相他三角形幾何模型版與題（精送精株）

【題型目錄】

【題型1】“A字”模型；....................................................................2

【題型2】“反A字”模型；..................................................................2

【題型3】"8字”模型；.....................................................................3

【題型4】“反8字”模型；..................................................................4

【題型5】“雙A字”模型；..................................................................5

【題型6】"雙8字”模型；...................................................................6

【題型7】“4字模型”與“8字模型”綜合；....................................................6

【題型8】“共邊等角”模型；................................................................7

【題型9】“共頂點等角“模”；...............................................................8

【題型10]“母子”模型.....................................................................8

【題型11】與“射影”模型；................................................................10

【題型12】“一線三直角”模型；............................................................11

【題型13】“一線三等角”模型；............................................................13

【題型14】“對角互補”模型；...............................................................15

【題型15】“十字架”模型；................................................................16

【題型16]''三角形內接特殊四邊形”模型；..................................................16

【題型17】“雙垂直等角”模型..............................................................18

【題型18]“旋轉相似”模型...............................................................18

【題型19】“旋轉手拉手”模型..............................................................19

【題型20]“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.........................................20

???

【題型1】“A字”模型；

1.（2024.貴州貴陽.二模）如圖，在RtAX鬣中,D"分別為邊因，4。上的點，連接"，將"BC沿

nF折疊，使點。與點A重合，若4/!￡=■?，則＞48的長為（）

2.（24-25九年級上?江蘇南通?開學考試）如圖，在UBC中，-90*,將AABC沿直線AC'翻折后，頂

點。恰好落在48邊上的點。處，已知MNA?,MC-6-4，則四邊形M4&Y的面積是.

3.（23—24九年級下?全國?期中）如圖,在_4紀中，。在』O上，。鼠BC,DFAB.

⑴求證：二ar二加；

1品%-

CD^-AC

⑵若3，求S,的值.

【題型2】“反A字”模型；

4.（2025九年級下?全國?專題練習）如圖，Rt1/8C中，NB=90?，點。在邊月。上,且。F/4C交A7于

點E.

⑴求證：_CZ）F-CBA；

⑵若.鉆二&是反'中點，求DE的長.

D

BE

5.（19-20九年級上?全國?課后作業）如圖，處，分別是AC與4B邊上的高.

求證:ABC.

.A

6.（23-24九年級下?貴州黔東南?階段練習）如圖，中,AB?AC^A,反*■,以48為直徑的

。。分別交AC,5c于點。，瓦連接ED,則的長為（）

公

5'-----EC

25

A.1B.TC.2D.2

【題型3】“8字”模型；

AF

7.（23-24九年級上?北京?階段練習）如圖，在菱形兒BCD中點后在BC上，43?5,因?3,則而為

（）

AD

欠

BEC

3￡45

A.5B.7C.TD.3

8.（23—24九年級下?山東棗莊?開學考試）如圖，在一月紀中，點&是線段A。上一點，432,過

點。作8油交SE的延長線于點。，若-/I5E的面積等于4,則-8CP的面積等于（）

9.（24-25九年級上?上海?階段練習）如圖，點￡是平行四邊形兒9CD邊4。延長線上一點，BE交8于

點H,如果前一^,那么兩

DE

【題型4】“反8字”模型；

10.（24-25九年級上?上海奉賢?階段練習）如圖，已知在四邊形ABCD中，月。與見，相交于點O,

⑴求證：4OD上8。。；

⑵若QOBHSg”,求的值.

11.（24-25九年級上?廣西桂林?期中）如圖，4C,班）相交于點。，-5?一I'

（1）求證一DCU；

⑵已知3,2,M0B的面積為6,求△DOC的面積.

12.（23—24九年級上.安徽.單元測試）已知：如圖，在。。中，弦48相交于點P,??|=2,/S-6,

汽'=3,則用=

ti

D

【題型5】“雙A字”模型；

13.（24—25九年級上?全國?期末）如圖，4。是3c的中線，p為月0上任意一點，連接即并延長交

/C于F,連接W并延長交48于￡,連接即.求證：斯

14.（2024九年級上?全國?專題練習）如圖1,已知"SC,D是上一點，即，BC交48于點E，交月＜?

BGGF

于點尸，連接4。，力。與斯交于G.求證:而=慶\

15.（24-25九年級上?上海?階段練習）如圖，A。和雙'相交于點M-3D,點尸在CD上U4,

S川3.

⑴求郎的長；

⑵已知S.=：3，求的面積.

BD

16.（2024?遼寧?模擬預測）據《墨經》記載,在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了“小孔成像”實驗,

闡釋了光的直線傳播原理.小孔成像的示意圖如圖所示,光線經過小孔O,物體48在幕布上形成倒

立的實像CD（點人、B的對應點分別是C、D）.若物體45的高為,實像CD的高度為12、,，則

小孔O的高度CE為口】.

EC

【題型6】“雙8字”模型；

17.（2024.吉林長春模擬預測）如圖，在中，點D、尸分別在邊反'、48上，線段加）、。尸相交于點

DC-12,AB:XD~35.若二4b'的面積為2,則一月寬’的面積為（）

BD

AZ=_EBAF——FD

18.（2024.陜西渭南.二模）如圖，平行四邊形兒火工」中，2,3，連&F交業’于G,則

AC.GC-.

19.（23-24九年級上?上海松江?階段練習）如圖，平行四邊形月我中，13,E，尸是對角線月C上

的兩點，且點后,尸是線段4c的三等分點，￡將交48于點M,W交CD于點N,則.

DNC

AMN

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合;?M

20.（24—25九年級上?河南南陽?階段練習）如圖，45CDEF,小？與班:，相交于點E,若,

CD

A.3B.2C.3D.4

21.（23—24九年級下.浙江金華.開學考試）如圖，在平行四邊形兒文工）中，4是邊AD延長線上的一

點，連結BE交邊8于點F，交對角線AC于點G,若DA-1.g?2,則

【題型8】“共邊等角”模型；

22.（23—24九年級上.遼寧鞍山?期中）如圖，”平分一￡4（7,。為AE中點，乙8?47,求證：3-%，

23.（24—25九年級上?遼寧沈陽?階段練習）如圖，在Rt&lBC中，/4C8?90*,

的J.AS于8,點。為射線SE上一點，連接力。，若一四D與一力5V相似.

（1）求AD的長；

（2）請直接寫出一檢D與乙45c的面積比.

?M

A

E

\

CB

24.（2024.江蘇揚州.三模）如圖，在區1'/31'中，乙1（?8?90*,AB-i，。為直線4。左側一點.若

-ABC,則二，二+，二J的最大值為.

【題型9】“共頂點等角“模”；

25.在UBC和一4ED中，45疝）?力。公，,求證：工XBC*s二皿）.

26.（23—24九年級上?廣東深圳?期中）在銳角三角形4度，中，點。、E分別在邊AB^AC±,AFJ.BC于

點F,AG1DS于點G,Z547-ZZ4G.

⑴求證?_月&；

⑵若4E-5,月G=2,EG?l,求,畫的長.

【題型10]“母子”模型

27.（24—25九年級上?山東荷澤?期中）如圖的頂點48在。。上，邊月。與。。’相交于點

ZB4C-45,，連接8交于點及乙iDO-，C.

（1）求證：是。。的切線；

⑵若49?12，郎~3，求助的長.?M

28.(22—23九年級上?浙江杭州?期末)如圖，在正五邊形質B2中，連結乂CAD.CZ.CE交AD于點F

(1)求一IX。的度數.

(2)已知小2，求W的長.

ABAC

29.(24-25九年級上?浙江?期中)如圖，在-ABC中，。是月U上一點，已知芯=Q.

(1)求證：=48。=廣C；

(2)已知，一C-40?，求NCSO的度數.

30.(24—25九年級上?浙江?期末)如圖，在一月3c中，。為邊A8的中點，點E在邊4C上，連結加，并延

長ZD至點F,連結4T,使仙“8C,且爐工FD?FB-

(1)求證：ZWD=/F幽.

⑵若HB70求上'的長.

?M

FA

31.（24-25九年級上?湖南岳陽?期中）探究:

⑴如圖一，若乙-ZDK*，求證：*?CDC4；

⑵如圖二，若乙4CH?，“'=B及、=4,求的長;

⑶如圖三，在等腰直角J3C中，＞「3=加$，。是平面內任意一點，且心=，求

所+標

的最小值.

【題型11】與“射影”模型;

32.（20-21九年級?江蘇南京?自主招生）點G為DC的中點，CD?119,△DEG沿戰:翻折使點

F落在BE上，四邊形ABCD為矩形,求EG

33.（24-25九年級上?湖南長沙?階段練習）如圖，點￡是正方形A3CD邊BC上一點，過￡作』E的垂線,

交C"于點尸，交川；的延長線于點G.

⑴求證：一A9E-SCF；

⑵若正方形的邊長為3.點后是反'的中點，求加的長.

34.（24-25九年級上?吉林長春?期中）如圖,在平面直角坐標系中，點'，），點…D分別在1軸,.「軸

的正半軸上，線段。月、CB的長度都是方程1-八+2-0的解，且。3＞。從若點p從C點出發，以每

秒1個單位的速度沿射線運動，連結AP.

（1）如圖：，判斷三角形乂氏'的形狀,并說明理由.

（2）在點P運動過程中，利用圖1及備用圖1探究,當二月0P周長最短時，求點P運動的時間.

（3）在點F的運動過程中，利用備用圖?探究，是否存在點P，使以點A,Q,P為頂點的三角形與

一八」5相似？若存在，求出點F的坐標;若不存在,請說明理由.

35.（2024.遼寧?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形以反、的邊CD、。/1分別在\軸和,「軸上,

C/4-15，點。是邊48上靠近點A的三等分點，將一$1。沿直線QD折疊后得到一口4。，若反比例

k

函數=f（A*0）的圖象經過八?點，則%的值為（）

A.27B.48C.54D.108

36.（22—23九年級上?內蒙古鄂爾多斯?階段練習）（1）如圖I,點2為正方形的。對角線月C上一動點,

過點后作即D交BC于點F,試判斷線段ED、EF的數量關系，并說明理由；

(2)如圖［，點E為矩形值。對角線從。上一動點，過點￡作即±￡。交SC于點尸，若加,

DEDE

乙iCB?3(r，試判斷定的值是否為定值？若是定值，請求出百的值;若不是定值,請說明理由.

37.(24—25九年級上?全國?期末)如圖，點&是矩形月夙工」中4。邊上一點，一四E沿5E折疊為.鹿，點

尸落在CD上.

(1)求證：一CE5一一「即；

DE=1

⑵若定=1，次—/皿，求5F的值；

38.(24-25九年級上?四川成都?期中)【定義】

平行四邊形一組鄰邊的中點與不在這組鄰邊上的頂點順次連接而成的三角形如果是直角三角形，則

稱這個三角形為平行四邊形的“中直三角形”.

【初步感知】

AD

如圖1,13CD為矩形，即為其“中直三角形”，其中「卿=90?，求行的值；

【深入探究】

AD

如圖1,.BF為」4次'。的"中直三角形"，其中JCF￡-90*，上BYT,求行的值；

【拓展延伸】

AB4

在一/BC中，3=90?，羨，以J3IC為中直三角形的平行四邊形的一組鄰邊的長記為以“，其

m

中)n>“，請直接寫出7的值.

?M

AED

圖1圖2

39.（24—25九年級上?陜西榆林?期中）（1）如圖：，在矩形月或'。中，&為4b邊上一點，連接,過點

E作即J.DE交BC于點F.

【探究證明】?求證：aiiDs△司芯；

【特例分析】若幺3-10,4。?6為48的中點，求SF的長.

【衍生拓展】⑵如圖2,在^ABC中，90*,68,D是因的中點，射線DK,“

DE

分別交48，4:？于點后，耳，且一劫產?90*,求正的值.

【題型13】“一線三等角”模型；

40.（24-25九年級上?江西撫州?期中）如圖，在等邊三角形45c中，點P是邊BC上一動點（P點不與端

點重合），作-60*,PE交邊月O于點&,PD交邊A8于點D.

⑴求證：_9吟-CEP；

⑵若4010,五13,BPCP-4【，求CE的長.

41.（2024?河北秦皇島?模擬預測）如圖，J3C和-D那是兩個全等的等腰直角三角形，

ZfUC-NADF?90*,GEF的頂點&與-ABC的斜邊房?的中點重合，將AD臚繞點E旋轉，旋轉

過程中,線段DB與線段A上，相交于點P，線段即'與射線CA相交于點Q.

(1)如圖①，當點。在線段人,上，且山?4。時,求證:ABPE二二rf；

⑵如圖②，當點。在線段CA的延長線上時，求證：-BPE-CEQ.

圖①圖②

【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定、三角形的

外角性質.

(1)由一/A?是等腰直角三角形，易得又由觸?40,后是5c的中點，利

用勺AS,可證得：苫；

⑵由_ABC和必職是兩個全等的等腰直角三角形，易得/8?4>〃斯?45"然后利用三角形

的外角的性質，即可得N彩P-，則可證得：-BPS-C3Q.

(1)證明：是等腰直角三角形，

ZB-ZC-45,,AB-4C,

:AP=AQ,

BP=CQ,

?.?b是次的中點，

BE^CE,

在AB陽和.中，

fBE^CE

jzB-ZC

-BPE-Ct'i,lSAS).

(2)證明：反'和LD明是兩個全等的等腰直角三角形，

ZB-ZC-ZZ)￡F-45*,

?.?3070C+NC,

即XBEP+^DEF-Z5：C+zC,

3tm45?Y喀+45?，?M

4BSP="QC,

dSPRsaCXQ.

42.（24-25九年級上?遼寧沈陽?期中）［問題提出］

點E是菱形ABCD邊上一點，-A￡F是等腰三角形，Aff.￡F,￡ABF~ZABC~a,

（OD*<a<lS0,）AF,即交邊CD于點G,H,連接OF.探究一女字與a的數量關系.

⑴如圖L當a-9『時，求NGCF的度數;

（2）如圖2,當a?H0?時，的度數=；當9（T4a<180?時，求一的與a之間的數量關

系.

［問題拓展］

當a?90?時，若,則=.

【題型14】“對角互補”模型；

43.（24—25九年級上?全國?課后作業）如圖，在Rt/BC中，口、=90?，4（【慶’，。是45邊上一點，且

BD^2AD,E是40邊上的動點，過點。作QE的垂線交線段BC?于點F,試探究線段,BF,AB

之間的數量關系.

44.（24—25九年級上?河北石家莊?階段練習）如圖，在中，乙4。8?90*,45（?=30?，直角

OA￡

一，花孔’的頂點。在45上，。M、ON分別交。、。8于點？、。，一欣爾繞點0任意旋轉，當西=?

OP04mOP

時，3口的值為；當麗時，】‘〔'的值為.（用含小，"的式子表示）

?M

【題型15】“十字架”模型；

45.（24—25九年級上?山東苗澤?期中）如圖，在矩形45CD中，4。是對角線，曲14C于點F,交4。于

點E,TS=4,求的長.

46.（23-24九年級上?重慶沙坪壩?階段練習）如圖所示,將矩形小。分別沿SE，即，FG翻折,翻折后

點人，點。，點。都落在點H上，若=4，則GH=

47.（2024九年級上?全國?專題練習）（1）如圖①，四邊形從反少為正方形，哥'_L4E，那么"與？1E相等

嗎？為什么？

（2）如圖②，在Rt&lbC中，B4-BC.ZABC-90*.D為AT邊的中點，即14＞于點B,交4?于點尸，

求斯5V的值；

（3）如圖③，Rt—CB中，44BC=90\D為邊的中點，即，/。于點E,交于點F,若

AB-^BC-4，求的長.

【題型16】“三角形內接特殊四邊形”模型;?M

48.（24-25九年級上?浙江?期末）有一塊三角形余料，它的邊，高線4D?SQmm要把它加

工成矩形零件，使矩形的一邊在灰’上，其余兩個頂點分別在48,4。上.設」,

爾..Nmm）

（1）求夕關于，的函數表達式及自變量C的取值范圍.

.2.

（2）當?'=?'時，求加工成的矩形零件的周長.

49.（24—25九年級上?山東聊城?階段練習）如圖，有一塊形狀為直角三角形的余料43c.已知90?，

AB-6力，4（7=S:m,要把它加工成個平行四邊形工件;面G，使印在邊友?上，。，E兩點分別在

邊八8,AC上，且5cm，則平行四邊形。冊？的面積為.

50.（2023九年級上?全國?專題練習）如圖，在_ASC中，5C-12，高居-6,正方形ZTOH一邊在5c上,

點三F分別在4B.A「上，交即于點"，求人”的長.

51.（2024九年級上.全國.專題練習）如圖，在qABC中，CQ，48于點。，正方形打（；〃的四個頂點都在

j_JL_L

-481的邊上.求證：A?+CDFF

【題型17】“雙垂直等角”模型

52.（24—25九年級上?四川達州?期末）如圖，在正方形45VD中，點E是對角線班）上一點，連接￡4，過

點E作/1E的垂線交5c邊于點斤，連接并延長（宏，交月D邊于點G.

⑴求證：府=EF；

（2）若月E=4,無?3k,求線段0E的長.

53.（2024.黑龍江大慶.模擬預測）如圖，在Rt./直'中，一41'8=9（T,AC~3,BC-A,E為線段48上一

CF^-CE

動點，?且4，當點E從點8運動到點人時，點R的運動路徑長為

54.（23—24九年級上?四川內江?階段練習）如圖，和.既X’都是等腰直角三角形，

ZAe?ZJCD?如?，頂點A在邊￡0上，48與Cff相交于點『若/&=?,3-4，則二的面積為

【題型18]“旋轉相似”模型?M

55.（24—25九年級上?全國?課后作業）如圖，_刊慶'和CTF均為等腰直角三角形?一即'?90',

E在內，NC1Z+NC郎=90,.若郎=1,?,則C￡=.

56.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，在45C0中，",石。相交于點。，將“5C。繞點。旋轉至

nEDCF的位置,點B的對應點恰好落在點。處，B,。，。，E四點共線,請完成下列問題：

（1）已知一則一網二）-（用含a的代數式表示）；

（2）若A??］，則二J的長為.

【題型19】“旋轉手拉手”模型

57.（24-25九年級上?河南信陽?階段練習）四邊形從度'D和四邊形人必W、'有公共頂點4連接SM和

DN.

（1）如圖1,若四邊形ABC'D和四邊形公仆W都是正方形，當正方形4MPN繞點/旋轉Q角

（『<<1<360*）時,8卸和加的數量關系是，位置關系是；

ABAM_1

（2）如圖2,若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，且而二石廠有,判斷8M和ZW的數量關系

和位置關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若,3/=【，矩形4MW繞點A逆時針旋轉a角0<a<36（r）,當

MN，肪時，直接寫出線段2W的長.

58.（24-25九年級上?山東日照?階段練習）【問題呈現】

△C4B和二CD芯都是直角三角形，,CB-冽C4,,連接,8E，探究

AD,BE的位置關系.

（1）如圖1,當m?1時,直接寫出4Q與8E的位置關系：；AD與BE的數量關系為；

（2）如圖2,當加?1時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，寫出正確的結論并說明

理由.（AD與5E的數量關系可用含，力式子表示）

【拓展應用】

⑶當m?后，4B=2",4時，將二CD芯繞點。旋轉，使A,D,M三點恰好在同一直線上，求

59.（23-24九年級上?云南玉溪?期末）ii如圖1,正方形ABCD和正方形Q及鼠：（其中/IB>DE），連接

CE,4G交于點H，請直接寫出線段4G與CE的數量關系，位置關系；

.如圖〕，矩形ABCD和矩形DZTC,AD-2DG,AB?IDS.AD^DR，將矩形-底;；繞點；逆時

針旋轉a（『<a<36（T）,連接AG,CE交于點H，U）中線段關系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若

不成立，請寫出線段AG,CE的數量關系和位置關系，并說明理由；

⑶矩形4MD和矩形DWG,4D-2DG?6,,將矩形皿G繞點D逆時針旋轉

a00<a"I,直線4G,G：.交于點〃，當點&與點H重合時,請直接寫出線段AE的長.

【題型20】“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.

60.（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，在J3C中，改、-4,夙尸分別是46?,水'的?中點?，動

點P在射線即上，即交Cff于點。，一C5P的平分線交Cff于Q,當C°二『'E時，*>+8尸（）

A.8B.4.C.4D.10

?A

相他三角形幾何模型版與題（精送精株）

【題型目錄】

【題型1】“4字”模型；...................................................................2

【題型2】“反人字”模型；................................................................4

【題型3】“8字”模型；....................................................................6

【題型4】“反8字”模型；.................................................................8

【題型5】“雙人字”模型；...............................................................11

【題型6】“雙8字”模型；................................................................15

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合；.................................................18

【題型8】“共邊等角”模型；..............................................................19

【題型9】“共頂點等角“模”；............................................................22

【題型10]“母子”模型..................................................................23

【題型H】與“射影”模型；...............................................................29

【題型12】“一線三直角”模型；...........................................................35

【題型13】“一線三等角”模型；...........................................................44

【題型14】“對角互補”模型；............................................................49

【題型15】“十字架”模型；...............................................................52

【題型16】“三角形內接特殊四邊形”模型；...............................................56

【題型17】“雙垂直等角”模型............................................................59

【題型18]“旋轉相似”模型..............................................................63

【題型19】“旋轉手拉手”模型............................................................66

【題型20]“平行線+角平分線=等腰三角形模型”......................................74

【題型1】“A字”模型；

1.（2024.貴州貴陽.二模）如圖，在RtAX鬣中,D"分別為邊因，4。上的點，連接"，將"BC沿

nF折疊，使點。與點A重合，若4/!￡=■?，則＞48的長為（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，由折疊性質得

,及J的F'C,求得￡0?施匚7F?3，再證明4a0-LABC,得

EDJC_1

/=而=三，則45?？屹-6,于是得到問題的答案.求得即?3，并且證明.jSDC?八心。是解題

的關鍵.

：DiC=ZDA4=Ll8(r=90-

EC=RA=—AC

解：由折疊得

:AD~5,A￡~4,

：.XD-4AD-AR：=75-4;-3,

???ZDFC=ZF4C=P0*,ZC=ZC,

二EDC、,^A3C,

ED_EC

7B"ACS2,

^S-2￡D-2x3-fi,

故選：B.

2.（24-25九年級上?江蘇南通?開學考試）如圖，在LABC中，-C-州?，將AABC沿直線翻折后，頂

點C恰好落在48邊上的點D處，已知MNA?,MC-6,M7-4，則四邊形M4BN的面積是

【答案】36

【分析】此題考查了折疊的性質、相似三角形的判定與性質以及直角三角形的性質.首先連接CD,交MV

于七，由將-48。沿直線J/V翻折后，頂點「恰好落在48邊上的點「處，即可得AW1S,且

蠹」DE,又由MXAR,易得一CAWC45,根據相似三角形的面積比等于相似比的?平方，M相似三角

形對應高的比等于相似比，即可得;，1CD）4,又由M：=6J、'。-4，即可求得四邊形的面

積.

解:連接8,交從"于反，

?.?將J8C沿直線翻折后，頂點。恰好落在48邊上的點口處,

MNLCD,SLCE-DE,

CD-2CE,

;MNAB,

CDLAB,

占CW￡C4B,

?.?在ACW中，-90,,MC-6,M7r4,

S…=1CM.CM=1>>6?4312

--，

s,=45,=4>12=48,

$“i=S,,-S-=4ST"X.

故答案為：36.

3.（23—24九年級下?全國?期中）如圖，在_AfiC中，。在月。上，DEBC.DFAB.

⑴求證：_A?D；

CDs—AC

⑵若3，求'的值.

【答案】（1）見解析（2）；

【分析】本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

⑴由題意得出二射’-四「-月曲’」的，然后問題可求證；

AD=二"

（2）由（1）及題意得出.-3，然后根據相似三角形的面積比與相似比的關系可得

■

9?舊￡，然后問題可求解.

解：⑴?.?JFBC.DFAB,

ABC?出ADR?NC/CFD?ZB.ZCDP-A,

一-ABC--AED^ABC,

^DFCs拄D.

(2)由(1)可知AABC^AEDs.ABC；

^CD^-AC

3,

AD-jAC

9

DK■]S_”.S_g-,S-山

g

?*.uo?

【題型2】“反A字”模型；

4.（2025九年級下?全國?專題練習）如圖，Rt:中，/3=90。，點。在邊幺。上，且DE/4。交友'于

點E.

（1）求證：&。*4俎；

⑵若/=6BC=8,E是友1中點，求DE的長.

【答案】⑴見解析⑵24

【分析】（1）由DA_L4C,N8-90*可得出再結合公共角相等，即可證出；

⑵在Rtd5、’中，點E為線段度'的中點可求出CE的長，再利用相似三角形的性質，即可求出：＞S的長.

本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

解：（1）證明：：OF_L-5=P0,.

ZCD￡-90,-Z5.

又：

^CDE；

⑵在Rl/S「中，NB-W,AS-6,3C-S.???

AC=-jBC+A3=10

是反'中點，

Cg=lsC=4

v^CDE^CBA,

/.'BA~CA

DE_4

即7-=而

5.（19-20九年級上?全國?課后作業）如圖，5D,CE分別是從'與45邊上的高.

求證：一一3C.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵.根

據BD,CE分別是與A8邊上的高,得到-ADS~^A3C~90,,根據相似三角形的判定和性質定理即

可得到結論.

證明：80,08分別是月C與A8邊上的高，

乙IDB=90,,

-A-a,

.AI^-.AEC,

空■生

而一而，

即而

6.（23—24九年級下.貴州黔東南.階段練習）如圖，_A9C中，月3「月。=4瓜？=,以八八為直徑的

分別交41,，放'于點。，及連接即，則口）的長為（）

?M

'1)

BEC

25_

A.1B.TC.2D.T

【答案】B

【分析】本題考查圓中求線段長，涉及圓周角定理及其推論、等腰三角形判定與性質、圓內接四邊形性質、相

似三角形的判定與性質等知識，先由直徑所對的圓周角是直角，再由等腰三角形三線合一得到

無?"?、萬，根據圓內接四邊形性質得到一。?一3?一EDC，結合三角形相似的判定與性質即可得到

答案，熟練掌握圓的性質及相似三角形性質求線段長是解決問題的關鍵.

解：連接耳￡,如圖所示：

為J的直徑，

ZAS8-90?，即AEJ.SC,

在-Ab，中，月s-』：一45m5

則BE-CE-6,

,四邊形/I斑￡＞是J的內接四邊形，

???Z5DC-Z5,

?「在中；。

工■空DC,

-ABC--ECD,

生=里

BC=~AB,

半?近8二日萬一3

即4，解得42,

故選：B.

【題型3】“8字”模型；

AF

7.(23-24九年級上.北京.階段練習)如圖，在菱形48CD中，點E在5C上，兒8-5,改=3，則數為

()?M

3￡45

A.5B.7C.TD.I

【答案】。

【分析】根據菱形的性質，三角形相似的判定和性質解答即可.

本題考查了菱形的性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

解：?.?四邊形兒5co是菱形，兒8,5,即-3,

：,4。115c.DA-AB~5,

二口兒7_BSP，

AFDA5

SE~1,

故選：D.

8.（23—24九年級下.山東棗莊.開學考試）如圖，在二AST中，點&是線段月。上一點，月EC￡-l：!，過

點C作CD四交BE的延長線于點。，若_兒5￡的面積等于4，則一BCD的面積等于（）

A.8B.16C.24D.32

【答案】。

【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質，根據三角形的面積公式

求出一必E的面積的值是本題解題關鍵由-灰‘￡中」邊上的高和一2中AE邊上的高相等可求得

S一=3,根據相似三角形的判定證得_CD￡,根據相似三角形的性質即可求得結果.

解：?.?_及￡中邊上的高和一蛇￡中邊上的高相等，且，4E-12,

...S..?電心-2x4-8,

?/CDAB,

???上ABE=ZD^DCB,

.ABE--CDE,

BEAE

~DE~CE~^,

?.??<=2S.m41ti=2x8=16,

」BCD的面積等于8+16?24?M