大招7仿射變換大招總結仿射變換,通俗來講,就是將一個空間內的圖形按照一定法則變換,就會在另一個空間內得到與之對應的新圖形.在高考數學解析幾何題目中,我們可以利用仿射變換將一部分有關橢圓的問題轉化為圓的問題,這樣就可以借助圓中的特有的一些性質解決問題,從而使問題的解決過程大大簡化.橢圓,經過仿射變換,則橢圓變為了圓,并且變換過程有如下對應關系：(1)點變為(2)直線斜率變為(3)圖形面積變為(4)點、線、面位置不變(中點依然是中點,相切依然是相切)(5)弦長關系滿足,因此同一條直線上線段比值不變.仿射變換一般而言主要應用于選填中快速得出結果,對于大題可以利用仿射變換快速得出結果但是容易丟掉步驟分,因此還是用正常方法寫出過程.當出現以下幾個場景的時候就可以聯想仿射變換去處理:(1)面積問題(尤其是有一個頂點是坐標原點的時候);(2)斜率之積出現之類;(3)同一條線段的比例問題;(4)其他與之相關聯的問題.典型例題例1.-新課標已知點,橢圓的離心率為是橢圓的右焦點,直線的斜率為為坐標原點.+(I)求的方程; (II)設過點的直線與相交于兩點,當的面積最大時,求的方程.分析:這里第二問出現面積最大,因此可以聯想仿射變換化橢為圓去做..解(I)設,由條件知,得,又,所以,故的方程.(II)方法1:依題意當軸不合題意,故設直線,設將代入,得,當,即時,從而又點到直線的距離,所以的面積,設,則,當且僅當等號成立,且滿足,所以當的面積最大時,的方程為:或.方法2:作變換,橢圓變為圓:,,此時過點,此時因此最大時,同樣最大.當且僅當時最大設直線方程為,那么到直線距離 直線的方程為總結思考:當過橢圓外一個定點作一條直線與橢圓交于兩點時,面積最大值,當且僅當經過仿射變換之后的與原點所構成的三角形為直角三角形時取到最大值.如果定點是圓內點,則有兩種情況:(1)如果作仿射變換之后到圓心距離大于等于,那么面積最大值仍然是如果作仿射變換之后到圓心距離小于,那么當時面積取到最大值.例2.設、分別是橢圓的左、右焦點.(1)若是該橢圓上的一個動點,求的取值范圍;(2)設是它的兩個頂點,直線與相交于點,與橢圓相交于、兩點.求四邊形面積的最大值.解(1)由題意可知, ∵∴設∴ 由橢圓的性質可知,* (2)方法1:設,聯立消去整理可得 ∴直線的方程為:根據點到直線的距離公式可知,點到直線的距離分別為 ∴四邊形的面積為 (當且僅當即時,上式取等號,所以的最大值為.方法2:作變換之后橢圓變為圓,方程為此時當且僅當時面積取到最大此時例3.(2017-肇慶三模)已知圓,定點是圓上的一動點,線段的垂直平分線交半徑于點.(I)求點的軌跡的方程;(II)四邊形的四個頂點都在曲線上,且對角線過原點,若,求證:四邊形的面積為定值,并求出此定值.解(1)解:因為在線段的中垂線上,所以.所以所以軌跡是以為焦點的橢圓,且,所以。故軌跡的方程.(2)證明:方法1:不妨設點、位于軸的上方,則直線的斜率存在,設的方程為聯立,得,則由,得.由(1)、(2),得.設原點到直線的距離為 由(3)、(4),得,故四邊形的面積為定值,且定值.方法2:作變換后橢圓變為圓,方程為則. ∴例4.已知分別為橢圓的左、右頂點,為橢圓上異于兩點的任意一點,直線的斜率分別記為.(1)求；(2)過坐標原點作與直線平行的兩條射線分別交橢圓于點,問:的面積是否為定值?請說明理由.分析:第一問的,并且出現了以原點為頂點的三角形的面積因此考慮用仿射變換去處理.(1)設Px0∴(2)方法1:①lMN⊥x軸時,設又a24②lMN與x軸不垂直時,設直線MN方程為:y∴=∴綜上可知,△MON面積為方法2:作變換x'=xy'于是k則S∴總結思考：當斜率之積出現?b例5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>(1)求橢圓C的方程;(2)若射線OA上的點P滿足|PO|=3|OA|,且PB與橢圓交于點解：(1)設橢圓的焦距為2c,易知a=2方法1:設Ax1,y1,Bx2,yx∴1+9λ2因此|方法2:作變換x'=xy'因此k過點O作OH⊥B'P又由于O思考總結:當出現同一條邊的比值問題的時候很多時候就可以考慮能否用仿射變換利用圓的性質對其作變形化簡,很多情況能簡化相當多的問題.而這道題還出現了斜率之積為?b例6.已知A(?2,0),B(2,0),平面內一動點P(1)求P點運動軌跡C的軌跡方程;(2)已知直線l與曲線C交于M,N兩點,當P點在1,32時,解：：(1)設P(x?P點軌跡方程為:(2)方法1:顯然直線l不垂直于x軸,故設l:x∴===整理得:(2若2k+2m?3=0,此時若2k?1=0?k=方法2:作變換x'=xy'于是kP因此P'M'過點P'作P'Q⊥x則∠M'∴M'∴總結思考:除了以上三種形式以外,出現類似的情況同樣可以考慮仿射變換,化橢為圓,利用圓的性質去處理.自我檢測已知直線l與橢圓x24+y22=1交于M,N兩點,當kOM?kON=________,ΔMON面積最大,并且最大值為________.記MMN是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一條不過原點且不垂直于坐標軸的弦,P是MN的中點,則kMN?kOP________.過橢圓x24+y23=1的右焦點已知A,B,C分別是橢圓xM,N分別是橢圓x24+yP是橢圓x24+y2=1上任意一點,O為坐標原點,PO=2OQ,過點Q已知橢圓C:x22+y2=1左頂點為A,P,Q為橢圓C上兩動點,直線PO交AQ于E,直線QO交已知橢圓C:x24+y2=1上的兩點A,B(15山東)平面直角坐標系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(求橢圓C的方程;設橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點,過點①求|OQ②求△ABQ已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)線段AB的中點為M,當△AOB面積最大時,是否存在兩定點G,H(16北京)已知橢圓C:x2求橢圓C的方程和離心率;設P為橢圓第三象限內且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證四邊形ABNM面積為定值.(16四川)已知橢圓E:x2a2求橢圓E的方程及T的坐標;設O是坐標原點,直線l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l 交于點P.求證:存在常數λ,使得|PT(19全國卷III)已知A(?2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與直線(1)求C的方程,并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E.連接 QE并延長交(i)證明:△PQG(ii)求△PQG(21成都一模)已知橢圓C:x2a2+y2b求橢圓C的方程;設直線l與橢圓C相交于不同的兩點A,B,M