第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年貴州省黔東南苗族侗族自治州高三模擬統測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.現有一組數據12，13，12，15，18，19，20，則這組數據的第40百分位數為(

)A.12 B.13 C.15 D.182.復數1|1+i|i的虛部為(

)A.?2 B.?22 3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a?b=|A.?34 B.?32 C.4.若f(x)是最小正周期為6π的偶函數，則f(x)的解析式可以為(

)A.f(x)=tanπ6 B.f(x)=sinx35.已知第一個正四棱臺的上底面邊長為22cm，下底面邊長為42cm，側棱長為4cmA.563cm3 B.566.在規定時間內，甲、乙、丙能完成某項學習任務的概率分別為0.5，0.6，0.5，且這三人是否能按時完成任務相互獨立.記甲、乙、丙三人中能按時完成這項學習任務的人數為X，則E(X)=(

)A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.87.若a=?log0.220，b=log624A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a8.設直線l1：xsinθ+ycosθ=sin(θ?π6)+1，l2：xcosθ?ysinθ=cos(θ?π6)+1.A.2 B.3+1 C.3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知集合A={x∈N|(x?2)(x?12)<0}，B={x|3<x<14}，C={x|x>4}，則(

)A.B∪C={x|x>3}

B.A∩B中元素的個數為8

C.B∩C是A的一個真子集

D.從A∪B中取3個不同的元素，這3個元素都是奇數的不同取法有20種10.已知點A(?1,0)，B(1,0)，M(0,?1)，N(0,1)，點P為曲線C：(x24+A.存在無數個點P，使得|PA|+|PB|為定值

B.存在無數個點P，使得|PM|+|PN|為定值

C.僅存在2個點P，使得|PA|+|PB|=|PM|+|PN|=4

D.僅存在4個點P，使得|PA|+|PB|=|PM|+|PN|=411.若存在點P，使得過點P可作曲線y=f(x)的兩條切線，切點為A和B，且∠APB是銳角，則f(x)可能為(

)A.f(x)=x+1x(x>0) B.f(x)=ex

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若x4+9y4=10，則x213.若函數f(x)滿足2f(x)+f(1?x)=x3+6x2?5x+214.在三棱錐P?ABC中，O為△ABC的外心，PO⊥底面ABC，PO=3，∠ACB=5π6，且AB=2，則三棱錐P?ABC外接球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知拋物線C：y=23(x2?9)經過雙曲線D：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦點，且D的離心率為316.(本小題12分)

如圖，CD⊥平面ABC，AC⊥BC，點D，E位于平面ABC的兩側，B，C，D，E四點共面，且BC=CD=2，AC=3，BE=CE=10．

(1)證明：BC⊥平面ACD．

(2)過點E作平面ABC的垂線，指出垂足H的位置，并說明理由．

(3)求平面ABD與平面ABE夾角的余弦值．17.(本小題12分)

已知數列{an}滿足an+1=3an?2n?2n+3n(n+1)+4，且a2=232.設bn=an18.(本小題12分)

若函數f(x)的導函數f′(x)滿足f(x)+x(x+1)f′(x)>0對x∈(12,+∞)恒成立，則稱f(x)為T函數．

(1)試問g(x)=lnx是否為T函數？說明你的理由．

(2)若f(x)=x2?ax19.(本小題12分)

現有2n(n∈N?)位編號為1到2n的玩家，房間里有2n個盒子(盒子的編號為1到2n)，將2n張編號為1到2n的紙條隨機放入這2n個盒子內(每個盒子內只放1張紙條).玩家依次進入房間，且每人可以打開其中的任意n個盒子，只有當每個玩家都找到與自己編號相同的紙條時，才算挑戰成功.每個玩家開完盒子后都將盒子蓋上(紙條放回原處)，恢復盒子的原狀.設各玩家開盒相互獨立，在挑戰開始后，各玩家不準交流．

為了提升挑戰成功的概率，有人設計了一個新方案：讓每一位玩家進入房間后，先打開編號為自己編號的盒子(例如編號為2的玩家打開編號為2的盒子)，若盒子里的紙條編號恰為玩家自己的編號，則該玩家退出房間，讓下一位玩家進入房間；若盒子里的紙條編號(設該編號為X)不是該玩家自己的編號，則該玩家接著去打開編號為X的盒子，依此類推，直到打開的盒子里的紙條編號與自己的編號相同，且前提是打開盒子的個數不能超過n．

(1)當n=3時，設第m(m=1,2,3,4,5,6)個盒子內放的紙條編號為7?m，試問采用新方案后，挑戰是否能成功？說明你的理由．

(2)當n=3時，在第1個和第6個盒子內放的紙條編號分別為6和1的前提下，求采用新方案挑戰成功的概率．

(3)當n=50時，求采用新方案挑戰成功的概率．

參考數據：i=2501i答案解析1.【答案】B

【解析】解：將數據12，13，12，15，18，19，20從小到大排列為：

12，12，13，15，18，19，20，

由7×40%=2.8，得這組數據的第40百分位數為第三個數，等于13．

故選：B．

根據百分位數的定義求解即可．

本題考查百分位數的求法，是基礎題．2.【答案】B

【解析】解：∵|1+i|=2，

∴1|1+i|i=12i=?223.【答案】A

【解析】解：根據題意，向量a=(2,1)，b=(1,x)，

若a?b=|b|，則有2+x=1+x2，

變形可得：4+4x=1，

4.【答案】D

【解析】解：函數f(x)=tanπ6為常函數，故A錯誤；

由f(x)=sinx3，得f(?x)=sin?x3=?sinx3=?f(x)，函數為奇函數，故B錯誤；

由周期公式可知：g(x)=tanx3的最小正周期為：π13=3π，

則f(x+3π)=|tanx+3π35.【答案】C

【解析】解：∵第一個正四棱臺的上底面邊長為22cm，下底面邊長為42cm，

∴第一個正四棱臺的上、下底面對角線長分別為4cm，8cm，

又側棱長為4cm，

∴第一個正四棱臺的高?=42?22=23cm，6.【答案】B

【解析】解：根據題意，記甲、乙、丙三人中能按時完成這項學習任務的人數為X，

則X的取值為0，1，2，3，

且甲、乙、丙能完成某項學習任務的概率分別為0.5，0.6，0.5，

則P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1；

P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5=0.1+0.15+0.1=0.35；

P(X=2)=0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.15+0.1+0.15=0.4；

P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15；

則E(X)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．

故選：B．

根據題意X的取值為0，1，2，3，再利用相互獨立事件概率乘法公式以及數學期望相關知識可解．

本題考查相互獨立事件概率乘法公式以及數學期望相關知識，屬于中檔題．7.【答案】A

【解析】解：由b=log6(4×6)=2log62+1，c=log3(4×3)=2log32+1，

a=?log0.220=?log18.【答案】B

【解析】解：由l1：xsinθ+ycosθ=sin(θ?π6)+1，

得xsinθ+ycosθ=32sinθ?12cosθ+1，

由l2：xcosθ?ysinθ=cos(θ?π6)+1，

得xcosθ?ysinθ=32cosθ+12sinθ+1，

設Q(m,n)，則點Q到直線l1的距離為d1=|msinθ+ncosθ?32sinθ+12cosθ?1|sin2θ+cos2θ，

點Q到直線I2的距離為d1=|mcosθ?nsinθ?32cosθ?12sinθ?1|9.【答案】ABD

【解析】解：A={x∈N|2<x<12}={3,4,5,6,7,8,9,10,11}，B={x|3<x<14}，C={x|x>4}，

∴B∪C={x|x>3}，A正確；

A∩B={4,5,6,7,8,9,10,11}，A∩B的元素個數為8，B正確；

B∩C={x|4<x<14}，顯然B∩C不是A的真子集，C錯誤；

A∪B={x|3≤x<14}，A∪B中的奇數為：3，5，7，9，11，13，共6個，從A∪B中任取3個元素，這3個元素都是奇數的取法為：C63=6×5×43×2×1=20，D正確．

故選：ABD．

可求出集合A，進行并集的運算可判斷A的正誤；

進行交集的運算可判斷B的正誤；

進行交集的運算求出B∩C，然后可判斷C的正誤；

求出A∪B，然后可得出10.【答案】ABD

【解析】解：因為點P為曲線C：(x24+y23?1)(x23+y24?1)=0上一點，

所以點P為曲線x24+y23=1或曲線x23+y24=1上一點，

當點P為曲線x23+y24=1上一點，長軸2a=4，

焦點為M(0,?1)，N(0,1)，存在無數個點P，使得|PM|+|PN|=4，B選項正確；

當點P為曲線x24+y23=1上一點，長軸2a=4，

焦點為A(?1,0)，B(1,0)，存在無數個點11.【答案】AC

【解析】解：由f(x)=x+1x(x>0)是對勾函數，它的一條漸近線為y軸，還有一條是直線y=x，

可得∠APB可以取到銳角，故A正確；

由y=ex是指數函數，由y′=ex>0，即切線的斜率都大于0，

可設切點A在切點B的下方，可得切線AP和BP的傾斜角均為銳角，

且AP的傾斜角比BP的傾斜角小，

由直線的到角公式：tanθ=k2?k11+k1k2，且k2<k1，可得tanθ<0，

可知，∠APB只能是鈍角，故B錯誤；

由f(x)=sinx(0≤x≤2π)是正弦函數的圖像，

讓一個切點在(0,π)上，另一個在(π,2π)上，使得∠APB為銳角，故C正確；

由f(x)=sinx(0≤x≤π)，可得f′(x)=cosx，

曲線在x=012.【答案】53

【解析】解：因為10=x4+9y4=≥29x4y4=6x2y2，當且僅當x13.【答案】2

【解析】解：若函數f(x)滿足2f(x)+f(1?x)=x3+6x2?5x+2，

令x=1，得2f(1)+f(0)=4，

令x=0，得2f(0)+f(1)=2，

兩式聯立，解得f(1)=2．

故答案為：2．

分別令x=0，x=1，得到14.【答案】169π9【解析】解：如圖，

在△ABC中，由∠ACB=5π6，且AB=2，

得△ABC外接圓的半徑r=AB2sin5π6=22×12=2，

設三棱錐P?ABC外接球的球心為G，則G在PO上，

再設三棱錐P?ABC外接球的半徑為R，可得(PO?R)2+r2=R2，

15.【答案】x27?y22【解析】解：(1)拋物線C：y=23(x2?9)經過雙曲線D：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦點，

可得焦點坐標(±3,0)，所以c=3，D的離心率為377．

可得a=7，所以b=2，所以雙曲線方程為：x27?y2216.【答案】證明見解析；

垂足H為BC的中點，理由見解析；

577【解析】解：(1)證明：因為CD⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以CD⊥BC，

又AC⊥BC，且AC∩CD=C，AC，CD?平面ACD，

所以BC⊥平面ACD；

(2)垂足H為BC的中點，理由如下；

取BC中點H，連接EH，因為BE=CE，所以EH⊥BC，

又與(1)同理可證：AC⊥平面BCD，

因為B，C，D，E四點共面，所以EH?平面BCD，所以AC⊥EH，

又AC∩BC=C，AC，BC?平面ABC，

所以EH⊥平面ABC，

所以H為BC的中點；

(3)因為BE=CE=10，BC=2，所以EH=3，

以C為坐標原點，CA，CB，CD所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則A(3,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2)，E(0,1,?3)，

則AB=(?3,2,0)，BE=(0,?1,?3)，BD=(0,?2,2)，

設平面ABD的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥ABn⊥BD?n?AB=0n?BD=0?(x,y,z)?(?3,2,0)=0(x,y,z)?(0,?2,2)=0??3x+2y=0?2y+2z=0，

令y=3，則n=(2,3,3)，

設平面ARE的法向量為m=(x′,y′,z′)，

則m⊥ABm⊥BE?m?AB=0m?BE=0?17.【答案】a1=4；

證明見解答；bn=3【解析】解：(1)因為an+1=3an?2n?2n+3n(n+1)+4，且a2=232，

令n=1，可得a2=3a1?2?52+4=232，解得a1=4；

(2)證明：因為an+1=3an?2n?2n+3n(n+1)+4，bn=an?2n?1n，

所以an+1?2n+1?1n+1+2=3(an?2n?1n+2)，

所以bn+1+2=3(bn+2)，又b1+2=(a1?2?1)+2=4?2?1+2=3，18.【答案】g(x)=lnx為T函數，理由見解析；

(?∞,45【解析】解：(1)g(x)=lnx為T函數，理由如下：

g′(x)=1x，則?(x)=g(x)+x(x+1)g′(x)=lnx+x+1，

易知函數?(x)在(12,+∞)上為增函數，

所以?(x)>?(12)=32?ln2>32?lne=12>0，

所以?(x)>0對x∈(12,+∞)恒成立，故g(x)=lnx為T函數．

(2)由f(x)=x2?ax，則f′(x)=2x?a，

因為f(x)=x2?ax為T函數，

所以x2?ax+x(x+1)(2x?a)>0對x∈(12,+∞)恒成立，

即2x3+3x2?ax2?2ax>0對x∈(12,+∞)恒成立，

設p(x)=2x3+3x2?ax2?2ax，x∈(12,+∞)，

則p′(x)=6x2+6x?2ax?2a=2(x+1)(3x?a)，

當a3>12，即a>32時，令19.【答案】采用新方案后，挑戰能成功，理由見解答．

34．

0.311．【解析】解：(1)編號為1的玩家先打開編號為1的盒子，該盒子內紙條編號為7?1=6，

該玩家接著去打開編號為6的盒子，該盒子內紙條的編號為7?6=1，因為2<3，所以玩家1可以挑戰成功；

編號為2的玩家先打開編號為2的盒子，該盒子內紙條編號為7?2=5，

該玩家接著去打開編號為5的盒子，該盒子內紙條的編號為7?5=2，因為2<3，所以玩家2可以挑戰成功；

編號為3的玩家先打開編號為3的盒子，該盒子內紙條編號為7?3=4，