專題23全等與相似模型之十字架模型

幾何學是數學的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質和變換。在初中幾

何學中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關的考點作梳理，幫助學生

更好地理解和掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）........................................................................................................1

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）............................................................................................................3

模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）...............................................................................................6

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）....................................................................................................8

.................................................................................................................................................10

模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構成了一個互相重直的“十字形”，由此產生了兩組相等的銳角及一

組全等的三角形。

條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF；結論：AE=BF。

證明：四邊形ABCD是正方形，ABEC90，ABBC，∴BFCCBF90

AE⊥BF，∴AEBCBF90，AEBBFC，△ABE≌△BCFSAS，∴AE=BF。

條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE⊥GF；結論：AE=GF。

證明：在FC上取一點P，使得GB=PF，連結BP。

四邊形ABCD是正方形，∴AB//CD，∴四邊形BPFG是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，

同1）中證明，可得AE=GF。

條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點，EH⊥GF；

結論：HE=GF。

證明：在FC、BE上取一點P、Q，使得GB=PF，AH=QE，連結BP、AQ。

四邊形ABCD是正方形，∴AB//CD，∴四邊形BPFG是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，

同理可證得：四邊形AQEH是平行四邊形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中證明，可得HE=GF。

例1．（2023.江蘇吳江九年級期中）如下圖，將邊長為9cm的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊CD

上的E點，折痕為MN．若CE的長為6cm，則MN的長為cm．

例2．（2023年遼寧省丹東市中考數學真題）如圖，在正方形ABCD中，AB12，點E，F分別在邊BC，CD

上，AE與BF相交于點G，若BECF5，則BG的長為．

例3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CEDF，AE，

BF相交于點O，下列結論：①AEBF；②AEBF；③AOOE；④AEDFBC中，正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例4．（23-24江蘇九年級期中）蘇科版八下數學教材中，對正方形的性質和判定進行了探究，同時課本94

頁第19題對正方形中特殊線段的位置和數量關系也進行了探究，在此，我們也來作進一步的探究，如圖1，

探究所提供的正方形ABCD的邊長都為2．

【探究】(1)如圖2，在正方形ABCD中，如果點E、F分別在BC、CD上，且AEBF，垂足為M，那么AE

與BF相等嗎？證明你的結論．

【應用】(2)如圖3，在正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，

使點B對應的點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，

設AEt，求線段FN的長（用含t的式子表示）．

【拓展】(3)如圖4，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F、G分別是AB、CD上的動點，且FGAE，

求EFAG的最小值．

模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）

矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯結的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過平移線段構造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質求得線段間的比例關系。

DEAD

1）條件：如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點，且DE⊥AC，結論：.

ACCD

證明：四邊形ABCD為矩形，DAECDA90，ADEEDC90；

DEADDEBC

DE⊥AC，EDCDCA90，ADEDCA，DEACAD，，.

ACCDACAB

EFBC

2）條件：如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點，且EF⊥AC，結論：.

ACAB

證明：如圖，過點F作FGAB于點G，則EGF90；

四邊形ABCD為矩形，DDABB90，四邊形AGFD為矩形，FGAD,DFG90；

GFEEFC90；EF⊥AC，EFCACD90，GFEACD；

EFFGEFBC

EGFD90，△GEF△DAC，，易證：DC=AB，FG=BC，.

ACDCACAB

EFBC

3）條件：如圖3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點，EF⊥MN，結論：.

MNAB

證明：如圖：過點N、F作NH、FG垂直AD，AB，NHMFGE90；

四邊形ABCD為矩形，AAGO90，四邊形AGOH為矩形，FGNH；

∵EF⊥MN，FGNH，∴GFEFOHHNMNOE90；

又∵FOHNOE（對頂角相等），∴GFEHNM；

EFFGEFBC

∴RtHNM∽RtGFE，，易證：NH=AB，FG=BC，.

MNNHMNAB

例1．（2024·山西大同·模擬預測）矩形ABCD中，E為邊上一點，且AD8，AB6．將AEB沿BE翻

折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交??邊于點H，且FHCH，則線段ED的長為．

??

例2．（22-23下·衢州·二模）在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE，過點B作BFAE于點F，射

AD

線BF與直線CD交于點P，設m．

AB

(1)如圖①，若m1，求證：AEBP；(2)如圖②，當點P恰好與點D重合時，試確定m的值；

CP

(3)作點B關于直線AE的對稱點B，當以點P，D，B為頂點的三角形是等腰三角形時，求的值．

CD

例3．（2023年河南九年級中考三模數學試題）綜合與實踐

【問題發現】(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，且EGFH

于點O．試猜想線段EG與FH的數量關系為__________；

【類比探究】(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=a，BC2a，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，

DA上，連接EG，FH，且EGFH，垂足為O．試寫出線段EG與FH的數量關系，并說明理由；

【拓展應用】(3)如圖3，在四邊形ABCD中，ABC90，BCD60，點M，N分別在邊AB，BC上，

連接CM，DN，且CMDN，垂足為O．已知AB3，BC=DC=4，若點M為AB的三等分點，直接寫

出線段DN的長．

模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）

條件：如圖1，已知等邊ABC，BD=EC（或CD=AE），

結論：①AD=BE，②AD和△BE夾角為60°，③。

證明：如圖，在等邊ABC中，ABAC，ABCC60，

ABBC

在ABP與CAQ中，ABCC，ABDBCESAS，∴AD=BE，BADCBE；

BDEC

AFEABFBADABFCBEABC60，∴AD和BE夾角為60°；

BADCBE，BDFADB，BDFADB，同理：BDFBEC

，

例1．（23·24下·淄博·一模）如圖，等邊ABC，點E，F分別在AC，BC邊上，AECF，連接AF，BE，

相交于點P．(1)求BPF的度數；(2)求證：BPBEBFBC．

例2．（23·24·南通·模擬預測）如圖，已知P是等邊ABC內的一點，且APB120，延長AP，BP，分別

交BC，AC于點D，E．若AB3，BD1，則ABP的周長等于．

例3．（23·24下·吉安·模擬預測）課本再現：

(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊AB，AC上的點，且ADCE．求證：CDBE．下面是小涵同

學的證明過程：證明：∵ABC是等邊三角形，∴ACBC，AACB60．

∵ADCE，∴ADC≌CEB（SAS），∴CDBE．

小涵同學認為此題還可以得到另一個結論：BFD的度數是；

遷移應用：(2)如圖2，將圖1中的CD延長至點G，使FGFB，連接AG，BG．利用（1）中的結論完成

下面的問題．①求證：AG∥BE；②若CF2BF，求證：AD2BD；拓展提升：(3)在等邊ABC中，若

點D，E分別在射線AB，AC上，連接CD，BE交于點F，且BFD60，將CD繞點C逆時針旋轉到CM，

PC

且使得MCBADC．直線DM與直線BC交于點P，若CF2BF，則的值為

BP

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）

該模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形兩類情況討論。

1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

條件：如圖2，在ABC中，AB=BC，AB⊥BC，結論：①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④

∠BDA=∠CDF，⑤△∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦AE2EC，以上七個結論中，可“知二得五”。

證明：不妨把①②作為條件，來證明③--⑦的五個結論。

如圖1，過點C作BC的垂線交BF于點H，過點A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90°

∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB，

∵AB=BC，∴△BAD≌△CBH，∴BD=CH，∵D為BC中點，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH，

易證：四邊形ABCG為正方形，即AB//CG，∴△BAF△HCF，∴AF：CF=BA：HC=2：1

∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，

∵DC=CH，CF=CF，∴△DCF≌△HCF，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD，

∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，

如圖2，過點C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，

∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴△BAE≌△CBQ，

∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易證：△EAF△QCF，∴EA：QC=AF：CF=2：1。

2

∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴△QEC為等腰直角三角形，∴∠QEC=45°，QCEC

2

∴∠AEC=135°，AE2EC。

2）直角三角形中的十字模型：

如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=

∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦AE2EC，以上七個結論中，可“知二得五”。（全等+相似）

證明：不妨把①②作為條件，來證明③--⑦的五個結論。

由于該模型證明主要結合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再詳細證

明，有興趣的同學可以自行證明即可。

例1．（23·24上·深圳·期中）如圖，在RtABC中，ABC90，BABC3，點D為BC邊上的中點，

連接AD，過點B作BEAD于點E，延長BE交AC于點F．則BF的長為．

例2．（23·24下·滄州·二模）如圖，在Rt△ABC中，ABC90，ABBC，點D是線段AB上的一點，

連接CD，過點B作BGCD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連

接DF，下列結論錯誤的是（）

AGAF2

A．B．若點D是AB的中點，則AFAB

ABFC3

DB1

C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，DFDBD．若，則S9S

AD2ABCBDF

例3．（23·24下·三明·期末）如圖①，在ABC中，ACBC，ACB90，點D在邊BC上，過點C作CEAD，

垂足為M，交AB于點E．

(1)小亮通過探究發現∠BCE∠CAD，請你幫他說明理由；(2)如圖②，CN平分ACB交AD于點N，小明

通過度量猜想有CNBE，他的猜想正確嗎？請你幫他說明理由；(3)如圖③，連接DE，若D是BC的中點，

小剛通過探究得到結論ADCEDE，請你幫他說明理由．

1．（23-24江蘇八年級期末）如圖，將邊長為3的正方形ABCD紙片沿EF折疊，點C落在AB邊上的點G

處，點D與點H重合，CG與EF交于點P，取GH的中點Q，連接PQ，則GPQ的周長最小值是（）

333539

A．22B．C．23D．

2222

2．（2023安徽省蕪湖市九年級期中）如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF

交于G，連接AG、HG．下列結論：①CEDF；②AGDG；③CHGDAG；④2HGAD．正確

的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

3．（23·24下·貴港·一模）如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各任取一點P，Q，且APCQ，AQ，BP

相交于點O，下列三個結論：①若PC=2AP，則BO=6PO；②若BC8，BP7，則PC5，③AP2OPAQ，

其中正確的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

4．（23·24·德州·二模）如圖，正方形ABCD中，點E為BC邊上的一點，連接AE，過點D作DM⊥AE，

垂足為點M，交AB于點F．將AMF沿AB翻折得到ANF．延長DM，AN交于點P．給出以下結論①

△2△2

△ABE△DAF；②△APF~△DAP；③APPFPD；④若tanADF，則S△APF:S△AFD4:5；．其

3

中正確的是（）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④

5．（23·24下·江門·模擬預測）如圖，在RtABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點D是線段BC上的一點，連

接AD，過點C作CG⊥AD，分別交AD、A△B于點G、E，與過點B且垂直于BC的直線相交于點F，點D

BE

是BC的中點，連接DE．則=；

BC

6．（23·24下·山西·一模）如圖，在RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過點B

作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于△點D，則AD的長為．

7．（23-24九年級上·遼寧鞍山·期中）如圖，在VABC中，ACB90，ACBC4，點D為BC邊上一

動點（不與點B、C重合），CE垂直AD交AB于點E，垂足為點H，連接BH并延長交AC于點F，下面結

25CD2

論：①若AD是BC邊上的中線，則DH；②若AD平分CAB，則；③若BD2CD，則

5BD2

AE3BE；④當CDBD時，AF2CF．正確的有（填序號）．

8．（23·24上·珠?！て谥校┰赗t△ABC中，ACB90，ACBC，D為BC中點，連接AD，過點C作CEAD

于點E，交AB于點M．過點B作BFBC交CE的延長線于點F，則下列結論正確的有（請填序

號）①△ACD≌△CBF；②BDMADC；③連接AF，則有△ACF是等邊三角形；④連接DF，則有AB

垂直平分DF．

9．（23·24上·無錫·期末）如圖，在邊長為3的等邊ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點BDCE，AD

與BE相交于點P，BPD．若BD1，則AP．

10．（2024·江蘇泰州·模擬預測）如圖所示，在矩形ABCD中，F是DC上一點，AE平分BAF交BC于點

E，且DEAF，垂足為點M，BE3，AE26，則MF的長是

11．（2023·北京海淀·一模）如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，BECF，AE，BF交于點

G；(1)AGF_______．(2)在線段AG上截取MGBG，連接DM，AGF的角平分線交DM于點N．

①依題意補全圖形；②用等式表示線段MN與ND的數量關系，并證明．

12．（2024·河南·一模）綜合與實踐

數學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，已知AEBF，求證：AEBF．

甲小組同學的證明思路如下：由同角的余角相等可得ABFDAE．再由ABDA，BAFD90，

證得ABF≌DAE（依據：________），從而得AEBF．

乙小組的同學猜想，其他條件不變，若已知AEBF，同樣可證得AEBF，證明思路如下：

由ABDA，BFAE可證得RtABF≌RtDAEHL，可得ABFDAE，再根據角的等量代換即可證

得AEBF．

完成任務：（1）填空：上述材料中的依據是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【發現問題】同學們通過交流后發現，已知AEBF可證得AEBF，已知AEBF同樣可證得AEBF，

為了驗證這個結論是否具有一般性，又進行了如下探究．

【遷移探究】（2）在正方形ABCD中，點E在CD上，點M，N分別在AD,BC上，連接AE,MN交于點P．甲

小組同學根據MNAE畫出圖形如圖2所示，乙小組同學根據MNAE畫出圖形如圖3所示．甲小組同學

發現已知MNAE仍能證明MNAE，乙小組同學發現已知MNAE無法證明MNAE一定成立．

①在圖2中，已知MNAE，求證：MNAE；②在圖3中，若DAE，則APM的度數為多少?

【拓展應用】（3）如圖4，在正方形ABCD中，AB3，點E在邊AB上，點M在邊AD上，且AEAM1，

點F，N分別在直線CD，BC上，若EFMN，當直線EF與直線MN所夾較小角的度數為30時，請直接

寫出CF的長．

13．（23-24八年級上·湖北宜昌·期中）請閱讀，完成證明和填空．

九年級數學興趣小組在學校的“數學長廊”中興奮地展示了他們小組探究發現的結果，內容如下：

(1)如圖1，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BMAN，連結BN、CM，發現BNCM，

且NOC60.請證明：NOC60.

(2)如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AMBN，連結AN、DM，那么

AN______，且DON______度．

(3)如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AMBN，連結AN、EM，那么

AN______，且EON______度．

(4)在正n邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結論．

請大膽猜測，用一句話概括你的發現：________________________________．

14．（23-24八年級下·江西宜春·期中）[特例感知]如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為AB，AD的

中點，DE、CF交于點G．

（1）易證ADE≌DCF，可知DE、CF的關系為___________；（2）連接BG，若AB6，求BG的長．

[初步探究]如圖2，在正方形ABCD中，點E為AB邊上一點，FGDE分別交AD、BC于F、G，垂足為

O．求證：FGDE．

[基本應用]如圖3，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使得點A落在邊CD的中點M處，折痕為PQ，點P、

Q分別在邊AD、BC上，請直接寫出折痕PQ的長：PQ________．

[應用拓展]如圖4，在四邊形ABCD中，ABAD，BADBCD90，BC14，CD2，AEBC于E，

AFDE交BC于F，則AF長為________．

15．（23·24下·成都市·九年級期中）已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交

于點G．（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DECF，求證：△ADE△DCF；（2）如圖②，若

DEAD

四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當B與EGC滿足什么關系時，成立？并證明你的結論；

CFCD

DE

（3）如圖③，若BABC6，DADC8，BAD90，DECF，請直接寫出的值．

CF

16．（23-24九年級下·江蘇連云港·期中）【實踐探究】

AE

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB6,BC8,AEBD交BC于點E，則的值是______；

BD

【變式探究】（2）如圖2，