2024屆新高三開學摸底考試卷（天津專用）數學·參考答案一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）123456789DACCCCDDA二?填空題：（本題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分。）10、11、12、13、14、．15、．三、解答題（本題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟。）16．（15分）【詳解】（1）由及正弦定理，得，.......................2分因為，所以，且........................4分又，可得........................6分（2）因為，由余弦定理，得，......................8分即，解得(負值舍去)........................9分（3）由（1）及，，，得，.......................10分從而........................11分由（1）得........................13分，，所以........................15分（15分）【詳解】（1）證明：如圖，設與交于點，連接，∵四邊形為矩形，∴為的中點，又因為為的中點，........................2分∴，而平面，平面，∴平面；........................4分（2）解：因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，........................6分因為平面，所以，因為，........................7分所以，，兩兩垂直，所以如圖，分別以為坐標原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，根據題意，則有，，，，所以，，，........................8分假設平面的一個法向量為，則有，設直線與平面所成角的平面角為，則有．........................10分（3）解：假設存在點，滿足題意，且此時，即得，則有，，........................12分假設平面的一個法向量為，則有，又因為平面的一個法向量為，.......................13分根據題意，則有，解之可得，，.......................14分即得，即點為線段上靠近點的一個三等分點，坐標為．.......................15分（15分）【詳解】（1）由題意可得：，解得：，所以橢圓的方程為，則橢圓的右焦點為，.......................2分當直線的斜率等于時不符合題意；設直線斜率不為0時，直線方程為，，，由可得：，則，，，.......................4分所以，.......................6分所以四邊形的面積為，設，則，所以，因為，當且僅當即，時，最小值為，.......................8分所以，因為，可得所以四邊形（為坐標原點）的面積的最大值為；......................9分（2）因為，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：........................10分令可得：........................12分由（1）知：，，則所以，則直線過定點........................15分（15分）【詳解】（1）解：由及可知，數列是以為公比的等比數列，所以，，故，........................2分設等差數列的公差為，由，可得，，所以，.........................4分（2）解：，設數列的前項和為，，記，，所以，，........................6分，①，②①②可得........................8分，所以，，因此，.........................9分（3）證明：先證明柯西不等式，構造函數，顯然且，所以，，即，當且僅當時，等號成立，........................11分本題中，由（1）可得，所以，，且，........................12分所以，，，........................13分所以，，........................14分但不恒為常數，所以等號不成立，則.........................15分（15分）【詳解】（1），則，........................1分當即時，，在上單調遞減，........................2分當時即時，，令，得或；令，得；........................4分此時在和上單調遞減，在上單調遞增；........................5分（2）（?。?，據題意有，又，則且，........................7分所以，當且僅當，即，時取等號．........................8分（ii）要在點處的切線重合，首先需要在點處的切線的斜率相等，而時，，則必有，即，，處的切線方程是：，........................9分處的切線方程是：，即，........................10分據題意則，，........................1