第1頁（共1頁）2025年內蒙古農大附屬秋實中學中考數學模擬試卷一、選擇題（本大題共有8小題，1題一6題每題2分，7、8題3分，共18分.）1．（2分）紋樣作為中國傳統文化的重要組成部分，是古人智慧與藝術的結晶，反映出不同時期的風俗習慣，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．如意紋 B．冰裂紋 C．盤長紋 D．風車紋2．（2分）據國家文化和旅游部10月8日公布2024年國慶節期間全國國內出游765000000人次，數據765000000用科學記數法表示為（）A．0.765×109 B．7.65×108 C．76.5×107 D．7.65×1063．（2分）《多收了三五斗》是我國著名作家葉圣陶創作的短篇小說，文中的“斗”是我國古代稱量糧食的器具．如圖1是一個口大底小無蓋方形的“斗”，將它按圖2方式擺放后的俯視圖為（）A． B． C． D．4．（2分）下列各式計算正確的是（）A．3x+x＝4x2 B．（﹣a）2?a6＝﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）＝y2（y≠0） D．（a2b3c）2＝a4b6c5．（2分）如圖，四邊形OABC是菱形，CD⊥x軸，函數y＝的圖象經過點C，則菱形OABC的面積為（）A．15 B．20 C．29 D．246．（2分）《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市；若改為快馬派送，則所需時間比規定時間少2天倍，求規定時間．設規定時間為x天，則下列分式方程正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點E在邊AD上，若，AB＝6，則AF的長為（）A．2 B． C．3 D．48．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點D在折線ACB上運動，垂足為E．設AE＝x，S△ADE＝y，則y關于x的函數圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共有8小題，9題一14題每題2分，15、16題3分，共18分）9．（2分）張老師上班途中要經過1個十字路口，十字路口紅燈亮30秒、黃燈亮5秒、綠燈亮25秒，張老師希望上班經過路口是綠燈．10．（2分）如圖，折扇的骨柄長為27cm，折扇張開的角度為120°的長為cm（結果保留π）．11．（2分）若x+y＝3，xy＝2，則x﹣y+xy2的值是．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC，垂足為D，以大于AB的長度m為半徑作弧，以同樣大小為半徑作弧，兩弧交點分別為E，F，直線EF與AC交于點G，則AB與DG的比是．13．（2分）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，斜邊長為c，若b﹣a＝4，則每個直角三角形的面積為．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，D是BC的中點，分別以B，BD長為半徑作弧，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積是．15．（3分）某快遞公司每天上午9：30﹣10：30為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發快件（件）與時間x（分）之間的函數圖象如圖所示，經過分鐘時，兩倉庫快遞件數相同．16．（3分）定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標是這個點的橫坐標的2倍，我們稱這個點為“友好點”（a，2a）就是“友好點”，若二次函數圖象的頂點為“友好點”，例如二次函數y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函數”，若“友好二次函數”的圖象過點（﹣2，8），過點M（5，4）、N（﹣1，n），n的取值范圍為．三、解答題17．（8分）（1）計算：（﹣）﹣1+×﹣2cos30°﹣|2﹣|；（2）化簡求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．18．（7分）為了解A，B兩款品質相近的無人機在一次充滿電后運行的最長時間，分別隨機調查了A，記錄它們運行的最長時間（單位：min），并對數據進行整理．（1）填空：平均數/min中位數/min眾數/min方差/min2A7069.5①②B72③6914（2）根據以上信息，你認為哪款無人機運行時間更有優勢？請說明理由．19．（8分）為倡導健康出行，某市道路運輸管理局向市民提供一種公共自行車作為代步工具，如圖（1），45cm，且它們互相垂直，AD∥BC，如圖（2）．（結果精確到0.1cm．參考數據：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76≈4.00，，）（1）求車架檔AD的長；（2）求車鏈橫檔AB的長．20．（8分）中考臨近，七一中學、七一華源中學食堂為提高全體初三學子伙食，精心購買A、B兩種食材共600kg，當B食材購買量不大于300kg時，B食材的價格為每千克9元，每增加10kg，B食材的價格降低0.1元．設購買B種食材xkg（x為10的整數倍）．（1）若x＜300，購買A、B兩種食材共花了3800元，求A、B兩種食材各多少千克？（2）若x＞300，且購買A食材的數量不少于B食材數量的一半，求購買A種食材多少千克時，最少總費用是多少元？（3）若購買A食材不超過mkg（m＜250），購買B食材超過300kg，商家獲得的最大銷售額為4000元21．（12分）【感知特例】（1）如圖1，點A，B在直線l上，DB⊥l，垂足分別為A，B，且PC⊥PD，垂足為P．結論：AC?BD＝AP?BP（請將下列證明過程補充完整）證明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，.+∠APC＝90°，∴＝，（同角的余角相等）∴△APC∽，（兩角分別相等的兩個三角形相似）∴＝，（相似三角形的對應邊成比例）即AC?BD＝AP?BP．【建構模型】（2）如圖2，點A，B在直線l上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD．結論AC?BD＝AP?BP仍成立嗎？請說明理由．【解決問題】（3）如圖3，在△ABC中，AC＝BC＝5，點P和點D分別是線段AB，BC上的動點（0＜x＜8），當x＝時，BD有最大值是．22．（9分）【問題情境】一次數學活動課上，同學們對教材P.102習題12作了深入研討．【教材原題】如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C（1）【知識遷移】宏志小組同學發現，原題有多個逆命題，其中一個如下．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠DAB．那么CD為⊙O的切線．這個命題是真命題嗎？說明你判斷的依據．（2）【問題拓展】思進小組同學發現，原題記AD與⊙O交于E，三條線段AE，AB有特定的數量關系．請你寫出這個數量關系并說明理由．（3）【應用嘗試】奇思小組同學提出，若AD+AB＝18，CD＝423．（12分）如圖，南京長江四橋是中國首座三跨吊懸索橋，該索橋的主體部分由兩座高度相同的索塔AO，三條纜索L1，L2，L3，以及連接纜索與橋面的吊桿組成．纜索L1，L2，L3的形狀均近似是拋物線，索塔、吊桿均與橋面垂直．以O為原點，橋面OC所在直線為x軸，橋面OC＝1200m，錨碇D到索塔OA的距離OD＝400m1的最低點P到橋面OC的距離為20m．（1）求纜索L1所在拋物線的表達式；（2）同一直角坐標系中，纜索L2所在拋物線的表達式為．①求b，c的值；②為了加固橋梁，計劃在索塔OA左、右兩側各安裝一根吊桿，且兩根吊桿之間的距離為150m．要使兩根吊桿的長度之和最小

2025年內蒙古農大附屬秋實中學中考數學模擬試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DB．ACBACA一、選擇題（本大題共有8小題，1題一6題每題2分，7、8題3分，共18分.）1．（2分）紋樣作為中國傳統文化的重要組成部分，是古人智慧與藝術的結晶，反映出不同時期的風俗習慣，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．如意紋 B．冰裂紋 C．盤長紋 D．風車紋【解答】解：A是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；B既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；C是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；D不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形；故選：D．2．（2分）據國家文化和旅游部10月8日公布2024年國慶節期間全國國內出游765000000人次，數據765000000用科學記數法表示為（）A．0.765×109 B．7.65×108 C．76.5×107 D．7.65×106【解答】解：765000000＝7.65×108．故選：B．3．（2分）《多收了三五斗》是我國著名作家葉圣陶創作的短篇小說，文中的“斗”是我國古代稱量糧食的器具．如圖1是一個口大底小無蓋方形的“斗”，將它按圖2方式擺放后的俯視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：根據圖形可知，俯視圖為：．故選：A．4．（2分）下列各式計算正確的是（）A．3x+x＝4x2 B．（﹣a）2?a6＝﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）＝y2（y≠0） D．（a2b3c）2＝a4b6c【解答】解：A、3x+x＝4x；B、（﹣a）5?a6＝a8，故此選項錯誤；C、（﹣y）7÷（﹣y）＝y2（y≠0），故此選項正確；D、（a4b3c）2＝a8b6c2，故此選項錯誤；故選：C．5．（2分）如圖，四邊形OABC是菱形，CD⊥x軸，函數y＝的圖象經過點C，則菱形OABC的面積為（）A．15 B．20 C．29 D．24【解答】解：∵CD⊥x軸，垂足為D的圖象經過點C，∴S△OCD＝6，∵CD＝4，∴，即OD＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝5，S菱形＝OA×CD＝5×3＝20．故選：B．6．（2分）《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市；若改為快馬派送，則所需時間比規定時間少2天倍，求規定時間．設規定時間為x天，則下列分式方程正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，＝×，故選：A．7．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點E在邊AD上，若，AB＝6，則AF的長為（）A．2 B． C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∴AB∥DC，AB＝DC＝6，∵點F在直線AB上，∴AF∥DC，∴△AFE∽△DCE，∵＝，∴＝＝，∴AF＝DC＝，故選C．8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點D在折線ACB上運動，垂足為E．設AE＝x，S△ADE＝y，則y關于x的函數圖象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意得，AC＝，當點D與點C重合時，DE＝，此時AE＝，當0＜x≤4時，△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴y＝AE?DE＝x＝x2，此拋物線開口方向向上；當4＜x＜4時，△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴DE＝10﹣2x，y＝AE?DE＝2+5x，此拋物線開口方向向下；故符合題意的圖象是選項A．故選：A．二、填空題（本大題共有8小題，9題一14題每題2分，15、16題3分，共18分）9．（2分）張老師上班途中要經過1個十字路口，十字路口紅燈亮30秒、黃燈亮5秒、綠燈亮25秒，張老師希望上班經過路口是綠燈．【解答】解：張老師上班經過路口是綠燈的機會是：＝＝，故答案為：．10．（2分）如圖，折扇的骨柄長為27cm，折扇張開的角度為120°的長為18πcm（結果保留π）．【解答】解：∵折扇的骨柄長為27cm，折扇張開的角度為120°，∴的長＝，故答案為：18π．11．（2分）若x+y＝3，xy＝2，則x﹣y+xy2的值是3．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x﹣y+xy6＝x﹣y+（xy）y＝x﹣y+2y＝x+y＝3．故答案為：2．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC，垂足為D，以大于AB的長度m為半徑作弧，以同樣大小為半徑作弧，兩弧交點分別為E，F，直線EF與AC交于點G，則AB與DG的比是2．【解答】解：由題意得，EF為AB的垂直平分線，∵∠B＝90°，∴G為AB的中點，連接BG，∴AG＝BG＝CG，∵BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，∴sinA＝sin∠DBC＝，∴＝，設DC＝x，則BC＝2x，∴CG＝5x，AB＝＝x，DG＝CG﹣CD＝x，∴．故答案為：2．13．（2分）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，斜邊長為c，若b﹣a＝4，則每個直角三角形的面積為96．【解答】解：由圖可得，a2+b2＝c3，∴且a，解得，∴每個直角三角形的面積為ab＝，故答案為：96．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，D是BC的中點，分別以B，BD長為半徑作弧，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積是11π．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠B+∠C＝110°，∵BC＝12，D是BC的中點，∴BD＝CD＝6，∴圖中陰影部分的面積是＝11π．故答案為：11π．15．（3分）某快遞公司每天上午9：30﹣10：30為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發快件（件）與時間x（分）之間的函數圖象如圖所示，經過20分鐘時，兩倉庫快遞件數相同．【解答】解：設甲倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：y1＝k1x+40，根據題意得60k2+40＝400，解得k1＝6，∴y6＝6x+40；設乙倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數關系式為：y2＝k4x+240，根據題意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣7x+240，聯立，解得，∴經過20分鐘時，當兩倉庫快遞件數相同．故答案為：2016．（3分）定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標是這個點的橫坐標的2倍，我們稱這個點為“友好點”（a，2a）就是“友好點”，若二次函數圖象的頂點為“友好點”，例如二次函數y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函數”，若“友好二次函數”的圖象過點（﹣2，8），過點M（5，4）、N（﹣1，n），n的取值范圍為或n＝4．【解答】解：設“友好二次函數”的解析式為，由條件可知，解得h1＝8，h2＝﹣14，∵h＞0，∴h＝3，∴，∵N（﹣7，n），∴點N在直線x＝﹣1上運動，設直線x＝﹣1與“友好二次函數”交于點C，當x＝﹣1時，，∴，∵二次函數的頂點為（2，∵M（2，4），∴當點N的坐標為（﹣1，2）時、M與拋物線頂點共線且與二次函數，即n＝5；當點N在點C上方時，線段MN與拋物線有且只有一個交點，即；∴當線段MN與這個“友好二次函數”的圖象有且只有一個公共點時，n的取值范圍為．故答案為：或n＝4．三、解答題17．（8分）（1）計算：（﹣）﹣1+×﹣2cos30°﹣|2﹣|；（2）化簡求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．【解答】解：（1）原式＝﹣2+×3×﹣2+＝﹣2+2﹣﹣2+＝﹣8；（2）原式＝（﹣）÷＝÷＝?＝﹣x（x+5）＝﹣x2﹣x，當x＝時，原式＝﹣2﹣．18．（7分）為了解A，B兩款品質相近的無人機在一次充滿電后運行的最長時間，分別隨機調查了A，記錄它們運行的最長時間（單位：min），并對數據進行整理．（1）填空：平均數/min中位數/min眾數/min方差/min2A7069.5①72②17.8B72③716914（2）根據以上信息，你認為哪款無人機運行時間更有優勢？請說明理由．【解答】解：（1）A組數據為64、66、68、70、72、80，則其眾數為72，方差為2+（66﹣70）5+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）7+（80﹣70）2]＝17.8，B組數據為68、69、69、72、74、80，所以其中位數為＝71，故答案為：72、17.8；（2）B款無人機運行時間更有優勢，∵B款無人機運行時間的平均時間大于A款無人機，∴B款無人機運行時間更有優勢（答案不唯一，合理均可）．19．（8分）為倡導健康出行，某市道路運輸管理局向市民提供一種公共自行車作為代步工具，如圖（1），45cm，且它們互相垂直，AD∥BC，如圖（2）．（結果精確到0.1cm．參考數據：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76≈4.00，，）（1）求車架檔AD的長；（2）求車鏈橫檔AB的長．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，AC＝45cm，∴AD＝＝45，∴車架檔AD的長為63.5cm；（2）過點B作BH⊥AC，垂足為H，∵AC＝45cm，CD＝45cm，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∴tan∠ACB＝2，設BH＝CH＝x，AH＝45﹣x，則tan76°＝≈4，解得；x＝36，∴BH＝36，AH＝9，∴AB＝＝＝9，7答：車鏈橫檔AB的長約為37.5cm．20．（8分）中考臨近，七一中學、七一華源中學食堂為提高全體初三學子伙食，精心購買A、B兩種食材共600kg，當B食材購買量不大于300kg時，B食材的價格為每千克9元，每增加10kg，B食材的價格降低0.1元．設購買B種食材xkg（x為10的整數倍）．（1）若x＜300，購買A、B兩種食材共花了3800元，求A、B兩種食材各多少千克？（2）若x＞300，且購買A食材的數量不少于B食材數量的一半，求購買A種食材多少千克時，最少總費用是多少元？（3）若購買A食材不超過mkg（m＜250），購買B食材超過300kg，商家獲得的最大銷售額為4000元【解答】解：由于購買B種食材x千克，則購買A種食材（600﹣x）千克，（1）當x＜300時，購買B種食材的價格為每千克9元，由題意得5（600﹣x）十7x＝3800，解得：x＝200，則600﹣x＝600﹣200＝400，答：購買A種食材400千克，B種食材200千克；（2）當x＞300時，購買B種食材的價格為每千克（9﹣，設購買的總費用為w元，由題意得w＝5（600﹣x）+（9﹣）x，整理得w＝﹣0.01x7+7x+3000，即w是x的二次函數，其對稱軸為直線x＝﹣，∵且x為10的整數倍，∴300＜x≤400且x為10的整數倍，∵﹣0.01＜0，∴函數圖象開口向下，當300＜x＜350時，當350＜x≤400時，∵x為10的整數倍，∴當x＝400時，w有最小值3+7×400十3000＝4200，此時600﹣x＝600﹣400＝200，∴購買A種食材200千克時，購買的總費用最少；（3）由題意，結合（2）可得2+2x十3000＝4000，解得：x1＝200，x2＝500，∵購買B食材超過300千克，∴x＝200應舍去，只取x＝500，∴m＝600﹣500＝100．21．（12分）【感知特例】（1）如圖1，點A，B在直線l上，DB⊥l，垂足分別為A，B，且PC⊥PD，垂足為P．結論：AC?BD＝AP?BP（請將下列證明過程補充完整）證明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，∠DPB.+∠APC＝90°，∴∠C＝∠DPB，（同角的余角相等）∴△APC∽△BDP，（兩角分別相等的兩個三角形相似）∴＝，（相似三角形的對應邊成比例）即AC?BD＝AP?BP．【建構模型】（2）如圖2，點A，B在直線l上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD．結論AC?BD＝AP?BP仍成立嗎？請說明理由．【解決問題】（3）如圖3，在△ABC中，AC＝BC＝5，點P和點D分別是線段AB，BC上的動點（0＜x＜8），當x＝4時，BD有最大值是．【解答】（1）證明：∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，∠DPB+∠APC＝90°，∴∠C＝∠DPB（同角的余角相等），∴△APC∽△BDP（兩角分別相等的兩個三角形相似），∴＝（相似三角形的對應邊成比例），即AC?BD＝AP?BP．故答案為：∠DPB，∠C＝∠DPB，＝；（2）解：成立，理由如下：∵∠C+∠CPA＝180’﹣∠CAP，∠CPA+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∵∠CAP＝∠CPD，∴∠C＝∠BPD，∵∠CAP＝∠DBP，∴△APC∽△BDP（兩角分別相等的兩個三角形相似），∴＝（相似三角形的對應邊成比例），∴AC?BD＝AP?BP；（3）解：∵AB＝8，AP＝x，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣x，∵AC＝BC＝7，∴∠A＝∠B，∵∠CPD+∠BPD＝∠A+∠ACP，∴∠BPD＝∠ACP，∴△BPD∽△ACP，∴＝，∴AC?BD＝AP?BP，∴5BD＝x（8﹣x）＝5x﹣x2，∴BD＝﹣（x﹣4）2+，當x＝4時，BD的最大值為．故答案為：2，．22．（9分）【問題情境】一次數學活動課上，同學們對教材P.102習題12作了深入研討．【教材原題】如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于C（1）【知識遷移】宏志小組同學發現，原題有多個逆命題，其中一個如下．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠DAB．那么CD為⊙O的切線．這個命題是真命題嗎？說明你判斷的依據．（2）【問題拓展】思進小組同學發現，原題記AD與⊙O交于E，三條線段AE，AB有特定的數量關系．請你寫出這個數量關系并說明理由．（3）【應用嘗試】奇思小組同學提出，若AD+AB＝18，CD＝4【解答】【教材原題】證明：如圖1，連接OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵CD與⊙O相切于C，∴CD⊥OC于點C，∵AD⊥CD于點D，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠DAB．（1）解：這個命題是真命題，依據：如圖1，連接OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥CD于點D，∴∠D＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠D＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且CD⊥OC，∴CD為⊙O的切線，∴這個命題是真命題．（2）解：AE+4DE＝AB，理由：如圖2，在AB上截取AF＝AE、CE，作CH⊥AB于點H，∵AC平分∠DAB，∴∠EAC＝∠BAC，∴＝，∴CE＝CB，∵CD⊥AD，CH⊥AB，∴∠D＝∠CHB＝90°，CD＝CH，∴Rt△CED≌Rt△CBH（HL），∴DE＝HB，∠CED＝∠B，∵AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，∴