學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2。2頻率分布直方圖與折線圖案例探究在上一節的案例探究中，作出樣本的頻率分布直方圖，再根據直方圖解決用水量標準問題.分析：作出它的頻率分布直方圖,就能夠方便的找出一個合適的標準，從而解決用水量標準問題！解：畫頻率分布直方圖。建立平面直角坐標系，以橫軸表示月均用水量，縱坐標表示頻率/組距，就得到了這組數據的頻率分布直方圖，如下圖所示:探究：1．一般地,作頻率分布直方圖的方法為：把橫軸分為若干段，每一段對應一個組的組距.然后以這些線段為邊作矩形,矩形的高等于該組的頻率/組距，這樣得出的一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構成了頻率分布直方圖。2．容易知道，頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數據在各個小組的頻率的大小,并且可看出在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積總和等于1．3．頻率分布直方圖比頻率分布表更直觀形象地反映了樣本的分布規律。一般來說,樣本容量越大,這種估計就越精確。4．如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為樣本的頻率分布折線圖。5．頻率折線圖的優點是它反映了數據的變化趨勢。如果將樣本取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則這條折線將趨于一條曲線，我們稱這一曲線為總體分布的密度曲線.結論：從上面所作的頻率分布直方圖中，我們可以看到,月均用水量在區間［2，2。5）內的居民最多，在［1.5，2）內的次之，大部分居民的月均用水量都在[1，3）之間.且可以計算出大約有88％的居民月均用水量在3噸以下，因此,居民月均用水量標準定為3噸是市政府可以考慮的一個標準。自學導引1．什么叫做頻率分布直方圖？作頻率分布直方圖的一般方法是什么？答案：我們可以利用直方圖反映樣本的頻率分布規律,這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖，簡稱頻率直方圖.一般地，作頻率分布直方圖的方法為:以數據的單位為橫軸單位,以頻率/組距為縱軸單位。把橫軸分成若干段,每一線段對應一個組的組距,然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率/組距，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率，這些矩形就構成了頻率分布直方圖。2．什么叫做頻率分布折線圖？答案：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來,就得到一條折線，我們稱這條折線為樣本的頻率折線圖。3．什么叫做總體分布的密度曲線？它反映了什么？答案：定義：樣本容量取得足夠大,分組的組距足夠小，相應的頻率折線圖將趨于一條曲線，這條曲線就叫做總體分布的密度曲線；總體密度曲線反映了總體的變化趨勢和總體在各個范圍內取值的百分比.4．在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積總和等于1．(因為各小長方形的面積=所對應區間的頻率，總面積=1)5．作有關產品尺寸的樣本的頻率分布直方圖時，用橫坐標表示樣本數據,用縱坐標表示頻率/組距，在橫坐標上以數據分組的兩端點表示的線段為底，在縱坐標上以頻率/組距為高作矩形。6．條形圖用高度來表示各組的頻率，直方圖用面積來表示各組頻率.7．從某校2100名學生中隨機抽取一個30名學生的樣本,樣本中每個學生用于課外作業的時間(單位:分鐘）依次為：75，80,85，65，95，100，70，55，65，75,85,110,120，80，85，80，75，90，90，95，70，60,60，75,90，95，65,75,80，80。該學校的學生中作業時間是一個半小時以上（含一個半小時)的學生有630人，所占頻率為0.3．（因為該樣本中作業時間超過一個半小時的有9人，則頻率=9/30=0。3;所以學生數=總體人數×0。3=2100×0.3=630）疑難剖析【例1】為了了解某地區高三學生的身體發育情況，當地教育機構抽查了本地區內100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結果如下(單位：kg）:56。569.56561。564.566。56464.57658。57273。556677057。565。56871756268。562。56659。563。564。567。57368557266.574636055。57064。5586470.55762。5656971.573625876716663．55659。563.5657074.568。56455。572。566.5687657。56071.55769。57464.55961。5676863。5585965.562.569。57264。575。568.5646265。558.567.570.5656666。5706359。5試根據上述數據畫出樣本的頻率分布直方圖與折線圖，并對相應的總體分布作出估計。思路分析：此題容量較大，首先要對所給數據進行分析,找到最大值與最小值以確定全距,再分組作出頻率分布表、頻率分布直方圖和折線圖.（1）在上節【疑難剖析】例1列出頻率分布表的基礎上繪制出頻率分布直方圖如下：（2）作頻率分布折線圖將上述頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到一條折線,這條折線就是所要作的折線圖。(如下圖所示）思維啟示：由于圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻率，這個矩形的面積的大小反映了數據落在各個小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面，頻率分步表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補充的作用。在得到了樣本的頻率后,就可以對相應的總體情況作出估計。例如可以估計,體重在（64.5,66.5)kg的學生最多，約占學生總數的16%；體重小于58。5kg的學生較少，約占12％；等等。【例2】為檢測某種產品的質量，抽取了一個容量為30的樣本，檢測結果為一級品5件，二級品8件，三級品13件，次品4件。（1)畫出表示樣本頻率分布的條形圖；（2）根據條形圖，估計此種產品為二級品或三級品所占的百分比約是多少？思路分析：由于總體中的個體取不同數值很少，只有四種：一級品、二級品、三級品和次品，可分別記為1，2，3和4。所以所取樣本的不同數值及其相應的頻率可用條形圖表示，并根據頻率分布條形圖估計總體分布。（1）在【疑難剖析】例2列出頻率分布表的基礎上畫樣本頻率分布的條形圖為（2）此種產品為二級品或三級品所占的百分比約是0。27+0。43=0。70=70％.思維啟示：頻率分布表在數量表示上比較確切，而頻率分布條形圖比較直觀，兩者相互補充,使我們對數據的頻率分布情況了解得更加清楚。特別應引起同學們注意的是條形圖與直方圖畫法的區別.【例3】有一容量為50的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：［10，15)4,［15，20）5，［20,25)10，［25，30）11，［30，35）9,［35，40)8,［40，45）3（1）畫出頻率分布直方圖；(2）估計總體中，個體分布在［20，35）之內的約占總體的百分之幾？思路分析：本題考查樣本的頻率分布直方圖的畫法以及用樣本頻率分布估計總體分布.由于是連續型總體，從而可用頻率分布直方圖表示樣本的頻率分布，并估計總體分布。（1)在上一節【疑難剖析】例3列出頻率分布表的基礎上畫頻率分布直方圖為（3）由頻率分布表知數據落在［20，35）范圍內的頻率為0。20+0。22+0.18=0。60，總體中，個體分布在［20,35)之內的約占總體的60％.點評:頻率分布直方圖是用小矩形的面積表示該區間內取值的頻率，所有小矩形的面積之和等于1．思維啟示：用樣本的頻率分布估計總體分布，分以下兩種情況：1．當總體中的個體取不同數值很少時，用頻率分布表列出幾個不同數值的頻率，用相應的條形圖的高來表示取各個值的頻率；2．當總體中的個體取不同數值很多、甚至無限時，用頻率分布表列出各個不同區間內取值的頻率,用相應的直方圖的面積來表示在各個區間內取值的頻率?！纠?】200輛汽車經過某一段公路的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在［50,60）的汽車大約有。思路分析：本題考查學生逆向思維能力，再現由頻率分布直方圖對總體進行估計，從頻率分布直方圖上找出所要求的信息。解：由于圖中的縱坐標是頻率除以組距,所以小矩形的面積就是對應本部分區間的頻率，于是在［50，60）內的車輛大約有：（60—50）×0。03×200=60輛。思維啟示:直方圖中第二個小矩形的面積約等于總體中的個體落在區間［50，60)內的百分比.拓展遷移【拓展點】下面列出43位美國歷屆總統（從1789年的華盛頓到2001年的小布什）的就任年齡:57615757585761546851496450486552564654495147555554425156555154516062435556615269644654（1)以5為組距畫出相應的頻率分布直方圖和折線圖，并用自己的語言描述一下歷屆美國總統就任年齡的分布情況。（2）以4為組距畫出相應的頻率分布直方圖和折線圖，并用自己的語言描述一下歷屆美國總統就任年齡的分布情況。(3）兩次所做的頻率分布直方圖及折線圖相同嗎？試分別估計就任年齡在55歲以下的頻率，并與實際頻率作比較。解析：(1）以5為組距列頻率分布表如下:年齡分組頻數頻率頻率/組距［40，45)20.04650.009［45，50）60.13950。0279［50,55）130。