第24頁（共24頁）第六章A卷一．選擇題（共8小題）1．C10A．119 B．120 C．1199 D．12002．每年的5月25日是全國大中學生心理健康日．某高校計劃在這一天開展有關心理健康的宣傳活動，現計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數為（）A．540 B．120 C．90 D．603．某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書．從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有（）A．13種 B．42種 C．67種 D．7種4．某中學舉行排球賽，共有5個隊參加，每兩個隊比賽一場，共需比賽（）A．6場 B．8場 C．10場 D．20場5．五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽．若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，可排成不同的音序的種數為（）A．12種 B．48種 C．72種 D．120種6．在(x-2A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．807．從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有（）種．A．120種 B．60種 C．20種 D．40種8．東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷、劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種．A．120 B．240 C．480 D．720二．多選題（共4小題）（多選）9．對于二項式（2x﹣1）8，下列說法正確的是（）A．其展開式一共有8項 B．其展開式的二項式系數和為256 C．其展開式的所有項的系數和為1 D．其展開式的第三項為C（多選）10．3名學生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）A．任意站成一排，有120種排法 B．學生不相鄰，有24種排法 C．教師相鄰，有48種排法 D．教師不站在兩邊，有72種排法（多選）11．在(2xA．展開式中所有項的系數和為256 B．展開式中所有奇數項的二項式系數和為128 C．展開式中含x項的系數為﹣448 D．展開式中二項式系數的最大項為第四項（多選）12．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法就給出著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的猜想中正確的是（）A．由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等”猜想CnB．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數字之和猜想CnC．第9條斜線上個數字之和為55 D．在第n（n≥5）條斜線上，各數從左往右先增大后減少三．填空題（共5小題）13．“九江之夜”文旅街區是我市重點引進的文旅項目，它坐落在我市濂溪區芳蘭湖畔，一經開業便引得廣大市民游客爭相打卡．為了更好的服務招親廣場、電音舞臺、簿火廣場、水系舞臺這四個網紅打卡點，主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個網紅點至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務一個網紅點，則電音舞臺恰好安排兩人的方法有種．14．已知某圓上的10個不同的點，過每3個點畫一個圓內接三角形，一共可畫個圓內接三角形．15．（﹣1+x）9展開式中x2的系數為．16．有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學生做作業的可能情況有種．17．用4種不同的顏色對如圖所示的6個區域（圖中A，B，C，D，E，F）進行著色，要求相鄰區域顏色不同，則共有種不同的著色方法．四．解答題（共5小題）18．已知6件不同的產品中有2件次品，現對這6件產品一一進行測試，直至找到所有次品并立即停止測試．（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第5次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？19．（1）從6名同學中選4名同學組成一個代表隊，參加4×400米接力比賽，問有多少種參賽方案？（2）從6名同學中選4名同學參加場外啦啦隊，問有多少種選法？（3）4名同學每人可從跳高、跳遠、短跑三個項目中，任選一項參加比賽，若恰有一項比賽無人參加，問有多少種參賽方案？20．已知二項式(x-3x)n的展開式中，所有項的二項式系數之和為a，各項的系數之和為b，（1）求n的值；（2）求其展開式中所有的有理項．21．已知（2x﹣1）5＝a0+xa1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5．（1）求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值；（2）求2a1+2a2+22a3+4a4+42a5的值．22．已知8件不同的產品中有2件次品，現對這8件產品一一進行測試，直至找到所有次品．（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

第六章A卷參考答案與試題解析題號12345678答案ACBCCACB一．選擇題（共8小題）1．C10A．119 B．120 C．1199 D．1200【考點】組合及組合數公式．【專題】轉化思想；轉化法；排列組合；運算求解．【答案】A【分析】根據已知條件，結合組合數的公式，即可求解．【解答】解：C10故選：A．【點評】本題主要考查組合數的公式，屬于基礎題．2．每年的5月25日是全國大中學生心理健康日．某高校計劃在這一天開展有關心理健康的宣傳活動，現計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數為（）A．540 B．120 C．90 D．60【考點】排列組合的綜合應用．【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可．【解答】解：因為需要將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，將6位老師平均分成三組，共有C6則有C6故選：C．【點評】本題主要考查排列組合知識的應用，考查計算能力，屬于基礎題．3．某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書．從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有（）A．13種 B．42種 C．67種 D．7種【考點】分步乘法計數原理．【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】根據分步計數原理求解．【解答】解：從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有7×6＝42種．故選：B．【點評】本題考查分步乘法計數原理，屬于基礎題．4．某中學舉行排球賽，共有5個隊參加，每兩個隊比賽一場，共需比賽（）A．6場 B．8場 C．10場 D．20場【考點】簡單排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】利用組合數公式直接求解．【解答】解：某中學舉行排球賽，共有5個隊參加，每兩個隊比賽一場，所以共需比賽C52故選：C．【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．5．五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽．若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，可排成不同的音序的種數為（）A．12種 B．48種 C．72種 D．120種【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】先排其它三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節即可得．【解答】解：先排其它三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節，方法數為A3故選：C．【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于基礎題．6．在(x-2A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80【考點】二項式系數的性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】直接利用二項式的展開式求出結果．【解答】解：根據二項式的展開式Tr+1=C5r?x5-r2?(-2)r（r＝0，1，2故選：A．【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．7．從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有（）種．A．120種 B．60種 C．20種 D．40種【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】C【分析】由排列、組合及簡單計數問題求解即可．【解答】解：從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有C6故選：C．【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，屬基礎題．8．東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷、劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種．A．120 B．240 C．480 D．720【考點】簡單排列問題．【專題】常規題型；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】B【分析】根據米一同學想與佳艷、劉西排一起，且在他們中間，將米、佳艷、劉西捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列，由排列數公式計算可得答案．【解答】解：因為米一同學想與佳艷、劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列有A5又因為米一同學想與佳艷、劉西排一起，且在他們中間，則佳艷、劉西全排列有A2所以全部排法有：A5故選：B．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．對于二項式（2x﹣1）8，下列說法正確的是（）A．其展開式一共有8項 B．其展開式的二項式系數和為256 C．其展開式的所有項的系數和為1 D．其展開式的第三項為C【考點】二項展開式的通項與項的系數；二項式系數的性質．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】BC【分析】利用二項展開式的項數可判斷A選項；利用二項展開式的二項式系數和可判斷B選項；在二項式中，令x＝1，結合所有項的系數和可判斷C選項；利用二項展開式的通項可判斷D選項．【解答】解：二項式（2x﹣1）8，展開式的項數為8+1＝9，A錯；其展開式的二項式系數和為28＝256，B對；其展開式的所有項的系數和為（2×1﹣1）8＝1，C對；其展開式的第三項為C82(2故選：BC．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題．（多選）10．3名學生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）A．任意站成一排，有120種排法 B．學生不相鄰，有24種排法 C．教師相鄰，有48種排法 D．教師不站在兩邊，有72種排法【考點】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】AC【分析】根據全排列可求得A，根據不相鄰問題用插空法可求得B，根據相鄰問題用捆綁法可求得C，根據特殊位置優先排可求得D．【解答】解：任意站成一排，有A55=120先排老師，然后插空，即A22A教師相鄰用捆綁，即A22A教師不站兩邊，先將兩邊排上學生，剩下的人全排列，即A32A故選：AC．【點評】本題考查排列的應用，屬于基礎題．（多選）11．在(2xA．展開式中所有項的系數和為256 B．展開式中所有奇數項的二項式系數和為128 C．展開式中含x項的系數為﹣448 D．展開式中二項式系數的最大項為第四項【考點】二項展開式的通項與項的系數．【專題】方程思想；定義法；二項式定理；運算求解．【答案】BC【分析】令x＝1可判斷選項A；所有奇數項的二項式系數和為2n﹣1可判斷選項B；由展開式的通項可判斷選項C；利用展開式中二項式系數的性質可判斷選項D．【解答】解：令x＝1，可得展開式中所有項的系數和為（2﹣1）8＝1，故A錯誤；展開式中所有奇數項的二項式系數和為282=二項式(2x2-令16﹣3k＝1，得k＝5，則展開式中含x項的系數為C852展開式中共有9項，中間項第五項的二項式系數最大，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查二項式系數的性質，考查運算求解能力，是基礎題．（多選）12．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法就給出著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的猜想中正確的是（）A．由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等”猜想CnB．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數字之和猜想CnC．第9條斜線上個數字之和為55 D．在第n（n≥5）條斜線上，各數從左往右先增大后減少【考點】二項式定理的應用．【專題】計算題；對應思想；分析法；二項式定理；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】根據二項式系數與楊揮三角判斷AB；通過觀察歸納出第n條斜線上的數的特征，進而判斷CD選項．【解答】解：根據二項式系數的性質，結合楊輝三角即可得Cnm=Cnn-m，C對于CD選項，第1條斜線上的數為C00，第2條斜線上的數為第3條斜線上的數為C20，C1第5條斜線上的數為C40，C3第7條斜線上的數為C6由此，歸納得到：第2n（n∈N*）條斜線上的數依次為：C2第（2n+1）（n∈N）條斜線上的數依次為：C所以，第9條斜線上各數字為：C80，C7在第n（n≥5）條斜線上，各數從左往右先增大后減少，故D正確．故選：ABD【點評】本題考查楊輝三角，考查學生的運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）13．“九江之夜”文旅街區是我市重點引進的文旅項目，它坐落在我市濂溪區芳蘭湖畔，一經開業便引得廣大市民游客爭相打卡．為了更好的服務招親廣場、電音舞臺、簿火廣場、水系舞臺這四個網紅打卡點，主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個網紅點至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務一個網紅點，則電音舞臺恰好安排兩人的方法有60種．【考點】排列組合的綜合應用；簡單排列問題．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】60．【分析】根據題意，分2步進行分析：①將5人分為4組，②將2人組安排到電音舞臺，剩下的3組全排列，安排到其他3個網紅打卡點，由分步計數計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①將5人分為4組，有C52②將2人組安排到電音舞臺，剩下的3組全排列，安排到其他3個網紅打卡點，有A33則有10×6＝60種安排方法．故答案為：60．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．14．已知某圓上的10個不同的點，過每3個點畫一個圓內接三角形，一共可畫120個圓內接三角形．【考點】簡單組合問題．【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解．【答案】120．【分析】根據不共線的三點確定一個圓，可得從10個點任選3個點取法有C10【解答】解：∵某圓上的10個不同的點不共線，且從10個點任選3個點取法有C10∴一共可畫120個圓內接三角形．故答案為：120．【點評】本題考查組合數的應用，屬于基礎題．15．（﹣1+x）9展開式中x2的系數為﹣36．【考點】二項展開式的通項與項的系數．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】﹣36．【分析】利用二項展開式的通項公式求解即可．【解答】解：（﹣1+x）9展開式中x2的系數為C92（﹣1）7＝﹣故答案為：﹣36．【點評】本題考查二項展開式的通項公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．16．有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學生做作業的可能情況有64種．【考點】排列組合的綜合應用；計數原理的應用．【專題】對應思想；分析法；排列組合；運算求解．【答案】64．【分析】根據分步乘法，每個學生做作業的情況都是4，相乘即可．【解答】解：因為4科老師都布置了作業，在同一時刻每個學生做作業的情況有4種可能，所以3名學生都做作業的可能情況4×4×4＝64種．故答案為：64．【點評】本題考查排列組合的應用，屬于基礎題．17．用4種不同的顏色對如圖所示的6個區域（圖中A，B，C，D，E，F）進行著色，要求相鄰區域顏色不同，則共有120種不同的著色方法．【考點】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】120種．【分析】由題意可知A，B，C，D，E五個區域中必有兩組不相鄰的區域分別涂同一種顏色，再結合排列組合知識求解．【解答】解：根據題意，用4種不同顏色標注6個區域，相鄰區域顏色不相同，則A，B，C，D，E五個區域中必有兩組不相鄰的區域分別涂同一種顏色，共有：{“A和C”且“B和D”}，{“A和C”且“B和E”}，{“A和D”且“C和E”}，{“A和D”且“B和E”}，{“B和D”且“C和E”}，5種情況，所以不同的涂色共有5×A4故答案為：120種．【點評】本題主要考查了排列組合問題，屬于基礎題．四．解答題（共5小題）18．已知6件不同的產品中有2件次品，現對這6件產品一一進行測試，直至找到所有次品并立即停止測試．（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第5次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？【考點】計數原理的應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解．【答案】（1）48；（2）18．【分析】（1）根據分步乘法計數原理可求得結果；（2）分兩種情況討論：（i）測試2次找到所有次品；（ii）測試3次找到所有的正品．求出兩種情況下不同的測試情況種數，相加即可．【解答】解：（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第5次測試時，找到第二件次品，則第一、三、四次抽到的都是正品，由分步乘法計數原理可知，不同的測試情況種數為4×2×3×2×1＝48種；（2）至多測試3次就能找到所有次品，有兩種情況：（i）測試2次找到所有次品，不同的測試情況種數為2×1＝2種，（ii）測試3次找到所有的次品，則第三次抽到次品，前兩次有一次抽到次品，則不同的測試情況種數為2×2×4＝16種，綜上所述，不同的測試情況種數為2+16＝18種．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了計數原理的應用，屬于基礎題．19．（1）從6名同學中選4名同學組成一個代表隊，參加4×400米接力比賽，問有多少種參賽方案？（2）從6名同學中選4名同學參加場外啦啦隊，問有多少種選法？（3）4名同學每人可從跳高、跳遠、短跑三個項目中，任選一項參加比賽，若恰有一項比賽無人參加，問有多少種參賽方案？【考點】排列組合的綜合應用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；直觀想象．【答案】（1）360；（2）15；（3）42．【分析】（1）結合排列、組合知識，先選后排即可；（2）結合組合知識，只從6名同學中選4名同學即可；（3）先從跳高、跳遠、短跑三個項目中選二個項目，再討論4名同學參加這二個項目的參賽方案即可．【解答】解：（1）從6名同學中選4名同學組成一個代表隊，參加4×400米接力比賽，有A6（2）從6名同學中選4名同學參加場外啦啦隊，有C64（3）4名同學每人可從跳高、跳遠、短跑三個項目中，任選一項參加比賽，若恰有一項比賽無人參加，有C32×（24﹣2【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了運算能力，屬基礎題．20．已知二項式(x-3x)n的展開式中，所有項的二項式系數之和為a，各項的系數之和為b，（1）求n的值；（2）求其展開式中所有的有理項．【考點】二項式系數與二項式系數的和．【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】（1）先利用題給條件列出關于n的方程，解之即可求得n的值；（2）利用二項展開式的通項公式即可求得其展開式中所有的有理項．【解答】解：（1）因為a＝2n，b＝（﹣2）n，所以2n+（﹣2）n＝32，當n為奇數時，此方程無解，當n為偶數時，方程可化為2×2n＝32，解得n＝4；（2）由通項公式Tr當4-32r為整數時，Tr+1是有理項，則r＝0，所以有理項為T1【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．21．已知（2x﹣1）5＝a0+xa1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5．（1）求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值；（2）求2a1+2a2+22a3+4a4+42a5的值．【考點】二項式系數與二項式系數的和．【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；運算求解．【答案】（1）292（2）2．【分析】（1）結合賦值法，即可求解；（2）結合（1）的結論，以及賦值法，即可求解．【解答】解：（1）(2x-1)5的展開式中，當x＝0因為a0，a2，a4∈（﹣∞，0），a1，a3，a5∈（0，+∞），所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|＝﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5，當x＝﹣1時，a0所以|a（2）根據題意，令x=2，得由（1）知，a0＝﹣1，所以2a【點評】本題主要考查賦值法的應用，屬于基礎題．22．已知8件不同的產品中有2件次品，現對這8件產品一一進行測試，直至找到所有次品．（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？【考點】排列組合的綜合應用．【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）720，（2）26．【分析】（1）分步驟確定每次測試的情況數，再根據排列組合的乘法原理計算總的測試情況數．（2）要分測試2次找到所有次品和測試3次找到所有次品這兩種情況分別計算，最后根據加法原理得到總的測試情況數．【解答】解：（1）第1次測試的是正品，從6件正品中選1件，有C61第2次測試找到第一件次品，∵有2件次品，∴第2次測試的次品有2種選擇，第3次到第5次測試的是正品，從剩下的5件正品中選3件進行排列，有A5第6次測試找到第二件次品，此時只剩下1件次品，∴只有1種選擇，根據排列組合的乘法原理，總的測試情況數為2×6×60×1＝720種．（2）測試2次就找到所有次品的情況：第1次測試找到一件次品，有2種選擇，第2次測試找到另一件次品，有1種選擇，∴這種情況共有2×1＝2種測試情況．測試3次找到所有次品的情況：第1次測試找到一件次品，有2種選擇，第2次測試找到一件正品，從6件正品中選1件，有C61=6種選擇，第3次測試找到另一件次品，有1種選擇，這種情況共有2×6×1第1次測試找到一件正品，從6件正品中選1件，有C61=6有2種選擇，第3次測試找到另一件次品，有1種選擇，這種情況共有6×2×1＝12種測試情況，根據加法原理，至多測試3次就能找到所有次品的測試情況數為2+12+12＝26種．【點評】本題考查了排列組合，屬于基礎題．

考點卡片1．分步乘法計數原理【知識點的認識】1．定義：完成一件事需要分成兩個步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點：完成一件事的n個步驟相互依存，必須依次完成n個步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計數原理區別分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點計算“完成一件事”的方法種數不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】如果完成一件事情有n個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計數原理．實現步驟：（1）分步；（2）對每一步的方法進行計數；（3）用分步乘法計數原理求積；【命題方向】與實際生活相聯系，以選擇題、填空題的形式出現，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．例：從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數為（）A.432B.288C.216D.108分析：本題是一個分步計數原理，先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共C42C32解答：∵由題意知本題是一個分步計數原理，第一步先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共C42第二步再把4個數排列，其中是奇數的共A21∴所求奇數的個數共有18×12＝216種．故選C．點評：本題考查分步計數原理，是一個數字問題，數字問題是排列中的一大類問題，把排列問題包含在數字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．2．計數原理的應用【知識點的認識】1．兩個計數原理（1）分類加法計數原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計數原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個計數原理的比較分類加法計數原理分步乘法計數原理共同點都是計數原理，即統計完成某件事不同方法種數的原理．不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨立，且每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事n個步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點撥】1．計數原理的應用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類加法計數原理；（2）如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步乘法計數原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數；（4）作答．【命題方向】分類計數原理、分步計數原理是推導排列數、組合數公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區域涂色②點的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數問題（①允許有重復數字②不允許有重復數字）3．簡單排列問題【知識點的認識】﹣簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況．n個不同元素的全排列總數為An﹣該類問題通常是排列問題的基礎，強調對基本排列公式的理解與應用．【解題方法點撥】﹣直接應用排列公式進行計算．對于全排列問題，計算階乘即可得到排列數．﹣在計算過程中，注意排列數中的階乘表示法，并理解排列的意義．﹣對于涉及排列的實際問題，可以通過具體化問題，將其轉化為排列數計算．【命題方向】﹣基本排列問題的命題常見于簡單元素排列的計算，如全排列數的求解、特定位置的排列數計算．﹣可能涉及對排列數公式的直接應用，以及對排列問題的基礎性理解與操作．4．部分位置的元素有限制的排列問題【知識點的認識】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現在特定位置或區域．例如：特定元素只能出現在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問題通常要求考生在處理排列時，先考慮限制條件，再進行一般排列．【解題方法點撥】﹣處理此類問題時，首先對有限制的部分進行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數．﹣對于較復雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進行單獨計算．【命題方向】﹣常考察在特定位置或區域內元素的排列，如規定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運用排列數公式．5．部分元素不相鄰的排列問題【知識點的認識】﹣部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰．例如：在排列中，兩個特定元素不能排在一起．﹣這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決．【解題方法點撥】﹣使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰．﹣排除法是先計算不考慮相鄰條件的排列總數，再減去相鄰元素排列的情況．﹣對于更復雜的排列問題，可以結合插空法或利用遞推關系進行解題．【命題方向】﹣命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數，或者分析多個元素不相鄰的組合情況．﹣題目可能涉及多個不相鄰條件的疊加，要求考生準確處理這些條件．6．組合及組合數公式【知識點的認識】1．定義（1）組合：一般地，從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個元素中任取m個元素的一個組合．（2）組合數：從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數，用符號Cn2．組合數公式：Cnm=n(n-1)(n-2)(n3．組合數的性質：性質1C性質2Cn7．簡單組合問題【知識點的認識】﹣簡單組合問題涉及無任何特殊限制的組合情況．n個不同元素中選出r個元素的組合總數為Cn﹣這類問題是組合問題的基礎，強調對基本組合公式的理解與應用．【解題方法點撥】﹣直接應用組合公式進行計算．在實際問題中，注意理解組合與排列的區別，組合不考慮順序，而排列考慮順序．﹣對于簡單組合問題，可以通過列舉法或公式直接求解．﹣在復雜組合問題中，分類討論和遞推公式可能是有效的解題工具．【命題方向】﹣常見命題包括基本組合問題的計算，如從一組元素中選出子集的總數，或計算特定組合情況的可能性．﹣命題可能涉及對組合數公式的直接應用，以及對組合問題的基礎性理解與操作．8．排列組合的綜合應用【知識點的認識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優先安排；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構造模型；⑩正難則反、等價轉化．對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類，二是按時間發生的過程進行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調序法：當某些元素次序一定時，可用此法；（7）平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有；（8）隔板法：常用于解正整數解組數的問題；（9）定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內．先C后A策略，排列；組合；②從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定某r個元素都不包含在內．先C后A策