專題17全等三角形模型之奔馳模型

對于奔馳模型我們主要是可以通過一些幾何變化，把其中的線段進行轉移，以達到聚合條件，推出我

們想要的結論的目的。對于幾何變化，目前學過的主要有：軸對稱，平移，旋轉，位似等。對于“奔馳模型”

我們主要采用旋轉的方法進行變換。對于旋轉處理，我們主要分為：旋轉全等，旋轉相似。今天的這主要

講“奔馳模型”之旋轉全等類型。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內）...............................................................................................1

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內）......................................................................................4

模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）.....................................................................................6

...................................................................................................................................................8

模型1.奔馳模型1（點在等邊三角形內）

此模型通常會和旋轉一起來考查，還會綜合勾股定理的知識來解題。為什么和旋轉-起考查，因為旋轉的特

征是:共頂點等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個頂點出發都有兩個相等線段，都符合共頂點等線段。

等邊三角形三個頂點都可以作為旋轉中心(如上圖的旋轉)。

條件：如圖，已知正三角形內有一點P，滿足PA2PB2PC2（常考數據：BP=3，AP=4，CP=5），

結論：∠APB=150°。（注意該模型條件結論互換后依舊可以證明）

3

常用結論等邊三角形的面積公式：SAB2（選填題非常適用）

ABC4

證明：以AP為邊向左側作等邊三角形APP’，連接P’C。

∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；

'

∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴ABPACP（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；

∵PA2PB2PC2，∴P'P2P'C2PC2，∴∠PP’C=90°，

∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。

注意：多線段共端點常考旋轉。

例1．（23-24八年級下·廣東深圳·期中）如圖，點P是等邊三角形ABC內的一點，且PA2，PB1.5，PC2.5，

則APB的度數為．

例2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，OA2，OB1，OC3，則AOB

與BOC的面積之和為（）

3333

A．B．C．D．3

424

例3.（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖，VABC，CDE都是等邊三角形，將CDE繞點C旋轉，使得點

A，D，E在同一直線上，連接BE．若BE2，AE7，則CD的長是．

例4．（2024·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA3，PB4，PC5，以BC為邊在ABC

外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中不正確的是（）

A．PBQ60B．PQC90C．APC120D．APB150

例5．（24-25九年級上·廣東廣州·開學考試）如圖，O是正VABC內一點，OA3，OB4，OC5，將線

段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60得到線段BO，下列結論，①△BOA可以由BOC繞點B逆時針旋

轉60得到；②點O與O的距離為5；③AOB150；④四邊形AOBO￠面積643；⑤

9

SS63，其中正確的結論是（）

△AOC△AOB4

A．①④⑤B．①③④C．①③④⑤D．①③⑤

模型2.奔馳模型2（點在等腰直角三角形內）

2

條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內有一點P，滿足PB22PAPC2，

結論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結論互換后依舊可以證明）

證明：以AP為邊向左側作等腰直角三角形APP’，連接P’C。

∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形；

∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，P'P2PA，∠AP’P=45°；

'

∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴ABPACP（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；

2

∵PB22PAPC2，∴P'C2P'P2PC2，∴∠PP’C=90°，

∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。

例1．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習）如圖，等腰直角△ACB，ACBC，點P在△ACB內，PC2，

PA3，PADACP則PB的長為（）

A．17B．13C．52D．5

例2．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接DE，AE，CE，過點D作DE

的垂線交AE于點P，若DEDP2，PC25則下列結論：①△APD≌△CED；②AECE；③點C

到直線DE的距離為23；④S正方形ABCD26其中結論正確的個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

例3．（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，Rt△ABC中，ACB90，AC43，BC6．點P為ABC

內一點，且滿足PA2PC2AC2．當PB的長度最小時，則△ACP的面積是．

例4．（2024·河北·校考一模）如圖1，在正方形ABCD內有一點P，PA5，PB2，PC1，求BPC

的度數．

【分析問題】根據已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是

將BPC繞點B逆時針旋轉90，得到了BPA（如圖2），然后連結．

'

【解決問題】請你通過計算求出圖2中BPC的度數；??

【比類問題】如圖3，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA213，PB4，PC2．

（1）BPC的度數為；（2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為．

模型3.奔馳模型3（點在三角形外-雞爪模型）

模型1）條件：如圖1，點P在等邊三角形ABC外，若CP2AP2BP2，結論：∠CPA=30°。

2

模型2）條件：如圖2，點P在等腰直角三角形ABC外，若CP22APBP2，結論：∠APC=45°。

（注意：上述兩個模型結論和條件互換也成立）

圖1圖2

雞爪就是模型本質就是通過旋轉構造“手拉手”，構造出全等三角形，實現邊的轉化，結合勾股定理，非常有

意思。連完輔助線往往會產生新的直角三角形、等邊三角形等。

模型1）證明：以AP為邊向右側作等邊三角形ADP，連接DC。

∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；

∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴BAPCAD（SAS），∴BP=CD；

∵CP2AP2BP2，∴PC2DP2CD2，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。

模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，連接P’C。

∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；

∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，DP2PA，∠APD=45°；

∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴ABPACD（SAS），∴BP=CD；

2

∵CP22APBP2，∴CP2DP2CD2，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。

例1．（2024九年級上·重慶·專題練習）如圖，P是等邊三角形ABC外一點，PA3，PB4，PC5，求BPA

的度數．

例2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點P為等邊三角形ABC外一點，連接PA，PC，若PA7，PB9，

APB30，則PC的長是．

例3．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，

則BD的長為（）

A．34B．41C．43D．59

例4．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）【問題情境】在數學課上，老師出了這樣一個問題：“如圖1，

在四邊形ABCD中，ABAC，ABC60，ADC30，AD4，BD5，求的長．”經過小組合作

交流，找到了解決方法：構造旋轉全等．將△BCD繞點B逆時針旋轉到BAE?，?連接．則BDE是

60°??

等邊三角形，所以DEBD5，導角可得DAE=90，所以CDAEDE2AD23．

（1）請補全圖形；

AD3

【探究應用】（2）如圖2，在VABC中，ABAC，BAC120．D為VABC外一點，且ADB50，，

BD3

求ADC的度數；

【拓展延伸】（3）如圖3，在VABC中，ABAC，BAC120，ADBC于D，M為上一點，連接，

N為上一點，若AN2，BN3，BANCBN30，連接CN，請直接寫出線??段CN的長___?__?_．

??

1．（2024九年級·重慶·期中）如圖，在等邊ABC內有一點P，使得APC:APB:BPC7:8:9，那么

以AP，BP，CP的長度為邊長的三角形的三個內角的大小之比為．

2．（23-24九年級下·吉林·階段練習）旋轉是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉可將分散的條件

相對集中，以達到解決問題的目的．

【發現問題】如圖①，在等邊三角形ABC內部有一點P，PA2，PB3，PC1，求BPC的度數．

解：如圖①，將線段BP繞點B逆時針旋轉60得到線段BP，連接AP，PP．

BPBP，PBP60，PBP是等邊三角形，BPP60，PPPB3，

ABC是等邊三角形，ABC60，BCBA，

ABCABPPBPABP，即PBCPBA．請你補充完整解答過程．

【應用問題】如圖②，在正方形ABCD內有一點P，若PA41，PB4，PC3，則BPC．

【拓展問題】如圖③，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，在直線AD上方（包括直線AD）

有一點P，PA4，PD2，連接PO，則線段PO的最大值為．

3．（23-24九年級上·山西呂梁·期末）閱讀下面材料：張明同學遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC

內有一點P，且PA3，PB4，PC5，求APB的度數．

張明同學是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△APC，連接PP，得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決．

(1)請你計算圖1中APB的度數；(2)參考張明同學思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD

內有一點P，且PA22，PB1，PD17，求APB的度數．

4．（23-24九年級上·重慶沙坪壩·期末）（1）已知如圖1，在VABC中，ABBC，ABC90，點D在VABC

內部，點E在VABC外部，滿足BDBE，且BDBE．求證：ABD≌CBE．

（2）已知如圖2，在等邊VABC內有一點P，滿足PA5，PB4，PC3，求BPC的度數．

5．（2023·四川綿陽·一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，點P為平面內一點，

(1)若點P在正方形內，如圖1，PA1,PB2,PD2，求APB的度數；

(2)若點P在正方形外，如果PAa,PBb，如圖2，且APB45°，求PD的長．（用a,b表示）

6．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習）閱讀材料題：浙教版九上作業本①第18頁有這樣一個題目：已知，

如圖一，P是正方形ABDC內一點，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長.

小明看到題目后，思考了許久，仍沒有思路，就去問數學老師，老師給出的提示是：將PAC繞點A順時針

旋轉90°得到P'AB，再利用勾股定理即可求解本題.請根據數學老師的提示幫小明求出△圖一中線段PB的長

為.△

【方法遷移】：已知：如圖二，ABC為正三角形，P為ABC內部一點，若PC=1，PA=2，PB=3,求∠APB

的大小.△△

【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點且∠DCE=60°，若

AD=2，BE=3，求DE的長.

7．（2024·河南·校考一模）（1）閱讀理解:利用旋轉變換解決數學問題是一種常用的方法．如圖，點P是等邊

三角形ABC內一點，PA1,PB3,PC2，求BPC的度數．為利用已知條件，不妨把BPC繞點C順

時針旋轉60°得APC，連接PP，則PP的長為_______；在PAP中，易證PAP900，且PPA的度

數為_____，綜上可得BPC的度數為__；（2）類比遷移:如圖，點P是等腰RtABC內的一點，

ACB900,PA2,PB2,PC1．求APC的度數；（3）拓展應用:如圖，在四邊形ABCD中，

1

BC3,CD5,ABACAD,BAC2ADC，請直接寫出的長．

2

??

6．（23-24九年級上·山東德州·期中）當圖形具有鄰邊相等的特征時，我們可以把圖形的一部分繞著公共端

點旋轉，這樣將分散的條件集中起來，從而達到解決問題的目的．

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內有一點P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP

三條線段間的數量關系，我們可以將ABP，繞點A逆時針旋轉90°得到ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，

CPP'是三角形，AP，BP，CP△三條線段的數量關系是．△

△（2）如圖2，等邊三角形ABC內有一點P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請借助第一問的方法探究

AP、BP、CP三條線段間的數量關系．

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點P在四邊形的內部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝

135°，AD＝4，BC＝5，請直接寫出AB的長．

7．（2023·山東濟南·模擬預測）（問題提出）如圖1，在等邊VABC內部有一點P，PA3，PB4，PC5，

求APB的度數．

（數學思考）當圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉可以將分散的條件集中起來解決問題．

【嘗試解決】將△APC繞點A逆時針旋轉60，得到△APB，連接PP，則APP為等邊三角

形．PPPA3，又PB4，PC5，PP2PB2PC2，VBPP為三角形，APB的度數為．

【類比探究】如圖2，在VABC中，BAC90，ABAC，其內部有一點P，若PA2，PB1，PC3，

求APB的度數．

【聯想拓展】如圖3，在VABC中，BAC90，BCA30，其內部有一點P，若PA3，PB2，PC43，

求APB的度數．

8．（23-24九年級上·云南曲靖·階段練習）如圖，在等邊ABC內有一點P，且PA2，PB3，PC1，

若把BP繞著點B逆時針旋轉60得到BP，連接PP，AP．

(1)求BPC的度數；(2)求PP的長．(3)求點P劃過的路徑長；

5

(4)當BC時，如果BPA是由△BPC旋轉所得，求PC掃過的區域的面積．

2

9．（23-24九年級上·湖北武漢·期中）如圖，在等腰RtABC中，ACB90，點P是ABC內一點，連接

PA,PB,PC，且PA2PC，設APB,CPB.

（1）如圖1，若ACP45，將PBC繞點C順時針旋轉90至DAC，連結DP，易證DAP為等邊三角

形，則，；（2）如圖2，若PB2PA，則，；

（3）如圖3，試猜想和之間的數量關系，并給予證明.

10．（23-24九年級上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊ABC中，點D是等邊ABC內一點，

連結AD，BD，將△ABD繞點A逆時針旋轉60得到△ACE，連結DE，觀察發現：AD與DE的數量關系

為，ADE度；

【嘗試應用】：如圖2，在等腰RtABC中，ABAC，BAC90，點D是RtABC內一點，連結AD，

BD，CD，AD22，BD5，CD=3，求△BCD面積．

AD

【拓展創新】：如圖3，在等腰ABC中，ABAC，BAC120，點D為平面內一點，且ADB60，3，

BD

AC

則的值為．

CD

11．（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）問題情境，利用圓規旋轉探索：每位同學在紙上畫好Rt△ABC，ABCB，

ABC90，要求同學們利用圓規旋轉某一條線段，探究圖形中的結論．

問題發現，某小組將線段AB繞著點A逆時針旋轉得到線段AD，旋轉角設為，連接CD、BD，如圖1所

示．如圖2，小李同學發現，當點D落在邊AC上時，BAD2CBD；

如圖3，小王同學發現，當每改變一個度數時，CD的長也隨之改變．……

問題提出與解決，該小組根據小李同學和小王同學的發現，討論后提出問題1，請你解答．

如圖1，在Rt△ABC中，ABCB，ABC90，將線段AB繞著點A逆時針旋轉得到線段AD，設轉角設

為，連接CD、BD．（1）如圖2，當點D落在邊AC上時，求證：2CBDBAD；（2）如圖3，當

30時，若AB62，求CD的長．（3）拓展延伸，小張同學受到探究過程的啟發，將等腰三角形的

頂角改為100，嘗試畫圖，并提出問題請你解答．如圖4，ABC中，ABCB，ABC100，將線段AB

繞著點A逆時針旋轉得到線段AD，旋轉角20，連接CD、BD，求ACD的度數．

12．（2024·吉林長春·一模）旋轉是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉可將分散的條件相對集中，

以達到解決問題的目的．

（1）【探究發現】如圖①，在等邊三角形ABC內部有一點P，PA2，PB3，PC1，求BPC的度

數．愛動腦筋的小明發現：將線段BP繞點B逆時針旋轉60得到線段BP，連接AP、PP，則△BPC≌△BPA，

然后利用△BPP和APP形狀的特殊性求出BPA的度數，就可以解決這道問題．

下面是小明的部分解答過程：

解：將線段BP繞點B逆時針旋轉60得到線段．BP，連接AP、PP，

∵BPBP，PBP60，∴PBP是等邊三角形，∴BPP60，PPPB3．

∵ABC是等邊三角形，∴ABC60，BCBA，

∴ABCABPPBPABP，即PBCPBA．

請你補全余下的解答過程．（2）【類比遷移】如圖②，在正方形ABCD內有一點P，且PA17，PB22，

PC1，則BPC______度．（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，

在直線AD上方有一點P，PA4，PD2，連接PO，則線段PO的最大值為______．

13．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習）【幾何感知】如圖（1），在ABC中，點D為BC邊上一點，連

接AD，點P為線段AD上一點，連接PB、PC得到有公共邊的兩個ABP和△APC，求證：

S△ABP:S△ACPBD:DC．

【類比遷移】如圖（2），在Rt△ABC中，點D、E、F分別為線段BC、AC、AB上的點，線段AD、BE、

CF交于點P，若BD:DC1:2，AE:EC1:1，則AF:BF．

【拓展遷移】如圖（3），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點P為ABC內部一點，且

S△ABP:S△ACP:S△BCP5:15:12，則線段AP＝．

14．（23-24九年級上·山東德州·期中）【閱讀材料】在某次數學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：

如圖1，在等邊ABC中，點P在內部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經過同學們的觀察、

分析、思考、交△流，對上述問題形成了如下想法：將APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到ABD，連

接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數量關系．即能△求PB＝請參考他們的想法，完成下△面問題：

【學以致用】如圖2，在等腰直角ABC中，∠ACB＝90°，P為ABC內一點，PA＝5，PC＝22，∠BPC

＝135°，求PB的長；△△

【能力拓展】如圖3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底邊AB上的兩點且∠DCE＝60°，若

AD＝2，BE＝3，求DE的長．

15．（2024·陜西西安·模擬預測）問題探究：（1）如圖①，已知在ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的

△

最大值是．（2）如圖②，已知在RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為ABC內一點，且AD＝27，

BD＝2．，CD＝6，請求出∠ADB的度數△．△

問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計劃在一處空地上修建一個新的拓展游戲區ABC，且AB＝AC．∠

BAC＝120°，點A、B、C分別是三個任務點，點P是ABC內一個打卡點．按照設計△要求，CP＝30米，打

卡點P對任務點A、B的張角為120°，即∠APB＝120△°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距

離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．

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