專題34最值模型之阿氏圓模型

最值問題在中考數學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的

數學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進

行梳理及對應試題分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.阿氏圓模型..........................................................................................................................................1

.................................................................................................................................................11

模型1.阿氏圓模型

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數，且k≠1）），

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

OP

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即k），連

OB

接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OCOPOPOC

如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即k），∵k，∴，

OPOBOBOP

PC

∵∠POC=∠BOP，∴POC∽BOP，∴k，即k·PB=PC。

PB

△△

故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值。

其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）；點在圓內：向外取點（系數大于1）；一內

一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。

注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點

軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．

例1．（2024·安徽合肥·二模）在ABC中，ACB90，AC6，BC8，點D是平面上一點，且CD4，

連接AD、BD，則下列說法正確的是（）

28

A．AD長度的最大值是9B．ADBD的最小值是10

33

C．CBD30D．△ABD面積的最大值是40

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形判定與性質、勾股定理、點和圓的位置關系等知識，牢記相關性質是解題

關鍵，根據點和圓的位置關系直接判斷A、C、D，根據相似三角形判定與性質及勾股定理、兩點之間線段

最短判斷B即可．

【詳解】解：A、AC6，點D是平面上一點，且CD4，

點A、C、D在同一直線上且D在AC延長線上時，AD長度的最大值是6410，故本選項不符合題意；

28

B、在CA上取點E，使CE=CD=，連接DE,AD，

33

CECD2DECE22

==,DECD=DDCA△CDE∽△CAD\==\DE=AD

CDCA3ADCD33

22

\AD+BD=DE+BD3BE當B、D、E共線時ADBD最小，

33

2

282810

此時，ADBDBE8，故本選項符合題意；

333

C、點D是平面上一點，且CD4，D點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，

CBD隨著點D的變化而變化，故本選項不符合題意；

D、D點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，

如下圖，當DC所在直線垂直于AB時，△ABD面積的最大，

在ABC中，ACB90，AC6，BC8，AB628210，

11

\S=創68=創10CH，\CH=4.8，\DH=4.8+4=8.8，

ABC22

\=1創=

SABD108.844，ABD面積的最大值是44，故本選項不符合題意；故選：B．

2

例2．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個

1

動點，則PDPC的最大值為_______．

2

15

【答案】

2

13

【解析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3，根據題意要求構造PC，在BC上取M使得此時PM=，

22

1

則在點P運動的任意時刻，均有PM=PC，從而將問題轉化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于PDM，

2

15△

PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值．

2

例3.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則2PA

＋PB的最小值為________．

【答案】25

22

【分析】2PA＋PB＝2（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．

22

【詳解】解：設⊙O半徑為r，

1

OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，

2222

OP2OB22OPOB

∵2，2，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，

OI2OP2OIOP

PIOI222

∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，

PBOP222

2

∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，

2

2

∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，

2

2

∴AI＝321210，∴AP＋PB最小值＝AI＝10，

2

2

∵2PA＋PB＝2（PA＋PB），∴2PA＋PB的最小值是2AI＝21025．故答案是25．

2

【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．

例4．（2024·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑

為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為___．

【答案】85

OAAP1

【分析】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,根據，∠AOP是公共角，可得AOP∽△

OPPC3

POC，得PC=3PA，當B,C,P三點共線時，3PA+PB的值最小為BC，利用勾股定理求出BC的長即△可得答案．

【詳解】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,

∵⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,

OAOP1

∵=，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，

OPOC3

∴3PA+PB=PC+PB,∴當B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,

∴BC=OC2OB2=9222=85，∴3PA+PB的最小值為85．故答案為：85

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時

3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．

例5．（2024·山東·模擬預測）如圖，在ABC中，ABC90，AB2BC6，BD1，P在以B為圓心

3為半徑的圓上，則AP6PD的最小值為．

3BPBE1

【解答】解：在AB上取點E，使BE，AB2BC6，，

2ABBP2

PEBP11

PBEABP，PBE∽ABP，，PEPA，

PAAB22

BFBP

在BD延長線上取BF9，BD1，則3，

PBBD

PFPB

又PBDFBP，PBD∽FBP，3，PF3PD，

PDBD

1

PA6PD2(PA3PD)2(PEPF)，

2

當P為EF和圓的交點時PEPF最小，即PA6PD最小，且值為2EF，

3337

EFBE2BF2()292，PA6PD的最小值為2EF337，故答案為：337．

22

例6．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分別是邊BC、

1

AC上的兩個動點，且DE4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PAPB的最小值為．

4

【答案】145

2

1

【解答】解：如圖，在CB上取一點F，使得CF，連接PF，AF．

2

1CF1CP1CFCP

DCE90，DE4，DPPE，PCDE2，，，，

2CP4CB4CPCB

PFCF111

PCFBCP，PCF∽BCP，，PFPB，PAPBPAPF，

PBCP444

1145

PAPFAF，AFCF2AC2()262，

22

11451145

PAPB，PAPB的最小值為

4242

例7．（2024·福建·校考一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM2，N為邊BC

上一動點．連接MN，將BMN沿MN翻折得到PMN，點P與點B對應，連接PA，PC，則PA2PC的

最小值為．

【答案】65

【分析】由折疊的性質可得，點P在以M為圓心，以2為半徑的圓上，在線段MA上取一點E，使得ME1，

11

利用相似三角形的性質得到PEPA，從而得到PA2PC2PAPC2PEPC2CE，當且僅當

22

P、C、E三點共線時，取得最小值2CE，即可求解．

【詳解】解：由題意可得：PMBM2∴點P在以M為圓心，以2為半徑的圓上，

MPME1

在線段MA上取一點E，使得ME1，則BE3∵AMABBM4，MP2∴

AMPM2

PEME11

又∵EMPPMA∴EMP∽PMA∴∴PEPA

PAPM22

1

∴PA2PC2PAPC2PEPC2CE

2

如下圖所示，當且僅當P、C、E三點共線時，取得最小值2CE

CEBE2BC235，∴PA2PC的最小值為：65

例8．（2024·廣東·校考二模）（1）初步研究：如圖1，在PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且

AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正△方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是

⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，

⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．

【答案】（1）見解析；（2）10；（3）237

【分析】（1）證明PAQ∽BAP，根據相似三角形的性質即可證明PB=2PQ；

（2）在AB上取一△點Q，使△得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值

最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點P在CQ

交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC?PB的最大值．

PAAB

【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQAB=4．∴．

AQPA

PQPA1?

又∵∠A=∠A，∴PAQ∽BAP．∴．∴PB=2PQ；

PBAB2

（2）如圖，在AB△上取一點△Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．

∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．

∵PC+PQ≥QC，∴當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小．

∵QC=QB2BC2=5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．

（3）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長CQ交⊙A于點P′，過點C作CH垂

直AB的延長線于點H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．

由（1）得PB=2PQ，∴2PC?PB=2PC?2PQ=2(PC?PQ)，

∵PC?PQ≤QC，∴當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大．

∵QC=QH2CH2=37，∴2PC?PB=2(PC?PQ)≤237．∴2PC?PB的最大值為237．

【點睛】本題考查了圓有關的性質，正方形的性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質、兩點之間線

段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為

兩點之間線段最短解決．

例9．（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖，拋物線yax2bx5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點

C,AB4．拋物線的對稱軸x3與經過點A的直線ykx1交于點D，與x軸交于點E．

(1)求直線AD及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角

形?若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為B

1

上一個動點，請求出PCPA的最小值．

2

【答案】(1)直線AD的解析式為yx1；拋物線解析式為yx26x5

(2)存在，點M的坐標為4,3或0,5或5,0(3)41

【分析】（1）根據對稱軸x3，AB4，得到點A及B的坐標，再利用待定系數法求解析式即可；

（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當DAM90時，求出直線AM的解析式為yx1，解方

yx1

程組2，即可得到點M的坐標；②當ADM90時，求出直線DM的解析式為yx5，

yx6x5

yx5BFPB

解方程組2，即可得到點M的坐標；（3）在AB上取點F，使BF1，連接CF，證得，

yx6x5PBAB

11

又PBFABP，得到PBF∽ABP，推出PFPA，進而得到當點C、P、F三點共線時，PCPA的

22

值最小，即為線段CF的長，利用勾股定理求出CF即可．

【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸x3，AB4，∴A1,0,B5,0，

將A(1,0)代入直線ykx1，得k10，解得k1，∴直線AD的解析式為yx1；

ab50a1

將A1,0,B5,0代入yax2bx5，得，解得，

25a5b50b6

∴拋物線的解析式為yx26x5；

（2）存在點M，∵直線AD的解析式為yx1，拋物線對稱軸x3與x軸交于點E．

∴當x3時，yx12，∴D3,2，

①當DAM90時，設直線AM的解析式為yxc，將點A坐標代入，

得1c0，解得c1，∴直線AM的解析式為yx1，

yx1x1x4

解方程組2，得或，∴點M的坐標為4,3；

yx6x5y0y3

②當ADM90時，設直線DM的解析式為yxd，將D3,2代入，

得3d2，解得d5，∴直線DM的解析式為yx5，

yx5x0x5

解方程組2，解得或，∴點M的坐標為0,5或5,0

yx6x5y5y0

綜上，點M的坐標為4,3或0,5或5,0；

（3）如圖，在AB上取點F，使BF1，連接CF，

BF1PB21BFPB

∵PB2，∴，∵，、∴，

PB2AB42PBAB

PFBF11

又∵PBFABP，∴PBF∽ABP，∴，即PFPA，

PAPB22

11

∴PCPAPCPFCF，∴當點C、P、F三點共線時，PCPA的值最小，即為線段CF的長，

22

1

∵OC5,OFOB1514，∴CFOC2OF2524241，∴PCPA的最小值為41．

2

【點睛】此題是一次函數，二次函數及圓的綜合題，掌握待定系數法求函數解析式，直角三角形的性質，

勾股定理，相似三角形的判定和性質，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關鍵．

1．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB3，BC6，E為AD邊上一動點，將ABE

1

沿BE翻折到FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DFCF的最小值為（）

2

913313

A．B．C．4D．

222

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關

31

鍵．在BC上取點G，使BG，連接FG，DG，證明FBG∽CBF，可得出FGCF，則

22

11

DFFCDFGFDG，當D、F、G三點共線時，DFFC最小，在Rt△CDG中，利用勾股定理

22

求出DG即可．

3

【詳解】解：如圖，在BC上取點G，使BG，連接FG，DG．

2

BG1BF1BGBF

ABE沿BE邊翻折到FBE，BFAB3，又BC6，，，，

BF2BC2BFBC

GFBF11

又FBGCBF，FBG∽CBF，，FGCF，

CFBC22

11

DFFCDFGFDG，當D、F、G三點共線時，DFFC最小，

22

在Rt△CDG中，CDAB3，CGBCBG4.5，BCD90，

3131313

DGCD2CG2，即DFFC的最小值為．

222

2．（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形ABCD中AB8，AD6，點E是矩形ABCD內部一個動

點，且EB4，連接CE，則DE三分之二CE的最小值為（）

2623

A．8B．C．D．9

33

【答案】B

8

【分析】根據題意可得：點E在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運動，在BC上取一點F，使BF，連接

3

102

EF，由矩形的性質可得BCAD6，CDAB8，推出CF，證明△BEF∽△BCE，得到EFCE，

33

22

推出DECEDEEF，即當D、E、F共線時，DECE取最小值，最小值為DF，最后根據勾股

33

定理求出DF，即可求解．

8

【詳解】解：根據題意可得：點E在以B為圓心，4為半徑的圓弧上運動，在BC上取一點F，使BF，

3

810

連接EF，矩形ABCD中，AB8，AD6，BCAD6，CDAB8，CFBCBF6，

33

BEBF2EF22

EB4，，又BB，△BEF∽△BCE，=，EFCE，

BCBE3CE33

22

DECEDEEF，當D、E、F共線時，DECE取最小值，最小值為DF，

33

2

2210226

DFCFCD8，故選:B．

33

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，圓的性質，勾股定理，線段和最短問題，解

題的關鍵是正確作出輔助線．

3．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB3，BC6，E為AD邊上一動點，將ABE

1

沿BE翻折到FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DFCF的最小值為（）

2

913313

A．B．C．4D．

222

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關

31

鍵．在BC上取點G，使BG，連接FG，DG，證明FBG∽CBF，可得出FGCF，則

22

11

DFFCDFGFDG，當D、F、G三點共線時，DFFC最小，在Rt△CDG中，利用勾股定理

22

求出DG即可．

3

【詳解】解：如圖，在BC上取點G，使BG，連接FG，DG．

2

BG1BF1BGBF

ABE沿BE邊翻折到FBE，BFAB3，又BC6，，，，

BF2BC2BFBC

GFBF111

又FBGCBF，FBG∽CBF，，FGCF，DFFCDFGFDG，

CFBC222

1

當D、F、G三點共線時，DFFC最小，在Rt△CDG中，CDAB3，

2

3131313

CGBCBG4.5，BCD90，DGCD2CG2，即DFFC的最小值為．故選：D．

222

4．（2024·山東泰安·二模）如圖，在RtABC中，ACB90，CB22，AC9，以C為圓心，3為半

1

徑作C，P為C上一動點，連接AP、BP，則APBP的最小值為（）

3

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構造相似三角形是解題

1

的關鍵．在CA上截取CM，使得CM1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質證明MPPA，

3

1

可得APBPPMPBBM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．

3

【詳解】解：如圖，在CA上截取CM，使得CM1，連接PM，PC，BM．

PCCM

∵PC3，CM1，CA9，∴PC2CMCA，∴，

CACP

PMPC111

∵PCMACP，∴PCM∽ACP，∴，∴MPPA，∴APBPPMPBBM，

PAAC333

∵PMPBBM，在Rt△BCM中，BCM90，CM1，CB22，

211

∴BMCM2CB212223，∴APBP3，∴APBP的最小值為3．故選：C．

33

5．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB6，AD9，點P為邊CD的中點，點E在邊

10

AD上，連接BP，點F為BP上的動點，則EFBF的最小值為．

10

【答案】6

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理．作FGBC于點G，證明

1010

△BFG∽△BPC，求得FGBF，當E，F，G三點共線時，EFBF有最小值，最小值為EG的長，

1010

據此求解即可．

【詳解】解：∵矩形ABCD中，AB6，AD9，點P為邊CD的中點，

11

∴CPCDAB3，BPBC2CP29232310，

22

作FGBC于點G，∴FG∥CP，∴△BFG∽△BPC，

FGBFFGBF1010

∴，即，∴FGBF，∴EFBFEFFG，

CPBP33101010

10

當E，F，G三點共線時，EFBF有最小值，最小值為EG的長，

10

10

此時EGAB6，∴EFBF的最小值為6，故答案為：6．

10

6．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖所示，正方形ABCD邊長為8，M為BC中點，E為AC上的動點，F為

BE上的點，且BF3，連接DE，則2MFDE的最小值是（）

A．65B．37C．214D．217

【答案】D

【分析】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理，取CM的中點N，連接EN，證

明BFM∽BNE，得出NE2FM，從而得出2MFDENEDE，連接DN交AC于E，當D、E、N

在同一直線上時，NEDE最小，即2MFDE最小，最小為DN，再由勾股定理求出DN的長即可．

【詳解】解：取CM的中點N，連接EN，

，

∵四邊形ABCD為正方形，邊長為8，M為BC中點，∴BCCD8，BMCM4，BCD90，

∵E為AC上的動點，∴BEBC8，∴BE2BM，

BNBE

∵N為CM中點，∴MNCN2，∴BNBMMN6，∵BF3，∴BN2BF，∴2，

BFBM

NE

∵FBMNBE，∴BFM∽BNE，∴2，∴NE2FM，∴2MFDENEDE，

FM

連接DN交AC于E，當D、E、N在同一直線上時，NEDE最小，即2MFDE最小，最小為DN，

∵DNCD2CN2217，∴2MFDE最小值為217，故選：D．

7．（2024·江蘇鎮江·二模）如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的動點，BECF，

5

連接AE、BF交于點P，則PDPC的最小值為．

5

【答案】2

【分析】證明ABE≌BCFSAS，則BAECBF，APB180BAEABP90，如圖，記AB

的中點為O，則P在以O為圓心，AB為直徑的圓上，如圖，連接OP，OC，由勾股定理得，OC5，如

545PG5

圖，在OC上取點G使OG，則CG，連接PG，GD，證明GOP∽POC，則，即

55PC5

555

PGPC，由PDPCPGPD，可得當G、P、D三點共線時，PDPC的值最小，為GD，如圖，

555

CH1

CHOB

作GHCD于H，則GH∥BC，CGHOCB，sinCGHsinOCB，則，即455，

CGOC

5

468

可得CH，即DH，由勾股定理得，GH，根據DGDH2GH2，計算求解即可．

555

【詳解】解：∵正方形ABCD，∴ABBCCD2，ABCBCD90，

又∵BECF，∴ABE≌BCFSAS，∴BAECBF，

∴BAEABPCBFABP90，∴APB180BAEABP90，

如圖，記AB的中點為O，則P在以O為圓心，AB為直徑的圓上，

如圖，連接OP，OC，由勾股定理得，OCBC2OB25，

545

如圖，在OC上取點G使OG，則CG，連接PG，GD，

55

OG5OPPG55

∵，GOPPOC，∴GOP∽POC，∴，即PGPC，∴

OP5OCPC55

55

PDPCPGPD，∴當G、P、D三點共線時，PDPC的值最小，為GD，

55

如圖，作GHCD于H，∴GH∥BC，∴CGHOCB，∴sinCGHsinOCB，

CH1

CHOB46

∴，即455，解得CH，∴DH，

CGOC55

5

228

由勾股定理得，GHCGCH，由勾股定理得，DGDH2GH22，故答案為：2．