學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、向量的加法求任意兩個向量和的運算，叫做向量的加法，兩個向量的和仍是向量。由于向量是自由平移的對兩個向量進行求和的過程,可按以下兩個法則進行。1。三角形法則已知非零向量a、b，在平面內任取一點A,作=a，=b，則向量叫做向量a、b的和，記作a+b,即a+b=+=。（1）利用向量加法的三角形法則求兩個向量的和如圖2-2—1（1)、（2)、（3)中,=a，=b，則+=。圖2-2—1圖2—2—1的（1）、（2）、（3）中各有兩個向量,只要把其中一個向量的起點平移，使之與第二個向量的終點重合，則從第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量,就是兩個向量的和向量.(2)向量加法的三角形法則適用的范圍及應用①三角形法則對于兩個向量共線時也適用.對于零向量,課本規定a+0=0+a=a（a≠0),我們可利用三角形法則，通過幾何作圖法作出a+0，0+a，a，觀察結果,去認識規定的合理性.圖2—2—2②任何一個向量均可以寫成兩個任意向量之和，只要注意到這個向量的起點、終點即可，如:=+，如圖2-2-2所示，這里的O點具有任意性.學法一得對于首尾相連的兩個向量的和，等于以第一個向量的起點為起點，以第二個向量的終點為終點的向量，這就是向量加法的三角形法則的幾何意義。記憶要訣不管平面內的點O選在何處，對于首尾相連的兩個向量的和向量,它的方向總是由第一個向量的起點指向第二個向量的終點。二、平行四邊形法則1。以同一點A為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線就是a與b的和。這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。圖2-2-32.用向量加法的平行四邊形法則求兩個向量的和時要注意以下幾點：（1）當兩個向量共線時,不能用平行四邊形法則求和，因為不可能以兩平行向量為鄰邊作平行四邊形,所以，平行四邊形法則對于兩個向量共線時是不適用的。(2）用向量加法的平行四邊形法則求兩個向量的和時，可在空間任取一點O,使兩個向量的起點同時移到點O上去，也可把其中一個向量的起點移到另一個向量的起點上去,再作和.學法一得以從同一點O出發的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則從公共點O出發的對角線表示的向量就是兩個向量的和，這就是向量加法的平行四邊形法則的幾何意義。三、向量加法的交換律和結合律1.向量加法的交換律先看看求兩個向量和時，兩個向量相加的次序能否交換。圖2—2-4讓我們回到加法的定義.已知向量a、b，如圖2—2—4所示，作=a,=b，如果A、B、C不共線,則=a+b。再看看b+a等于什么？作=b,連結，如果我們能證明=a,那么也就證明了加法交換律成立.由作圖可知,==b，所以四邊形ABCD是平行四邊形（為什么?）,這就證明了=a，即加法交換律成立。2。向量加法的結合律圖2-2—5如圖2-2-5，作=a，=b,=c，由向量加法的定義，知=+=a+b，=+=b+c,所以=+=(a+b)+c,=+=a+（b+c),從而(a+b）+c=a+(b+c),即向量的加法滿足結合律.學法一得與實數的運算相類比，向量也滿足交換律和結合律，利用向量的運算律，可有效地簡化向量的運算。四、向量加法的多邊形法則由兩個向量加法的定義可知，兩個向量的和仍是一個向量，這樣我們就能把三個、四個或任意多個(有限）向量相加。現以四個向量為例說明，如圖2—2-6。圖2—2-6已知向量a、b、c、d，在平面上任選一點O,作=a，=b，=c，=d,則=+++=a+b+c+d.已知n個向量,依次把這n個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第n個向量的終點為終點的向量叫做這n個向量的和向量.這個法則叫做向量求和的多邊形法則.當首尾順次相接的向量構成封閉的向量鏈時,其中各向量的和就是0.記憶要訣n個向量首尾順次相連，首起為起，終終為終點的向量叫做n個向量的和向量。典題?熱題知識點一向量加法的三角形法則例1某人先位移向量a:“向東走3km"，接著再位移向量b：“向北走3km"，求a+b。解：如圖2—2-7所示，適當選取比例尺，作圖2-2-7=a=“向東3km”，=b=“向北3km”，=+=a+b.因為△ABC為直角三角形,所以｜|=（km）.又∠AOB=45°，所以a+b表示向東北走km。例2用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖2—2-8如圖2—2-8，已知四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點O，且AO=OC，DO=OB.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.思路分析：要證明四邊形是平行四邊形，只要證明某一組對邊平行且相等即可。由相等向量的意義可知，只需證明其一組對邊對應的向量是相等向量.解:由已知得=，=.∵=+=+=，且A、D、B、C不在同一直線上。故四邊形ABCD是平行四邊形.例3輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40nmile（海里)到達B處,再由B處沿正北方向行駛40nmile到達C處。求此時輪船與A港的相對位置。思路分析：如圖2-2—9,設、分別表示輪船發生的位移，輪船到達C處可由確定，則=+.圖2—2-9解：設、分別表示輪船的兩次位移，則表示輪船的合位移，=+。在Rt△ADB中,∠ADB=90°，∠DAB=30°，|｜=40nmile，所以｜｜=20nmile，||=203nmile。在Rt△ADC中,∠ADC=90°，||=60nmile，所以｜｜=nmile。因為||=2｜|,所以∠CAD=60°.答:輪船此時位于A港東偏北60°,且距A港nmile的C處。方法歸納向量的模可通過勾股定理求解，方向可通過銳角的三角函數的定義求解。知識點二平行四邊形法則例4已知正方形的邊長為1，=a，=b,=c,試作向量a+b+c。解:如圖2—2-10,由已知得a+b=+=，又=c，所以延長AC至E，使||=||，則a+b+c=，|｜=。圖2—2-10例5兩個力F1和F2同時作用在一個物體上，其中F1=40N，方向向東,F2=30N，方向向北,求它們的合力。解：如圖2—2-11所示，表示F1，表示F2.以、為鄰邊作OACB，則表示合力F.圖2-2—11在Rt△OAC中，|｜=40N,｜｜=｜｜=30N。由勾股定理,得F=｜｜=（N).設合力F與力F1的夾角為θ，則tanθ==0.75。所以θ≈37°。答：合力大小為50N，方向向東偏北37°。知識點三和向量的模例6若|｜=8，|｜=5，則｜的取值范圍是()A.[3,8］B。(3，8）C.［3.13］D.(3,13）思路分析：∵=—，當、同向時，｜｜=8-5=3;當、反向時，｜|=8+5=13；當、不共線時，3≤|｜≤13.答案：C例7下列命題①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么,a+b的方向必與a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有++=0;③若++=0，則A、B、C為一個三角形的三個頂點;④若a、b均為非零向量,則|a+b｜與|a｜+｜b|一定相等。其中真命題的個數為()A。0B。1C思路分析：①假命題。當a+b=0時，命題不成立。②真命題。③假命題。當A、B、C三點共線時也可以有++=0。④假命題。只有當a與b同向時，相等，其他情況均為｜a+b|〉｜a|+｜b|.答案：B方法歸納(1)當向量a、b共線且同向時，｜a+b｜=｜a|+|b|；(2)當向量a、b共線且反向時，若｜a｜>|b|，則|a+b｜=｜a|-|b|；若｜a｜〈|b|，則｜a+b｜=|b｜-｜a｜。因為三角形中兩邊之和大于第三邊，由向量加法的幾何意義不難知道，當a與b不共線時,恒有｜a+b|〈|a｜+|b|，即兩個向量和的長度小于兩個向量長度之和。在一般情況下,有|a+b|≤｜a|+|b|.問題?探究方案設計探究問題課堂上老師布置作兩個向量的和，同學們選擇的始點通常都是不相同的，那么選擇不同的始點作出的向量都相等嗎?或許你會認為,這還需要理由嗎，這是“顯然”成立的。到底這種“顯然"是否正確，你能否設計一個方案邏輯地說明這個問題？探究思路：如圖2—2—12，在平面內任取一點A，以A為始點依次作向量=a，=b，連結向量，則由三角形法則知=a+b。再任取一點A′，以A′為始點依次作向量=a，=b,連結向量。圖2-2-12由于==a,故四邊形AA′B′B為平行四邊形，則AA′∥BB′且AA′=BB′。由==b,則四邊形BB′C′C為平行四邊形，則BB′∥CC′且BB′=CC′。所以AA′∥CC′且AA′=CC′,即四邊形AA′C′C為平行四邊形.則AC∥A′C′且AC=A′C′。又與方向相同，所以=.探究結論：選擇不同的始點作出的向量和都相等。于是你所認為的“顯然”是非常正確的，你的直覺沒有欺騙你.思想方法探究問題如果已知五個四邊形ACPH，AMBE,AHBT,BMHK，CKXP都是平行四邊形(所有四邊形的頂點按同一方向排列),那么四邊形ABTE也是平行四邊形，你能證明這個問題嗎？從中你能體會什么樣的數學思