7第1課時相似三角形中特殊對應線段的性質第四章圖形的相似7第1課時相似三角形中特殊對應線段的性質

探究與應用

課堂小結與檢測第四章圖形的相似探究對應線段的比與相似比的關系[問題情境]如圖4-7-1,小王依據圖紙上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分別是它們的立柱.圖4-7-1(1)△ACD與△A'C'D'相似嗎?為什么?如果相似,指出它們的相似比;圖4-7-1解:△ACD∽△A'C'D'.理由:由題意得∠A=∠A',∠ADC=∠A'D'C'=90°,∴△ACD∽△A'C'D'.相似比是1∶2.(2)如果CD=1.5cm,那么模型房的房梁立柱有多高?圖4-7-1解:由CD∶C'D'=1∶2,得C'D'=2CD=3cm,即模型房的房梁立柱高3cm.[推理論證]已知△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比為k,它們對應高的比是多少?對應角平分線的比是多少?對應中線的比呢?請證明你的結論.解:△ABC與△A'B'C'對應高的比,對應角平分線的比,對應中線的比都為k.證明如下:(1)如圖①所示.∵△ABC∽△A'B'C',且CD和C'D'分別是△ABC和△A'B'C'對應邊上的高.∴∠A=∠A',∠ADC=∠A'D'C'=90°.∴△ADC∽△A'D'C'.

(2)如圖②所示.∵△ABC∽△A'B'C',∴∠A=∠A',∠ACB=∠A'C'B'.∵CE,C'E'分別是△ABC和△A'B'C'的對應角平分線,

∴∠ACE=∠A'C'E'.∴△AEC∽△A'E'C'.

(3)如圖③所示.∵△ABC∽△A'B'C',

∵CF,C'F'分別是△ABC和△A'B'C'對應邊上的中線,

[概括新知]相似三角形的性質定理:相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于

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相似比[啟發思考]如圖4-7-2,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC與△A'B'C'的相似比為k;點D,E在BC邊上,點D',E'在B'C'邊上.圖4-7-2

圖4-7-2

圖4-7-2

(3)仿照(1)(2)你還能提出哪些問題?圖4-7-2

(4)問題(1)中的線段AD與A'D'、問題(2)中的線段AE與A'E'有什么共同的特點?解:是對應線段.圖4-7-2[概括新知]在相似三角形中,對應線段的比都等于

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相似比應用利用對應線段的比等于相似比解決問題例1(1)如果兩個相似三角形的對應角平分線之比是2∶3,那么它們的對應邊之比是

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(2)如果兩個相似三角形的對應邊之比為3∶7,其中一個三角形的一邊上的中線長為2,那么另一個三角形對應中線的長為

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2∶3

圖4-7-3解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC.∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個三角形相似).

在運用相似三角形中對應線段的性質定理時,要注意分清線段的“對應”關系,以及兩個相似三角形的順序.知

關鍵[本課時認知邏輯]相似三角形實際問題計算或證明建模解決計算、推理相似三角形的性質定理對應線段的比等于相似比拓展[檢測]

1.已知△ABC∽△A1B1C1,頂點A,B,C分別與點A1,B1,C1對應,AC=12,A1C1=8,△ABC的高AD為6,那么△A1B1C1的高A1D1為

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42.已知△ABC∽△A1B1C1,頂點A,B,C分別與A1,B1,C1對應,AD,A1D1分別是△ABC和△A1B1C1的角平分線,已知AC=12,A1C1=9,A1D1的長為6,那么AD的長為

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83.圖4-7-4是一個照相機成像的示意圖,如果底片AB寬40