五年級奧數(shù)目錄

（一）數(shù)的整除★★★（被整除也就是找這個數(shù)的倍數(shù)）

（二）定義新運算★★★（它的符號不同于課本上明確定義或己經(jīng)約定的符號,

先求出表示定義規(guī)則的一般表達式，方可進行運算。）

（三）列方程解運用題****（一些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的問或較隱蔽的逆向問

題。用算術(shù)方法解答比較困難，如果用方程解就簡便得多）

（四）抽屜原理*★★（抽屜原理：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那

么至少有一個抽屜中的物品不少于2件）

（五）不規(guī)則圖形面積的計（不規(guī)則圖形，為了計算面積，常常

要變動圖形的位置或?qū)D形進行適當?shù)姆指睢⑵囱a、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)

則圖形的和、差關(guān)系）

（六）邏輯推理★★★（條件增多，考慮的范圍增大）

（七）牛吃草★★★（重點是草的生長速度的的變量）

（A）流水行船★★★（難點在于是逆水行舟還是順水行舟）

（九）奇數(shù)與偶數(shù)★★★（根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的定理，求出幾個數(shù)的和是什么數(shù)）

（一）（十）周期性問題★★★（找出循環(huán)，利用除法算式求出余數(shù)，最后根

據(jù)余數(shù)的大小得出正確的結(jié)果，考點）

（二）數(shù)的整除

如果整除a除以不為零數(shù)b,所得的商為整數(shù)而余數(shù)為0,我們就說a能被b整

除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數(shù)，a叫做b的

倍數(shù)。

數(shù)的整除的特征：

（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是2.4.6.8、0,

那么這個整數(shù)一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各個數(shù)字之和能被

3（或9）整除，那么這個整數(shù)一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4

（或25）整除，那么這個數(shù)就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5,那么

這個整數(shù)一定能被5整除。

（5）能被6整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)能被2整除，又能被3整除,

那么這個數(shù)就一定能被6整除。

一、（6）能被7（或口或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)分成兩個數(shù)，末三

位為一個數(shù)，其余各位為另一個數(shù)，如果這兩個數(shù)之差是0或是7（或11或13）

的倍數(shù)，這個數(shù)就能被7（或口或13）整除。

二、（7）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8

（或125）整除，那么這個數(shù)就一定能被8（或125）整除。

三、（8）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位

數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除.

四、例題與方法指導(dǎo)

例1.一個六位數(shù)23口56口是88的倍數(shù),這個數(shù)除以88所得的商是

或_____.

思路導(dǎo)航：

一個數(shù)如果是88的倍數(shù),這個數(shù)必然既是8的倍數(shù)，又是11的倍數(shù).根據(jù)8

的倍數(shù),它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個六位數(shù)個位上的數(shù)是0

或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是。或」的倍數(shù)，從已知的四個數(shù)看，

這個六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個方框

內(nèi)填入的數(shù)字是相同的，因此這個六位數(shù)有兩種可能

23血56血或23國56國

又230560-88=2620

238568:88=2711

所以,本題的答案是2620或2711.

例2.123456789口口，這個十一位數(shù)能被36整除,那么這個數(shù)的個位上的

數(shù)最小是_____.

思路導(dǎo)航;…

因為36=94,所以這個十一位數(shù)既能被9整除，又能被4整除.因為1+2+…

+9=45,由能被9整除的數(shù)的特征，(可知口+口之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,

2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的數(shù)的特征:這

個數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù)，可知□□是00,04,…，36,…，72,…96.這樣,

這個H^一位數(shù)個位上有0,2,6三種可能性.

所以,這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是0.

例3.下面一個1983位數(shù)333■口44…4中間漏寫了一個數(shù)字(方框)，己

991個991個

知這個多位數(shù)被7整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是____.

思路導(dǎo)航：

991個991個

=33-3xIO"3+3n4x10"0+44—4

990個990個

因為111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

990個990個

3口4能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.

例4.有三個連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是11的倍數(shù).這三

個數(shù)是.

思路導(dǎo)航：

三個連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù)，已知其和是11的倍數(shù),而3與11互質(zhì)，

所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3個,它們是33.66、99.所以有

當和為33時，三個數(shù)是10,11,12；

當和為66時,三個數(shù)是21,22,23；

當和為99時,三個數(shù)是32,33,34.

所以，答案為10,11,12或21,22,23或32,33,34。

［注］“三個連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除”可證明如下：

設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)為n,n+1,n+2,則

n+(n+l)+(n+2)

=3n+3

照規(guī)定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體

的數(shù)字表達式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達式，方可進行運算。

二、值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質(zhì)，

所以，不能盲目地運用定律和運算性質(zhì)解題。

三、例題與方法指導(dǎo)

例L設(shè)ab都表示數(shù)，規(guī)定aAb表示a的4倍減去b的3倍，即aAb=4

Xa-3Xb,試計算52X6,6A5o

解5A6-5X4-6X3=20-18=2

6A5=6X4-5X3=24-15=9

說明例1定義的△沒有交換律，計算中不得將△前后的數(shù)交換。

例2.對于兩個數(shù)a、b,規(guī)定a^b表示3Xa+2Xb,試計算(5^6)☆7,5

☆(6^7)o

思路導(dǎo)航：

先做括號內(nèi)的運算。

解(5*6)☆7=(5X3+6X2)☆7=27☆7=27X3+7X2=95

5^(6*7)=5*(6X3+7X2)=5☆32=5X3+32X2=79

說明本題定義的運算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運算有區(qū)別的。

例3.已知243=2X3X4,4A2MX5,一般地，對自然數(shù)a、b,aAb表

示aX(a+l)X…(a+b-1).

計算(6A3)-(5A2)o

思路導(dǎo)航二

原式二6X7-5X6

=336-30

規(guī)定：d△?十(a十1)十Q十2)十…十(d十bT),其中a,b表示自然數(shù)。

例4.求12\100的值。已知xZ\10=75,求x.

思路導(dǎo)航：

(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)X1004-2=5050

(2)原式即x+(x-l)+(x+2)+-+(X+9)=75,

所以

10X+(l+2+3+…+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

四、鞏固訓(xùn)練

1.若對所有b,aAb=aXx,x是一個與b無關(guān)的常數(shù)；a☆b=（a+b）+2,且（1

△3）*3=1A（3*3）o

求（1A4）*2的值。

五、如果規(guī)定:③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,……,⑨=8X9X10,

求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值o

六、能力提升

1.a*b表示a的3倍減去b的;，例如：

1*2=1X3-2X：=2,根據(jù)以上的規(guī)定，

計算：①10*6②7*（2*1）.

2.定義新運算為aOb=:

b

①求20（3GM）的值；

②若xQ4=1.35,則x=?

3.有一個數(shù)學(xué)運算符號。，使下列算式成立：

1234711516.34⑻必

236,5945,6742,115

（七）列方程解應(yīng)用題

同學(xué)們在解答數(shù)學(xué)問題時，經(jīng)常遇到一些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的，或較隱蔽的

逆向問題。用算術(shù)方法解答比較困難，如果用方程解就簡便得多。它可以進一步

培養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力，抽象思維能力，列方程解應(yīng)用題一般分

為五步：

（一）審題：（弄清已知數(shù)和未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系）

（-）用字母表示未知數(shù)；（通常用“X”表示）

（三）根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

（四）解方程求出未知數(shù)的值；

（五）驗算并答題。

一、例題與方法指導(dǎo)

例L金臺小學(xué)學(xué)生參加申奧植樹活動，六年級共植樹252棵，比五年

級植樹總數(shù)的倍少8棵，五年級植樹多少棵？

思路導(dǎo)航：

六年級比五年級植樹總數(shù)的倍少8棵，就是六年級的倍的數(shù)少8,等于

六年級植樹的總數(shù)。等量關(guān)系是：五年級的倍一8=六年級的植樹總數(shù)。

解：設(shè)五年級植樹x棵，根據(jù)題意列方程，得

14-8=252

4

l-x=252+8

4

l-x=260

4

x=260-11

4

x=208

驗算：把代入原方程

=1-x208-8=252

左邊4

右邊=252

左邊=右邊

x=208是原方程的解。

答：五年級植樹208棵。

例2.一瓶農(nóng)藥700克，其中水比硫磺粉的6倍還多25克，含硫磺粉的重

量是石灰的2倍，這瓶農(nóng)藥里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？

思路導(dǎo)航：

這是道比較復(fù)雜的“和倍應(yīng)用題「硫磺粉和水有直接關(guān)系，硫磺粉和石灰

也有直接關(guān)系，因此應(yīng)設(shè)未知數(shù)硫磺粉為X克。水的重量是硫磺的6倍還多25

克，也就是（6x+25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2,也就是克。

等量關(guān)系式表不為：

水+硫磺粉+石灰=農(nóng)藥重量

解：設(shè)硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（）克，石灰重量是

克。根據(jù)題意列方程，解。

6%+25+xH—x=700

2

7-x=700-25

2

75x=675

x=90

驗算：把代入原方程

=6x90+25+90+-x90=700

左邊2

右邊=700

左邊=右邊

尤=90是原方程的解。

例3.兩袋米同樣重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的

第一袋剛好是第二袋的2倍，兩袋原來各有多少千克？

思路導(dǎo)航工

題中告訴我們原來兩袋大米同樣重，解答時可以設(shè)兩袋大米原來各重x千克,

第一袋剩下的則是千克，第二袋剩下的則是千克。根據(jù)題意，第一袋剩下的

大米是第二袋剩下的2倍，也就是說，如果把第二袋剩下的擴大2倍就和第一袋

剩下的相等。

解：設(shè)兩袋大米原來的重量各為x千克，根據(jù)題意，列方程得

（x-25）x2=x-18

2x—50=x—18

2x—x=50—18

x=32

驗算：左邊

右邊=32—18=14

左邊=右邊

x=32是原方程的解

二、答：兩袋大米原來各重32千克。

三、鞏固訓(xùn)練

四、1.李紅看一本小說，上午看了60頁，相當于下午看的頁數(shù)的又4頁，李

紅這天共看了多少頁小說？

五、2.已知一個長方形的長是20米，如果把它的寬減少4米，新得到一個

長方形，它的面積想法于原來長方形的面積的，原來長方形的周長是多少？

六、3.兩根繩共長90米，已知第一根繩長的等于第二根繩長的，求兩根繩

各長多少米？

七、拓展提升

1.甲乙兩個糧倉共有糧食55萬千克，如果甲倉運出，乙倉運出6萬千

克，則甲乙兩倉存糧相等，甲、乙兩倉原來各存取多少萬千克？

2.用5千克含鹽20*的鹽水，如果把它稀釋為含鹽15%的鹽水，需要加水多少

千克？

3.有甲、乙兩筐蘋果，如果從甲筐取10千克放入乙筐，則兩筐相等；如果從兩

筐中各取出10千克，這時甲筐余下的比乙筐余下的多5千克。求兩筐蘋果

原來各多少千克？

蟲同學(xué)們到郊區(qū)野炊。一個同學(xué)到老師那里去領(lǐng)碗，老師問他領(lǐng)多少，他說領(lǐng)

55個。又問“多少人吃飯”，他說：“一人一個飯碗，兩人一個菜碗，三人一個

湯碗J算一算，有多少人吃飯。

（八）抽屜原理

如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放

的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1

個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3,這與有5個蘋果的

已知條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。

同樣，有5只鴿子飛進4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿

子。

以上兩個簡單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理二

一、抽屜原理1:將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜

中的物品不少于2件。

二、說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不

到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所

放物品的總數(shù)就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假

定“這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理

1成立。

三、從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最

不利的情況就是n個抽屈中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入

1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了

抽屜原理lo

四、例題與方法指導(dǎo)

例1.某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個抽屜，將367

名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進366個抽屜里，至少有一個

抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2.在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3整除？

分析與解：因為任何整數(shù)除以3,其余數(shù)只可能是0,1,2三種情形。我們將余

數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”。一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就

將此整數(shù)放在那個“抽屜”里。

將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至

少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個數(shù)的差必能被3整除。

例3.在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)？

分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0,1,20現(xiàn)在,

對于任意的五個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上

的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。

第一種情形。有三個數(shù)在同一個抽屜里，即這三個數(shù)除以3后具有相同

的余數(shù)。因為這三個數(shù)的余數(shù)之和是其中一個余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以

這三個數(shù)之和能被3整除。

五、第二種情形。至多有兩個數(shù)在同一個抽述里，那么每個抽屜里都有數(shù),

在每個抽屜里各取一個數(shù)，這三個數(shù)被3除的余數(shù)分別為0,1,2。因此這三個

數(shù)之和能被3整除。

六、綜上所述，在任意的五個自然數(shù)中，其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)。

七、鞏固訓(xùn)練

2.1.有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸

出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組

是一樣的。

（九）一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌.，至少有多少人才能

保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？

（+）3.從2、4、6、…、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有

兩個數(shù)之和是34。

（十一）不規(guī)則圖形面積計算（1）

我們曾經(jīng)學(xué)過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和

扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形.我們的面積及周長都有相應(yīng)的公式

直接計算.如下表：

名稱圖形周長公式面積公式

長方形周長=2(a+b)面積=@匕

正方形口冏長:=4a面積二a'

三角形周長:a+b+c面積二/ah

平行四邊形周長=2(a+b)面積二ah

a

b

梯形周長=a+b+c+d面積二+(a+b)?h

a

菱形周長二4a面積二/AC,BD

圓?周長=2冗r而枳=嗤產(chǎn),

弧長;噴

扇形?R=-360M?

A周長=2"弧長

米.求陰影部分的面積。

思路導(dǎo)航:

陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”三角形（^

ABG、ABDE>AEFG）的面積之和。

例2如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，△ABE、4ADF與四邊形AECF

的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.

思路導(dǎo)航：

「△ABE、Z\ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，

???四邊形AECF的面積與AABE、ZXADF的面積都等于正方形ABCD的,，

3

在4ABE中，因為AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,

AECF的面積為2X2+2=2。

所以SZ\AEF=S四邊形AECF-S^ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如

右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。

思、路導(dǎo)航:

在等腰直角三角形ABC中

VAB=10

VEF=BF=AB-AF=10-6=4,

???陰影部分面積二SZ\ABG-SZ\BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4如右圖，A為4CDE的DE邊上中點，BC=CD,若也杷?（陰

影部分）面積為5平方厘米.

求aABD及4ACE的面積.

取BD中點F,連結(jié)AF.因為aADF、Z\ABF和AABC等底、等高，

所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.

二、AAACD的面積等于15平方厘米，AABD的面積等于10平方厘米。

三、又由于aACE與4ACD等底、等高，所以AACE的面積是15平方厘米。

四、鞏固訓(xùn)練

1.如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三

角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。

2.如右圖，已知：SZ\ABC=1,AE=ED,BD=BC.求陰影部分的面積。

3.如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AAED的面積是5平

方米，BC=10米，求陰影部分面積.

（十二）4.如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形，證明它們的面

積相等.

（十三）不規(guī)則圖形面積計算（2）

一、不規(guī)則圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長

方形等規(guī)則圖形組合而成的，這是一類更為復(fù)雜的不規(guī)則圖形，為了計算它的

面積，常常要變動圖形的位置或?qū)D形進行適當?shù)姆指睢⑵囱a、旋轉(zhuǎn)等手段使之

轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，同時還常要和“容斥原理”（即：集合A與集合

B之間有：SAUB=SA-Sb-SAnB）合并使用才能解決。

二、例題與方法指導(dǎo)

例1.如右圖，在一個正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半

圓.求陰影部分的面積。

解法1：ft1的半▽,得到右圖.這

弓影部Mi一樣，因此它們

的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。

解法2:將上半個“弧邊三角形”從中間切開，分別補貼在下半圓的上側(cè)邊

上，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。

解法3:將下面的半圓從中間切開，分別貼補在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如

右圖所示.陰影部分的面積是正方形的一半.

例2.如右圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4

厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。

解：由容斥原理S陰影=S扇形ACB+S扇形ACD-S正方形ABCD

回

例3如右圖，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半

徑AE=6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求陰影部分的面積。

例4.如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20厘米，

如果陰影（I）的面積比陰影（II）的面積大7平方厘米，求BC長。

分析已知陰影（I）比陰影（II）的面積大7平方厘米，就是半圓面積

比三角形ABC面積大7平方厘米：又知半圓直徑AB=20厘米，可以求出

圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面積，進而求

出三角形的底BC的長.

回

三、鞏固訓(xùn)練

1.如右圖，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。

如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,此I

AC的位置，求陰影部分的面積（取冗=3）.

回

3.如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1,求陰影部分的面積.

回

回I

4.如下頁右上圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點，BC是半圓

的直徑，且AB=BC=10,求陰影部分面積（冗取3?14）。

一、總結(jié)：對于不規(guī)則圖形面積的計算問題一般將它轉(zhuǎn)化為若干基本規(guī)則圖

形的組合，分析整體與部分的和、差關(guān)系，問題便得到解決.常用的基本方

法有：

相加法：

二、這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個基本規(guī)則圖形，分別計算它們的面

積，然后相加求出整個圖形的面積.例如，右圖中，要求整個圖形的面積，

只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就

可以了.

相減法：

三、這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個基本規(guī)則圖形的面

積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去

里面圓的面積即可.

直接求法：

四、這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下

頁右上圖，欲求陰影部分的面積，通過分析發(fā)現(xiàn)它就是一個底是2,高為4

的三角形，面積可直接求出來。

重新組合法：

五、這種方法是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計算上的需要，重新組

合成一個新的圖形，設(shè)法求出這個新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影

部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時采用

相減法就可求出其面積了.

輔助線法：

六、這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規(guī)則圖

形轉(zhuǎn)化成若干個基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖,

求兩個正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加

一條輔助線后用直接法作更簡便.

割補法：

七、這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為

基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積,

只需把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積

的一半.

平移法：

這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合

成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積,例如，如右圖，欲求陰影部分面積，

可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個

陰影部分恰是一個正方形。

旋轉(zhuǎn)法：

八、這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或某一軸

旋轉(zhuǎn)一定角度貼補在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個新的基本規(guī)則的圖

形，便于求出面積.例如，欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形

繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180。，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣

子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面

積.

對稱添補法：

這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)則圖形.原來

圖形面積就是這個新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿

AB在原圖下方作關(guān)于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所

求陰影部分的面積。

十、重疊法：

（十四）這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然

后運用“容斥原理”（SAUB=SA4-SB-SAnB）解決。例如，欲求右圖中陰影部

分的面積，可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因為陰影部分的面積恰

好是兩個扇形重疊的部分.

（十五）邏輯推理

曾經(jīng)愛因斯坦出過一道測試題，他說世界上有98%的人回答不出！！讓我們一

起來看看是什么題呢。

在一條街上有5座顏色不同的房子，住著5個不同國家的人，他們抽著5種

不同的煙，喝著5種不同的飲料，養(yǎng)著5種不同的寵物。有下面15個己知條件,

求解。

L英國人住紅色房子。

2.瑞典人養(yǎng)狗。

3.丹麥人喝茶。

4.綠色房子在白色房子左面。

5.綠色房子主人喝咖啡。

6抽PallMall香煙的人養(yǎng)鳥。

7^黃色房子主人抽Dunhill香煙。

8、住在中間房子的人喝牛奶。

9、挪威人住第一間房。

10、抽Blends香煙的人住在養(yǎng)貓的人隔壁。

11.養(yǎng)馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。

12.抽BlueMaster的人喝啤酒。

13.德國人抽Prince香煙。

14.挪威人住藍色房子隔壁。

15.抽Blends香煙的人有一個喝水的鄰居。

問：哪個國家的人養(yǎng)魚。

一、這道題為什么會難倒這么多人呢，首先，我們就來研究一下關(guān)于他的最基

本的邏輯問題吧。

二、例題與方法指導(dǎo)

例1.某地質(zhì)學(xué)院的學(xué)生對一種礦石進行觀察和鑒別：

甲判斷：不是鐵，也不是銅。

乙判斷：不是鐵，而是錫。

丙判斷：不是錫，而是鐵。

經(jīng)化驗證明：有一個人的判斷完全正確，有一個人說對了一半，而另一個人

完全說錯了。你知道三人中誰是對的，誰是錯的，誰是只對一半的嗎？

思路導(dǎo)航:

丙全說對了，甲說對了一半，乙全說錯了。先設(shè)甲全對，推出矛盾后，再設(shè)乙全

對，又推出矛盾，則說明丙全對，甲說對了一半，乙全說錯了。

例2.數(shù)學(xué)競賽后，小明、小華和小強各獲得一枚獎牌，其中一人得

金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。老師猜測：“小明得金牌，小華不得金牌，小

強不得銅牌。”結(jié)果老師只猜對了一個，那么誰得金牌，誰得銀牌，誰得銅牌？

忠路曼航:

小華得金牌?，小強得銀牌，小明得銅牌

(1)若小明得金牌，小華一定“不得金牌”，這與“老師只猜對了一個“相矛

盾，不合題意。

(2)若小華得金牌，那么“小明得金牌”與“小華不得金牌”這兩句都是錯的,

那么“小強不得銅牌”應(yīng)是正確的，那么小強得銀牌，小明得銅牌。

例3.一位法官在審理一起盜竊案中，對涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、

丁進行了審問。四人分別供述如下：

甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”

乙說：“我沒有做案，是丙偷的。”

丙說：“在甲和丁中間有一人是罪犯。”

丁說：“乙說的是事實J

經(jīng)過充分的調(diào)查，證實這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話。

同學(xué)們，請你做一名公正的法官，對此案進行裁決，確認誰是罪犯？

思路導(dǎo)航:一

三、乙和丁是盜竊犯。如果甲說的是假話，那么剩下三人中有一人說的也是假話,

另外兩人說的是真話。可是乙和丁兩人的觀點一致，所以在剩下的三人中只能是

丙說了假話，乙和丁說的都是真話C即“丙是盜竊犯，這樣一來，甲說的也是

對的，不是假話。這樣，前后就產(chǎn)生了矛盾。所以甲說的不可能是假話，只能是

真話。同理，剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的是假話，即丙不是罪犯，

乙是罪犯。又由甲所述為真話，即甲不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。

四、鞏固訓(xùn)練

1.小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是戰(zhàn)士，一位是大學(xué)

生。現(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學(xué)生不同歲，大學(xué)生比小張年齡

小。那么三人各是什么職業(yè)？

解：小李是大學(xué)生，小王是戰(zhàn)士，小張是工人.

2.甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會英文，乙不

懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？

解：甲是日本人，乙是中國人，丙是英國人。

3.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們

都是象棋迷。

(1)車工只和電工下棋；

(2)王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；

(3)徐師傅與電工下棋互有勝負；

(4)陳師傅比鉗工下得好。

（十六）問：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？

（十七）牛吃草

牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學(xué)家牛頓

提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛

吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。

由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天

數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原

有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出

的草量應(yīng)該是不變的。這類問題常用到四個基本公式，分別是：

（1）草的生長速度=（對應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃

的較少天數(shù)）+（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；

（2）原有草量=二頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長速度X吃的天數(shù)：

（3）吃的天數(shù)=原有草量+（牛頭數(shù)一草的生長速度）；

（4）牛頭數(shù)=原有草量?吃的天數(shù)+草的生長速度。

一、這四個公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變，設(shè)為

〃1〃，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量,

再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。

二、例題與方法指導(dǎo)

例L

青青一牧場

青青一牧場，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。

改養(yǎng)廿三只，九周走他方；若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？

（注：“廿”的讀音與“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解說】這道詩題，是依據(jù)聞名丁世界的“牛頓牛吃草問題”編寫的。牛頓

是英國人，他的種種事跡早已聞名于世，這里不贅述。他曾寫過一本書，名叫

《普遍的算術(shù)》，“牛吃草問題”就編寫在這本書中。書中的這道題目翻譯過來

是：

一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃

完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草是不斷生長的。）

解答這一問題，首先必須注意牧場里的草是不斷生長增多的，而并非一個固定

不變的數(shù)值。這雖然大大地增加了解題的難度，但我們不要害怕。只要依據(jù)下面

的思路，就一定會找到問題的答案。

思路導(dǎo)航:

因為27頭6星期草料二（27X6=）162頭一星期草料

23頭9星期草料二（23X9=）207頭一星期草料

而這一牧場6星期吃完與9星期吃完，草料數(shù)量要相差207—162=45（頭牛

吃一星期的草料）

這多出的草料，便是9—6=3（個星期之內(nèi)新長出的草料）

所以，一個星期新長出的草料便是

454-3=15（頭牛吃一星期的草料）

進而可知，這牧場最初的草料數(shù)量就是

（27—15）X6=72（頭牛吃一個星期的草料）

現(xiàn)在，有21頭牛來吃這牧場里的草，其中必須拿出15頭牛來吃每個星期新

長出來的草料，這就只剩下：2175=6（頭牛）

去吃最初已經(jīng)長成的草料了。所以，21頭牛來吃這牧場的草料，全部吃光

所需要的時間就是

72+6=12（個星期）

列成綜合算式，就是：

[27-（23X9—27X6）+（9-6）]X64-[21-（23X9—27X6）4-（9—6）]

=[27-454-3]X64-[21-454-3]

=12X64-6

=12（個星期）

答：21頭牛要12個星期才可以吃完。

例2.一個牧場長滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長，已知牛27頭，6天把

草吃盡，同樣一片牧場，牛23頭，9天把草吃盡，如果有牛21頭，幾天能把草

吃盡？

摘錄條件：

27頭6天原有草+6天生長草

23頭9天原有草+9天生長草

21頭？天原有草+?天生長草

解答這類問題關(guān)鍵是要抓住牧場青草總量的變化。設(shè)1頭牛1天吃的草為〃1〃,

由條件可知，前后兩次青草的問題相差為23X9-27X6=45。為什么會多出這45

呢？這是第二次比第一次多的那（9-6）=3天生長出來的，所以每天生長的青

草為45?3二15

現(xiàn)從另一個角度去理解，這個牧場每天生長的青草正好可以滿足15頭牛

吃。由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出的15頭牛來吃當

天長出的青草，另一組來吃是原來牧場上的青草，那么在這批牛開始吃草之前,

牧場上有多少青草呢？

（27-15）X6=72

那么：第一次吃草量27X6=162第二次吃草量23X9=207

每天生長草量45?3=15

原有草量（27-15）X6=72或162-15X6=72

21頭牛分兩組，15頭云吃生長的草，其余6頭去吃原有的草那么72?6=121天）

例3.一水庫原有存水量一定，河水每天入庫。5臺抽水機連續(xù)20天拍干,

6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干，若要6天抽干，要多少臺同樣的抽水機?

摘錄條件:

5臺20天原有水+20天入庫量

6臺15天原有水+15天入庫量

?臺6天原有水+6天入庫量

設(shè)1臺1天抽水量為〃1〃，第一次總量為5X20二100,第二次總量為6X15=90

每天入庫量（100-90）+（20-15）=2

20天入庫2X20=40,原有水100-40=60

60+2X6=72724-6=12（臺）

三、鞏固訓(xùn)練

某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊了，每分鐘來的旅客一樣多，從開始檢票

到隊伍消失（還有人在接受檢票），若開5個檢票口，要30分鐘，開6個檢票

口，要20分鐘。如果要在10分鐘消失，要開多少個檢票口？

畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的

觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，

9點5分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間。

三、3、由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天勻速減少。經(jīng)過計算，牧場上狗草

可供20頭牛吃5天，或者供16頭牛吃6天，那么這片牧場上的草可供11頭牛

吃幾天？

四、4、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減

少。如果牧場上的草可供20頭牛吃5天，或者供15頭牛吃6天，那么可供多少

頭牛吃10天?

五、拓展提升

1.自動扶梯以均勻的速度由上往下行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，小明每

分鐘走20梯級，小燈每分鐘走14梯級，結(jié)果小明4分鐘到達樓上，小紅用5分鐘

到達樓上，求扶梯共有多少級？

2.兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸

牛一個白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，兩只蝸牛下滑

速度相同，結(jié)果一只蝸牛5晝夜到達井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是

多少？

（十八）3.有三塊草地，面積分別是5公頃，15公頃和24公頃。草地上的

草一樣厚而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天；第二塊草地可供

28頭牛吃45天。那么第三塊草地可供多少頭牛吃80天？

（十九）4.12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可

以吃完30公畝牧場上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧

草（每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等）？

（-+）流水行船

船在流水中航行的問題叫做行船問題。行船問題是行程問題中比較特殊的類

型，它除了具備行程問題中路程、速度和時間之間的基本數(shù)量關(guān)系，同時還涉及

到水流的問題，因船在江、河里航行時，除了它本身的前進速度外，還會受到流

水的順推或逆阻。

行船問題中常用的概念有：船速、水速、順水速度和逆水速度。船在靜水中

航行的速度叫船速；江河水流動的速度叫水速；船從上游向下游順水而行的速度

叫順水速度；船從下游往上游逆水而行的速度叫逆水速度。

除了行程問題中路程、速度和時間之間的基本數(shù)量關(guān)系在這里要反復(fù)用到外,

行船問題還有幾個基本公式要用到。

順水速度=船速+水速

逆水速度二船速一水速

如果已知順水速度和逆水速度，由和差問題的解題方法，我們可以求出船

速和水速。

船速二（順水速度-逆水速度）+2

水速二（順水速度一逆水速度）+2

一、例題與方法指導(dǎo)

例1.船在靜水中的速度為每小時13千米，水流的速度為每小時3千米，

船從甲港順流而下到達乙港用了15小時，從乙港返回甲港需要多少小時？

思路導(dǎo)航:

根據(jù)條件，用船在靜水中的速度+水速=順水速度，知道了順水速度和順水

時間，可以求出甲乙兩港之間的路程。因為返回時是逆水航行，用船在靜水中的

速度-水速二逆水速度，再用甲乙兩港之間的全長除以逆水速度即可求出乙港返

回甲港所需時間。

解：順水速度：13+3=16（千米/小時）

逆水速度：13-3=10（千米/小時）

全程：16X15=240（千米）

返回所需時間：2404-10=20（千米/小時）

答：從乙港返回甲港需要24小時。

例2.一艘小船往返丁一段長120T米的航道之間，上行時行了15小時，

下行時行了12小時，求船在靜水中航行的速度與水速各是多少？

思路導(dǎo)航:

求船在靜水中航行的速度是求船速，用路程除以上行的時間就是逆行

速度，路程除以下行時間就是順水速度。順水速度與逆水速度的和除以2就是船

速，順水速度與逆水速度的差除以2就是水速。

解：逆水速度：120肌15=8（千米/小時）

順水速度：120+12=10（千米/小時）

船速：（10+8）4-2=9（千米/小時）

水速：（10—8）4-2=1（千米/小時）

答：船在靜水中航行的速度是每小時9千米，水速是每小時1千米。

例3.甲、乙兩港相距200千米。一艘輪船從甲港順流而下10小時到達

乙港，已知船速是水速的9倍。這艘輪船從乙港返回甲港用多少個小時？

思路導(dǎo)航:

根據(jù)甲、乙兩港的距離和從甲港到乙港的時間可以求出順水速度是每小時

2004-10=20（千米/小時）,順水速度是船速與水速的和，已知船速是水速的9

倍，可以求出水速是20+（1+9）=2（千米/小時），船速為2X9=18（千米/小

時），逆水速度為18-2為6（千米/小時）

解：順水速度:2004-10=20（千米/小時）

水速：204-（1+9）=2（千米/小時）

船速:2X9=18（千米/小時）

逆水速度：18-2二16（千米/小時）

返回時間:2004-16=12.5（小時）

二、答：這艘輪船從乙港返回甲港用12.5個小時。

三、鞏固訓(xùn)練

1.A.B兩港間相距360千米，一艘輪船往返兩港需35小時，逆流航行

比順流航行多花了5小時。另有一艘機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這

艘機帆船往返兩港要多少小時？

（二十一）2.甲、乙兩只小船在靜水中速度分別為每小時?12千米和每小時16

T米，兩船同時從相距168T米的上、下游兩港同時出發(fā)相向而行，幾小時相

遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時乙船追上甲船？

（二十二）3.一艘輪船從上游的甲港到下游的乙港，兩港間的水路長72千

米。已知這艘船順水4小時能行48千米，逆水6小時能行48千米。開船時，一

個小朋友放了個木制玩具在水里，船到乙港時玩具離乙港還有多少千米？

（二十三）奇數(shù)與偶數(shù)

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的叫做奇數(shù)。奇數(shù)平常也叫做單數(shù)，偶

數(shù)也叫做雙數(shù)。0也是偶數(shù)。所以。一個整數(shù)不是奇數(shù)，就是偶數(shù)。

奇數(shù)和偶數(shù)的運算有如下一些性質(zhì)：

1.偶數(shù)土偶數(shù)二偶數(shù)；奇數(shù)土奇數(shù)二偶數(shù)；偶數(shù)土奇數(shù)二奇數(shù)。

2.奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)。

一、3.如果一個偶數(shù)能被奇數(shù)整除，那么，商必是偶數(shù)。偶數(shù)除以，如果能整

除，商可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。奇數(shù)不能被偶數(shù)整除。

二、4.偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1。

三、例題與方法指導(dǎo)

例1.用0?9這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它

們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？

思路導(dǎo)航：

有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果達

到全部要求。

這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的

和是奇數(shù)的要求。

要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在

十位上，即十位上放5,6,7,8,9,而個位上放0,1,2,3,4。根據(jù)奇數(shù)的

定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位

數(shù)。

要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個

數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個奇數(shù)。現(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1,3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)

的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要

使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和「位上的

一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交

換5與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4,6,7,8,9,

個位上的數(shù)碼是0,1,2,3,5,所求這五個數(shù)的和是(4+6+7+8+9)X10+

(0+1+2+3+5)=351o

例2.7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。

能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下?

思路導(dǎo)航：

盲目的試驗，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯

子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第

一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因為只能翻轉(zhuǎn)兩只

杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類

似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能

是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3.有m(m>2)只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的

(m-l)只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？

思路導(dǎo)航:

當m是奇數(shù)時，(m-1)是偶數(shù).由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子：那

么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上(下)的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始口

只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)(m-l)即偶數(shù)只

杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。

當m是偶數(shù)時，(mT)是奇數(shù)。為了直觀，我們先從"4的情形入手觀察,

在下表中用U表示杯口朝上，G表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動

的杯子用*號標記。翻轉(zhuǎn)情況如下：

初始狀態(tài)nnnn

第一次翻轉(zhuǎn)A*uuu

第二次翻轉(zhuǎn)Uu*nA

第三次翻轉(zhuǎn)nnn*u

笫四次翻轉(zhuǎn)uu