軸對稱易錯訓練（6類易錯）

01易錯總結

目錄

易錯題型一線段的垂直平分線與角平分線的判定定理證明易錯.....................................1

易錯題型二求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產生易錯............................9

易錯題型三當等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論產生易錯...........................13

易錯題型四求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產生易錯..................................15

易錯題型五等腰三角形中與高線及其他線結合沒有分類討論產生易錯.............................22

易錯題型六等腰三角形中與新定義型問題結合沒有分類討論產生易錯.............................25

02易錯題型

易錯題型一線段的垂直平分線與角平分線的判定定理證明易錯

例題：（23-24七年級下?山東威海?期中）如圖，在△48C中，。是8c的垂直平分線上一點，過點。作

DEVAB,DFVAC,垂足為點E,F,BE=CF.求證：點。在//的平分線上.

【分析】本題考查了直角三角形的判定和性質，角平分線的判定，熟練掌握知識點并添加適當的輔助線是

解題的關鍵.連接4D,先證明RMOEB之RQD尸C（HL）,可得DE=DF,再根據角平分線的判定定理求解

即可.

【詳解】證明：連接ND,

A

■：DEYAB,DFLAC,

:./DEB=NDFC=90°,

在RtZ\DEB與RtAZ>^C中,

jDB=DC

'\BECF'

...RtAZ>￡,S^RtAZ）FC（HL）,

DE=DF,

.〔AD平分/B/C,

.?.點。在//的平分線上.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?陜西咸陽?階段練習）如圖，在△Z3C中，點。在3c邊上，連接ND,有

ZBAD=100°,/ABC的平分線BE交AC于點、E,過點E作EFL4B交BA的延長線于點F,且AAEF=50°,

連接DE.求證：平分24DC.

【答案】見解析

【分析】

此題考查了角平分線的性質，理解角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點在角的平

分線上是解答此題的關鍵.過點E作EG14。于點G,EH1BC千點、H,先通過計算得出

ZFAE=ZCAD=40°,根據角平分線的性質得EF=EG,EF=EH,進而得EG=EH,據此根據角平分線的

性質可得出結論

【詳解】證明：如圖，過點E作EG，/。于點G,EH上BC于點、H,

■：EF1AB,ZAEF=50°,

=90°-50°=40°,

ABAD=100°,

ACAD=180。-100。-40。=40°,

AFAE=ACAD=40°,即NC為ND4尸的平分線.

又EFLAB,EGVAD,

EF=EG.

BE是N4BC的平分線，

.-.EF=EH,

EG=EH,

點E在ZADC的平分線上，

:.DE平分NADC.

2.（23-24八年級上?吉林?期中）如圖，在a/BC中，邊AB、ZC的垂直平分線分別交3c于點D、E,直線

(1)試判斷點。是否在8c的垂直平分線上，并說明理由;

⑵若NB4c=100°,求AMON的度數.

【答案】(1)點。在8c的垂直平分線上，理由見解析

(2)80°

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質與判定是解題的關鍵.

(1)連接/。、BO、CO,根據垂直平分線的性質可得/。=2。,C。=/。，則8。=。。，根據垂直平分線

的判定可證明結論

(2)證明=N4NO=90。，又由Nft4c=100。及四邊形內角為360。即可得到乙WON的度數.

【詳解】(1)點。在2c的垂直平分線上，理由如下：

連接/。、BO、CO,

,:邊4B、ZC的垂直平分線分別交8C于點。、E,直線。M、EN交于點O.

：.AO=BO,CO=AO,

：.BO=CO,

.??點。在2C的垂直平分線上；

(2)OM±AB,ON±AC,

.-.ZAMO=ZANO=90°,

???ABAC=100°,

AMOM=360°-ZAMO-ABAC-ZANO=80°

3.(23-24八年級上?江蘇揚州?階段練習)如圖，A4BC中，點。在邊5c延長線上，/ACB=96°,NABC

的平分線交4D于點E,過點、E作EH，BD,垂足為且/CE"=48。.

(1)直接寫出ZACE的度數=_；

(2)求證：4E平分/C4F；

(3)^AC+CD=14,/3=8,且SA/CD=21,求ANBE的面積.

【答案】(1)42。

(2)見解析

(3)12

【分析】（1）根據鄰補角的定義和垂直的定義可得乙48=84。、ACHE=90°,進而得到NECH=42。,然后根

據ZACE=ZACD-ZECH即可解答；

（2）如圖：過E點分別作尸于EN工AC與N,根據角平分線的性質定理以及角平分線的定義

可得EM=EH、CE平分々CD、EN=EH,最后根據角平分線的判定定理即可解答；

（3）根據％少=$.虛+5女助結合已知條件可得及0=3,最后運用三角形的面積公式即可解答.

【詳解】（1）1￥：-.-ZACB=96°,

.?.//CD=180°-96°=84°,

???EHLBD,

：.ACHE=90°,

*/CEH=48°,

.?./EC〃=90°-48°=42°,

."ACE=ZACD-ZECH=84°-42°=42°,

故答案為：42°.

（2）證明：如圖：過E點分別作尸于Af,EN工AC與N,

?:BE平分NABC,

：.EM=EH,

■：ZACE=ZECH=42°,

；.CE平分NNCD,

EN=EH,

：.EM=EN,

:.AE平分/C4F.

⑶解：?"+314,S.D=21,EM=EN=EH,

.?”D=S^CE+SACED=.EN+；CD.EH=；(AC+CD).EM=21,

即;xl4.EN=21,解得瓦0=3,

??,AB=8,

.■.SAABE=^AB-EM=n.

【點睛】本題主要考查了鄰補角的性質、角平分線的性質與判定定理、三角形的面積等知識點，靈活運用

相關知識點成為解答本題的關鍵.

4.(23-24八年級上?河北邢臺?階段練習)【發現】如圖1,ZABC=/C=90°,E為5c的中點，平分N4DC,

過點E作斯上4D,垂足為尸，連接NE.

(1)求證：4E■是/D4B的平分線；

(2)連接8尸，求證：4E1垂直平分線段班7；

【拓展】如圖2,AB//DC,/加。和/4DC的平分線4E和。￡相交于點E,過點E的直線與DC

分別相交于點3，C(點3,C在4D的同側).

圖2

(3)判斷E是否為線段3c的中點，并說明理由；

(4)若四邊形ABCD的面積為16,的面積為2,則ACAE的面積是.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)￡為線段3c的中點，理由見解析；(4)6

【分析】本題主要考查角平分線性質定理與判定定理、線段垂直平分線的性質及全等三角形的判定和性質;

(1)由題意得ER=EC和EB=EC,根據角平分線的判定定理即可判定；

(2)根據題意證得ANBE會,得4B=AF,根據線段垂直平分線的性質即可判定；

(3)過點￡作48的垂線，交48的延長線于點尸，交8于點G,有尸GLCD.作吩，3于點P,由角

平分線的性質可得所=EG,證得△?￡尸名△CEG,即可求證；(4)因為AAETWANE尸和

/\DEP=/\DEG,有S^AEF+S&DEG二,S四邊形M7GO，根據LBEF會ACEG,得到S“BE+5口口=；S四邊形即

可.

【詳解】證明：(1)vZC=90°,

???ECLCD.

又?：EF_LAD,DE平分NADC,

：.EF=EC.

???￡為的中點，

??.EB=EC,

EF=EB.

???NABC=9。。,

??.EB_LAB.

又:EF，AD,

???/石是N7X45的平分線；

(2)AE平分NDAB,

???/BAE=ZFAE.

在小ABE和AAFE中，

ZABE=ZAFE=90°

</BAE=ZFAE,

EB=EF

,△ABE咨AAFEIAAS),

**.AB=AF>

.??點/,￡都在線段8尸的垂直平分線上，

.??/E垂直平分線段8尸；

(3)￡為線段8C的中點；

理由：過點E作4B的垂線，交4B的延長線于點尸，交CD于點G,如圖，

VAB//CD,

：.FG上CD.

作成于點尸，由角平分線的性質可得￡F=￡P=EG.

在所與^CEG中，

ZEFB=ZEGC=90°

<EF=EG,

ZBEF=ZCEG

.“BEFRCEG(ASA),

??.BE=CE,

.?石為線段3C的中點；

(4)在△/￡1尸和△/￡尸中，

ZEAP=ZEAF

<ZAPE=ZAFE,

EP=EF

.,.△AEP%AEF(A4S),

則S“EP=^AEF

同理可證4DEP2ADEG,則$&DEP=SDEG

**,S4AEF+S^DEG=5S四邊形4/7GZ).

又???￡\BEF四叢CEG,

?'?S&BEF=S&CEG

A=

84ABE+S^DCE3S四邊形4BCD=8,

?*,^ACDE=8—2=6.

易錯題型二求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產生易錯

例題：（23-24八年級上?安徽?單元測試）設等腰三角形的一邊長為5,另一邊長為10,則其周長為（）

A.15B.20C.25D.20或25

【答案】C

【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義

【分析】本題主要考查等腰三角形的定義以及三角形的三邊關系，熟練掌握等邊三角形的定義是解題的關

鍵.根據等腰三角形的定義得到三邊長，再根據三角形的三邊關系判斷是否成立即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得：當5為腰長時，

三角形的三邊長為5,5,10,

,.-5+5=10,不能構成三角形，故舍去，

當10為腰長時，

三角形的三邊長為5,10,10,符合三角形的三邊關系，

故周長為：5+10+10=25,

故選C

鞏固訓練

,2x-y=6

1.（23-24七年級下?山東泰安?期末）若方程組/的解恰為等腰三角形的兩邊長，則等腰三角形的

[x+3.y=10

周長為（）

A.8B.10C.8或10D6或12

【答案】B

【知識點】等腰三角形的定義、三角形三邊關系的應用、加減消元法

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，等腰三角形的定義，構成三角形的條件，利用分類討論的思

想求解是解題的關鍵.

先求方程組的解，再分腰長為2,底邊長為4時，腰長為4,底邊長為2時，兩種情況結合構成三角形的條

件進行求解即可.

【詳解】解：■:\2x-/y=皿6

[x+3y=10

fx=4

"1^=2'

當腰長為2,底邊長為4時，則三角形三邊為2,2,4,不能組成三角形，不符合題意；

當腰長為4,底邊長為2時，則三角形三邊為4,4,2,能組成三角形，符合題意，

???三角形的周長為4+4+2=10,

故選8.

2.(23-24七年級下?陜西渭南?期末)等腰三角形的一邊長是10cm,另一邊長是4cm,則它的周長是cm.

【答案】24

【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關系，正確分兩種情況討論是解題關鍵.

分①腰長為10cm和②腰長4cm為兩種情況，根據等腰三角形的定義、三角形的三邊關系即可得.

【詳解】解：①當腰長為10cm時，

則這個等腰三角形的三邊長分別為4cm,10cm,10cm,

因為10-4<10<10+4,

所以滿足三角形的三邊關系，

所以此時它的周長為4+10+10=24(cm)；

②當腰長為4cm時，

則這個等腰三角形的三邊長分別為4cm,4cm,10cm,

因為4+4<10,

所以不滿足三角形的三邊關系，不能構成三角形；

綜上所述，這個等腰三角形的周長為24(cm),

故答案為：24.

3.(23-24八年級下?江西九江?期中)已知一等腰三角形的兩邊x,v滿足|》-4|+77/=0,則該等腰三角

形的周長為.

【答案】20

【知識點】等腰三角形的定義、三角形三邊關系的應用、利用算術平方根的非負性解題、絕對值非負性

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，算術平方根非負數的性質，根據幾個非負數的和等于0,則每一個

算式都等于0求出x、y的值是解題的關鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關系進行判斷.

先根據非負數的性質列式求出無、了的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解.

【詳解】解：根據題意得，x-4=0,y-8=0,

解得x=4/=8,

4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8,

■.-4+4=8,

???不能組成三角形；

4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8,能組成三角形，

周長=4+8+8=20.

所以，三角形的周長為20.

故答案為：20.

4.(22-23八年級上?河南商丘?期中)一個等腰三角形的周長是12cm,且底邊、腰長相差3cm,求這個三角

形的各邊長.

【答案】2cm,5cm,5cm

【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，一元一次方程的應用.設腰長為xcm,則底邊長(12-2x)cm,

根據“底邊、腰長相差3cm”，列出方程，即可求解.

【詳解】解：設腰長為xcm,則底邊長(12-2x)cm,

根據題意得：x-(12-2x)=3或12-21=3,

解得：x=5或x=3,

當x=5時，這個三角形的各邊長分別為5cm,5cm,2cm；

當x=3時，這個三角形的各邊長分別為3cm,3cm,6cm,此時3+3=6,不能夠成三角形，舍去；

綜上所述，這個三角形的各邊長分別為5cm,5cm,2cm.

m?cFx-y-3

—x+2ny=2

5.(23-24七年級下?山東荷澤?期末)若關于x,y的兩個方程組2-與“，有相同的解.

,-x+my=-3

[x+y=l[2

(1)求這個相同的解；

(2)若小,〃是一個等腰三角形的兩邊長，求這個等腰三角形的周長.

fx=2

【答案】(1)I

⑵9

【知識點】加減消元法、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值.

(1)聯立兩方程組中不含加，"的方程組成方程組，求出方程組的解即可;

(2)把x與了的值代入含加，〃的方程求出加，"的值，即可求出周長.

x+y=l

【詳解】(1)解：聯立得:

x-y=3"

x=2

解得:

J=T

x=2m-2n=2

(2)把I代入得:

y=-in-m=-3

加二4

解得:

n=l

若根為腰，”為底，則三角形三邊長為4,4,1,周長為9,

若優為底，力為腰，則三角形三邊長為1,1,4,由于1+1<4,故不能構成三角形,

綜上，等腰三角形的周長為9.

6.⑵-23七年級下仞川眉山?期末)已知關于…的方程組o!x—+2y=14與《x-y二=213的解相同.

⑴求.、6的值；

(2)如果a、6是等腰三角形的兩邊，求該等腰三角形的周長.

【答案】(l)a=4,b=10

(2)24

【知識點】等腰三角形的定義、構成三角形的條件、同解方程組

fax+2y-14[x—y—2[x—y-2

【分析】(1)由題意/與:□的解相同，可得方程組解出X和丹即可求出

[x+y=4[x+勿=13[%+>=4

a,b的值；

(2)根據等腰三角形的性質以及構成三角形的條件即可求解.

[?x+2y=14[x-y=2

【詳解】(1)解：?.?關于x,V的方程組/與；口的解相同，

[x+y=4[x+勿=13

x-y-2ax+2y=14x-y=2

???方程組的解相同,

x+y=4x+y=4x+by=13

x-y=2x=3

解方程組得:

x+y=4J=1

\x=3

將〈代入辦+2y=14,得：3。+2=14,

b=i

解得：a=4.

「x=3

將彳，代入x+力=13,得：3+6=13,

［尸1

解得：6=1。.

a=4,6=10.

（2）當a、6分別是等腰三角形的底和腰時，a=4,b=10,

此時等腰三角形的周長為：a+2b=24,

當a、b分別是等腰三角形的腰和底時，a=4,b=W,

2a=8<10=Z>,

此時無法構成三角形，此種情況舍去，

即等腰三角形的周長為：24.

【點睛】本題考查二元一次方程組的解、解二元一次方程組、等腰三角形的性質以及構成三角形的條件等

知識，掌握二元一次方程組解相同的含義構成新的二元一次方程組是解答本題的關鍵.

易錯題型三當等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論產生易錯

例題：（23-24八年級上?江蘇常州?期中）已知一個等腰三角的兩個角度數分別是（2尤-2）。，（3x-5）。，則這

個等腰三角形的頂角的度數為.

【答案】172。或46。或76。

【知識點】等邊對等角、三角形內角和定理的應用

【分析】（2》-2）。和（3%-5）。有可能是兩個底角，即2x-2=3x-5,也有可能是一個底角，一個頂角.因此

分三種情況討論，根據三角形內角和定理列方程求解即可.

本題考查了等腰三角形的性質；分類討論是正確解答本題的關鍵.

【詳解】①當（2》-2）。和（3x-5）。是兩個底角時，

2x—2—3x—5,

解得x=3,

則底角為（2x-2）。=4。，

頂角為：180。-2*4。=172。；

②當（2x-2）。是頂角，（3x-5）。是底角時，

2x-2+2（3x-5）=180,

解得x=24,

貝l|（2x-2）o=46。，

???頂角為46。；

③當（3x-5）。是頂角，（2尤-2）。是底角時，

（3x-5）+2（2x-2）=180,

解得x=27,

則（3%-5）。=76。，

???頂角為76。.

綜上，這個等腰三角形的頂角的度數為172。或46。或76。，

故答案為：172。或46。或76°

鞏固訓練

1.等腰三角形有一內角為80。，則這個等腰三角形底角的度數為.

【答案】50。或80。

【分析】由于不明確80。的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應分80。的角是頂角和底角兩種情況討論.

【詳解】分兩種情況：

①當80。的角為等腰三角形的頂角時，

底角的度數=（180。-80。）+2=50。；

②當80。的角為等腰三角形的底角時，其底角為80。，

故它的底角度數是50°或80。.

故答案為:50°或80。.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形內角和定理；解答此題時要注意80。的角是頂角和底角兩

種情況，不要漏解，分類討論是正確解答本題的關鍵.

2.等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少20。，則這個等腰三角形的頂角度數是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】設另一個角是x,表示出一個角是2x-20。，然后分①x是頂角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是頂角，③x與2x-20。都是底角根據三角形的內角和等于180。與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可.

【詳解】解：設另一個角是》,表示出一個角是2x-20。，

①x是頂角，2x-20。是底角時，x+2（2x-20°）=180°,

解得x=44。,

所以，頂角是44。；

②x是底角，2x-20。是頂角時，2苫+（2>20。）=180。，

解得x=50。，

所以，頂角是2x50°-20°=80°；

③x與2x-20°都是底角時，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，頂角是180°-20°x2=140°；

綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數是44。或80。或140。.

故答案為：44。或80。或140°.

【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的內角和定理，難點在于分情況討論，特別是

這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯.

易錯題型四求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產生易錯

例題：（2024八年級上?江蘇?專題練習）如圖，ZAOB=60°,0c平分/NO2,如果射線。/上的點E滿足

△OCE是等腰三角形，ZAEC的度數為.

【答案】60。或105。或150。

【知識點】與角平分線有關的三角形內角和問題、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用，用了分類討論思想.求

出N/OC,根據等腰得出三種情況，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根據等腰三角形性質和三角形內角

和定理求出即可.

【詳解】解：如圖,

AAOB=60°,OC平分

.-.ZAOC=30°,

①當E在4時，OE=CE,

???NAOC=ZOCE=30°,

NOEC=180°-30°-30°=120°,

NAEC=180。-ZOEC=60°；

②當E在點時，OC=OE,

則ZOEC=NOCE=1(180°-30°)=75°

ZAEC=180°-ZOEC=105°；

③當E在4時，OC=CE,

則NOEC=ZAOC=30°

ZAEC=180°-ZOEC=150°；

故答案為：60。或105。或150。.

鞏固訓練

1.(23-24八年級上?湖北武漢?階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，4L0)、8(0,1),在坐標軸上找一點

P，使A/BP為等腰三角形，則這樣的點尸有個.

y八

0\AX

【答案】7

【知識點】等腰三角形的定義、坐標與圖形

【分析】本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形性質.根據等腰三角形兩腰相等，分別以A、8為圓

心以N8的長度為半徑畫圓，與坐標軸的交點即為所求的點P,的垂直平分線與坐標軸的交點也可以滿

足AABP是等腰二角形.

【詳解】解：如圖，使得A/3尸是等腰三角形，這樣的點尸可以找到7個.

故答案為：7.

2.（23-24八年級上?重慶渝北?期中）如圖，在△ABC中，zB=9Q°,AB=16cm,SC=12cm,AC=20cm

點。是△4BC邊上的一個動點，點0從點2開始沿87C-?4方向運動，且速度為每秒1cm,設出發的時

間為［秒.當點。在邊。上運動時，出發秒后，△BC。是以C0為腰的等腰三角形.

【答案】22或24

【知識點】等腰三角形的定義

【分析】題考查了等腰三角形的性質，分兩種情況：當C0=C5時；當0C="時；然后分別進行計算即

可解答.

【詳解】解：分兩種情況:

當CQ=C8時，如圖:

■.■CB=CQ=ncm,

當時，如圖:

NC=NCBQ,

/ABC=90°,

.?./C+/4=90。，NCBQ+/QBA=90。,

NQBA=ZA,

?.BQ=QA,

CQ=QA=^AC=10（cm）,

…丁=22（秒）；

綜上所述：當點。在邊C4上運動時，出發22或24秒后，ABC。是以C。為腰的等腰三角形，

故答案為：22或24.

3.（23-24八年級上?重慶銅梁?階段練習）如圖，ZBOC=60°,/是2。的延長線上一點，CU=10cm,動

點尸從點/出發，沿以3cm/s的速度移動，動點。從點O出發沿OC以2cm/s的速度移動，若點尸、Q

同時出發，當△。尸0是等腰三角形時，移動的時間是s.

【知識點】等腰三角形的定義、行程問題（一元一次方程的應用）

【分析】分點P在。點左邊及右邊兩類討論，根據等腰列式求解即可得到答案;

【詳解】解:①當點尸在。點左邊時，設時間為

ZBOC=60°,

.?./尸。。=180°-60°=120°,

???△OP。是等腰三角形，

PO=QO,

.?■10—3/=2t,解得t=2,

當點尸在。點右邊時，設時間為3

■.-ZBOC=60°,△。尸。是等腰三角形，

PO=QO=PQ,

.?.310=2/,解得：f=10

故答案為：2s或10s；

【點睛】本題考查動點圍城等腰三角形問題，解題的關鍵是注意分類討論列等式求解.

4.（2023八年級上?江蘇?專題練習）如圖，直線。，b交于點O,/a=40。，點A是直線。上的一個定點,

點3在直線b上運動，且始終位于直線。的上方，若以點。，A,B為頂點的三角形是等腰三角形，則

/OAB=_。.

【答案】40或70或100

【知識點】等腰三角形的定義、三角形內角和定理的應用

【分析】根據題意，分三種情況討論，①當。4=盟時，②當。/=/當時，③當。4=。自時，根據三角

形內角和定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，要使AQ"為等腰三角形需分三種情況討論:

①當=AB1時，AOAB=/I=40°；

②當。/=/與時，/0/5=180°-2x40°=100°；

③當O/=OB3時，ZOAB=AOBA=|x(180°-40°)=70°；

綜上，NO48的度數是40。或70。或100。.

故答案為：40或70或100.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用，分類討論是解題的關鍵.

5.在RtA/5C中，ZC=90°,有一個銳角為60。，48=6,若點尸在直線48上(不與點A,B重合)，且

NPCB=30°,則4P的長為.

【答案】1或9或3

【分析】分乙48c=60、乙43c=30。兩種情況，利用數形結合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當乙43。=60。時，貝！kA4c=30。，

BC=—AB=3,

2

???AC=ylAB2-BC2=373，

當點尸在線段上時，如圖,

VZPCB=30°,

.ZBPC=9O。,BPPCLAB,

???AP=AC-cosZBAC=3y/3x—=~；

22

當點尸在45的延長線上時，

vZPC5=30°,2PBC=2PCB+乙CPB,

?,?4CPB=3。。,

:.乙CPB=^PCB,

；,PB=BC=3,

：.AP=AB+PB=9；

當乙45C=30。時，貝此氏4060。，如圖,

vZPC5=30°,

山尸。=60。，

“C尸=60。，

山PC=dAC=，4CP,

???A4PC為等邊三角形，

：.PA=AC=3.

9

綜上所述，4尸的長為:或9或3.

9

故答案為：:或9或3

【點睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質等，分類求解是本題解題的關鍵.

易錯題型五等腰三角形中與高線及其他線結合沒有分類討論產生易錯

例題：（22-23八年級上?山東濟寧?期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為16。，則頂角的度數為一.

【答案】74。或106°

【知識點】等腰三角形的定義、三角形的外角的定義及性質、直角三角形的兩個銳角互余

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，三角形外角性質，當等腰三角形的頂角是鈍

角或銳角兩種情況分析即可，熟練掌握等腰三角形的性質及理解分類討論思想的應用是解題的關鍵.

【詳解】①當等腰三角形的頂角為銳角時，過8作3D_L4c于點。，如圖所示，

ABDA=90°,

：.乙4=74°；

②當等腰三角形的頂角為鈍角時，過8作交CA延長線于點。，如圖所示,

ABDA=90°,

■：AABD=\60,

ABAC=ZBDA+ZABD=90°+16°=106°,

故答案為：74。或106°.

鞏固訓練

1.（23-24八年級上?河南商丘?階段練習）在某等腰三角形中，一條腰上的中垂線與另一條腰所在直線的夾

角為40。，則該等腰三角形頂角的度數為.

【答案】50。或130。

【知識點】線段垂直平分線的性質、等腰三角形的定義、三角形內角和定理的應用、三角形的外角的定義

及性質

【分析】本題考查等腰三角形的性質以及垂直平分線的性質等，理解圖形的基本性質是解題關鍵.

根據等腰三角形的性質以及中垂線的性質進行分類討論求解即可.

【詳解】解：①如圖1所示，當頂角為銳角時，

由題意，NADE=90°,ZAED=40°,

N4=180°-90°-40°=50°；

②如圖2所示，當頂角為鈍角時，

由題意，N4DE=90°,NAED=40°,

ABAC=NAED+ZADE=90°+40°=130°；

故答案為：50。或130。.

圖1圖2

2.（23-24八年級下?四川成都?階段練習）在U5c中，AB=AC,42的垂直平分線與/C所在的直線相交

所得的銳角為52。，則頂角//的大小為.

【答案】38。或142。

【知識點】等腰三角形的定義、線段垂直平分線的性質、直角三角形的兩個銳角互余

【分析】本題考查線段垂直平分線的定義、直角三角形的兩銳角互余，分為銳角和//為鈍角兩種情況,

根據題意畫出圖形，利用直角三角形的兩銳角互余分別求解即可.

【詳解】解：若/N為銳角，的垂直平分線交48于交/C于N,如圖，

則N㈤W=52。，ZAMN=90°,

ZA=90°-ZANM=90°-52°=38°；

若//為鈍角，48的垂直平分線交48于交/C延長線于N,如圖,

N

A

羋j

B\C

則N/2W=52。，ZAMN=9QP,

：.2MAN=90°-ZANM=90°-52°=38°,

ABAC=180°-AMAN=180°-38°=142°,

綜上，頂角-4的大小為38。或142。.

故答案為：38。或142。.

3.（23-24八年級上?湖北武漢?期中）若等腰三角形的兩條高所在直線形成的角中有一個為45。，則其頂角的

度數為.

【答案】45。或90°或135。

【知識點】與三角形的高有關的計算問題、三角形內角和定理的應用、等邊對等角、等腰三角形的定義

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的有關概念，三角形的內角和定理，分三種情況討論即可,

熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】分情況討論：

①如圖，AB=AC,NBFE=45°,

???CE1AB,BD1AC,

：.ZBEC=ZADB=NBDC=90°,

ZABD=ZA=45°,即頂角為45。,

②如圖，AB=AC,ABAD=45°,

A

B

DC

???ADIBC,

:./ADB=/ADC=90°,

ABAD=NB=45°,

.?.ZS=ZC=45°,

ABAC=90°,即頂角為90。,

③如圖，

同①理可得NPBN=NBAM=45°,

ABAC=135°,即頂角為135°,

綜上可知：頂角度數為45。或90。或135。.

易錯題型六等腰三角形中與新定義型問題結合沒有分類討論產生易錯

例題：（23-24七年級下?上海普陀?期末）如果等腰三角形的周長等于16厘米，一條邊長等于6厘米，那么

這個等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值等于.

【答案】:或5

【知識點】等腰三角形的定義、三角形三邊關系的應用

【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩

種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.

依題意，根據等腰三角形的性質，已知一條邊長為6厘米，不明確具體名稱，故可分情況討論腰長的值，

還要依據三邊關系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當腰為6厘米時，三邊為6,6,4,能構成三角形；

當底為6厘米時，腰為5,5,能構成三角形，

所以這個等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值等于24=92或6

635

小田0工2-6

故答案為：§或

鞏固訓練

1.定義：在一個等腰三角形中，如果一個內角等于另一個內角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角

形”.“倍角等腰三角形”的頂角度數是（）

A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°

【答案】D

【分析】設等腰三角形的頂角為x。，則底角為:（180。-苫。）=90。-；》。，分兩種情況：當頂角為底角的2倍

時，當底角為頂角的2倍時，分別列出方程求出x的值即可.

【詳解】解：設等腰三角形的頂角為尤°,則底角為，180。-》。）=90。-；/，

當頂角為底角的2倍時，x=2（90，；x1

解得：x=90；

當底角為頂角的2倍時，2x=90°-1x,

解得：x=36；

綜上分析可知，“倍角等腰三角形”的頂角度數是90。或36。，故。正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，一元一次方程的應用，解題的關鍵是注意進行分類討論.

2.（23-24九年級下?遼寧沈陽?期中）經過三角形一個頂點及其對邊上一點的直線，若能將此三角形分割成

兩