周，作OM平分NAOP,ON

平分NCOP,試求在運動過程中，NMON的度數是多少？（請直接寫出結果）

圖1圖2圖3備用圖

【解答】解：(1)ZBOC=^-ZAOC,ZBOC+ZAO!3=ZAOC,

4

/.ZAOB=^ZAOC,

4

???ZAOB=300,

，ZAOC=120°；

(2)由(I)知，ZAOC=12()0,N8OC=90°,

①OP逆時針運動時，即0<r<I2時，

OP,OQ相遇前，如圖2(1),NAOQ=NA()P+NPOQ=NAOB+NBOQ,即10。什10。

=30。+6。/,解得f=5,

OP,。。相遇后，如圖2(2),NAOP=NAOB+NBOQ+NPOQ,即10。，=30。+6。什10。，

解得t=10；

OP,OQ相遇前，如圖(3),NBOC=4C0PMB0Q+/P0Q,即90°=10°/-120°+6°/+10°,

解得f=12.5,

OP,OQ相遇后，如圖(4),/BOC=/COP+/BOQ?/POQ,即90。=10°L120°+6。

-10°,解得=13.75,

綜上,當」的值為5,10,12.5或13.75時，ZPOQ=\00.

(3)由(1)知NAOC=120。,

根據射線OP的運動，需要分四種情況，

①當射線OP與。A重合前，如圖3(1),

??，OM平分N4OP,ON平分4coP,

，NPOM=2NA。尸，/PON=L/COP,

22

???/M0N=NPOM+NPON=2NAOP+』/COP=」NAOC=60。；

222

②當射線。。與OA重合后，N40P=I80。前，如圖3(2),

〈OM平分NAOP,ON平分4cOP,

：.ZPOM=^ZAOP,/PON=L/COP,

22

，NMON=/POM-NPON=2NAOP--1NCOP=2NAOC=60。；

③NCON=180。前，如圖3(3),

YOM平分/4。尸，ON平令乙COP,

???NPOM=2NAOP,/PON=L/COP,

22

??./MON=NPOM+NPON=-1N4OP+-1NCOP=-1(360°-ZAOC)=120°；

222

④OP與OQ重合前，如圖3(4),

YOM平分NAOP,ON平分/COP,

：,ZPOM=1.ZAOP,/PON=L/COP,

22

4M6N=4PON-NPOM=2NCOP+2NAOP=L/AOC=6(T；

222

綜上，NMON的度數為60。或120。.

17.將兩塊全等的三角板按如圖I所示擺放，其中/4CBi=NAC8=90。，N4=NA=30。.

(1)將圖1中的△ABC按順時針方向旋轉45。得圖2,4C與A3交于點為，Ai8i與8c

交于點Q，求證：CPi=CQ；

(2)在圖2中，若APi=2,求CQ的長.

???N8iCQ=NBCPi=45°；

乂B1C=BC,NBi=NB,

.,.△BICC^A5CPI(ASA),

：.CQ=CP\；

(2)解:如圖：作PiD_LAC于。,

,?NA=30。，

??.PiZ)=工尸i；

2

VZPiCD=45°,

PiD亞

:1—=sin450=".

CP12

:.CP\=HPID=?API；

2

又APi=2,CQ=CP\,

/.ce=V2.

18.如圖，將RsAOB繞直角頂點O順時針旋轉得到RtACOD,使點人的對應點。落在

AB邊上，過點D作DE〃4B,交4。的延長線于點E,求證：NBCO=/E.

AOE

【解答】證明：???將RtAAOB繞直角頂點。順時針旋轉得到RtACOD,

：.AO=CO,

/.ZA=ZACO,

■:AB"DE、

:.ZA+ZE=180°,

又ZACO+ZBCO=180°,

:.ZBCO=/E.

19.如圖①，在矩形ABCD中，4B=6,BC=8,四邊形EFG//是正方形，EH與BD重.合,

將圖①中的正方形EFGH繞著點D逆時針旋轉.

(1)旋轉至如圖②位置，使點G落在8C的延長線匕DE交BC于點、L.已知旋轉開始

時，即圖①位置NCQG=37。，求正方形EFG”從圖①位置旋轉至圖②位置時，旋轉角的

度數.

(2)旋轉至如圖③位置，DE交BC于一點、L.延長8c交于點延長。。交E尸于

點N.試判斷。心EN、GM之間滿足的數量關系，并給予證明.

A________DW________

A______A

t\G

>尸

F

圖①圖②圖③

【解答】解:(1)由圖①知，NADB=NDBC=37。,

如圖②，連接8。，

.一4,________眄)

F

圖②

則BD=DG,

；?NDGB=NDBG=37°,

，NCOG=90。-ZDGC=90°-37°=53°,

工旋轉角為:53°-37°=16°；

(2)DL=EN+GM,理由如下：

過點G作GK〃ZM/,交DE于K,

圖③

???四邊形EFG。是正方形，

ZDEF=ZGDE,DE=DG,

：.ZEDN=NDGK,

:.ADKG/4END(ASA),

:?EN=DK,

,:GK〃ML,KL//GM,

，四邊形KLWG是平行四邊形，

:.GM=KL,

:,DL=EN+GM.

20.將正方形A3c。的邊A3繞點A逆時針旋轉至記旋轉角為a,連接3加，過點。

作。E垂直于直線4加，垂足為點￡,連接。小，CE.

BBi

(1)如圖1,當a=60。時，△DEB\的形狀為等腰直角三角形，連接4。，可求出一L

~~CE

的值為

(2)當0。<(1<36()。且(#90。時，(1)中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就

圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由.

DE

,：AB繞點A逆時針旋轉至AB1,

：.AB=AB',N84B'=a=60。,

???△A88是等邊三角形，

.??NB3'A=60。，

；?NOAB'=ZBAD-NR48'=90。-60°=30°,

,：AB,=AB=AD.

???ZAB'D=ZADB',

:.NA8￡>=180°CO。=75。,

2

:.ZD5'E=180°-60°-75°=45°,

'：DEA.BE,

.??N8DE=900?45°=45。,

???△OEZT是等腰直角三角形；

連接BD,

???四邊形ABC。是正方形，

；?ZBDC=45°,

,噂詆

同理至

DE

.BD_B'D

**DC=DE

*/NBDB'+NB'DC=45。,ZEDC+ZB'DC=45Q,

/./BDB'=/EDC,

:?△BDB's^CDE,

.嗎=患=&,

CECD

故答案為：等腰直角三角形，V2；

(3)(1)中的兩個結論仍然成立.

理由如卜.：連接8￡),

,：AB=AB\NBA8=a,

JNA88=90°-巴，

2

VZB'AD=a-90°,AD=AB',

JZAB'D=\35°-

2

/.ZEB,D=ZAB'D-135°---(90°--)=45°,

22

：.ZEDB,=ZEB'D=45°,

是等腰直角三角形；

???四邊形A8CD是正方形,

.?.坨二亞，ZBDC=45°,

CDv

.BD_B'D

**DC=DE

,/NEDB'=ZBDC,

/EDB+4EDB=/BDC+/EDB,

即N8O8=NEOC,

:?△B'DBSMEDC,

.嗎=辿=&,

CECD

21.如圖，在矩形48C。中，AQ=8,AB=6,將△4DC繞點A按順時針旋轉到△AE尸(A,

B,E在同一?直線上)，連接。凡求C尸的大小.

【解答】解：VAD=8,A8=6,ZD=90°,

=22=

ACVAD-+€DV36+64=10,

?一△4QC按逆時針方向繞點A旋轉到△AEF,

：.ZEAF=ZDAC,AF=AC=10,

???ZEAF+ZEAC=ZDAC+ZEAC,

：.ZFAC=ZBAD,

又：四邊形ABC。是矩形，

，NB4D=/AOC=90。，

/.ZMC=90°,

???△凡C是等腰直角三角形，

：.CF=42AC=\O42-

22.如圖，點￡是正方形ABC。內的一點，連接4￡、BE、CE,將△ABE繞點6順時針旋

轉90。到△C8F的位置，連接E兄若AE=1,BE=血.

(1)求七產的長;

(2)當EC=J可時，求N4E8的度數.

【解答】解：(1)???△相￡繞點3順時針旋轉90。得到△C",

/.AABE冬ACBF,

:,BE=BF=?AE=CF=\,NEB尸=90。，/AEB=/BFC,

???△8￡尸為等腰直角三角形，

:.EF=?BE=2；

(2)在△(?￡/中，CE=蕊,CF=\,EF=2,

\*CF2+EF1=\2+22=5,C￡2=5,

:.CF2+EF2=CE2,

???△CE”為直角三角形，

???ZEFC=90°,

???ZBFC=ZBFE+ZCFE=\350,

ZAEI3=\35°.

23.加圖，在△44。中，BA=BC,NA4C=40。，將△A8。繞點3按逆時針方向旋轉100。,

得到ADBE,連接AO,CE交于點F.

(1)求證：2ABDmACBE；

(2)求/AFC的度數.

【解答】(1)證明：?「△4BC繞點8按逆時針方向旋轉100。,

???NABC=NDBE=4(f,

???ZABD=ZCBE=100%

又?.?84=4C,

:?AB=BC=BD=BE,

在△/1月。與4CBE中，

fBA=BC

ZABD=ZCBE>

IBD=BE

???△△CBE(SAS).

（2）解：VZABD=^CBE=\OO°,BA=BC=BD=BE,

/.ZBAD=ZADB=ZBCE=ZBEC=40°.

*/ZABE=ZABD+ZDBE=140°,

AZAFE=3600-ZABE-/BAD-ZB￡C=140%

:.NA產C=1800-Z4fE=40°.

24.如圖①，在等邊三角形A8C中，點。、E分別在邊AB、AC上，AD=AE,連接BE、

CD,懸M、N、P分另!是BE、CD、BC的中點，連接。E、PM、PN、MN.

（1）觀察猜想：圖①中△PMN是等邊三角形〔填“等腰”或“等邊”）；

（2）探究證明：如圖②，4AOE繞點A按逆時針方向旋轉，其他條件不變，則△PMN

的形狀是否發生改變？并說明理由.

【解答】解：（1）結論：是等邊三角形.

理由：如圖1中，

圖1

???△ABC是等邊三角形，

：,AB=AC,ZABC=ZACB=60°,

*：AD=AEt

；?BD=EC,

?:PB=PC,CN=ND,BM=EM,

:,PN〃BD,PM//EC,PN=%D,PM=』EC,

22

:,PM=PN,ZNPC=Z4BC=60°,NACB=60。,

/.NMPN=60。，

???△尸MN是等邊三角形，

故答案為等邊.

<2)△PMN的形狀不發生改變，仍為等邊三角形，理由如下:

由旋轉可得NBAO=NC4E,

「△ABC是等邊三角形，

：,AB=AC,NAC3=N4BC=600

又???4D=AE,

/\ABD^AACE(SAS),

:,RD=CE,ZABD=^ACE,

???M是8E的中點，P是8c的中點，

?“加是4BCE的中位線，

??.PM=2CE,且PM"CE.

2

同理可證PN=』D且PN〃BD,

2

:?PM=PN,NMPB=NECB,ZNPC=ZDBC,

：?NMPB+NNPC=NEC