第27頁（共27頁）第十八章A卷一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?禪城區期末）如圖，將直角三角尺放置在刻度尺上，斜邊上三個點A、D、B對應的刻度分別為1、4、7（單位：cm），則CD的長度為（）A．6 B．4.5 C．3.5 D．32．（2024秋?南海區期末）在?ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線，添加下列其中一個條件就能使?ABCD成為矩形，那么添加的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD3．（2024秋?南海區期末）若菱形ABCD的邊AB的長為2cm，則菱形ABCD的周長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．（2024秋?紅古區期末）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，則∠AOB的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2024秋?萊西市期末）我國古代有“不以規矩，不能成方圓”的說法，人們把“規矩”當作幾何名詞，“規”是圓，“矩”是方，所以初中以后就把長方形改為比較專業的名稱“矩形”．木藝活動課上，小明用四根細木條a，b，c，d搭成如圖所示的一個四邊形，現要判斷這個四邊形是否是矩形，以下測量方案正確的是（）A．測量是否有三個角是直角 B．測量對角線是否相等 C．測量兩組對邊是否分別相等 D．測量對角線是否互相垂直6．（2024秋?蓮湖區期末）如圖，菱形的對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點．若BC＝4，則OE的長為（）A．4 B．3 C．23 D．7．（2024秋?成都期末）下列選項中，正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．四條邊都相等 B．對角線互相垂直 C．對角線互相平分 D．四個角都是直角8．（2024秋?渝北區期末）如圖，將平行四邊形ABCD的一邊BC延長至點E，若∠DCE＝55°，則的∠BAD度數為（）A．125° B．115° C．55° D．135°9．（2024秋?英德市期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AO＝3，則BD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2024秋?長沙期末）如圖是第七屆國際數學教育大會（ICME﹣7）的會徽，由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點D，E，F分別在邊OC，OB，BC上，過點E作EH⊥AB于點H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，則EHOAA．1：3 B．2：3 C．1：2 D．4二．填空題（共5小題）11．（2024秋?南岸區期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點M是BC邊上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N，若正方形ABCD的邊長為2，則四邊形OMCN的面積是．12．（2024秋?興慶區校級期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，若AB＝6cm，BC＝8cm，則△ABO的周長是cm．13．（2024秋?順德區期末）若D是直角三角形ABC斜邊AB的中點，且AC＝3，BC＝4，則CD＝．14．（2025?深圳模擬）已知矩形的邊長分別為3和4，則該矩形的對角線長為．15．（2024秋?英德市期末）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，AC＝4，則BD的長是．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?拱墅區期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，CD是斜邊AB上的高線，CE是斜邊AB上的中線．（1）若BD＝ED，求證：∠A＝30°；（2）若AD＝4BD＝8，求CD的長．17．（2024秋?南海區期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝AD＝10，BD＝12，求AC的長．18．（2024秋?萊蕪區期末）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線EF分別交AD、CB的延長線于點E，F．求證：OE＝OF．19．（2024秋?府谷縣期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，AB⊥BC，點E是邊CD的延長線上的動點．連接AE．過點C作CF⊥AE于點F．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）當點F是AE的中點，且CE=82時，求四邊形20．（2024秋?永壽縣校級期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E，F分別是邊AB，AC的中點，AB＝6，AC＝8，BC＝10．求△DEF的周長．21．（2024秋?洪雅縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，分別交BC、AC于點D、E，點F在BC的延長線上，且CF＝DE．（1）求證：△CEF是等腰三角形；（2）連接AD，當AD⊥BC，BC＝8，△CEF的周長為16時，求△DEF的周長．22．（2022?綠園區校級一模）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC，BD的交點，EF過點O且垂直于AD．（1）求證：OE＝OF；（2）若S?ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的長．23．（2024秋?浦東新區期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．

第十八章A卷參考答案與試題解析題號12345678910答案DADDADDADA一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?禪城區期末）如圖，將直角三角尺放置在刻度尺上，斜邊上三個點A、D、B對應的刻度分別為1、4、7（單位：cm），則CD的長度為（）A．6 B．4.5 C．3.5 D．3【考點】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】根據直角三角形斜邊上的中線的性質解答即可．【解答】解：由題意可知：AB＝6cm，AD＝DB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，∴CD=12AB＝3（故選：D．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．2．（2024秋?南海區期末）在?ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線，添加下列其中一個條件就能使?ABCD成為矩形，那么添加的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】由矩形的判定對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、由AC＝BD能判定?ABCD為菱形，故此選項符合題意；B、由AC⊥BD，能判定?ABCD為菱形，故此選項不符合題意；C、由AB＝BC能判定?ABCD為菱形，故此選項不符合題意；D、AC平分∠BAD，能判定?ABCD為菱形，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關鍵．3．（2024秋?南海區期末）若菱形ABCD的邊AB的長為2cm，則菱形ABCD的周長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考點】菱形的性質．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】D【分析】根據菱形的性質即可得到結論．【解答】解：∵菱形ABCD的邊AB的長為2cm，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴菱形ABCD的周長為4×2＝8（cm），故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的周長公式是解題的關鍵．4．（2024秋?紅古區期末）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，則∠AOB的度數是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點】正方形的性質．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根據正方形的性質對角線互相垂直可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD于點O，∴∠AOB＝90°，故選：D．【點評】本題主要考查正方形的性質，掌握正方形的性質是解題的關鍵．5．（2024秋?萊西市期末）我國古代有“不以規矩，不能成方圓”的說法，人們把“規矩”當作幾何名詞，“規”是圓，“矩”是方，所以初中以后就把長方形改為比較專業的名稱“矩形”．木藝活動課上，小明用四根細木條a，b，c，d搭成如圖所示的一個四邊形，現要判斷這個四邊形是否是矩形，以下測量方案正確的是（）A．測量是否有三個角是直角 B．測量對角線是否相等 C．測量兩組對邊是否分別相等 D．測量對角線是否互相垂直【考點】矩形的判定．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】根據矩形的判定方法：有一個角是直角的平行四邊形是矩形，以及對角線相等的平行四邊形是矩形，進行判斷即可．【解答】解：∵有三個角是直角的四邊形是矩形，∴要判斷這塊木板是否是矩形，可以測量是否有三個角是直角；故選：A．【點評】本題考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本題的關鍵．6．（2024秋?蓮湖區期末）如圖，菱形的對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點．若BC＝4，則OE的長為（）A．4 B．3 C．23 D．【考點】菱形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根據菱形的性質和直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB＝CD＝4，AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵E是CD的中點，∴OE=12CD=12故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．7．（2024秋?成都期末）下列選項中，正方形具有而菱形不具有的性質是（）A．四條邊都相等 B．對角線互相垂直 C．對角線互相平分 D．四個角都是直角【考點】正方形的性質；菱形的性質．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根據正方形的性質和菱形的性質進行判斷即可．【解答】解：正方形的四個角都是直角，菱形的四個角不一定是直角．故選：D．【點評】本題主要考查的是正方形的性質、菱形的性質，熟練掌正方形的性質是解題的關鍵．8．（2024秋?渝北區期末）如圖，將平行四邊形ABCD的一邊BC延長至點E，若∠DCE＝55°，則的∠BAD度數為（）A．125° B．115° C．55° D．135°【考點】平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】A【分析】根據平行四邊形的性質即可得到結論．【解答】解：∵∠DCE＝55°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠DCB＝125°，故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．9．（2024秋?英德市期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AO＝3，則BD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】矩形的性質．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】D【分析】根據矩形的性質得出AC＝BD，AO＝CO，求出AC，再求出BD即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，∵AO＝3，∴CO＝3，∴AC＝3+3＝6，∴BD＝AC＝6，故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質，能熟記矩形的對角線互相平分且相等是解此題的關鍵．10．（2024秋?長沙期末）如圖是第七屆國際數學教育大會（ICME﹣7）的會徽，由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點D，E，F分別在邊OC，OB，BC上，過點E作EH⊥AB于點H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，則EHOAA．1：3 B．2：3 C．1：2 D．4【考點】菱形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】設CD＝a，根據菱形的性質得，CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB，在Rt△ODE中根據∠BOC＝30°得OD＝2a，OE=3a，則OC＝3a，進而得BC=32a，OB=323a，從而得EB=123【解答】解：設CD＝a，∵四邊形CDEF為菱形，∴CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB，∵△OBC和△OBA為直角三角形，且∠OBC＝∠A＝90°，∴∠OED＝∠OBC＝90°，在Rt△ODE中，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝2a，由勾股定理得：OE=OD∴OC＝OD+CD＝2a+a＝3a，在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OC＝3a，∴BC=32由勾股定理得：OB=OC∴EB＝OB﹣OE=3∵EH⊥AB，∠A＝90°，∴EH∥OA，∴△BEH∽△BOA，∴EHOA故選：A．【點評】3二．填空題（共5小題）11．（2024秋?南岸區期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點M是BC邊上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N，若正方形ABCD的邊長為2，則四邊形OMCN的面積是1．【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】1．【分析】先證∠BOM＝∠CON，再證△BOM和△CON全等，得出△BOM和△CON的面積相等，再證得四邊形OMCN的面積與△BOC的面積相等，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠BOM+∠COM＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠CON+∠COM＝90°，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，∠OBM∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴S四邊形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC=14故答案為：1．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，得出S△BOM＝S△CON是解題的關鍵．12．（2024秋?興慶區校級期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，若AB＝6cm，BC＝8cm，則△ABO的周長是16cm．【考點】矩形的性質；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力．【答案】16．【分析】由在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若對角線AB＝6cm，BC＝8cm，即可求得OA與OB的長，然后利用勾股定理，求得AB的長，即可求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝6cm，BC＝8cm，∴∠ABC＝90°，OA＝OB=12∴AC=AB2+∴AO＝BO＝5cm，∴△ABO的周長為OA+OB+AB＝16（cm）．故答案為：16．【點評】此題考查了矩形的性質以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．13．（2024秋?順德區期末）若D是直角三角形ABC斜邊AB的中點，且AC＝3，BC＝4，則CD＝2.5．【考點】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】2.5．【分析】由勾股定理得求出AB=AC2+BC2=【解答】解：由勾股定理得：AB=AC∵D是直角三角形ABC斜邊AB的中點，∴CD=12AB＝故答案為：2.5．【點評】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊的中線，關鍵是直角三角形斜邊中線的性質推出CD=1214．（2025?深圳模擬）已知矩形的邊長分別為3和4，則該矩形的對角線長為5．【考點】矩形的性質；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力．【答案】5．【分析】根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵矩形的邊長分別為3和4，∴該矩形的對角線長=32故答案為：5．【點評】本題考查了矩形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15．（2024秋?英德市期末）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，AC＝4，則BD的長是2．【考點】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】2．【分析】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由此得到BD=12AC＝【解答】解：∵Rt△ABC中，D是斜邊AC的中點，∴BD=12AC=12故答案為：2．【點評】本題考查直角三角形斜邊的中線，關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?拱墅區期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，CD是斜邊AB上的高線，CE是斜邊AB上的中線．（1）若BD＝ED，求證：∠A＝30°；（2）若AD＝4BD＝8，求CD的長．【考點】直角三角形斜邊上的中線；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）4．【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線的性質得到CE=12AB＝EB＝AE，證明△CBE為等邊三角形，得到∠B＝60°，再根據直角三角形的性質求出∠A＝（2）根據題意求出BD，根據直角三角形斜邊上的中線的性質求出CE，再根據勾股定理計算即可．【解答】（1）證明：在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，則CE=12AB＝EB＝∵BD＝ED，CD⊥EB，∴CE＝CB，∴CE＝BE＝CB，∴△CBE為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°；（2）解：∵4BD＝8，∴BD＝2，∴AB＝1D+BD＝10，由（1）可知：CE＝BE=12AB＝∴DE＝BE﹣BD＝3，由勾股定理得：CD=CE【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線、含30度角的直角三角形的性質，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．17．（2024秋?南海區期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝AD＝10，BD＝12，求AC的長．【考點】平行四邊形的性質；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】16．【分析】根據平行四邊形的性質和勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD=12BD＝6，AC＝2∵AB＝AD，∴AO⊥BD，∴AO=AB∴AC＝2AO＝16．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質和勾股定理是解題的關鍵．18．（2024秋?萊蕪區期末）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線EF分別交AD、CB的延長線于點E，F．求證：OE＝OF．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】根據平行四邊形的性質可得AO＝CO，AD∥BC，進而可得∠EAO＝∠FCO，再根據對頂角相等可得∠AOE＝∠COF從而證明△AOE≌△COF，證得結論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴得AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∠EAO∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．【點評】本題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練運用平行四邊形的性質．19．（2024秋?府谷縣期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，AB⊥BC，點E是邊CD的延長線上的動點．連接AE．過點C作CF⊥AE于點F．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）當點F是AE的中點，且CE=82時，求四邊形【考點】正方形的判定與性質．【專題】矩形菱形正方形；運算能力；推理能力．【答案】（1）答案見解答過程；（2）64．【分析】（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC得平行四邊形ABCD為菱形，再根據AB⊥BC即可得出結論；（2）連接AC，根據CF⊥AE于點F，點F為AE的中點得CF為線段AE的垂直平分線，則AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，據此可得四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴平行四邊形ABCD為菱形，又∵AB⊥BC，∴菱形ABCD為正方形，（2）連接AC，如圖所示：∵CF⊥AE于點F，點F為AE的中點，∴CF為線段AE的垂直平分線，∴AC＝CE＝8√2，∵四邊形ABCD為正方形，∵AD＝BC，∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，∴AD2=12AC2=∴四邊形ABCD的面積＝AD2＝64．【點評】此題主要考查了正方形的判定和性質，熟練掌握正方形的判定和性質是解決問題的關鍵．20．（2024秋?永壽縣校級期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E，F分別是邊AB，AC的中點，AB＝6，AC＝8，BC＝10．求△DEF的周長．【考點】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】12．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線的性質分別求出DE、DF，根據三角形中位線定理求出EF，再根據三角形周長公式計算即可．【解答】解：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，E是邊AB的中點，AB＝6，則DE=12AB＝同理可得：DF=12AC＝∵E，F分別是邊AB，AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=12BC＝∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝3+4+5＝12．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．21．（2024秋?洪雅縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，分別交BC、AC于點D、E，點F在BC的延長線上，且CF＝DE．（1）求證：△CEF是等腰三角形；（2）連接AD，當AD⊥BC，BC＝8，△CEF的周長為16時，求△DEF的周長．【考點】直角三角形斜邊上的中線；平行線的性質；等腰三角形的判定與性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用等腰三角形的性質可得∠B＝∠ACB，然后再推出∠ECD＝∠EDC，進而可得DE＝CE，再結合條件可得CE＝CF，進而可得結論；（2）根據三線合一可得CD的長，再根據△DEF周長＝DE+DF+EF，利用等量代換可得△DEF的周長＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周長+CD，進而可得答案．【解答】（1）證明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵ED∥AB，∴∠EDC＝∠B，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC，∵CF＝DE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形；（2）連接AD，當AD⊥BC時，∵AB＝AC，∴BD＝CD=12BC＝∵△DEF周長＝DE+DF+EF，DE＝CE，DF＝CF+CD，∴△DEF的周長＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周長+CD＝16+4＝20．【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質，關鍵是掌握等角對等邊，等邊對等角，以及等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線三線合一．22．（2022?綠園區校級一模）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC，BD的交點，EF過點O且垂直于AD．（1）求證：OE＝OF；（2）若S?ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的長．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．【專題】綜合題；幾何直觀．【答案】（1）證明見解析；（2）9．【分析】（1）運用ASA證明△AEO≌△CFO即可得到結論；（2）由（1）得EF＝7，再根據平行四邊形的面積計算公式求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，（ASA）∴OE＝OF；（2）解：∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7，又∵EF⊥AD，∴S?ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9．【點評】本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的判定的應用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，平行四邊形的對角線互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本題主要考查了學生運用定理進行推理的能力．23．（2024秋?浦東新區期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接DF，根據直角三角形的性質得到DF=12AB＝BF，進而證明DC＝（2）根據三角形的外角性質得到∠FDB＝2∠DFC，根據等腰三角形的性質證明結論．【解答】證明：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵點F是AB的中點，∴DF=12AB＝∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點E是CF的中點．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【點評】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．

考點卡片1．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．2．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．3．等腰三角形的判定與性質1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決．4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用來求邊的長度和角的度數．（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．5．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角