圓中的重要模型?圓中的全等三角形模型

知識儲備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關系等。

圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉）模型、對角互補模型、半角模型。

模型1、切線長模型

圖1圖2

1）切線長模型（標準類）

條件：如圖1,尸為口。外一點，PA,總是口。的切線，切點分別為aB。

結論：①AOAP三△OBP；@ZAOB+ZAPB=180°；③。尸垂直平分NB；

2）切線長模型（拓展類）

條件：如圖2,AD,CD,8c是口。的切線，切點分別為4,E,B。

結論：①AAOD34EOD；②△8OC三△￡OC；@AD+BC=DC；?ZDOC=90°；

例1.（2023?河北衡水?校聯考二模）如圖，將直尺、含60。的直角三角尺和量角器按如圖擺放，60。角的頂

點/在直尺上讀數為4,量角器與直尺的接觸點8在直尺上的讀數為7,量角器與直角三角尺的接觸點為點

C.6D.64

例2.（2023秋?福建莆田?九年級統考期末）如圖，已知PA,是圓O的兩條切線，A,B為切點，線段OP

交圓。于點以.下列說法不正確的是（）

A.PA=PBB.OP±ABC.尸。平分/APBD.OM=MP

例3.（2023,廣東汕頭?校考一模）如圖，PA為nO的切線，/為切點，過點/作ABLOP,垂足為點C,

交JO于點8,延長80與的延長線交于點。.⑴求證：尸8是口。的切線；（2）若08=3,00=5,求。尸

的長.

條件：0A,。2是?O的半徑，OC=OD。結論：①A/1O。三△8。。；②）/\PADm4PBC；

例1.（2023?重慶九年級課時練習）如圖，以。為圓心的兩個圓中，大圓的半徑。AOB分別交小圓于點C,

D,連結AB.CRARBC,下列選項中不一定正確的是（

C.AB=2CDD.AD=BC

例2.（2023秋?福建龍巖?九年級統考期末）閱讀下列材料，并回答問題.

［材料］自從《義務教育數學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個習慣，就是在每

個新章節備課時都會查閱新課標，了解該章知識的新舊課標的變化，并在上課時告訴學生.他通過查閱新

課標獲悉：切線長定理由"選學"改為"必學"，并新增"會過圓外的一個點作圓的切線在學習完《切線的性

質與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題："已知：如圖，口。及:］。外一點P.求作：直線PM,使

與口。相切于點M”.班上小巖同學所在的學習小組經過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接。尸，

以。為圓心，0P長為半徑作大圓O；（2）若。尸交小圓。于點N,過點N作小圓O的切線與大圓。交于A,2

兩點（點A在點B的上方）；（3）連接AO交小圓O于連接PM,則PM是小圓。的切線.

［問題］（1）請問小巖同學所在的學習小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規作圖，保留

作圖痕跡），并說明理由.（2）延長AO交大圓。于C,連接CN,若。4=2,OM=1,求CN的長.

例3.（2023秋?湖北?九年級統考期末）請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡:

⑴如圖1,」ABC與VADE是圓內接三角形，AB=AD,AE=AC,畫出圓的一條直徑.

⑵如圖2,AB,CD是圓的兩條弦，AB=C。且不相互平行，畫出圓的一條直徑.

模型3.蝴蝶模型

E

\D/

條件：OA,是口。的半徑，ADLOE,EB±OAo

結論：①三△￡08；②A4BDm&EDB；

例1.（2023秋,江蘇南京?九年級校聯考期末）在以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦A8交小圓于C,D

兩點.（1）如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7,AB=24,則C￡＞的長為.

（2）如圖②，大圓的另一條弦E尸交小圓于G,H兩點，若=E尸，求證CD=G〃.

E\

A

例2.（2023?河南洛陽?統考一模）I概念引入］

在一個圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離,叫做這條弦的弦心距.

［概念理解］

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在口。中，半徑是5,弦AB=8,則這條弦的弦心距OC長為—.

⑵通過大量的做題探究；小明發現：在同一個圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等.但

是小明想證明時卻遇到了麻煩.請結合圖2幫助小明完成證明過程如圖2,在口。中，AB=CD,OMLAB,

ONVCD,求證：OM=ON.

［概念應用］如圖3,在口。中AB=CD=16,nO的直徑為20,且弦A8垂直于弦8于E,請應用上面得

出的結論求OE的長.

例3.(2022?江西?九年級統考期中)用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，分別作出圖中/A03的平分線:

(1)如圖1,403的兩邊與一圓切于點A,8,點M,N是優弧AB的三等分點；

(2)如圖2,NZ03的兩邊與一圓交于,且AM=BN.

模型4.手拉手（旋轉）模型

注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構造出來的（常用旋轉或截長補短法）。

條件：口。是A4AD的外接圓，且^ADB=a,C為圓。上一點。

結論：①AADCmABDC'；②△OCC，是等腰三角形；

特別地，當a=60°時，CD=CA+CB-,當c=90°時，桓CD=CA+CB；

例1.（2023春?浙江?九年級階段練習）如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AD=CD,AC為直徑，若四邊

形ABCD的面積是S,8。的長是x,貝！JS與x之間的數關系式是（）

［2

A.S=x2B.5=岳？C.S=-x2D.5=-x2

例2.（2022秋,江蘇鹽城?九年級統考期中）（1）如圖1所示，等邊三角形ABC內接于圓。，點P是劣弧3c

上任意一點（不與C重合），連接PA、PB、PC,求證：PB+PC=PA.

（2）［初步探索］小明同學思考如下：將繞點A順時針旋轉60。到口4。8,使點C與點B重合，可得P、

B、。三點在同一直線上，進而可以證明△APQ為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：根據小明的思

路，請你完成證明.若圓的半徑為4,則PB+PC的最大值為

（3）類比遷移：如圖2所示，等腰RtA4BC內接于圓O,/54C=90°,點P是弧3c上任一點（不與B、

C重合），連接尸4、PB、PC,若圓的半徑為4,試求DPBC周長的最大值.

（4）拓展延伸：如圖3所示，等腰RtZXABC,點/、B在圓。上，ABAC^90°,圓。的半徑為4.連接OC,

試求OC的最小值.

例3.（2023?山東濰坊?統考一模）如圖1,在。。中，弦平分圓周角乙R4C,我們將圓中以“為公共點的

三條弦￡4,CA,D4構成的圖形稱為圓中"爪形弦BA,CA,D4稱為“爪形/"的爪.

（1）如圖2,四邊形N8CO內接于圓，AB=BC,①證明：圓中存在"爪形。"；

②若。。C=120。，求證：AD+CD=BD

⑵如圖3,四邊形/BCD內接于圓，其中8/=8C,連接8D若4D1OC,止匕時"爪形。”的爪之間滿足

怎樣的數量關系，請直接寫出結果.

課后專項訓練

1.（2023秋?四川綿陽?九年級統考期末）如圖，在口相。中，ZA=60°,BC=8,它的周長為22,若口。與

BC,AC,AB三邊分別切于￡,F,。三點，則。產的長為（）

A.6B.8C.4D.3

2.（2022秋?貴州黔西?九年級統考期末）如圖，。。的半徑為2月，PA,PB,CD分別切于點4B,E,

分別交融，于點C,D,且尸，E,。三點共線.若乙？=60。，則CD的長為（

A.4B.2^/3C.3百D.6

3.（2023春?山東九年級課時練習）如圖，PA切口O于點4PB切口O于點BPO交口。于點C,下列結論

中不一定成立的是（）

A.PA=PBB.P。平分NAP8C.AB1OPD.APAB=2ZAPO

4.（2022秋?安徽淮南?九年級校考階段練習）如圖，點AB和C、。分別在以點。為圓心的兩個同心圓上,

若ZAOB=NCOD,ZC=m°,則ZD=（）

3,

A.—m°B.m°C.-m,D.2m°

2

5.（2022春?廣西?九年級專題練習）如圖，48為圓。直徑，尸點在圓上，￡點為/尸中點，連接EO,作CO1EO

交圓。于點C,作CD1AB于點D,已知直徑為10,OE=4,求OD的長度.

6.（2022春?江蘇九年級期中）如圖，已知PA,PB,EF分別切口。于點N,B,D,若P4=15an,貝U!PEF

的周長是cm.若/尸=36。，貝!.

7.（2023,陜西西安?校考模擬預測）如圖，口。的半徑為2,AB為圓上一動弦，以AB為邊作正方形ABCD,

求OD的最大值___.

8.（2022?湖北黃岡?九年級專題練習）如圖，。。的半徑為5,弦/8=6,弦/C1弦AD,點尸為CD的中

點，若點。在圓上逆時針運動的路徑長為^兀，則點P運動的路徑長為—.

9.（2023春,江西南昌?九年級統考期末）如圖，半圓。的直徑AB=10cm,射線AM和BN是它的兩條切線，

。點在射線AM上運動（且不與點/重合），￡點在半圓。上，滿足OE=AD,連接。E并延長交射線3N于

點C.⑴求證：C￡>是半圓O的切線；（2）設A￡>=xcm,BC=ycm.①寫出y與x的關系式；

②若CD=10cm,求陰影部分的面積.

10.（2023春?北京西城?九年級校考開學考試）如圖，線段A8為口。的直徑，CB,8分別切口。于點B,

D,射線CO交的延長線于點E,C。的延長線交1O于點G,EFLOG于點、F.若08=3,DE=4.

⑴求證：=（2）求線段OF的長.

11.（2022年山東省濟寧市創新聯盟第五次中考模擬數學試題）如圖1,直線/是過圓心。的一條直線，點

M,N是直線/上關于點。對稱的兩點.AB,CD是圓。的兩條直徑，其中NAOD=60。，過點4B,C,

。作圓。的切線ZN,BM,CN,DM.

■

圖1圖2

（1）求證：NAOO的角平分線垂直平分線段MN.⑵在若干個多邊形組成的整體中，位于整體外側的邊的延長

線相交組成的邊數最少的封閉多邊形，其面積被稱為該整體的延展面積.例如圖2,虛線所示的矩形的面積

為兩個小矩形所組成的整體的延展面積.則圖1中，若NAO。可發生變化且不為60。，要使由四邊形/NC。

和四邊形BMDO組成的整體的延展面積與ZAOD=60°時的相同，求可能的度數.

12.（2023?陜西西安?九年級校考期末）如圖，A8為圓O的弦，半徑OC,OD分別交于點E,F.且

AC=DB-（1）求證：OE=OF.（2）作半徑于點V,若AB=8,MN=2,求的長.

13.（2022?綿陽市,九年級專題練習）如圖，已知圓。的直徑A8垂直于弦CD于點￡,連接CO并延長交ND

于點尸，且CF1/D（1）證明：點￡是08的中點；（2）若/8=8,求CD的長.

14.（2023春?湖北武漢?九年級校考期中）如圖，A,B,C,尸是圓上的四個點，ZAPB=ZAPC=30°.

（1）判斷的形狀，并證明你的結論.（2）若尸8=5,尸C=7,求力的長

15.（2023?河南商丘?統考二模）閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一、《阿基米德全集》收集了已發現的阿基米德著作，它對于了解古

希臘數學，研究古希臘數學思想以及整個科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的

折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點.

如圖和8c是口。的兩條弦（即4BC是圓的一條折弦），BC>AB.M是弧ABC的中點，則從M向

所作垂線之垂足。是折弦ABC的中點，即CD=AB+3D.

小明認為可以利用“截長法"，如圖2：在線段CB上從C點截取一段線段。V=AB,連接M4MB,MC,MN.

小麗認為可以利用“垂線法"，如圖3：過點M作于點X,連接MAMB,MC

任務：⑴請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續書寫出證明過程,

（2）就圖3證明：MC--MB1=BCAB.

16.（2023?廣東東莞?校考模擬預測）已知在坐標系xOy內有一圓。（如圖所示），。上有兩點尸，Q,過這

兩點作圓。的切線.⑴求證：NPNM+NPDQ=180。-NQMN.⑵若NP=QM,求證：點。在的垂直

平分線上.

圓中的重要模型?圓中的全等三角形模型

知識儲備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關系等。

圓中常見全等模型：切線長模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉）模型、對角互補模型、半角模型。

模型1、切線長模型

圖1圖2

1）切線長模型（標準類）

條件：如圖1,尸為口。外一點，PA,總是口。的切線，切點分別為aB。

結論：①AOAP三△OBP；@ZAOB+ZAPB=180°；③。尸垂直平分NB；

2）切線長模型（拓展類）

條件：如圖2,AD,CD,8c是口。的切線，切點分別為4,E,B。

結論：①AAOD34EOD；②△8OC三△￡OC；@AD+BC=DC；?ZDOC=90°；

例1.（2023?河北衡水?校聯考二模）如圖，將直尺、含60。的直角三角尺和量角器按如圖擺放，60。角的頂

點/在直尺上讀數為4,量角器與直尺的接觸點8在直尺上的讀數為7,量角器與直角三角尺的接觸點為點

D.673

【答案】D

【分析】連接3,OB,OC,根據題意有：AB=7-4=3,ZG4B=120°,根據AC、AB是圓。的切線,

ZCAO=ZBAO=-ACAB=60°

可得AC=ABZABO=9Q°,證明AAOC^AAOB，可得2，即

OB=ABxtanABAO=373；問題得角軍

【詳解】連接04,OB,OC,如圖,

根據題意有：皿=7-4=3,NGW=120。，...AC、AB是圓。的切線，AC=AB,ZABO=90°,

■,AO=AO,OC=OB,..AAOC^AAOB,

ZCAO=ZBAO=-ZCAB=60°………八、匚

2,...OB=A8xtanZa40=3j3,...量角器的直徑是6J3,故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，解直角三角形等知識，明確題意，靈活運用切線的性質是

解答本題的關鍵.

例2.（2023秋?福建莆田?九年級統考期末）如圖，己知尸A,P5是圓O的兩條切線，A,B為切點，線段。尸

交圓。于點以.下列說法不正確的是（）

C.尸0平分/APBD.OM=MP

【答案】D

【分析】先根據HL證明ZWO烏△3尸°,然后利用等腰三角形三線合一、全等三角形性質對四個選項逐一

判斷.

【詳解】?；PA,PB是圓0的兩條切線.?.041PAQB1PB

OB=OA

...[<9尸=OP...AAPO/△BPO（HL）...PB=PA,故A正確，不符題意；

；.ZAPO=NBPO,故c正確，不符題意；

...PA=P3,41PO=N3PO...在八針8中AB'OP,故B正確，不符題意；

若=連接.../05尸=90。，...0〃=3河=0瓦.口08"是等邊三角形,

...ZBOM=60°,顯然不一定成立，故D錯誤，符合題意；故選D

【點睛】本題考查切線的性質、等腰三角形三線合一、全等三角形判定與性質，掌握這些是本題關鍵.

例3.（2023?廣東汕頭?校考一模）如圖，PA為nO的切線，/為切點，過點/作AB_LOP,垂足為點C,

交口。于點2,延長80與的延長線交于點。.

⑴求證：是口。的切線；⑵若03=3,OD=5,求。尸的長.

【答案】⑴見解析（2）10

【分析】（1）連接根據切線的性質得到N°W=90。，證明口尸耳。山，根據全等三角形的性質得

到=/。$=90。，根據切線的判定定理即可證得結論；

（2）先根據勾股定理求出AD,再求出PA,即可求解.

【詳解】（1）證明：連接以，

'/ABYOP,OB=OA,:.ZBOP=ZAOP,是口。的切線，ZOAP=90°,

OB=OA

NBOP=ZAOP

在口0射與△OAP中,OP=OPAOBP^AOAP(SAS)

:.ZOBP=ZOAP=90°,:.OB1PB,QQ5是半徑，.1PB是口。的切線;

(2)解：；8=5,OA=OB=3,

在RtQAOD中，AD=V0D2-OA2=>/52-32=4,

■：PA,尸8為口°的切線，..尸4=尸2,

在RtADBP中，PD2=PB-+BD-,即（PA+4）-=而+82,

解得PA=6,..DP=PA+AD=6+4=10.

【點睛】本題考查的是切線的判定和性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理的應

用，切線長定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.

模型2.燕尾模型

條件：OA,08是?O的半徑，0C=0D。結論：?AA0C=AB0D；@APAD=APBC；

例1.（2023?重慶九年級課時練習）如圖，以。為圓心的兩個圓中，大圓的半徑。AOB分別交小圓于點C,

D,連結4B,CD,AD,BC,下列選項中不一定正確的是（）

A.AC=BDB.AB//CDC.AB=2CDD.AD=BC

【答案】c

【分析】根據圓的基本性質，等腰三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質逐項分析即可.

【詳解】解：由圓的基本性質可知：OA=OB,OC=OD,

.,OA-OC=OB-OD,即：AC=BD,故A正確；.?.口和口。鈣均為等腰三角形,

.門。CD和口。45的頂角均為/AQB,

ZOCD=ZODC=-(l80°-ZAOB)ZOAB=/OBA=-(180°-ZAOB)

2.2

...ZOCD=ZOAB,...ABDCZ）；故B正確；

當8是口。4B的中位線時，滿足AB=2CD,由于C、。不一定為。4、08的中點,

??.A8不一定等于2CD,故c錯誤；

AC=BD

ZCAB=NDBA

在△ACB和ABDA中，.^ACB^BDA（SAS）：.AD=BC,故D正確；故選：C.

【點睛】本題考查圓的基本性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解圓的基本

性質，熟練運用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解題關鍵.

例2.（2023秋?福建龍巖?九年級統考期末）閱讀下列材料，并回答問題.

［材料］自從《義務教育數學課程標準（2022年版）》實施以來，九年級的龍老師增加了一個習慣，就是在每

個新章節備課時都會查閱新課標，了解該章知識的新舊課標的變化，并在上課時告訴學生.他通過查閱新

課標獲悉：切線長定理由"選學"改為"必學"，并新增"會過圓外的一個點作圓的切線在學習完《切線的性

質與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題："己知：如圖，口。及口。外一點尸.求作：直線PM,使

與口。相切于點班上小巖同學所在的學習小組經過探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接。尸，

以。為圓心，0P長為半徑作大圓O；（2）若。尸交小圓。于點N,過點N作小圓O的切線與大圓。交于48

兩點（點A在點B的上方）；（3）連接A。交小圓。于“，連接PM,則PM是小圓。的切線.

［問題］（1）請問小巖同學所在的學習小組提供的作圖方法是否正確？請你按照步驟完成作圖（尺規作圖，保留

作圖痕跡），并說明理由.（2）延長AO交大圓。于C,連接CN,若。4=2,OM=1,求CV的長.

【答案】（1）作圖方法正確；作圖見解析；理由見解析（2）近

【分析】（1）作圖方法正確，作出圖形，如圖所示，要證尸加是小圓。的切線，由圖及“連半徑、證垂直”

的方法，先根據條件判定△A°NgZXjP°"（SAS）,進而得到N/WO=NPMO=90。，即可確定尸

從而得證;

（2）連接3C,如圖所示，在Rt&4CW中，ON==1,=2,利用勾股定理得到AN=-ON2=血,

再由垂徑定理得到AN=BN=石，結合。4=℃,利用三角形中位線定理得到3C=2ON=2,在Rt^BCN

CN=4BN2+BC-=J（同+2?=布

中，由勾股定理可得。

【詳解】（1）解：小巖同學所在的學生習小組提供的作圖方法正確，如圖所示：

以上即為所求作的圖形；理由如下：

「是小圓。的切線，...ONLAB,...NANO=90。，

ON=OM

<NAON=ZPOM

在DAON和:]POM中，l0A=0P,AA4O^APOM（SAS）；

...ZANO=ZPMO=90°,PM1OM,

又OM為半徑，.?.PM是小圓。的切線；

（2）解：連接8C,如圖所示：

在RSON中，ON=OM=\,OA=2,...AN=qO4-ON。=6,

,■ONLAB,OP為圓的半徑，:.AN=BN=6,

?：OA=OC,：.BC=2ON=2,?.?40為大圓0的直徑，...川0=90。,

在Rt3N中，CNKBN'BC、/可+展昉.

【點睛】本題考查圓綜合，涉及切線證明、兩個三角形全等的判定與性質、勾股定理、垂徑定理、三角形

中位線的判定與性質等知識，讀懂題意，作出圖形，熟練掌握切線判定、垂徑定理及勾股定理的運用是解

決問題的關鍵.

例3.（2023秋,湖北?九年級統考期末）請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡：

（1）如圖1,口腦。與VADE是圓內接三角形，AB=AD,AE^AC,畫出圓的一條直徑.

（2）如圖2,AB,8是圓的兩條弦，=且不相互平行，畫出圓的一條直徑.

【答案】（1）見解析⑵見解析

【分析】（1）設8C、DE交于點G,連接AG,交圓于點F,即可作答；

（2）連接3C、AD,交于點F,延長胡、DC,兩線交于點E,作直線石尸，交圓于點M、N,即可作答.

【詳解】（1）如圖，設3C、DE交于點G,連接&G并延長，交圓于點F,

線段AF即為所求;

證明：如圖，BC、AE交于點Q,DE、&C交于點p,連接OB,交AF于點H,

A

F

?.AB=AD,AE=AC,.-.ZC^ZE,/ADE=/ABC,

,-,ZDAE=ZBAC,,-JDAE^BAC,-,BC=DE,

?；ZDAE=/BAC,NBAE=NDAC,

...AB=AD,ZADE=ZABC,.^DAP^QBAQ.AQ=AP

...AE=AC,..QE=PC..ZQGE=ZPGCfNC=ZE,

.JQGE^QPGC,QG=PG

??J，

.?.AG=AG，AQ=AP，?.?JQAG^PAG，?.?ZQAG=ZPAG，

...ZBAE=ZDAC,.../BAG=ZDAG,

AH=AH9AB=AD9...J3AH四口DAH,

...BH=DH,NAHB=NAHD=90°,

??.”垂直平分弦。8,「.AT是圓的直徑；

(2)如圖，連接BC、AD,交于點F,延長加、DC,兩線交于點E作直線后尸，交圓于點M、N,

注

/、

W

線段MN即為所求.證明方法同(1).

【點睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質等知識，掌握圓周角定理以

及垂徑定理是解答本題的關鍵.

模型3.蝴蝶模型

條件：CM,。￡是口。的半徑，AD10E,EB±OA.

結論：?/\AOD^AEOB；②A4BDm&EDB；

例1.（2023秋?江蘇南京?九年級校聯考期末）在以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于C,D

（2）如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G,H兩點，若AB=E產，求證CD=G”.

【答案】⑴46（2）見解析

AH=-ABCH=-CD

【分析】（1）連接。A,℃,過。點作。”,.，則H為A8,CO的中點，得出2,2,

DM=-CD

根據勾股定理即可求出以》的長；（2）過。作作WEP,垂足分別為“、N,得出2,

HN=-GHAM=-ABEN=-EF

222連接。4、OE、OD、OH,通過證明RtQ。4MMMQOEN和

RQODM=RtQOHN,即可得證CD=GH.

【詳解】（1）連接OC,過0點作則H為AB,8的中點,

AH=-AB=-x24=UCH=-CD

■-AB=24,...22,2

22222

.,OHLABf.OH=O^-AHfOH=OC-CH,

?.?-AH1^OC1-CH-，?-?132-122-72-CH2，

；.01=2巫，：.CD=2CH=4瓜,故答案為：4m

(2)過。作作ONLEF,垂足分別為叔、N,

DM=-CDHN=-GHAM=-ABEN=-EF

2,2,2,2,

X-.-AB=EF,,-.AM=EN,連接OA、OE、OD、OH,

\OA^OE

在RtaCMM和Rt」0￡?V中，［AM=EN

■.RGOAM=RtQOEN,...OM=ON,

JOD=OH

在RtnODM和RtDQffiV中，1OM=ON,

■.RaODM=RlUOHN,-,OM=HN,：.CD=GH.

【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解此類題

的關鍵.

例2.(2023?河南洛陽?統考一模)［概念引入］

在一個圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距.

［概念理解］

(1)如圖1,在:］。中，半徑是5,弦AB=8,則這條弦的弦心距OC長為.

(2)通過大量的做題探究；小明發現：在同一個圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等.但

是小明想證明時卻遇到了麻煩.請結合圖2幫助小明完成證明過程如圖2,在口。中，AB=CD,OMLAB,

ONLCD,求證：OM=ON.

［概念應用］如圖3,在口。中AB=CD=16,口。的直徑為20,且弦A8垂直于弦。于E,請應用上面得

出的結論求OE的長.

【答案】⑴3；⑵證明見解析；EO=6^2

【分析】(1)根據垂徑定理得出3C=4,然后再根據勾股定理求出結果即可；

(2)連接8°、OC,證明RtQBOM用RtQCON(HL),即可得出答案；

［概念應用］過點。作OG工CD交于G,過點。作。H交于H,連接DO,證明四邊形GEHO是正方形,

得出GE=G。，根據垂徑定理得出DG=8,根據勾股定理求出GO=Ji。?-82=6,最后求出結果即可.

【詳解】(1)解：連接°8,???COLAS,:.BC=ACfZBCO=90\

\*AB—85/.BC=4,*.*BO=5>:.CO=1t"-42=3,故答案為:3；

圖1

(2)證明：連接80、OC,

?/OM±AB,BM=AM,Z.BMO=90°

QON工CD,:.CN=DN,NOVO=90°,

-.-AB=CD,:.BM=CN,vBO^CO,

RQBOM^RtQCOMHL)OM=ON.

圖2

［概念應用］解：過點。作OG'CO交于G,過點。作WA6交于“，連接0°,

'：AB=CD^16,:.GO=OH,

???AS±CD,.?.NGE"=90。，.?.四邊形GEH。是正方形，.?.GE=GO,

VCD=16,，r>G=8,???口。的直徑為20,

.-.GO=\/102-82=6,:.GE=GO=6,EO=6-J1

圖3

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，正方形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，解題的

關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性質.

例3.（2022?江西?九年級統考期中）用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，分別作出圖中/A03的平分線：

（1）如圖1,203的兩邊與一圓切于點48,點M,N是優弧AB的三等分點；

（2）如圖2,403的兩邊與一圓交于,且AM=3N.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）利用點加、M是優弧AB的三等分點，連接⑷V,MB,其交點為P,即可得出答案;

（2）利用4〃=即，連接4V,MB,其交點為P,即可得出答案.

【詳解】解：（1）射線°E即為所求，如圖：

Si

證明：連接AF、BF,如圖:

的兩邊與一圓切于點A,B.-.OA=OB

???點M,N是優弧AB的三等分點;AF=BF

'AF=BF

<OF=OF

...在口4。尸^BOF中1%=°B.JAOF^nBOF(SSS)

^OF=ZBOF...射線OE為/AOB的平分線；

(2)射線°E即為所求，如圖：

證明：■,-ZMAP=ZNBP,ZAPM=ZBPN,AM=BN

JAMP^BNP(AAS)/AP=BPMP=NP

■,AP+NP=BP+MP^AN=BM

■■ZMAP^ZNBP,ZAON=NBOM

JAON^BOM(AAS),OA=OB

...OA-AM=OB-BN即OM=ON

.二尸。“卻PON(SSS)./MOP=dop

???射線OE為203的平分線.

【點睛】此題主要考查了復雜作圖，涉及到的知識點有切線長定理、同弧或等弧所對的弦相等、全等三角

形的判定和性質、角平分線的定義、等式性質等知識點，利用角平分線的定義得出角平分線上的點P是解題

關鍵.

模型4.手拉手（旋轉）模型

注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構造出來的（常用旋轉或截長補短法）。

條件：口。是418。的外接圓，^.AD=BD,UDB=a,C為圓。上一點。

結論：?AADC=ABDC\②△OCC，是等腰三角形；

特別地，當a=60°時，CD=CA+CB；當cr=90°時，72CD=CA+CB；

例1.（2023春?浙江?九年級階段練習）如圖，在圓內接四邊形A8CD中，AD=CD,AC為直徑，若四邊

形A5CD的面積是S,BD的長是無，貝不與尤之間的數關系式是（）

12

A.5=x2B.S=y/2x2C.S=-x2D.5=-x2

【答案】C

【分析】延長BA到E,使AE=CB,連接DE,先證明△n場9ADCWSAS),得到

四邊形

BD=DE=x,SADAE=SADCB,ZADE=ZCDB再證明S詆。=S/XBDE,NBDE=NCDA=90°,最后得到

&_1_12

D四邊形ABCD一、XBDE~~X'X~~X

【詳解】解：如圖，延長54到石，使A￡=CB,連接DE,

?.?四邊形ABCD是圓內接四邊形，皿3+〃四=180。=皿3+血虛，:./DAE二/DCB,

AD=CD

<ZDAE=ZDCB

在口加石和△。口中，［AE=CB...ADAE-ADCB(SAS),

BD-DE=x,SWAE—SWCB，乙6E=Z.CDB

：,S4DAE+^/XABD=S4DCB+^/\ABD,ZADE+ZADB=NCDB+AADB

即%邊鹿BcLg皿，NBDE=NCDA=90°,，防wwe=$△皿=,故選：仁

【點睛】本題考查圓的內接四邊形，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形.

例2.（2022秋?江蘇鹽城?九年級統考期中）（1）如圖1所示，等邊三角形ABC內接于圓。，點P是劣弧8c

上任意一點（不與C重合），連接PA、PB、PC,求證：PB+PC=PA.

圖1

（2）［初步探索］小明同學思考如下：將△APC繞點A順時針旋轉60°到口AQB，使點C與點B重合，可得P、

B、。三點在同一直線上，進而可以證明△APQ為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：根據小明的思

路，請你完成證明.若圓的半徑為4,則PB+PC的最大值為.

（3）類比遷移：如圖2所示，等腰RtZkABC內接于圓O,/54C=90。，點P是弧3C上任一點（不與B、

C重合），連接PA、PB、PC,若圓的半徑為4,試求DPBC周長的最大值.

A

(4)拓展延伸：如圖3所示，等腰Rt^ABC,點4B在圓。上，ZBAC=90°,圓。的半徑為4連接OC,

試求OC的最小值.

【答案】(1)見解析；(2)8:(3)80+8；(4)40-4

［分析］(1)由旋轉得AQ=AP,QB=PCZABQ=ZACP則NA2Q+NABP=NACP+NABP=180。，

所以P、B、0三點在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則尸B+=+==

(2)當尸A是□°的直徑時，抬=8,此時PA的值最大，所以P3+PC的最大值是8；

(3)先由/3AC=90。證明8C是口。的直徑，且圓心°在BC上，則OB=℃=4,BC=8,再證明P、B、

。三點在同一條直線上，則尸8+尸0=尸8+08=p0=夜叢，當尸A是口°的直徑時，PA=8,此時PA的

值最大，則PB+PC=80,即可求得nPBC周長的最大值是80+8；

(4)連接OA,將線段繞點A逆時針旋轉90。到AE,連接OE,先求得OE=4&,再連接EC、OB,

證明IE4c三口。止，得EC=OB=4,所以OC+4240,則OC24及-4,所以OC的最小值為4近一4.

【詳解】(1)證明：由旋轉得AQ=4尸，QB=PC,^Q=^APCtZABQ=ZACPt

ZACP+ZABP=180°,NABQ+NABP=180°

??)、B、。三點在同一條直線上，:-PB+PC=PB+QB=PQ,

???□ABC是等邊三角形，.?./APC=/ABC=60。，

;.NQ=60。，.?.△APQ是等邊三角形，；./＞。=抬，-,PB+PC=PA.

(2)是口°的弦，且口°的半徑為4,

■:當PA經過圓心°,即尸A是口°的直徑時，叢=8,此時尸A的值最大,

?L+PC的最大值是8,故答案為：8.

⑶［類比遷移］解：如圖2,???AB=AC,ZBAC=90°,

將△APC繞點A順時針旋轉90。到nAQB,使點C與點B重合，則QA=P4,QB=PCtZABQ=ZACP

ZACP+ZABP=180°,NABQ+ZABP=180°,

：P、B、Q三點在同一條直線上，

...ZPAQ=90°PB+PC=PB+QB=PQ=JPA2+。解=也PA1=及PA

???當尸A經過圓心。,即尸4是口°的直徑時，叢=8,此時出的值最大，

.?.尸3+PC=8&，...PB+PC的最大值是80,

PB+PC+BC=8y/2+8,.,.△PBC周長的最大值是8及+8.

(4)［拓展延伸］解：如圖3,連接以，將線段4°繞點A逆時針旋轉90。到AE,連接

E

-：EA=OA=4,ZOAE=90°,OE=V<9A2+EA2=742+42=472,

連接EC、OB,ABAC=90°,Z.EAC=ZO4B=90°-ZQ4C,

TAC=AB,?OAB（SAS）,；.EC=OB=4,

OC+ECNOE,OC+4>4A/21OC>4,\/2—4,.:。（7的最小值為4'\/^'—4.

【點睛】此題重點考查旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、圓周角定理、

勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

例3.（2023,山東濰坊?統考一模）如圖1,在。。中，弦/。平分圓周角NA4C,我們將圓中以/為公共點的

三條弦BA,CA,N構成的圖形稱為圓中"爪形N",弦34CA,稱為"爪形的爪.

（1）如圖2,四邊形48CD內接于圓，AB=BC,①證明：圓中存在"爪形。"；

②若4。。=120。，求證：AD+CD=BD

（2）如圖3,四邊形/BCD內接于圓，其中A4=8C,連接8D若4D1OC,止匕時"爪形的爪之間滿足

怎樣的數量關系，請直接寫出結果.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）AD+CD=0BD

【分析】（1）①由圓周角性質得出NADB=NCDB,即可得出結論；②延長DC至點E,使得CE=AD,連接

BE,由全等三角形判定可得4BAD三ABCE,由等邊三角形的判定得4BDE為等邊三角形即可得出結論；（2）

延長DC至點E,使得CE=AD,連接BE,由全等三角形判定可得ABAD三ABCE,易判斷4BDE為為等腰直角

三角形即可得出結論.

【詳解】（1）①證：-.^6=66）.-.ZADB=ZCDB,

???DB平分圓周角NADC,.?.圓中存在"爪形D"；

②延長DC至點E,使得CE=AD,連接BE,

?■?ZA+ZDCB=18O°ZECB