2.2平面向量線性運算2.2.1向量加法運算及其幾何意義1/482/481.向量加法(1)定義:求___________運算,叫做向量加法.(2)法則:按照_______法則或___________法則進行.(3)要求:對于零向量與任意向量a,我們要求a+0=____=a.(4)結論:|a+b|___|a|+|b|.2.向量加法運算律(1)交換律:a+b=____.(2)結合律:(a+b)+c=________.兩個向量和三角形平行四邊形0+a≤b+aa+(b+c)3/481.判一判(正確打“√”,錯誤打“×”)(1)兩個向量相加,所得結果有可能是一個數量.

(

)(2)兩個向量相加就是兩個向量模相加.

(

)(3)向量加法平行四邊形法則適合任何兩個向量相加.(

)4/482.做一做(請把正確答案寫在橫線上)(1)矩形ABCD中,=

.(2)若a與b同向,則|a+b|=

.(3)=

.5/48知識點1向量加法1.向量和及其物理背景兩向量和仍是一個向量.向量加法就是求兩個向量和運算,是物理學中位移、力合成等在數學運算中抽象概括.2.三角形法則和平行四邊形法則三角形法則平行四邊形法則物理模型位移合成力合成使用條件任意兩個非零向量任意兩個不共線向量簡記首尾相連,一直連線共起點,為鄰邊,平行四邊形共起點對角線6/483.對||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|成立說明(1)當a,b有一個為零向量時,不等式顯然成立.(2)當a,b不共線時,作=a,=b,則a+b=,如圖①所表示,依據三角形邊長關系,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.(3)當a,b非零且同向時,作=a,=b,則a+b=,如圖②所表示,此時|a+b|=|a|+|b|.7/48(4)當a,b非零且反向時,若|a|>|b|.作=a,=b,則a+b=,如圖③所表示,此時|a+b|=|a|-|b|.同理可證|a|<|b|時,|a+b|=|b|-|a|；|a|=|b|,|a+b|=0=|a|-|b|.綜上分析可知||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.8/48【知識拓展】向量求和多邊形法則(1)已知n個向量，依次首尾相接，則由起始向量起點指向末尾向量終點向量即為這n個向量和，這稱為向量求和多邊形法則.即(2)首尾順次相接若干向量求和，若組成一個封閉圖形，則它們和為0.9/48【思索】(1)在使用三角形法則和平行四邊形法則時應注意什么?提醒:在使用三角形法則時應注意“首尾連接”;在使用平行四邊形法則時應注意兩向量起點相同.(2)當包括多個向量相加時,普通利用向量哪個法則求和?提醒:當包括多個向量相加時,普通利用三角形法則求和.10/48【即時練】1.化簡等于(

)2.如圖,正六邊形ABCDEF中,=

.11/48【解析】1.選B.2.依據正六邊形性質,我們易得答案:12/48知識點2向量加法運算律1.向量加法交換律在圖(1)中平行四邊形ABCD中,=a,=b,則

=a+b,=b+a,故a+b=b+a.即向量加法滿足交換律.13/48當向量a,b最少有一個為零向量時,交換律顯然成立,當a,b為非零向量且共線時,(1)當a,b同向時,向量a+b與a同向,且|a+b|=|a|+|b|;向量b+a與b同向,且|b+a|=|b|+|a|,故a+b=b+a.(2)當a,b反向時,不妨設|a|>|b|,a+b與a同向,且|a+b|=|a|-|b|;b+a與a同向,且|b+a|=|a|-|b|,故a+b=b+a.14/482.向量加法結合律在圖(2)中,=a+b,=b+c,所以==(a+b)+c,=a+(b+c),從而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法滿足結合律.15/483.向量加法運算律推廣向量加法交換律和結合律對多個向量依然成立,恰當地使用運算律能夠實現簡化運算目標.如在進行多個向量加法運算時,能夠按照任意次序和任意組合進行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).16/48【微思索】(1)向量加法交換律中向量b能夠是零向量嗎?提醒:能夠.若b=0,則a+0=0+a=a.(2)試舉例說明向量加法運算律是怎樣簡化運算?提醒:用交換律、結合律能夠將多個向量相加轉化為首尾相接形式,實現簡化運算.如17/48【即時練】1.化簡后等于(

)2.在平行四邊形ABCD中,=

.【解析】1.選B.因為2.答案:18/48【題型示范】類型一向量加法及運算律【典例1】(1)設a=b是任一非零向量,則在以下結論中,①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.其中正確序號為

.19/48(2)如圖,①②已知向量a,b,c,求作向量a+b或a+b+c.20/48【解題探究】1.題(1)中在判斷向量a與向量b關系時應先對向量a怎樣處理?2.題(2)①中兩向量相加可用哪種方法進行?②中向量a與向量b有何關系?21/48【探究提醒】1.先化簡向量a,再依據向量平行、向量加法及|a+b|與|a|+|b|關系解答.2.①中兩向量相加可用三角形法則或平行四邊形法則進行.②中向量a與向量b是共線向量.22/48【自主解答】(1)因為=0,所以a=0,所以0∥b,①正確;0+b=b,③正確;|0+b|=|b|+|0|,⑤正確.答案:①③⑤23/48(2)①方法一:在平面內任意取一點O,作=a,=b,則=a+b(如圖1).方法二:在平面內任意取一點O,以OA,OB為鄰邊作?OACB,且=a,=b,連接OC,則=a+b(如圖2).24/48②在平面內任意取一點O(如圖3),作=a,=b,=c,則

=a+b+c.25/48【延伸探究】若在題(1)序號中添加上“⑥|a|<|b|”,則正確序號應為

.【解析】因為所以a=0,所以0∥b,①正確;0+b=b,③正確;|0+b|=|b|+|0|,⑤正確.又因為|a|=0,而b是任一非零向量,即|b|>0,故⑥正確.答案:①③⑤⑥26/48【方法技巧】向量加法運算律意義和應用標準(1)意義:向量加法運算律為向量加法提供了變形依據,實現恰當利用向量加法法則運算目標.實際上,因為向量加法滿足交換律和結合律,故多個向量加法運算能夠按照任意次序、任意組合來進行.(2)應用標準:利用代數方法經過向量加法交換律,使各向量“首尾相連”,經過向量加法結合律調整向量相加次序.27/48【變式訓練】1.以下結論正確是(

)A.假如非零向量a,b方向相反或相同,那么a+b方向必與a,b之一方向相同B.若=0,則A,B,C為三角形三個頂點C.設a≠0,若a∥(a+b),則a∥bD.若|a+b|=|a|-|b|,則b=0【解題指南】對于選項B,要考慮三點是否共線,三點共線則構不成三角形.28/48【解析】選C.A錯誤,因為a+b有可能為0,若a+b為0,則方向是任意,能夠與a,b方向都不相同;B錯誤,=0,則A,B,C三點能夠共線,無法組成三角形;C正確,a≠0,當b=0時,顯然有a∥b;當b≠0時,若a,b不共線,則a+b與a方向既不相同也不相反,與a∥(a+b)不符;D錯誤,若|a+b|=|a|-|b|,則有可能a,b反向,且|a|>|b|,b≠0.29/482.已知梯形ABCD,AD∥BC,O為對角線交點,則=

.【解析】答案:30/48【賠償訓練】如圖,在平行四邊形ABCD中,(1)=

;(2)

=

;(3)=

;31/48【解析】(1)(2)(3)答案:(1)

(2)

(3)32/48類型二向量加法實際應用【典例2】(1)若a表示向東走8km,b表示向北走8km,則|a+b|=

km,a+b方向是

.(2)一航船以5km/h速度向垂直于對岸方向行駛,航船實際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實際航行速度.33/48【解題探究】1.題(1)中長度及方向可借助什么來求?2.題(2)中求水流速度及船實際航行速度可用向量加法什么法則?【探究提醒】1.借助直角三角形求解.2.用加法平行四邊形法則.34/48【自主解答】(1)設=a,=b,則

=a+b.又因為||=8,||=8,所以||=|a+b|=8.又因為∠AOC=45°,所以a+b方向是北偏東45°.答案:8北偏東45°35/48(2)如圖所表示,表示水流速度,表示船垂直于對岸方向行駛速度,表示船實際航行速度,∠AOC=30°,||=5.因為四邊形OACB為矩形,所以故水流速度為5km/h,船實際航行速度為10km/h.36/48【方法技巧】應用向量處理平面幾何和物理學問題基本步驟(1)表示:用向量表示相關量,將所要解答問題轉化為向量問題.(2)運算:應用向量加法平行四邊形法則和三角形法則,將相關向量進行運算,解答向量問題.(3)還原:依據向量運算結果,結合向量共線、相等等概念回答原問題.37/48【變式訓練】作用在同一物體上兩個力,|F1|=60N,|F2|=80N,當它們夾角為90°時,則這兩個力協力為

N.【解題指南】求這兩個力協力就是求向量F1+F2.因為以F1和F2為鄰邊作平行四邊形是矩形,由此可利用勾股定理求矩形對角線長,即協力大小.38/48【解析】如圖所表示,表示力F1,表示力F2,以OA,OB為鄰邊作?OACB,則是F1和F2協力.在△OAC中,||=60,||=||=80且OA⊥AC,則||==100(N),即協力大小為100N.答案:10039/48【賠償訓練】1.一艘船從A點出發以v1速度向垂直于對岸方向行駛,同時河水流速為v2,船實際航行速度大小為4km/h,方向與水流間夾角是60°,求v1和v2大小.【解析】由題意,得|v1|=4×sin60°=2(km/h),|v2|=4×cos60°=2(km/h).40/482.如圖所表示,在平行四邊形ABCD對角線BD延長線和反向延長線上取點F,E,使BE=DF.求證:四邊形AECF是平行四邊形.41/48【證實】因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以