第八章

立體幾何初步

8.4空間點、直線、平面之間的位置關系8.4.1平面新課引入一、平面的含義及特征

在初中,由現實事物直觀感覺抽象得到了點和直線,那下圖中的桌面、黑板面、平靜的水面給我們以什么樣的直觀感覺？幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.平面的特征：①平；②無厚薄；③無限延展；④沒質量.新知講解—平面及其性質用畫出的平面的一部分表示平面.二、平面的畫法及其表示畫法我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面圖示?

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?表示當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向

典例分析—表面積相交平面的畫法

典例分析—平面的概念辨析例1.(多選)下列說法正確的是()A.平面是處處平的面

B.平面是無限延展的C.平面的形狀是平行四邊形

D.一個平面的厚度可以是0.001cmE.任何一個平面圖形都是一個平面

F.一個平面可以將空間分成兩部分

新知講解—平面的基本性質思考我們知道，兩天可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面呢？①自行車用一個腳架和兩個車輪可以“停穩”；②三腳架三角著地可以支撐相機；③四方凳子可以放在地面上不“翹腳”.這些現象說明了什么？新知講解—平面的基本性質

不共線的三點確定一個平面（1）圖形語言

（2）符號語言

基本事實1

過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.（3）應用確定平面；判定兩平面是否重合；證明點線共面.(1)“不在一條直線上”條件不能省略；對基本事實①的理解(2)“有”指存在性，“只有”指唯一性.新知講解—平面的基本性質思考

一根直尺（1）將直尺邊緣上的一個端點放在桌面上；（2）將直尺邊緣上的任意兩點放到桌面上.兩種情況下直尺是否落在桌面上？新知講解—平面的基本性質

（1）圖形語言

（2）符號語言

基本事實2

如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.（3）應用判斷直線是否在平面內；判斷點是否在平面內.用直線的“直”刻畫平面的“平”,用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”.對基本事實②的理解新知講解—平面的基本性質基本事實1，2的三個推論推論自然語言圖形語言符號語言推論1經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面新知講解—平面的基本性質思考

三角尺所在平面無限延展，“穿過”課桌面。會和課桌面有一條過交點的交線.新知講解—平面的基本性質

（1）圖形語言基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.（2）符號語言

（3）應用①判斷點、直線與平面的位置關系；②作截面的依據.①若兩個相交平面有兩個公共點，則過這兩點的直線就是相交平面的交線；②若兩個相交平面有三個公共點，則這三點共線；③若兩個平面相交，則一個平面內的直線與另一平面的交點比在兩平面的交線上；④若兩個不重合的平面有一個公共點，則這兩個平面相交.對基本事實③的理解概念辨析

（E）四邊形可以確定一個平面;（F）經過兩兩相交的三條直線確定一個平面.概念辨析

典例分析

法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α，同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α，∴直線l1，l2，l3在同一平面內.典例分析—三點共線

證明點共線的方法證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據是基本事實3.此類問題的證明常用以下兩種方法：（1）先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據基本事實3知這些點都在這兩個平面的交線上；（2）選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.學以致用—三點共線

典例分析—三線共點

因為E∈AB，H∈AD，所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，所以EH?平面ABD.因為EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD，同理O∈平面BCD.又平面BCD∩平面ABD＝BD，所以O∈BD，故點B，D，O共線.基本事實3學以致用—三線共點

學以致用—三線共點

因為在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD必定相交于一點，如圖，設AB∩CD＝M.又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，且M∈β，又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共點.學以致用—三線共點

課堂小結1.平面的含義：2.平面的性質：(1)平面的特征：(2)平面的畫法及表示：

①平②無厚薄③無限延展如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.(2)基本事實2

過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.(1)基本事實1如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.(3)