函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-2025高考數(shù)學(xué)大

題突破

善數(shù)與導(dǎo)熬

（考情分析）

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。從近幾年的高考情況來看，在大題中考查內(nèi)容主要有主要利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式及函數(shù)零點(diǎn)等內(nèi)容。此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與

化歸的數(shù)學(xué)思想，難度較大。

（題型歸類）

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

題型四：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立

題型五:利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)

題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題

題型九：隱零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用

題型十：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

堂1.大題典例

題目11（2024?河南鄭州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（/）=+ax—（ax+l）ln/在/=1處的切線方程

為g=b/+/（a,bGR）.

⑴求Q,b的值；

（2）證明：/（力）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

???

解法指導(dǎo)

1、求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的

和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時(shí)要進(jìn)行換元.

2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

⑴確定函數(shù)/（①）的定義域；

⑵求/'（2）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式r（2）＞o,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式廣（/）vo,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

3、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：

⑴導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無意義）；

（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；

（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。

拿2.變式訓(xùn)練

厘HQ（2024?安徽六安?高三統(tǒng)壽1期末）已知函數(shù)/⑺=/3+加—6（aCR）.

（1）若函數(shù)/（，）的圖象在，=2處的切線與多軸平行，求函數(shù)/（,）的圖象在c=-3處的切線方程;

（2）討論函數(shù)/（①）的單調(diào)性.

???

蜃用J](2024?遼寧?校聯(lián)考一模)已知了⑸=sin26+2cos6.

(1)求/(,)在。=0處的切線方程；

(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間.

題型二:利用導(dǎo)致研究函數(shù)的極值

至1.大題典例

(題目H(2024?湖南長沙?高三長沙一中校考■開學(xué)考試)已知直線y=加與函數(shù)/(工)=/In工-x2+x的圖象相

切.

⑴求k的值；

(2)求函數(shù)/(,)的極大值.

解法指導(dǎo)

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟

⑴求導(dǎo)數(shù)/'(2)；

(2)求方程/3)=0的所有實(shí)數(shù)根；

(3)觀察在每個(gè)根g附近，從左到右導(dǎo)函數(shù);(2)的符號(hào)如何變化.

①如果/'(2)的符號(hào)由正變負(fù)，則:(與)是極大值；②如果由負(fù)變正，則/'(&)是極小值；③如果在廣(①)=

0的根，=g的左右側(cè)/'(2)的符號(hào)不變，則不是極值點(diǎn).

根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：

①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.???

奉2.變式訓(xùn)練

(加24?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(c)=—(a+l)ln±(aeR).

(1)當(dāng)a=—1時(shí),求曲線v=/(c)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)若〃,)既存在極大值，又存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目包(2022?河南?方三專題練習(xí))已知函數(shù)/㈤=e。—需，其中常數(shù)aCR.

(1)若/(,)在(0,+8)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

3

(2)若a=4,設(shè)g(/)=/(/)+4x2—x+1,求證:函數(shù)gQ)在(―1,+oo)上有兩個(gè)極值點(diǎn).

o

???

題型三:利用導(dǎo)致研究函數(shù)的最值

至1.大題典例

逾回工(2024?江蘇秦州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(工)=/+a爐，/CR.

(1)若函數(shù)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線過原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若a=—4,求函數(shù)/(2)在區(qū)間［-1,4］上的最大值.

解法指導(dǎo)

函數(shù)/(⑼在區(qū)間［a,6］上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)/(⑼最值的步驟為：

⑴求函數(shù)/(2)在區(qū)間(a,b)上的極值；

⑵將函數(shù)/(⑼的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(a),/(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小

值；

(3)實(shí)際問題中,“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè),這便是“最值”點(diǎn)。???

*2.變式訓(xùn)練

［題目［1）（2024?安徽黃山成考一模）已知函數(shù)/⑺=yrc2-4ax+a21nt在工=1處取值得極大值.

⑴求a的值；

（2）求/（,）在區(qū)間［｝e］上的最大值.

（題目|2〕（2024?陜西西安?第T一模）已知函數(shù)/㈤=e-譽(yù)/—勺—2皿

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1J（1））處的切線方程；

（2）若"=/（,）的最小值為1,求a.

???

題型四:利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立

至1.大題典例

趣回工(2024?湖北剜州?高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/⑺="a

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線/(2)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)名)0時(shí)，若/(re)Wa恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法指導(dǎo)

對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí),一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新

函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注

意恒成立與存在性問題的區(qū)別.???

*2.變式訓(xùn)練

懣國Q(2023?寧夏娠川?高三校攜考階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=x2-a(lnx+1).

(1)討論/(c)的單調(diào)性；

(2)若存在rce[l,e],使得返+a+a<2,求實(shí)數(shù)a的最大值.

X

蜃目因(2022?全國?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/⑺=e-1+岫(旌砂

(1)討論函數(shù)/(2)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)gQ)ulnd—1)—In/,且/(g(力))</(x)在(0,+8)上恒成立,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

???

題型五:利用導(dǎo)致求解函數(shù)的零點(diǎn)

至1.大題典例

懣亙H（2024?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學(xué)考就）己知函數(shù)/（2）=面+/+21n（l-x）,曲線9=/（力）在

（―l,/（—1））處的切線方程為？/=21n2—3.

⑴求a,b的值；

（2）求/（力）的單調(diào)區(qū)間，并證明/（c）在（-8,0）上沒有零點(diǎn).

解法指導(dǎo)

導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參

數(shù)的分類討論等），需要對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的

單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的

步驟,在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方。???

除2.變式訓(xùn)練

〔題目兀（2024?湖北夏用?高三基FB-中校戚才期末）已知函數(shù)/（工）=mnc—方砂，其導(dǎo)函數(shù)為廣⑶）.

（1）求/（c）單調(diào)性；

⑵求gQ）=/（劣）+cos/零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題噂］（2022?全國?模擬JWI）已知函數(shù)/⑺=立q邏—Inc.

（1）若館=1,求函數(shù)/Q）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)g（/）=/（力）一（Tn-l）ln/有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m,的取值范圍.

題型六:利用導(dǎo)致證明不等式

至1.大題典例

南自五］QO22?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/3=2xlnx一力+2.

（1）求函數(shù)/（為的極值；

⑵求證：（①一1）次為一十］＞0.

解法指導(dǎo)

利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,從而判定不等關(guān)系;

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法:根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論,從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).???

*2.變式訓(xùn)練

懣司Q(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/3=xinx,

(1)求曲線y=f@)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程；

(2)求證：/(a?)<x2+x.

逾凰5(2024?山東濟(jì)寧?高三校才開學(xué)考試)已知函數(shù)/㈤=工'In工+(a-lMaGR.

(1)討論/Q)的單調(diào)性；

(2)已知g[x}=e。-2必當(dāng)a=1時(shí)，證明：g(x)>/(力).

???

題型七:利用導(dǎo)致研究雙變量問題

至1.大題典例

［題目Q(2024?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(0=e"+爐—工仙2+a—1),其中aCR,e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù).

(1)函數(shù)g(c)="*)，求g(c)的最小值0(a)；

X

(2)若2i,a；2(2i<22)為函數(shù)/(①)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x2—Xi<—_2.1.

解法指導(dǎo)

雙變量不等式的處理策略：

含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式,

具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量,選取主元.???

*2.變式訓(xùn)練

（題目|1〕（2024?廣東?高三穌考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（工）=Int+a（c—1）（工一2）,其中a為實(shí)數(shù).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/（,）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)/（2）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)21,22時(shí)，證明：/（為）+/（◎）+ln-^-.

9lb

［題目|2）（2023?云南北明?南三正明一中校考階段練習(xí)）設(shè)a,b為函數(shù)/⑺=c?e。—m（m<0）的兩個(gè)零點(diǎn).

（1）若當(dāng)2<0時(shí),不等式①?ee>］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

X

（2）證明：ea+a〈l.

???

題型八:利用導(dǎo)致研究極值點(diǎn)偏移問題

拿1.大題典例

逋瓦1(2024?浙江紹興?高三穌考期末)已知函數(shù)=x—Inx+-.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若方程/(，)=a有兩個(gè)解如。2,求證：2巡2<L

解法指導(dǎo)

1、和型g+22V2a(或21+x2>2a)問題的基本步驟：

①首先構(gòu)造函數(shù)g(2)=f(x)—/(2a—/)，求導(dǎo)，確定函數(shù)沙=，(2)和函數(shù)g=g(a;)的單調(diào)性;

②確定兩個(gè)零點(diǎn)21Vaeg,且/(/J=/(22)，由函數(shù)值g(①1)與g(a)的大小關(guān)系，

得g(g)=/(g)-f(2a-Xi)=/(g)-/(2a-g)與零進(jìn)行大小比較；

③再由函數(shù)沙=/(土)在區(qū)間(a,+s)上的單調(diào)性得到22與2a—電的大小,從而證明相應(yīng)問題；

2、積型/何2Va(/(2J=f(x2))問題的基本步驟：

①求導(dǎo)確定/(切的單調(diào)性，得到現(xiàn)明的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)FQ)=f(x)—/(2)，求導(dǎo)可得斤(①)恒正或恒負(fù)；

③得到/Q1)與/(烏)的大小關(guān)系后，將/(電)置換為/(g)；

④根據(jù)◎與0的范圍，結(jié)合/(為的單調(diào)性，可得應(yīng)與0的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.

71Xi???

*2.變式訓(xùn)練

（題目|1〕（2024?海南?高三校攜者期末）已知函數(shù)/（工）="+a/—rdn工的導(dǎo)函數(shù)為/（工）.

（1）若。=一1,求曲線g=/（6）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程.

（2）若廣（⑼存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)的,62，

（i）求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

（五）證明:力1+比2>1?

［題目|2）（2024?江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)g（%）=1-2111c—右（a>0）,且g（x）的極值點(diǎn)為g.

⑴求g；

（2）證明:2g（g）+24看;

（3）若函數(shù)g（力）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)61,力2,證明：:+」7>2。（&）+2.

傷力2

???

題型九:除零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用

至1.大題典例

蜃回工(2024?廣西南寧?南寧三中校聯(lián)考一模)已知函數(shù)/(①)=Inx—ax+a,gQ)=(x—l)ex~a—ax+

l(aER).

(1)若/(%)&0,求Q的值；

(2)當(dāng)Qe(0,1］時(shí)，證明：g(x)>/(力).

解法指導(dǎo)

隱零點(diǎn)的處理思路：

第一步:用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間,

有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

第二步:虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，

利用同構(gòu)思想等解決,需要注意的是,代換可能不止一次.???

*2.變式訓(xùn)練

逾里口（2024?山東?高三實(shí)金中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)/（工）=（mx2-x+l）e-\

（1）當(dāng)772>0時(shí)，求，（劣）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)g（力）=6。+/（力）e，-2恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)771的取值范圍.

畫團(tuán)0（2024?廣東?高三校聯(lián)考開學(xué)者武）已知函數(shù)八①）=怎

（1）若曲線沙=/（6）在點(diǎn)（a,/（a））處的切線過點(diǎn)（4,2）,求a的值；

（2）若f（劣）&Qe—i恒成立，求a的取值范圍.

???

題型十:導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題

至1.大題典例

蜃回工（2024?云南北明?尼明一中校聯(lián)考一模）已知函數(shù)/（為=alnx+1一6.

（1）若/（劣）&0,求實(shí)數(shù)Q的值；

（2）證明：當(dāng)n>2SeN*）時(shí)，M野x^x牛……空）<1；

（3）證明：』■+《"---1--<lnn（nGN*,n>2）.

2OTL

解法指導(dǎo)

導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量,

通過多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第

一問根據(jù)特征式的特征而得到.???

+2.變式訓(xùn)練

趣團(tuán)口（2024?山西?高三*1考期末）已知函數(shù)/（工）=In1—.

（1）若當(dāng)/e（1,+8）時(shí)，/（力）＞0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵求證Jn2+ln|+Inf+…+皿篙＞I-2n]

逾115（2024?四川穩(wěn)招◎考模栩《測(cè)?⑸=cost+mx2—iQeR）.

（1）當(dāng)館＞十時(shí)，證明：/（力）＞0；

2n

⑵證明小人+―」>n—

2n+l

???

（必刷大題）

劇模擬

題目1（2024?山東聊城?高三統(tǒng)考期一已知函數(shù)/（c）=22—2（a+2）?F+alnc（aeR）.

（1）當(dāng)a=0時(shí),求曲線/（為在（1J（1））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)/（⑼的單調(diào)性.

厘回0（2024?江蘇?徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（工）=Q.—elogQ—e,其中a>l.

（1）若。=已,證明/（力）>0；

（2）討論了（乃的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

???

題目日(2022?河南?高三專慝練習(xí))已知函數(shù)/(力)=xex—mx2,

(1)求曲線g=/(力)在(0J(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(力)=/(力)—e*在/=0處取到極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2024?重慶?高三重慶一中校考開學(xué)考試)已知/3)=夢(mèng)+sin/，g(a)=aln(x+1)—1.

(1)若/(力)在(0,f(0))處的切線也與g(x)的圖象相切，求a的值；

(2)若fQ)+g(x)>0在ce(-1,+8)恒成立，求Q的取值集合.

???

懣衽3（2024.淅江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)/⑺=聶—ln±—十（aWO）.

（l）a=e時(shí)，求曲線0=/（力）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

（2）證明：/（力）至多只有一個(gè)零點(diǎn).

趣1M（2023?江蘇拉城?高三費(fèi)城中學(xué)校聯(lián)考階盤練習(xí)）設(shè)函數(shù)“力）=+①，其中e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù)，％CR

（1）若/（，）為R上的單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（2）討論/（c）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

???

蜃班可(2024?甘肅平?jīng)?校考模翻覆瀏)已知函數(shù)/(/)=mn±.

⑴判斷了(⑼的單調(diào)性;

(2)設(shè)方程/(力)一2/+1=0的兩個(gè)根分別為力1,力2,求證：力1+力2>2e.

題目8(2023?廣東深圳.南三深圳中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(工)=(/+2ax+2a2)e',

(1)若Q=0,求/(力)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/3)有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為?和?(◎<g)，求的最小值.

*”e[-—/e電曲’

???

遒回1(2024?山東用臺(tái)?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/⑻=ln(/+l)—甘芹(a<l).

(1)討論函數(shù)/(①)的單調(diào)性；

(2)求證：』+$■+…+4<ln2(neN*).

n+1n+22n

題目1回(2024?寧夏石嘴山?高三平羅中學(xué)校才期末)設(shè)函數(shù)/(力)=%—aln(l+0.

(1)討論/(⑼的單調(diào)性；

(2)證明：VnEN*,1++}T----->ln(n+1).

26

峰1.刷真題

寇1包（2023?全國?統(tǒng)考商考真題）已知函數(shù)/⑺=（十+a）ln（l+0.

（1）當(dāng)a=—1時(shí),求曲線g=/（力）在點(diǎn)（l,f（l））處的切線方程.

（2）若函數(shù)/（力）在（0,+8）單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

smx

瓦區(qū)（2023?全國?金才方才真題）已知函數(shù)/⑸=ax—,xE

co^x

（1）當(dāng)Q=1時(shí)，討論/（力）的單調(diào)性；

⑵若/（力）+sin/V0,求Q的取值范圍.

???

〔題目〔3〕（2023?全國?統(tǒng)考i15才真題）已知函數(shù)/（⑼=ax—應(yīng)*，工e（0,。

COS，力\2

（1）當(dāng)。=8時(shí)，討論/（力）的單調(diào)性；

（2）若/（力）Vsin2力恒成立，求a的取值范圍.

：?④（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/㈤=（十+同反（1+初

（1）當(dāng)。=一1時(shí)，求曲線夕=/（力）在點(diǎn)（i,y（i））處的切線方程；

（2）是否存在a,b,使得曲線y=/（十）關(guān)于直線c=b對(duì)稱,若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

（3）若/（2）在（0,+8）存在極值，求a的取值范圍.

???

「題目回（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（力）=Q?+Q）—

（1）討論/（力）的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)Q>0時(shí)，f（x）>21rlQ+-y.

回（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）⑴證明：當(dāng)0V/V1時(shí)，/一"Vsin/V/；

（2）已知函數(shù)/（力）=COSQ/一ln（l—/）,若力=0是/㈤的極大值點(diǎn)，求Q的取值范圍.

???

穎目0(2023?北京?統(tǒng)考方才真題)設(shè)函數(shù)/(，)=/一x3e^+b,曲線夕=/(,)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程為y=

—X+1.

(1)求a,6的值；

(2)設(shè)函數(shù)gQ)=/(，)，求9儂)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/Q)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

遒亞工酒?天津?統(tǒng)考方考真卻已知函數(shù)/(2)=(十+十)M/+l).

(1)求曲線g=/(6)在?=2處的切線斜率；

(2)求證：當(dāng)力＞0時(shí)，/(%)＞1；

⑶證明：＜ln(n!)—(72+^~)km+「&l.

???

穎目回(2022?全國?統(tǒng)考方才真題)已知函數(shù)/(rc)=xeax—ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論了(,)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)，＞0時(shí),/(⑼V-1,求a的取值范圍；

H---1—/1>ln(n+1).

⑶設(shè)TieN*,證明：下三H—,

VF+1V22+2Vn2+n

〔題目|10)(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/㈤=加―十—(a+l)lnz

(1)當(dāng)Q=0時(shí)，求/(力)的最大值；

(2)若/(0恰有一個(gè)零點(diǎn)，求Q的取值范圍.

???

備賬易導(dǎo)檄

O【考情分析)O

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。從近幾年的高考情況來看，在大題中考查內(nèi)容主要有主要利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式及函數(shù)零點(diǎn)等內(nèi)容。此類問題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與

化歸的數(shù)學(xué)思想，難度較大。

(題型歸類—■■■

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

題型四：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立

題型五:利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)

題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題

題型九:隱零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用

題型十：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題

題型一:利用導(dǎo)致研究函數(shù)的單調(diào)性

堂1.大題典例

趣回3(2024?河南鄭州?高三校殘考階段練習(xí))己知函數(shù)/(工)=^-+ax-(ax+l)lnx^x=1處的切線方程

為y=bx+—(a,bWR).

⑴求a,6的值；

(2)證明:/㈤在(1,+8)上單調(diào)遞增.

【思路分析】

ffr(l)—b

⑴求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得,立，即可得到方程組，解得即可；

(2)令g(力)=)―9—21n力，x￡(1,+00),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當(dāng)力6(1,+oo)時(shí)g(力)>

0,即當(dāng)力G(1,+8)時(shí)尸㈤>0,即可得證.

【規(guī)范解答】

(1)因?yàn)閒?=—+ax—(ax+,

???

所以f'Q)=x+a—aln力—=x——-——alnx,

xx

依題意可得［f｛y,(l))—=b"會(huì)即"fl+—a1-—(alanl+=l)6lnl=b+*,解得f｛Aa—=n2.

(2)由(1)可得f(G=+2x—(2x+l)lnc,則f'(x)—x—--21na?,

2x

令g(x)=f'(x)=x—-—21nz,xG(1,+oo),則g'(x)=1+—....—=———>0,

xx2xx2

所以g(rc)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，又g(l)=0,

所以當(dāng)(1,+co)時(shí)g(z)>0,即當(dāng)rrC(1,+oo)時(shí)((2)〉0,

所以/(2)在(1,+oo)上單調(diào)遞增.

解法指導(dǎo)

1、求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的

和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時(shí)要進(jìn)行換元.

2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

（1）確定函數(shù)/（①）的定義域；

⑵求/'（2）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式r（2）＞o,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式廣（①）V0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

3、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：

⑴導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無意義）；

（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；

（3）導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。

整2.變式訓(xùn)練

畫畫工）（2024?安徽六安?南三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/⑺=爐+a工—6（aCR）.

（1）若函數(shù)/（，）的圖象在±=2處的切線與立軸平行，求函數(shù)/（0的圖象在，=-3處的切線方程;

（2）討論函數(shù)/（①）的單調(diào)性.

【答案】（1）15N一"+48=0;（2）答案見解析

【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再求斜率最后寫出切線方程；（2）分類討論列表根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性.

【解析】⑴/'（/）=3/2+Q.

由題意/'（2）=12+a=0,解得a=-12,

所以/（力）=爐一12力—6,/（—3）=3,/'（-3）=15

/（力）在x=—3處的切線方程為15力—?/+48=0

⑵廣⑺=3〃+Q.

①當(dāng)a＞0時(shí)，/（力）＞0,/（6）在A上單調(diào)遞增.???

②當(dāng)aVO時(shí),在公上的變化情況如下表:

X-R3(7-1)+00)

+0—0+

f3)T極大值J極小值T

由上表可得/(①)在(一心-上單調(diào)遞增，

在(—V—'\/~^3)上單調(diào)遞減，在｛yj—g1,+°°)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，增區(qū)間為(一8,+co),無減區(qū)間；

當(dāng)QV0時(shí)，增區(qū)間為(一8,-J-1)和(J-",+00)，減區(qū)間為

誕巨(2024?遼寧?校聯(lián)考一模)已知/(/)=sin2/+2cos6.

(1)求/(力)在力=0處的切線方程；

(2)求/(為的單調(diào)遞減區(qū)間.

【分析】⑴先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出力=0處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率，寫出切線方程即可;

(2)求/(力)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求出其導(dǎo)函數(shù)滿足不等式/(力)40的解集即可.

【解析】⑴由于/(%)=sin2a?+2cos6,

其導(dǎo)函數(shù)為:/'(力)=2cos2%—2sinc,得：/'(0)=2,/(0)=2,

所以/(力)在力=0處的切線方程為：g—2=2(力-0),即g=2力+2;

(2)由于/'(x)=2cos2力—2sinrr,

得：于，(x)=2(1—2sin2x)—2sinrc=—2(2sin2劣+simc-1),

若/'(力)&0,則—2(2sin2rc+sinrc—1)VO,即—2(2sina;-1)(sinx+1)40,

由于一1&sin力41,則sinrc+1>0,

只需sin/>即可，解得xE|"2"兀+3,2%兀+乎_],k6Z,

2L66」

故/Q)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kK+^,2kK+^-],kEZ.

題型二:利用導(dǎo)致研究函數(shù)的極值

景1.大題典例

[題目[1](2024?湖南長沙?高三長沙一中校才開學(xué)考試)已知直線y=癡與函數(shù)/?=xlnx-x2+x的圖象相

切.

⑴求看的值；

(2)求函數(shù)/(,)的極大值.???

【思路分析】

⑴設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值即可.

【規(guī)范解答】

⑴函數(shù)/(力)=x\\xx—x2+x的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得/3)=lnN—2力+2,

設(shè)切點(diǎn)為(g,Xolnxo—就+g),則切線的斜率為k=Ing—2g+2,

切線方程為g—(glug—塔+g)—(lnx0—2g+2)(N一g),

又切線過點(diǎn)(0,0),于是湍一g=0,而力0>0,解得/0=1,所以k=0.

⑵由⑴知,/〈re)=Inx—2力+2,設(shè)g(x)=\nx—2x+2,求導(dǎo)得g'(x)=——2,

x

令/(7)=o,得①=4，當(dāng)尤e(o,y)時(shí)，g，3)>o,當(dāng)，e居,+QO)時(shí)，g，3)VO,

因此函數(shù)gQ)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(5，+oo)上單調(diào)遞減，

于是g(2)max=g(])=1_H12>0,又)=一/<0,3(1)=0,

則存在.e(1,；),g(g)=O,當(dāng)26(O,g)U(1,4-co)時(shí),廣㈤VO,當(dāng)26(g,l)時(shí)，/(力>0,

從而/(c)在(O,a；i),(1,+co)上單調(diào)遞減，在(如1)上單調(diào)遞增，

所以/(劣)存在唯一極大值/(1)=0.

解法指導(dǎo)

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟

⑴求導(dǎo)數(shù)/3)；

(2)求方程/'(⑼=o的所有實(shí)數(shù)根；

(3)觀察在每個(gè)根g附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)(3)的符號(hào)如何變化.

①如果/'(2)的符號(hào)由正變負(fù)，則/'(&)是極大值;②如果由負(fù)變正，則/'(g)是極小值;③如果在/3)=

0的根①=g的左右側(cè)/'Q)的符號(hào)不變,則不是極值點(diǎn).

根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：

①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.

第2.變式訓(xùn)練

蜃U](2024?廣東汕頭通寺一模)已知函數(shù)/⑺=加—十—(a+l)lnc(aCR).

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，求曲線"=/(力)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)若/(力)既存在極大值，又存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴廠(；一1)力一看；⑵(0,1)U(1,+oo).

【分析】(1)把a(bǔ)=—1代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.???

（2）求出函數(shù)/（力）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍.

【解析】⑴當(dāng)a——1時(shí)，函數(shù)/（比）——X——,求導(dǎo)得/'（/）=4一1,

xX2

則/'（e）=吃一1，而/⑹=-e——,

e2e

所以曲線y—f^x）在點(diǎn)（e,/（e））處的切線方程為y—（―e—工）=（4—1）（力一e）,即g=-1）力——.

（2）函數(shù)/（/）=ax—-—（a+l）hic的定義域?yàn)椋?,+oo）,

x

求導(dǎo)得(3)=0+4a+l_a62—(Q+I)/+i_(ax—1)(rr—1)

xx2x2

當(dāng)a&0時(shí)，ar—1V0,由『(x)>0,得0V/V1,由/'(力)V0,得力>1,

則函數(shù)f（R）在（0,1）上遞增,在（1,+8）上遞減，函數(shù)/（力）只有極大值/（1），不合題意；

當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（G=0,得名=1或%=!，

Q

①若0＜工＜1,即。＞1,由/'（力）＞0,得0＜力＜工或力＞1,由fr（x）VO,得工＜T＜1,

aaa

則函數(shù)/㈤在（0,十）,（1,+8）上遞增，在上遞減，

因此函數(shù)/㈤的極大值為/（?）,極小值為了⑴，符合題意；

②若上＞1,即OVaVl,由/'（力）＞0,得0V/V1或/＞工，由/'（劣）V0,得

aaa

則函數(shù)/（力）在（0,1）,（十，+8）上遞增，在（L?）上遞減，

因此函數(shù)/（力）的極大值為y（i）,極小值為f吟）,符合題意；

③若工=1,即。=1,由（（劣）＞0在（0,+8）上恒成立，得/（劣）在（0,+00）上遞增,

a

函數(shù)f（x）無極值，不合題意，

所以a的取值范圍為（0,1）U（1,+oo）.

|題目國（2022?河南?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力）=—若，其中常數(shù)aeR.

（1）若fQ）在（0,+8）上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

3

（2）若a=4,設(shè)g（力）=/（力）+1i一力十匕求證:函數(shù)g（/）在（_],+oo）上有兩個(gè)極值點(diǎn).

O

【答案】⑴（一oo,e2];（2）證明見解析

2

【分析】⑴由y（T）在（0,+8）上是增函數(shù),得:㈤=e，—號(hào)■＞0在（0,+00）上恒成立,分離參數(shù)可得年

構(gòu)造函數(shù)九（力）=J（力＞o）,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)九（力）的最小值即可；

X1

⑵要證函數(shù)g（/）在（-1,+8）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需證g\x）=0在（-1,+8）上有兩個(gè)不等實(shí)根,

令0（力）=。〈力），利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的零點(diǎn)即可.???

【解析】⑴因?yàn)?0)在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以廣㈤=e”—口》0在(0,+8)上恒成立，即34黑恒成立，只需3,

44廿4\X27min

設(shè)h{x)=號(hào)(力>0),則h\x)=―—當(dāng)-,

XX6

當(dāng)力e(0,2)時(shí)，h\x)V0,當(dāng)%E(2,+00)時(shí)，h\x)>0,

所以函數(shù)從G在(0,2)上單調(diào)遞減，函數(shù)月(力)在⑵+8)上單調(diào)遞增，

所以h(x)的最小值為h(2)二?,所以￡&?，解得aWe?.

故實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(―oo,e2];

⑵要證函數(shù)g⑸在(-1,+8)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

只需證43)=0在(-1,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根，

x

由題意，當(dāng)Q=4時(shí)，gQ)=e。-/—力+1,則g\x)=e—2x—lf

令P(N)=e。-2/一1,則「'(/)=e。一2,

由p'(力)>0,得力>ln2,由/(力)V0,得力Vln2,

所以p(/)在(ln2,+oo)上單調(diào)遞增，在(―l,ln2)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)閜(0)=0,p⑴=e—3V0,0⑵=e2—5>0,

所以存在%i=0,gW(1,2),使得0(力1)=0,0(]2)=0,

所以/i,g是函數(shù)/(力)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

即g{x}在(―1,+oo)上有兩個(gè)極值點(diǎn).

題型三:利用導(dǎo)致研究函數(shù)的最值

法1.大題典例

題團(tuán)口(2024?江蘇泰州?高三統(tǒng)考階盤練習(xí))已知函數(shù)/(C)=/+&"，±eR.

(1)若函數(shù)在點(diǎn)(1J(1))處的切線過原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若a=-4,求函數(shù)/(,)在區(qū)間[-1,4]上的最大值.

【思路分析】

(1)代入求出切點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程求出；

(2)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最值即可.

【規(guī)范解答】

(1)切點(diǎn)(1,1+Q),/'(%)=4爐+3g2,%=((1)=4+3a.

切線g—(1+Q)=(4+3a)(rc—1)過(0,0),

，、，、3

/.—1—CL—(4+3cz)(—1),/.a———?

(2)a=-4,f[x)=x4—4爐，

(力)=4力3—12爐=/(41一12)=0,/=0或3,

則當(dāng)一IV%V0或0V/V3時(shí)，/'(力)V0,當(dāng)3〈力V4時(shí)，/'(力)>0,???

fQ)在［-1,3)上為減，在(3,4］為增，

/(-L)=1+4=5,/⑷=44—4x43=0,.?J(,)max=5.

解法指導(dǎo)

函數(shù)/（⑼在區(qū)間［a,6］上連續(xù)，在（a,6）內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)/（⑼最值的步驟為：

⑴求函數(shù)/（⑼在區(qū)間（a,b）上的極值；

⑵將函數(shù)/Q）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/（a）,/（b）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小

值；

⑶實(shí)際問題中，“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè)，這便是“最直’點(diǎn)=

噌2.變式訓(xùn)練

蜃目工（2024?安徽黃山必考?一模）已知函數(shù)/⑺=j-x2-4ax+a2lnx在c=1處取值得極大值.

⑴求a的值；

（2）求〃0）在區(qū)間［i.e］上的最大值.

【答案】（1）3;⑵/

【分析】⑴求導(dǎo)，然后令r（力）=o求出力，代入力=1驗(yàn)證是否符合題意即可：

（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間［§,e］上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.

【解析】（1）由已知/'（2）=3/―4a+［=3砂一?”+稼=（3.—?（z-a）

令（6）=0得力=a或6二冬,

當(dāng)a=l時(shí)，令/'（劣）＞0得0＜力＜~1~或力＞1,令r（力）V0得力V1,

0O

故函數(shù)/⑺在（04）上單調(diào)遞增，在（J,l）上單調(diào)遞減，在（1,+00）上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/（力）在/=:處取極大值，在/=1處取極小值，

與函數(shù)f（c）在力=1處取值得極大值不符；

當(dāng)號(hào)=1,即a=3時(shí)，令（（多）＞0得0V/V1或力＞3,令（（力）V0得1V/V3,

o

故函數(shù)/（劣）在（—00,1）上單調(diào)遞增，在（1,3）上單調(diào)遞減，在（3,+00）上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/（力）在力=1處取極大值，在力=3處取極小值，符合題意；

所以