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文檔簡介

第=page11頁,共=sectionpages11頁湖北省武漢市華大新高考聯盟2025年高考數學模擬試卷(3月份)一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?3,?2,0,2},B={x|?1<x<4},則A∩B的子集個數為(

)A.2 B.4 C.8 D.162.(1?5i)(4+3i)在復平面內所對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知某機械在生產正常的情況下,生產出的產品的指標參數符合正態分布N(100,16).現從該機械生產出的所有產品中隨機抽取2件,則這2件產品的質量指標分別在(96,112)和(92,108)的概率為(運算結果保留小數點后兩位)(

)

參考數據:若X服從正態分布(μ,σ2),則P(μ?σ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545,P(μ?3σ<X<μ+3σ)=0.9973A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.844.已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中acosB+bcosA=3ctanC,若c=10,則△ABC外接圓的面積為(

)A.16π B.25π C.36π D.49π5.如圖,已知在四面體ABCD中,△BCD為等邊三角形,AB=3,△BCD的面積為3,點A在平面BCD上的投影為點B,點M,N分別為AC,CD的中點,則(

)A.MN與BD相交

B.MN與AD異面

C.BM⊥AN

D.DM⊥BN6.進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統,約定滿十進一就是十進制,滿八進一就是八進制,即“滿幾進一”就是幾進制,不同進制的數可以相互轉換,如十進制下,159=2×82+3×8+7,用八進制表示159這個數就是237.現用八進制表示十進制的719A.3 B.4 C.5 D.77.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為4,側棱長為2,點M在平面B1BCC1上(A.3?2 B.23?8.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且|PF1|>|PFA.y=±x B.y=±2x C.y=±二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,其中A(π6,0),B(2π3A.f(x)的最小正周期為π

B.f(0)≠f(11π6)

C.f(x)在[π,3π2]上單調遞減

D.10.已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)A.y=|f(x)|的圖象關于直線x=2對稱 B.g(0)=0

C.ab<0 D.f(0)+f(4)=611.19世紀俄國數學家切比雪夫在研究統計的規律中,用標準差表達并論證了一個不等式,該不等式被稱為切比雪夫不等式,它可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下,對事件|X?μ|<?做出估計.切比雪夫不等式定義為:若隨機變量X具有數學期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對任意正數?,不等式P(|X?μ|<ε)≥1?σ2?作物類別數量作物平均高度/cm作物高度的方差雄性作物5030256雌性作物5020361由本次的試種可知,該新型作物的高度受到環境、肥料等一系列因素的影響,每株作物成長到達標高度的概率為0.6,則下列說法正確的是(

)A.本次種植實驗中被調研的所有作物的高度的平均值為25

B.本次種植實驗中被調研的所有作物的高度的方差為313.5

C.為了保證下一次種植實驗中至少有90%的作物的高度達到預定達標高度的頻率大于0.3且小于0.9,則根據切比雪夫不等式可以估計下一次最少種植27株

D.經過幾次實驗之后,作物最終成長的高度到達24cm及以上的頻率為0.8,若種植20000株此類作物,則作物存活16000株的概率最大三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知O為坐標原點,拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M(2,y0)在拋物線C上,則13.已知在梯形ABCD中BC=2AD,若M為CD邊上靠近C的三等分點,且BM=xAB+yAD14.已知m=99?912個9,n=66?6四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為了了解某地25~40歲居民的工資情況,研究人員隨機抽取了部分居民進行調查,所得數據統計如下表所示:工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180女性居民280240合計(1)完善上述表格并依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認為工資的多少與居民的性別具有相關性?

(2)以頻率估計概率,若在該地所有居民中隨機抽取3人,求至少2人工資超過3500的概率.

附:χ2P(0.050.010.001k3.8416.63510.82816.(本小題15分)

已知數列{an}的首項為2,前n項和為Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)求滿足an>3n+517.(本小題15分)

已知函數f(x)的導函數為f′(x),若f′(x)在區間D上單調遞增,則稱f(x)為區間D上的凹函數;若f′(x)在區間D上單調遞減,則稱f(x)為區間D上的凸函數.已知函數f(x)=xex+λln(x+1).

(1)若f(x)在[2,3]上為凹函數,求實數λ的取值范圍;

(2)已知F(x)=f(x?1),且F(x)在(1,+∞)18.(本小題17分)

已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(?1,32),(12,?154),過點A(1,0)的直線l與C交于M(x1,y1),N(x2,y2)19.(本小題17分)

已知四棱錐S?ABCD的底面ABCD為平行四邊形,SA=AB=SB,SB⊥AC,∠ABC=60°,BC=2,AB=1.

(1)求三棱錐S?ABC外接球的表面積.

(2)設T為線段SD上的點.

(i)若ST=13SD,求直線AC與平面BTC所成角的正弦值.

(ii)平面α過點B,T,且AC/?/平面α,探究:是否存在點T,使得平面SAD與平面α之間所成角的正切值為34,若存在,求出ST答案解析1.【答案】B

【解析】解:由題意,可得A∩B={0,2},

則A∩B子集的個數為22=4個.

故選:B.

直接求得交集,進而可確定其子集的個數.2.【答案】D

【解析】解:由題意,(1?5i)(4+3i)=19?17i,

在復平面內所對應的點為(19,?17),位于第四象限.

故選:D.

由復數的乘法運算,整理其為標準式,結合復數的幾何意義,可得答案.

本題考查復數的幾何意義,屬于基礎題.3.【答案】C

【解析】解:由題意得P(96<X<112)=P(μ?σ<X<μ+3σ)=0.84,

且P(92<X<108)=P(μ?2σ<X<μ+2σ)=0.9545,

所以P=0.84×0.9545≈0.80.

故選:C.

由正態分布概率計算及相互獨立事件的概率計算公式求解.

本題考查正態分布的性質以及相互獨立事件概率的計算方法,屬于基礎題.4.【答案】B

【解析】解:由余弦定理得acosB+bcosA=a?a2+c2?b22ac+b?b2+c2?a22bc=c,

結合acosB+bcosA=3ctanC,可得c=3ctanC,所以tanC=13.

根據sin2C+cos2C=1tanC=sinCcosC=13,結合C∈(0,π),解得sinC=5.【答案】C

【解析】解:MN與BD異面,故A錯誤;

MN/?/AD,故B錯誤;

以N為坐標原點,ND,NB所在的直線分別為x,y軸,過點N與AB平行的直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系,

因為△BCD為等邊三角形,所以面積為12CD×32CD=3,所以CD=2,

BN=32CD=3,ND=1,

則N(0,0,0),B(0,3,0),D(1,0,0),C(?1,0,0),A(0,3,3),所以M(?12,32,32),

6.【答案】D

【解析】解:因為159=2×82+3×8+7,用八進制表示159這個數就是237,

所以719=(8?1)19=819?C191×818+C1927.【答案】D

【解析】解:由題意知,點M在以線段A1B為直徑的球與平面B1BCC1的交線上,

如圖,取A1B的中點D,過點D作DE⊥平面B1BCC1,垂足為E,

∵正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為4,

∴A1到平面B1BCC1的距離為23,則DE=3,

又側棱長為8.【答案】B

【解析】解:設P(xp,yp),依題意可設PQ+3OQ=λF1F2,所以a?yp+3a=0,則yp=4a,

故SΔPF1F2=12×2c×4a=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)a,又|PF1|?|PF2|=2a,

9.【答案】AD

【解析】解:根據函數的圖象,可得周期T滿足|AB|=T2=2π3?π6=π2,解得T=π,A正確;

由T=2πω=π,得ω=2,故f(x)=2cos(2x+φ),

由“五點作圖法”得:2×π6+φ=π2,解得φ=π6,

故f(x)=2cos(2x+π6)?f(0)=2cosπ6=3,f(11π6)=2cos23π6=2cos(4π?π6)=2cosπ6=f(0),B錯誤;

當x∈[π,3π2]時,2x+π6∈[13π6,19π6],故10.【答案】BCD

【解析】解:A選項,令f(x)=(x?2)3+3,則g(x)=|f(x+2)?3|=|x3|,滿足g(x)為偶函數,

但y=|f(x)|的圖象如下,不關于直線x=2對稱,A錯誤;

BD選項,g(x)=|f(x+2)?3|為偶函數,故q(x)=f(x+2)?3為奇函數,

即q(?x)=?q(x),即f(?x+2)?3=?f(x+2)+3,

故f(?x+2)+f(x+2)=6,故點(2,3)為曲線y=f(x)的對稱中心,

故f(2)=3,則g(0)=|f(2)?3|=0,f(0)+f(4)=2f(2)=6,故B,D正確;

C選項,由題意得f′(x)=3ax2+2bx+c,令?(x)=f′(x),則?′(x)=6ax+2b,

由于曲線y=f(x)的對稱中心為(2,3),

結合三次函數的圖象特征可知,?′(2)=12a+2b=0,則b=?6a,又a≠0,故ab<0,故C正確.

故選:BCD.

A選項,舉出例子f(x)=(x?2)3+3,畫出y=|f(x)|的圖象,得到其不關于直線x=2對稱;BD選項,q(x)=f(x+2)?3為奇函數,得到g(0)=0,f(0)+f(4)=2f(2)=6,BD正確;C11.【答案】ACD

【解析】解:所有作物的高度的平均值為1100×(50×30+50×20)=25,故A正確;

所有作物的高度的方差為1100×{50×[256+(30?25)2]+50×[361+(20?25)2]}=333.5,故B錯誤;

設作物高度達到預定達標高度的數量為X,依題意知X~B(n,0.6),

則E(X)=0.6n,D(X)=n×0.6×(1?0.6)=0.24n,

若0.3n<X<0.9n,則?0.3n<X?0.6n<0.3n,

由切比雪夫不等式可得P(|X?μ|<ε)=P(|X?0.6n|<0.3n)≥1?σ2?2=1?0.24n(0.3n)2≥0.9,又n>0,

解得n≥803,即最少種植27株,故C正確;

設存活m株的概率最大,X~B(20000,0.8),

則P(X=m)=c20000m×0.8m×0.220000?m=20000!(20000?m)!m!×0.8m×0.220000?m,

12.【答案】2【解析】解:拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M(2,y0)在拋物線C上,可得y0=±4,

|MO|=22+(±4)213.【答案】43【解析】解:如圖所示:

因為在梯形ABCD中,BC=2AD,

若M為CD邊上靠近C的三等分點,

所以CM=13CD=13(CB+BA+AD)

=13(?2AD?AB+AD)=?114.【答案】3333

【解析】解:用(x,y)表示正整數x,y的最大公約數,

則(99?912個,66?68個6)=(99?912個,33?38個3)=3(33?31215.【答案】列表見解析,不能;

18563375.【解析】解:(1)完善表格如下表所示:工資超過3500工資不超過3500合計男性居民200180380女性居民280240520合計480420900零假設:依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,不能認為工資的多少與居民的性別具有相關性,

則χ2=900×(200×240?180×280)2380×520×480×420≈0.13<3.841,

故依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,假設成立,不能認為工資的多少與居民的性別具有相關性;

(2)記至少2人工資超過3500為事件A,

則P(A)=C316.【答案】an=32n2?72【解析】解:(1)數列{an}的首項為2,前n項和為Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn,

可得Sn+1?Sn=an+3n?2,即有an+1?an=3n?2,

則n≥2時,an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+...+(an?an?1)=2+1+4+...+(3n?5)=2+12(n?1)(1+3n?5)=32n2?72n+4,

上式對n=1也成立,

17.【答案】(?∞,0];

(?1,0).

【解析】解:(1)f′(x)=1?xex+λx+1=m(x),

則m′(x)=x?2ex?λ(x+1)2,

依題意知,m′(x)≥0對任意的x∈[2,3]恒成立,則(x+1)2(x?2)ex≥λ恒成立,

令n(x)=(x+1)2(x?2)ex=x3?3x?2ex,x∈[2,3],

則n′(x)=1ex(?x3+3x2+3x?1)=x+1ex(?x2+4x?1)>0,

故n(x)在[2,3]上單調遞增,故n(2)=0≥λ,

則實數λ的取值范圍為(?∞,0];

(2)依題意得,F(x)=f(x?1)=x?1ex?1+λlnx,

若λ≥0,當x>1時,x?1ex?1>0,lnx>0,

所以F(x)>0,F(x)在(1,+∞)上無零點,舍去;

若λ<0,則F′(x)=λex?1?x2+2xxex?1,令g(x)=λex?1?x2+2x,

則g′(x)=λex?1?2(x?1)<0,則g(x)在(1,+∞)上單調遞減,且g(1)=λ+1,

①若λ+1>0,即?1<λ<0,此時g(2)=λe<0,

則存在m∈(1,2),使得g(m)=0,即F′(m)=0,

故F(x)18.【答案】x24+y2=1;

【解析】解:(1)因為橢圓C過點(?1,32),(12,?154),則1a2+34b2=114a2+1516b2=1,

解得a2=4b2=1,所以橢圓C的方程為x24+y2=1.

(2)直線l的斜率為12,則直線l的方程為y=12(x?1),

聯立x24+y2=1y=12(x?1),消去y并整理得2x2?2x?3=0,

故x1+x2=1,x1x2=?32,

故|MN|=1+k2|x1?x2|=1+k2?(x1+x2)2?4x1x2=1+14?1+6=352.

(3)因為四邊形MAPM′為等腰梯形,則必有∠NAP=∠NPA,即|NA|=|NP|.

不妨設點P的坐標為

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