函數的最大值和最小值教學設計——范永祥?一、教學目標

1.知識與技能目標理解函數最大值和最小值的概念，能借助函數圖象直觀地理解函數最大值和最小值的意義。會求一些簡單函數在給定區間上的最大值和最小值。掌握求函數最值的一般方法，如配方法、單調性法、圖象法等。

2.過程與方法目標通過對函數最大值和最小值概念的探究，培養學生觀察、分析、歸納的能力，體會從特殊到一般的數學思維方法。在求函數最值的過程中，讓學生經歷自主探究、合作交流的過程，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，增強學生的數學應用意識。

3.情感態度與價值觀目標通過對函數最值問題的研究，激發學生學習數學的興趣，培養學生勇于探索、敢于創新的精神。讓學生體會數學的嚴謹性和科學性，感受數學的美感，增強學生學習數學的自信心。

二、教學重難點

1.教學重點函數最大值和最小值的概念。求函數在給定區間上最大值和最小值的方法。

2.教學難點理解函數最大值和最小值概念中的"任意"與"存在"的含義。靈活運用各種方法求函數在不同區間上的最值。

三、教學方法

講授法、討論法、探究法相結合

四、教學過程

1.創設情境，引入新課展示一些實際生活中的例子，如生產利潤問題、用料最省問題等，引導學生思考如何在這些問題中找到最優解，從而引出函數的最大值和最小值問題。例如：某工廠生產某種產品，每天的生產成本\(C\)（單位：元）與產量\(x\)（單位：噸）之間的函數關系式為\(C=10000+200x+\frac{1}{2}x^2\)，已知每噸產品的售價為\(2600\)元，且每天生產的產品能全部售出，那么每天生產多少噸產品時，工廠的利潤最大？最大利潤是多少？

2.探究函數最大值和最小值的概念讓學生觀察函數\(y=x^2\)的圖象，思考以下問題：當\(x\)在實數范圍內變化時，函數值\(y\)有什么變化趨勢？函數值\(y\)是否存在最大值或最小值？如果存在，最大值和最小值分別是多少？在什么位置取得？引導學生總結出函數最大值和最小值的概念：一般地，設函數\(y=f(x)\)的定義域為\(I\)，如果存在實數\(M\)滿足：對于任意的\(x\inI\)，都有\(f(x)\leqM\)；存在\(x_0\inI\)，使得\(f(x_0)=M\)。那么，稱\(M\)是函數\(y=f(x)\)的最大值。一般地，設函數\(y=f(x)\)的定義域為\(I\)，如果存在實數\(m\)滿足：對于任意的\(x\inI\)，都有\(f(x)\geqm\)；存在\(x_0\inI\)，使得\(f(x_0)=m\)。那么，稱\(m\)是函數\(y=f(x)\)的最小值。通過具體例子，進一步強調概念中的"任意"與"存在"的含義，幫助學生理解。例如：函數\(y=x^2+2x+3\)，\(x\in[0,3]\)。對于任意的\(x\in[0,3]\)，都有\(y=x^2+2x+3=(x1)^2+4\leq4\)。當\(x=1\)時，\(y=4\)，所以\(y=x^2+2x+3\)在\([0,3]\)上的最大值是\(4\)。對于任意的\(x\in[0,3]\)，都有\(y=x^2+2x+3\geq0\)。當\(x=3\)時，\(y=0\)，所以\(y=x^2+2x+3\)在\([0,3]\)上的最小值是\(0\)。

3.求函數最大值和最小值的方法配方法講解配方法的原理，通過配方將二次函數化為頂點式\(y=a(xh)^2+k\)（\(a\neq0\)），從而確定函數的最值。以函數\(y=2x^24x+3\)為例，進行配方：\(y=2x^24x+3=2(x^22x)+3=2(x^22x+11)+3=2[(x1)^21]+3=2(x1)^2+1\)因為\(a=2>0\)，所以函數圖象開口向上，當\(x=1\)時，函數取得最小值\(y_{min}=1\)。讓學生練習用配方法求函數\(y=x^2+6x5\)在區間\([1,4]\)上的最值。單調性法回顧函數單調性的概念和判斷方法，引導學生思考如何利用函數的單調性求最值。以函數\(y=x+\frac{1}{x}\)，\(x\in(0,+\infty)\)為例，分析其單調性：對函數求導得\(y^\prime=1\frac{1}{x^2}\)。令\(y^\prime>0\)，即\(1\frac{1}{x^2}>0\)，解得\(x>1\)。令\(y^\prime<0\)，即\(1\frac{1}{x^2}<0\)，解得\(0<x<1\)。所以函數\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上單調遞減，在\((1,+\infty)\)上單調遞增。那么當\(x=1\)時，函數取得最小值\(y_{min}=1+1=2\)。讓學生練習用單調性法求函數\(y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}\)，\(x\in[1,2]\)的最值。圖象法強調通過作出函數的圖象，直觀地觀察函數的最值情況。以函數\(y=|x1|+|x+2|\)為例，分情況討論去掉絕對值符號，作出函數圖象：當\(x\leq2\)時，\(y=(x1)(x+2)=2x1\)。當\(2<x<1\)時，\(y=(x1)+(x+2)=3\)。當\(x\geq1\)時，\(y=(x1)+(x+2)=2x+1\)。作出函數圖象后，從圖象上可以看出，函數的最小值是\(3\)。讓學生練習用圖象法求函數\(y=\sqrt{x^22x+5}+\sqrt{x^24x+8}\)的最小值。

4.例題講解例1：求函數\(y=x^33x^29x+5\)在區間\([2,2]\)上的最大值和最小值。解：對函數求導得\(y^\prime=3x^26x9=3(x^22x3)=3(x3)(x+1)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)（\(3\)不在區間\([2,2]\)內，舍去）。當\(x\in[2,1)\)時，\(y^\prime>0\)，函數單調遞增。當\(x\in(1,2]\)時，\(y^\prime<0\)，函數單調遞減。計算函數在區間端點和極值點處的函數值：\(f(2)=(2)^33\times(2)^29\times(2)+5=812+18+5=3\)。\(f(1)=(1)^33\times(1)^29\times(1)+5=13+9+5=10\)。\(f(2)=2^33\times2^29\times2+5=81218+5=17\)。所以函數在區間\([2,2]\)上的最大值是\(10\)，最小值是\(17\)。例2：已知函數\(y=\frac{ax+b}{x^2+1}\)的最大值為\(4\)，最小值為\(1\)，求實數\(a\)，\(b\)的值。解：設\(y=\frac{ax+b}{x^2+1}\)，則\(yx^2ax+yb=0\)。因為\(x\inR\)，所以關于\(x\)的一元二次方程有實數解，即判別式\(\Delta=(a)^24y(yb)\geq0\)。整理得\(4y^24bya^2\leq0\)。已知函數的最大值為\(4\)，最小值為\(1\)，所以\(1\)，\(4\)是方程\(4y^24bya^2=0\)的兩根。根據韋達定理可得：\(\begin{cases}1+4=b\\1\times4=\frac{a^2}{4}\end{cases}\)。解得\(\begin{cases}b=3\\a^2=16\end{cases}\)，即\(\begin{cases}a=\pm4\\b=3\end{cases}\)。

5.課堂練習求函數\(y=x^22x+3\)在區間\([0,3]\)上的最大值和最小值。求函數\(y=\frac{1}{x^2+2x+2}\)在區間\([2,2]\)上的最大值和最小值。已知函數\(y=\frac{2x^2+ax+4}{x^2+1}\)的值域為\([1,4]\)，求實數\(a\)的值。

6.課堂小結引導學生回顧函數最大值和最小值的概念，強調概念中的關鍵要素。總結求函數最大值和最小值的方法，如配方法、單調性法、圖象法等，并讓學生體會各種方法的適用范圍和特點。鼓勵學生在課后繼續思考函數最值問題在實際生活中的應用，進一步加深對函數最值概念的理解。

7.布置作業必做題：教材課后習題中與函數最大值和最小值相關的題目。選做題：已知函數\(y=\sqrt{x^24mx+4m^2+m+\frac{1}{m1}}\)（\(m>1\)），求函數\(y\)的最小值。

五、教學反思

在本節課的教學中，通過創設情境引入新課，激發了學生的學習興趣，讓學生感受到函數最值問題在實際生活中的廣泛應用。在探究函數最大值和最小值的概念時，引導學生通過觀察函數圖象，逐步理解概念中的"任意"與"存在"的含義，較好地突破了教學難點。在求函數最值的方法講解中，注重結合具體例子，讓學生掌握配方法、單調性法、圖象法等常見方法，