7.1.2復數的幾何意義【學習目標】1.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念.2.理解用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系.3.掌握用向量的模求復數的模的方法.【素養達成】數學抽象直觀想象數學運算一、復平面1.復平面:建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面.2.實軸:坐標系中的x軸叫做實軸,在它上面的點都表示實數.3.虛軸:坐標系中的y軸叫做虛軸,除了原點外,在它上面的點都表示純虛數.【教材挖掘】(P70)虛軸上的原點對應的復數是什么?提示:虛軸上的原點對應的復數是實數0.二、復數的幾何意義1.復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面內的點Z(a,b)一一對應.2.復數z=a+bi(a,b∈R)與平面向量OZ一一對應(O為原點).三、復數的模1.定義:向量OZ的模叫做復數z=a+bi(a,b∈R)的模或絕對值.2.記法:復數z=a+bi(a,b∈R)的模記作|z|或|a+bi|.3.公式:|z|=|a+bi|=a2四、共軛復數1.定義:一般地,當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數.2.表示:復數z的共軛復數用z表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么z=abi(a,b∈R).【版本交融】(人BP29嘗試與發現)互為共軛復數的兩個復數在復平面內對應的點有什么位置關系?提示:關于實軸對稱.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)復數z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,bi)表示.(×)提示:因為復數z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,b)表示,故錯誤.(2)在復平面內,虛軸上的點所對應的復數都是純虛數.(×)提示:因為原點(0,0)在虛軸上,但它所對應的復數不是純虛數,故錯誤.(3)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離,也就是復數對應的向量的模.(√)(4)若|z1|=|z2|,則z1=z2或z1=z2.(×)提示:如z1=1+i,z2=1i滿足|z1|=|z2|,但z1≠z2且z1≠z2,故錯誤.類型一復數與復平面內點的關系(直觀想象)【典例1】(2024·東莞高一檢測)已知復數z=(m22m3)+(m24m+3)i(m∈R)在復平面上對應的點為Z,(1)求點Z在實軸上時,實數m的值;(2)求點Z在虛軸上時,實數m的值;(3)求點Z在第一象限時,實數m的取值范圍.【解析】(1)因為點Z在實軸上,所以虛部m24m+3=0,解得m=1或m=3.(2)點Z在虛軸上時,復數的實部為0,所以m22m3=0,解得m=3或m=1.(3)點Z在第一象限,復數的實部與虛部都大于0,即m2-2m-3>0所以m的取值范圍是(∞,1)∪(3,+∞).【總結升華】復數與復平面內點的關系(1)關鍵:復數z=a+bi(a,b∈R)對應復平面內的點Z(a,b).(2)方法:根據復數的實部與虛部應滿足的條件,列方程(組)或不等式(組)求解.【即學即練】(2024·巴中高一檢測)已知復數z=i2i,則z對應的點Z在復平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為z=i2i=1i,所以z對應的點Z(1,1)在復平面的第三象限.【補償訓練】已知復數z=(m+3)+(m1)i(m∈R)在復平面內對應的點在第四象限,則實數m的取值范圍是()A.(3,1) B.(1,3)C.(1,+∞) D.(∞,3)【解析】選A.由復數z=(m+3)+(m1)i在復平面內對應的點在第四象限,可得m+3>0,m-1<0類型二復數與復平面內向量的關系(直觀想象)【典例2】在復平面內的長方形ABCD的四個頂點中,點A,B,C對應的復數分別是2+3i,3+2i,23i,則點D對應的復數為__________.

答案:32i【解析】記O為復平面的原點,由題意得=(2,3),=(3,2),=(2,3).設=(x,y),則=(x2,y3),=(5,5).由題意知,=,所以x-2=故點D對應的復數為32i.【總結升華】復數與復平面內向量的關系(1)關鍵:復數z=a+bi(a,b∈R)對應復平面內的=(a,b);(2)方法:解決復數與平面向量的一一對應問題時,以復數與復平面內的點一一對應為依據,從而實現復數、復平面內的點、向量之間的相互轉化.【即學即練】若O為復平面的原點,向量對應的復數是54i,向量對應的復數是5+4i,則+對應的復數是()A.10+8i B.108iC.0 D.10+8i【解析】選C.由復數的幾何意義,可得=(5,4),=(5,4),所以+=(5,4)+(5,4)=(0,0),所以+對應的復數為0.類型三復數的模與共軛復數(數學運算)【典例3】(1)已知復數z在復平面內對應的點位于第一象限,且滿足|z|=5,z+z=6,則z的虛部為________.

答案:4【解析】設z=a+bi(a,b∈R),a>0,b>0,則z+解得a=3b=4所以z=3+4i,虛部為4.(2)(教材提升·例3)已知復數z1=3+i,z2=12+32①求|z1|及|z2|并比較大小;②設z∈C,滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的軌跡是什么圖形?【解析】①因為z1=3+i,z2=12+3所以|z1|=(3|z2|=(-所以|z1|>|z2|;②由|z2|≤|z|≤|z1|,得1≤|z|≤2,根據復數幾何意義可知,|z|表示復數z對應的點到原點的距離,所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圓外部及圓上所有點組成的集合,|z|≤2表示|z|=2所表示的圓內部及圓上所有點組成的集合,所以復數z對應的點Z的軌跡是以原點O為圓心,以1和2為半徑的圓之間的部分(包括兩邊界).【總結升華】當復數的模確定時,復數對應的點到原點的距離是確定的,但對應的點是不確定的,這些點通常形成以原點為圓心的圓、圓面、圓環面等.【補償訓練】1.(多選)已知i為虛數單位,復數z對應的向量=(1,1)(O為坐標原點),z是復數z的共軛復數,則下列關于復數z的說法正確的是()A.z=1iB.若復數z在復平面內對應的點在直線x+ay=2上,則a=3C.|z|=2D.|z|=|z|【解析】選ABD.由題可得z=1i,z=1+i,則|z|=|z|=2,把點(1,1)代入x+ay=2,得a=3.2.設z∈C,滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形?(1)|z|=5;(2)2