第1頁（共1頁）2024-2025學年河北省保定市易縣九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．）1．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）拋物線y＝﹣（x+3）2﹣1的頂點是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）3．（3分）已知⊙O與直線l無公共點，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（3分）用配方法解方程x2+1＝8x，變形后的結果正確的是（）A．（x+4）2＝15 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝175．（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣26．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個實數根為α，β，則α2+β2的值為（）A．12 B．10 C．4 D．﹣47．（3分）如圖，AD是半圓O的直徑，C是BD的中點．若∠ADC＝50°，則∠BAD等于（）A．85° B．80° C．70° D．65°8．（3分）若A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣2，y3）三點在拋物線y＝x2﹣4x﹣m上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y29．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．ABAD=BC10．（3分）2023年以來，某廠生產電子產品的技術處于高速增長上升期．起初該廠生產一件產品的成本為115元，經過兩次技術改進，現生產一件這種產品的成本比起初下降了19.2元．設每次技術改進產品的成本下降率均為x，則下列方程正確的是（）A．115（1﹣2x）＝115﹣19.2 B．115（1﹣x）2＝115﹣19.2 C．19.2（1+x）2＝115 D．115（1﹣x）2＝19.211．（3分）某小區一處圓柱形輸水管道的圓形截面如圖所示．若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水面最深地方的高度CD為4cm．則這個圓形截面的半徑是（）A．20 B．18 C．12 D．1012．（3分）如圖，若拋物線y＝﹣x2+2.5與x軸圍成封閉區域（包括邊界）內整點（點的橫、縱坐標都是整數）的個數為k，則反比例函數y=kx（A． B． C． D．二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐標系中，點（﹣1，4）關于原點對稱的點的坐標是．14．（3分）某中學開展勞動教育，學生到教具加工廠參觀制作圓錐．加工廠制作的圓錐的母線長為60cm，底面圓的半徑為20cm，則這種圓錐的側面展開圖的圓心角的度數是．15．（3分）已知二次函數y＝（x﹣3a）2+（a﹣1）（a為常數）．當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”．如圖，這些分別是當a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2時，二次函數的圖象，則它們的頂點坐標滿足的函數解析式是．16．（3分）如圖，在反比例函數y=40x(x＞0)的圖象上，有點P1，P2，P3，P4，…，它們的橫坐標依次為2，4，6，8，…，分別過這些點作x軸與y軸的垂線．圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，則S1+S2+S3三、解答題（本大題共8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）用適當的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．18．（8分）圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點和O點都在正方形的頂點上．（1）以點O為位似中心，在方格圖中作出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使△ABC與△A1B1C1的位似比為1：2；（2）△A1B1C1繞點B1順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A2B1C2，并求點A1在旋轉過程中經過路線的長度．（結果保留π）19．（8分）如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y=mx的圖象相交于A（2，6），B（﹣3，（1）求一次函數與反比例函數的解析式．（2）根據所給條件，請直接寫出不等式kx+b＞m（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，求S△ABC．20．（8分）發石車是古代遠程攻擊的武器．現有一發石車，發射出去的石塊沿拋物線軌跡運動，距離發射點20米時達到最大高度10米．如圖，現將發石車放置在山坡底部O處，山坡上有一點A，距離點O的水平距離為30米，垂直高度3米，AB是高度為4米的防御墻．（1）求石塊運動軌跡的函數解析式，并寫出x的取值范圍．（2）計算說明石塊能否飛越防御墻AB．21．（9分）為了培養青少年的體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開展籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動．為了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據以下統計圖提供的信息，解答下列問題．（1）本次被調查的學生有名，n＝，補全條形統計圖，并在條形圖上方注明人數．（2）扇形統計圖中“乒乓球”對應的扇形的圓心角的度數為．（3）學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求甲和乙兩名同學同時被選中的概率．22．（9分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，直徑AB＝4，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠ACD＝∠B．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AD＝1，求DC的長；（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．23．（11分）某商場要銷售一種新上市的文具，其進價為20元/件．試營銷階段發現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲2元，每天的銷售量就減少20件．（1）寫出商場銷售這種文具每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式．（2）當銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？（3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A，B兩種營銷方案．方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過40元．方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元．請比較哪種方案每天的最大利潤更高，并說明理由．24．（12分）【問題背景】數學課上，我們以等腰直角三角形為背景，利用旋轉的性質研究線段和角的關系．老師給出了下面的已知條件：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D是△ABC邊上的一動點，P是△ABC外任意一點，過點D與點P作射線DP，將射線DP繞點D逆時針旋轉90°得到射線DQ．【問題初探】（1）如圖1，點D與直角頂點B重合，射線DP交邊AC于點E，點F在射線DQ上，且滿足DE＝DF，連接AF．求證：AF＝CE且AF⊥CE．【問題深探】（2）如圖2，點D在直角邊AB上，射線DP恰巧經過點C，點F在射線DQ上，且滿足DC＝DF，連接AF．請直接寫出AC，AD，AF之間的數量關系：．【問題拓展】（3）如圖3，點D在斜邊AC上，且CD＝kAD（0＜k≤1），射線DP交邊AB于點E，射線DQ交邊CB于點F．當k=12，AE＝4，CF＝3時，求線段

2024-2025學年河北省保定市易縣九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案ADACCABCCBD題號12答案A一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．）1．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故此選項正確；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項錯誤．故選：A．2．（3分）拋物線y＝﹣（x+3）2﹣1的頂點是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）【分析】二次函數的頂點式為y＝a（x﹣h）2+k，此時頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x＝h．直接根據二次函數圖象的頂點式進行解答即可．【解答】解：∵拋物線的解析式為：y＝﹣（x+3）2﹣1，∴其頂點坐標為：（﹣3，﹣1）．故選：D．3．（3分）已知⊙O與直線l無公共點，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用已知條件可得直線l與圓相離，根據直線與圓相離的性質可以作出判斷．【解答】解：∵⊙O與直線l無公共點，∴⊙O與直線l相離．∴圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，∵⊙O直徑為10cm，∴⊙O半徑為5cm，∴圓心O到直線l的距離大于5cm．故選：A．4．（3分）用配方法解方程x2+1＝8x，變形后的結果正確的是（）A．（x+4）2＝15 B．（x+4）2＝17 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝17【分析】先移項得到x2﹣8x＝﹣1，然后進行配方得到（x﹣4）2＝15，據此選項正確選項．【解答】解：∵x2+1＝8x，∴x2﹣8x＝﹣1，∴x2﹣8x+16﹣16＝﹣1，∴（x﹣4）2＝15，故選：C．5．（3分）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2【分析】先根據拋物線的頂點式得到拋物線y＝3x2的對稱軸為直線x＝0，頂點坐標為（0，0），則拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，2），然后再根據頂點式即可得到平移后拋物線的解析式．【解答】解：∵拋物線y＝3x2的對稱軸為直線x＝0，頂點坐標為（0，0），∴拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，2），∴平移后拋物線的解析式為y＝3（x﹣1）2+2．故選：C．6．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個實數根為α，β，則α2+β2的值為（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【分析】根據根與系數的關系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式變形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個實數根為α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故選：A．7．（3分）如圖，AD是半圓O的直徑，C是BD的中點．若∠ADC＝50°，則∠BAD等于（）A．85° B．80° C．70° D．65°【分析】先根據同弧所對圓周角相等以及弧中點的性質得到∠BAC與∠CAD的關系，再利用直徑所對圓周角是直角求出∠CAD，進而求出∠BAD．【解答】解：連接AC，∵AD是半圓O的直徑，∴∠ACD＝90°，由條件可知∠CAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵C是BD的中點，∴∠BAC＝∠CAD＝40°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+40°＝80°，故選：B．8．（3分）若A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣2，y3）三點在拋物線y＝x2﹣4x﹣m上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】首先，我們需要找到二次函數y＝x2﹣4x﹣m的對稱軸，然后判斷點A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）在拋物線上的位置，最后根據二次函數的增減性來確定y1，y2，y3的大小關系．【解答】解：由拋物線解析式可知開口向上，對稱軸為x=-b∵A（2，y1）中x＝2，∴y1最小，又∵B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）都在對稱軸的左側，而在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，故y2＞y3．∴y2＞y3＞y1．故選：C．9．（3分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．ABAD=BC【分析】先根據∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根據相似三角形的判定方法解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；B、添加∠B＝∠ADE，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；C、添加ABAD=BCDE，不能判定△D、添加ABAD=ACAE，可用兩邊及其夾角法判定△故選：C．10．（3分）2023年以來，某廠生產電子產品的技術處于高速增長上升期．起初該廠生產一件產品的成本為115元，經過兩次技術改進，現生產一件這種產品的成本比起初下降了19.2元．設每次技術改進產品的成本下降率均為x，則下列方程正確的是（）A．115（1﹣2x）＝115﹣19.2 B．115（1﹣x）2＝115﹣19.2 C．19.2（1+x）2＝115 D．115（1﹣x）2＝19.2【分析】設每次技術改進產品的成本下降率均為x，根據連續兩年成本下降后價格為（115﹣19.2）元，即可列出方程．【解答】解：根據題意得，115（1﹣x）2＝115﹣19.2，故選：B．11．（3分）某小區一處圓柱形輸水管道的圓形截面如圖所示．若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水面最深地方的高度CD為4cm．則這個圓形截面的半徑是（）A．20 B．18 C．12 D．10【分析】由OD垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點，求出BD的長，設圓的半徑為xcm，由OC﹣CD表示出OD，在直角三角形BOD中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑．【解答】解：∵OD⊥AB，∴D為AB的中點，即AD＝BD=12AB＝8設圓的半徑為xcm，在Rt△BOD中，OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）cm，OB＝xcm，BD＝8cm，根據勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，則圓的半徑為10cm．故選：D．12．（3分）如圖，若拋物線y＝﹣x2+2.5與x軸圍成封閉區域（包括邊界）內整點（點的橫、縱坐標都是整數）的個數為k，則反比例函數y=kx（A． B． C． D．【分析】找到函數圖象與x軸、y軸的交點，得出k＝7，即可得出答案．【解答】解：拋物線y＝﹣x2+2.5，當y＝0時，x＝±52當x＝0時，y＝2.5，則拋物線y＝﹣x2+2.5與x軸圍成封閉區域（包括邊界）內整點（點的橫、縱坐標都是整數）為（﹣1，1），（﹣1，0）（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1）；共有7個，∴k＝7，∴反比例函數的解析式為y=7x，故選項故選：A．二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐標系中，點（﹣1，4）關于原點對稱的點的坐標是（1，﹣4）．【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案．【解答】解：點（﹣1，4）關于原點對稱的點的坐標是（1，﹣4），故答案為：（1，﹣4）．14．（3分）某中學開展勞動教育，學生到教具加工廠參觀制作圓錐．加工廠制作的圓錐的母線長為60cm，底面圓的半徑為20cm，則這種圓錐的側面展開圖的圓心角的度數是120°．【分析】圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開圖的弧長，由弧長公式即可求出圓錐的側面展開圖的圓心角的度數．【解答】解：設圓錐的側面展開圖的圓心角的度數為n°，由題意得到：圓錐的側面展開圖的半徑R等于圓錐的母線長為60cm，圓錐底面圓的半徑r＝20cm，∴nπR180=2π∴nπ×60180=2∴n＝120，故答案為：120°．15．（3分）已知二次函數y＝（x﹣3a）2+（a﹣1）（a為常數）．當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”．如圖，這些分別是當a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2時，二次函數的圖象，則它們的頂點坐標滿足的函數解析式是y=13【分析】根據y＝（x﹣3a）2+（a﹣1）得到頂點坐標，再求頂點坐標滿足的函數解析式即可．【解答】解：∵拋物線頂點坐標為（3a，a﹣1），∴設x=3ay=a-1，消去a得y=∴它們的頂點坐標滿足的函數解析式是y=1故答案為：y=116．（3分）如圖，在反比例函數y=40x(x＞0)的圖象上，有點P1，P2，P3，P4，…，它們的橫坐標依次為2，4，6，8，…，分別過這些點作x軸與y軸的垂線．圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，則S1+S2+S3【分析】根據題意，分別求出P1，P2，P3，P4的坐標，根據題意，通過平移可知，S1+S2+S3的面積矩形S?A【解答】解：設點DP1與x軸的交點為點D，∵反比例函數的圖象上，有點P1，P2，P3，P4，…，它們的橫坐標依次為2，4，6，8，…，∴P1（2，20），P2（4，10），P3(6，203由圖象可得，S1+S2+S3＝S矩形AP1DO﹣S矩形BCOD，∴S1+S2+S3＝2×20﹣2×5＝30．故答案為：30．三、解答題（本大題共8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）用適當的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x﹣7﹣x（x﹣7）＝0．【分析】（1）利用因式分解法把方程轉化為x+3＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程轉化為x﹣7＝0或1﹣x＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（2）（x﹣7）（1﹣x）0，x﹣7＝0或1﹣x＝0，所以x1＝7，x2＝1．18．（8分）圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點和O點都在正方形的頂點上．（1）以點O為位似中心，在方格圖中作出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使△ABC與△A1B1C1的位似比為1：2；（2）△A1B1C1繞點B1順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△A2B1C2，并求點A1在旋轉過程中經過路線的長度．（結果保留π）【分析】（1）連接AO并延長，使OA1＝2OA，則A1就是A的對應點，同法可以作出B，C的對應點，順次連接各個對應點即可；（2）將A1，B1，C1三點分別旋轉90°，即可得到對應點，得到對應圖形；A1在旋轉過程中經過路線是以B1為圓心，半徑是B1A1的長，圓心角是90°的弧，根據弧長公式即可求解．【解答】解：（1）作圖如圖（3分）（2）作圖如圖（6分）∵B1∴A1在旋轉過程中經過路線的長度為：9018019．（8分）如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y=mx的圖象相交于A（2，6），B（﹣3，（1）求一次函數與反比例函數的解析式．（2）根據所給條件，請直接寫出不等式kx+b＞m（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，求S△ABC．【分析】（1）先由A（2，6）求出反比例函數y=mx的解析式，繼而求出B（﹣3，n），再把A（2，6），B（﹣3，n）代入y＝kx+（2）根據圖象找到一次函數在反比例函數圖象上方部分，直接寫出不等式kx+b＞m（3）直接利用三角形面積公式計算即可．【解答】解：（1）∵點A（2，6）在反比例函數的圖象上，∴m＝12，∴反比例函數的解析式為y=12∵點B（﹣3，n）在反比例函數的圖象上，∴n=12∵A（2，6），B（﹣3，﹣4）兩點在y＝kx+b上，∴6=2k+b，-4=-3k+b，，解得k=2∴一次函數的解析式為y＝2x+2．（2）由圖象可得，不等式的解集為﹣3＜x＜0或x＞2．（3）如圖，以BC為底，則邊BC上的高AE為3+2＝5，∴S△ABC20．（8分）發石車是古代遠程攻擊的武器．現有一發石車，發射出去的石塊沿拋物線軌跡運動，距離發射點20米時達到最大高度10米．如圖，現將發石車放置在山坡底部O處，山坡上有一點A，距離點O的水平距離為30米，垂直高度3米，AB是高度為4米的防御墻．（1）求石塊運動軌跡的函數解析式，并寫出x的取值范圍．（2）計算說明石塊能否飛越防御墻AB．【分析】（1）設石塊運動軌跡的函數解析式為y＝a（x﹣20）2+10，把點（0，0）代入解析式，待定系數法求解析式，即可求解；（2）把x＝30代入y=-140x【解答】解：（1）設石塊運動軌跡的函數解析式為y＝a（x﹣20）2+10．由條件可得400a+10＝0，解得a=-1∴石塊運動軌跡的函數解析式為y=-1即y=-140x（2）石塊能飛越防御墻AB．理由：把x＝30代入y=-1得y=-1∵7.5＞7，∴石塊能飛越防御墻AB．21．（9分）為了培養青少年的體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開展籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動．為了解學生對這五項活動的喜愛情況，隨機調查了一些學生（每名學生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據以下統計圖提供的信息，解答下列問題．（1）本次被調查的學生有100名，n＝5，補全條形統計圖，并在條形圖上方注明人數．（2）扇形統計圖中“乒乓球”對應的扇形的圓心角的度數為72．（3）學校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學中的2名參加全市中學生籃球比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求甲和乙兩名同學同時被選中的概率．【分析】（1）用選擇籃球的人數除以其所占百分比，可得本次被調查的學生總人數：求出選擇“足球”的人數，再補全條形統計圖即可；（2）用選擇乒乓球的人數除以本次被調查的學生總人數再乘以360°即可；（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數，以及甲和乙同學同時被選中的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）可根據選擇籃球的人數來計算本次被調查的學生人數，總人數＝30÷30%＝100（人），喜愛足球的人數為：100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（人），補全條形統計圖如下：排球所占百分比＝5÷100×100%＝5%，所以n＝5，故答案為：100；5．（2）“乒乓球”人數所占百分比＝20÷100×100%＝20%，∴“乒乓球”對應的扇形的圓心角度數＝360°×20%＝72°，故答案為：72°．（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中甲和乙兩名同學同時被選中的結果有2種，∴甲和乙兩名同學同時被選中的概率為21222．（9分）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，直徑AB＝4，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠ACD＝∠B．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AD＝1，求DC的長；（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，由OB＝OC，利用等邊對等角得到∠BCO＝∠B，由∠ACD＝∠B，得到∠ACD+∠OCA＝90°，得到OC垂直于EF，即可得到EF為圓O的切線；（2）證明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC＝2，由勾股定理求出DC的長即可；（3）求出∠B＝30°，證明△OAC為等邊三角形，求出∠AOC，在Rt△ACD中，可求出CD，求出梯形ADCO和扇形OAC的面積，相減即可得出答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，∴Rt△ABC∽Rt△ACD，∴ACAB∴AC2＝AD?AB，AC2＝1×4＝4，∴AC＝2，CD2＝AC2﹣AD2＝22﹣12＝3，∴DC=3（3）解：在Rt△ABC中∵AC＝2，AB＝4，∴∠B＝30°，∴∠OAC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，在Rt△ADC中∵∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，∴CD=A∴S陰影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC=(1+2)×23．（11分）某商場要銷售一種新上市的文具，其進價為20元/件．試營銷階段發現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲2元，每天的銷售量就減少20件．（1）寫出商場銷售這種文具每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式．（2）當銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？（3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A，B兩種營銷方案．方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過40元．方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元．請比較哪種方案每天的最大利潤更高，并說明理由．【分析】（1）根據利潤＝（銷售單價﹣進價）×銷售量，列出函數關系式即可；（2）根據（1）式列出的函數關系式，運用配方法求最大值；（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較即可．【解答】解：（1）由題意，得，銷售量=250-20則w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000．（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∴函數圖象開口向下，w有最大值．當x＝35時，w最大＝2250，故當單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大．（3）A方案每天的最大利潤更高．理由：A方案中，20＜x≤40，故當x＝35時，w有最大值，此時wA＝2250．B方案中，-10x+500≥10，x-20≥25，故x的取值范圍為45≤x≤49．∵函數圖象的對稱軸為