壓軸題03函數核心性質應用

函數核心性質應用

添加導數的雙函數型

3盤重點?抓核心

總論：

函數核心性質是：在定義域內單調性，奇偶性，周期性綜合應用。

函數核心技巧是：利用函數左加右減，上加下減，分離常熟等技巧，尋找函數的單調性、奇偶型與周期性,

以用于解題。

函數性質：

1.中心對稱性：

若/(x+a)+/(-x+〃)=c,則函數“力關于［與上，中心對稱，

2.軸對稱性：

/(x+a)=/(-%+&),則函數“力關于天=歲對稱，

3.函數周期性：

函數的周期性：設函數y="“，xeR,。＞0,a^b.

(1)若〃x+4)=〃x-a),則函數〃x)的周期為2a；

(2)若/(—(x),則函數/((的周期為2田

⑶若/(」+。)=-焉,則函數/⑺的周期為2”；

(4)若"x+a)=dj,則函數/(X)的周期為2a；

(5)若〃x+a)=〃x+?,則函數〃x)的周期為,―加

(6)若函數"力的圖象關于直線x=。與x=b對稱，則函數的周期為2也-4；

(7)若函數/(*)的圖象既關于點(。,0)對稱，又關于點(80)對稱，則函數/(x)的周期為2性-4；

君練壓軸?:中高分

壓軸題型一：廣義奇函數“中心對稱”

\/滿分技法

中心對稱常見關系式子：

1、f（x+7%）+f（n-x）=h,則對稱中心心葉“士）

22

2、f（x+m）+f（n-x）=0,則對稱中心（羽已,0）

2

3、f（x）=2b-f（2a-x）,則對稱中心（a,b）

4、f（x）+f（2a-x）=2b,則對稱中心（a,b）

1.已知定義在R上的函數/（x）滿足x）=4,且函數f（x）的圖象與直線y=k（x-92有1個

m

交點（冷yj，（%，%），，（%%.），則￡（%+%）=（）

Z=1

A.0B.2mC.4mD.8m

【答案】c

【分析】利用直線過定點以及函數的中心對稱性質計算可得.

【詳解】由題意可得直線>=%（尸2）+2恒過點（2,2）,且關于（2,2）對稱.

函數“X）滿足/（x）+/（4—x）=4,則函數”x）的對稱中心為（2,2）,

所以芯+々++K2,…++J,

mm

m

所以EQ+%）=2m+2m=4m.

w

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用函數對稱性得出/（x）的對稱中心為（2,2）,再結合直線過定點即可

求得結果.

2.設〃x）=x+sinx,｛%｝為等差數列，5“=￡4,7；=丑〃4），貝1|“52024=2024兀”是名024=2024兀”的（）

z=li=l

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【分析】分析函數"X）的單調性與對稱性，得函數"X）在R上單調遞增，且圖象關于點3兀）中

心對稱.再利用等差數列的性質可得G+a2024=a2+?2023==?1012+?1013,然后從充分性與必要性兩

個方面論證，用反證法進行必要性的證明.

【詳解】已知/Xx）=x+sinx,xeR,

則/V）=l+cosx>0,故/1（x）在R上單調遞增.

又由/（x）=x+sinx,得/（2兀-x）=2兀-x+sin（2兀一%）=2兀-x-sinx,

故/（尤）+/（2兀-尤）=2兀，則函數/（尤）的圖象關于點（無，兀）中心對稱.

已知數列｛。“｝是等差數列，則4+。2024=。2+。2023==%012+。1013.

①先證明充分性：

若S2024=2024兀，由數列｛叫是等差數列，

可得SM=202火"；+==2024兀，

貝！Jai+42024=%+^2023=一=a1012+"1013=2兀,

所以由函數，(元)的對稱性可知,

/(?))+/(a2024)=27r,/(a2)+/(a2023)=27i,L,/(a1012)+/(a1013)=2TI,

2024

^024=E/(?/)=1012X27T=20247T,即“S。24=2024TT=7^4=2024兀”得證.

Z=1

因此，“邑。24=2024兀”是“7M24=202471”的充分條件；

②再證明必要性：

下面用反證法證明：假設52024<20247r,

已知數列｛為｝是等差數列，則四*±3<2024兀，

a

即%+6?2024<2n,由等差數列性質可得'\+。2024=。2+。2023=…=%012+%013<2n,

—

以%<2兀一02024，。2<2兀一°2023',>a1012<2兀a1013>>，^2024<2兀一弓,

由函數f(x)=x+sin尤在R上單調遞增，可得/⑷</(2兀-a2024)=27i-/(a2024),

/(a2)</(2n-a2023)=2;i-/(a2023),

/(?2024)</(2TI-?1)=2K-/(?1),

20242024

各式累加得，弓24=)<2024X2兀-)=2024x2Tt-T20M,

Z=11=1

所以2盤”<2024x2兀,即7；024<2024K,

這與已知T2024=2024兀矛盾，故假設錯誤；

同理，假設邑網>2024兀，可證得4H4>2024兀，也與已知乙?，=20247r矛盾，故假設也錯誤；

所以“T2024=2024兀n邑°”=2024兀”得證.

即“星期=2024兀”是“弓〃=2024兀”的必要條件.

綜上所述，“邑。24=2024兀”是“7Mo4=2024兀”的充要條件.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于應用反證法進行必要條件的證明，基于自變量不等

(大小)關系的假設，借助函數/(x)單調遞增等價轉化為函數值的不等關系，進而結合函數對

稱性推出與等量關系矛盾.

3.已知定義在R上的函數/⑺的圖象關于點。,0)對稱，/(x+l)+/(x+2)=0,且當xe0,1時，

/(^)=+log,(3.x+1).若+則實數，"的取值范圍為()

A.^+1,2Z:+|^eZ)B.

C.一q,左+7)(左eZ)D.(2A—個2A:+(左eZ)

【答案】A

【分析】由圖象關于點(1,0)對稱和〃x+l)+〃x+2)=0找到圖象的對稱軸和周期，再由

〃無)=iog?(3元+i)-嚏+2確定單調性，分別求出巾,巾,巾，畫出大致圖象，最后數形結合求

出取值范圍.

【詳解】由的圖象關于點(1,0)對稱可得〃x+2)=-〃—x).

由/(x+l)+〃x+2)=0,可得〃x+l)T(x+2)=〃—x),

故函數“X)的圖象關于直線尤=；對稱，

>/(x+2)=-/(x+l)=-(-/(x))=〃尤)，得“X)的周期為2.

2+1

當xe0,J時，f(x)=+log2(3x+1)=^^+log2(3x+1)=log2(3x+1)一一^-+2,

_z」％+lX+1x+1

故實數機的取值范圍為(2左+；,24+||(左eZ).故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是能根據函數/(x)的圖象關于點(1,0)對稱，/(x+l)+/(x+2)=O確定函

數的周期和對稱軸.

4.已知函數/(X)是定義域為R的函數，/(l+x)=-/(l-x),對任意4、x,e[l,+oo)(^<x2),均有

/(x2)-/(^)>0,已知加、為關于x的方程f_2x+產-3=0的兩個解，則關于f的不等式

〃加)+“〃)+/⑺>0的解集為()

A.(—2,1)B.(―℃,1)C.(1,+°°)D.(1,2)

【答案】D

【分析】由韋達定理可得出租+〃=2,可得出〃祖)+/(〃)=0,且△>(),分析函數/(X)的對稱性和單調

性，將所求不等式變形為結合函數/'(力的單調性可求得f的取值范圍.

【詳解】因為優、”(〃件〃)為關于*的方程尤2-2%+產-3=0的兩個解，

則△=4-4(?-3)=16-4產>0,解得一2</<2,由韋達定理可得利+〃=2,

因為函數“X)是定義域為R的函數，/(l+x)=-/(l-x),即〃l+x)+〃l—x)=0,

所以，函數的圖象關于點。,0)對稱，則〃加)+/5)=0且"1)=0，

因為對任意七、x2efl,+co)^<x2),均有/(%)一/(%)>0,即〃不)<〃9)，

所以，函數/'(x)在口,")上為增函數，則該函數在上也為增函數，

從而可知，函數/(x)在R上為增函數，

由〃〃2)+〃")+/⑺>0可得=解得f>l,所以，

因此，關于f的不等式〃〃?)+〃")+〃。>0的解集為(1,2).

故選：D.

【點睛】方法點睛：利用函數的對稱性與單調性求解抽象函數不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式

來求解，方法是：

(1)把不等式轉化為/[g(》)]>/[M*)]；

(2)判斷函數/(X)的單調性,再根據函數的單調性把不等式的函數符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)，

但要注意函數對稱性的區別.

5.若定義在R上的函數/(x)滿足〃x+2)+/(x)=/(4),/(2x+l)是奇函數，/^=1,則￡%/［左一；)=

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據條件判斷抽象函數的周期，對稱性，根據周期性和對稱性求函數值，再代入求和.

【詳解】根據〃尤+2)+/(%)=/(4),以x+2代換x得：/(x+4)+/(x+2)=/(4),所以/(x+4)=/(x),可

知函數/(x)的周期為4,

因為〃2x+l)是R上的奇函數，所以f(-2x+l)+/(2x+l)=0,即，(無)關于點(1,0)對稱，

由/(尤+4)+/(x+2)=/(4),取x=0得f(4)+〃2)=/(4),即/⑵=0,

則/(4)=/(0)=—/(2)=0,因止匕/(x+2)+/(x)=0,取x=T，得+=

于是佃+2/圖+3/(|卜呢,［佃+/圖卜3［/(|卜O圖+/［卜,

因此，￡［"寸=5/］|/5(4+>=5/1>5.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用賦值，賦變量，轉化抽象關系式，判斷函數的周期性和對稱性.

壓軸題型二：廣義偶函數“軸對稱”

滿分技法

軸對稱常見關系式子：

1、f(a+x)=f(a-x)，則對稱軸x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，則對稱軸x二竺^

2

3f(x)=f(2a-x),則對稱軸x二a

軸對稱函數，簡稱為“和定為軸”。

1.已知偶函數〃%)滿足〃3+X)=〃3-尤)，且當光40,3］時，/⑺=加=若關于％的不等式尸(力-/(力>0

在［-150,150］上有且只有150個整數解，則實數/的取值范圍是()

(J.)「」~\\

A.0,e2B.e2,3^2C.3e2,2^-1D.e2,2e-1

\7L7\7\J

【答案】B

【分析】根據偶函數〃x)滿足〃3+x)"(3-x),得到函數〃x)是以6為周期的周期函數，由xw［0,3］時,

“同=，用導數法結合偶函數，作出數/(x)在(一二刃上的圖象，將不等式產⑴-獷(力>0在［-150,150］

上有且只有150個整數解，轉化為在一個周期(-3,3］上有3個整數解分別為-2,2,3求解.

【詳解】因為偶函數“X)滿足43+X)="3-X),所以〃6-力"⑺=〃r),即八6+0"(尤)，

所以函數〃x)是以6為周期的周期函數，當xe［0,3］時，f^=xei,所以尸(無)=/(「'，

當04x<2時，f\x)>Q,函數遞增；當2<x?3時，/'(司<0,函數遞減;

當當x=2時，函數/(x)取得極大值/(》)=：,作出函數，(x)在(-3,3］上的圖象，如圖所示:

因為不等式/(力-外力>0在［-150,150］上有且只有150個整數解，

所以不等式r(x)-"(x)>0在(-3,引上有且只有3個整數解，當/(無)=。時，不符合題意，

故不等式“X)>/在(-3,3］上有且只有3個整數解，因為了⑴=”,〃3)=3?，

所以需=：>1，即/⑴<〃3),故不等式在(-3,3］上的3個整數解分別為-2,2,3,

所以，/(l)<r</(3),即/</<3/，故選：B

【點睛】方法點睛：用導數研究函數的零點，一方面用導數判斷函數的單調性，借助零點存在性定理判斷；

另一方面，也可將零點問題轉化為函數圖象的交點問題，利用數形結合來解決.

2.設函數在R上存在導函數/'(X),對任意實數x,都有〃x)=/(-x)+2x,當x<0時，r(x)<2%+l,

^/(2-fl)</(-fl)-4?+6,則實數。的最小值是()

A.1B.—1C.；D.—

22

【答案】A

【分析】構造函數g(x)=/(x)-f—x,根據等式〃x)=〃_x)+2x可得出函數y=g⑺為偶函數，利用導

數得知函數y=g(x)在(-8,0)上單調遞減，由偶函數的性質得出該函數在(0,+8)上單調遞增，由

f(2-a)<f(-a)-4a+2,得出g(2-a)Wg(-a),利用函數y=g(x)的單調性和偶函數的性質解出該不等

式即可.

【詳解】構造函數g(x)=〃x)--一x,對任意實數尤，都有〃x)=〃r)+2x,

貝！］g(x)=/(x)-^2-x=f［-x)-x2+2x-x=f(-x)+(-X)--(-x)=g(-x),

所以，函數,"g(x)為偶函數，，g(x)=g(W).

當尤<。時，g'［x)=<0,則函數y=g(x)在(一8,0)上單調遞減，

由偶函數的性質得出函數y=g(x)在(0,+8)上單調遞增，

/(2-A)</(-a)-4o+6,即/(2-a)-(2-a)2-(2-a)</(-a)-(-a)2_(_o)，

即g(2-a)<g(-a),則有g(|2-a|)<g(|a|),

由于函數y=g(x)在(0,+8)上單調遞增，，|2-4W4，即0-幻飛"，解得azl,

因此，實數。的最小值為1,故選A.

【點睛】本題考查函數不等式的求解，同時也涉及函數單調性與奇偶性的判斷，難點在于根據導數不等式

的結構構造新函數，并利用定義判斷奇偶性以及利用導數判斷函數的單調性，考查分析問題和解決問題的

能力，屬于難題.

3.定義域為R的函數“X)滿足〃T)=〃X)+2X,且當xNO時，f\x)>2x-1,則不等式

/(2x—1)-/(x)<3V—5x+2的解集為()

A.B.C.D.18,一/)口(1,+⑹

【答案】B

【分析】令g(x)=/(x)-x2+x,問題轉化為g(2x-l)<g(x).由〃-x)=/(x)+2x得g(r)=g(x),即g(x)

為偶函數；結合r(x)>2x-1可知g(x)在(o,+e)上單調遞增，在(-8,0)上單調遞減.根據函數g(x)的單調

性和奇偶性求出不等式g(2x-1)<g(x)的解集即可.

2

【詳解】^g(x)=f(x)-x+x.

f(-x)=f(x)+2x,:.g(-x)=f(-x)-xi-x=f(x)+2x-x1-x=g(x),：.g(x)為R上的偶函數.

,當xNO時，/,(x)>2x-l,g〈尤)=—(x)-2x+l>0,

所以g(X)在(0,+e)上單調遞增，在(e,O)上單調遞減.

由f(2X-1)-/(J;)<3x?-5x+2得+(2x-l)</(x)-/+x,

即g(2x—1)<g(x),所以|2x-1<W,即(2x-</，解得g<x<i,即不等式/(2x—1)-/(x)<3——5x+2

的解集為

故選：B.

【點睛】構造輔助函數是高中數學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，

設法構造目標函數，通過研究函數的單調性、最值等問題，進而解決不等式、方程及最值之類問題.準確構

造出符合題意的函數是解題的關鍵.本題解題關鍵為構造函數g(x)="x)r2+x,研究函數g(x)的奇偶性和

單調性，從而求解不等式.

4.已知函數“X)對任意尤eR滿足〃x)=〃-4-x),任意“x2€(-00,-2],且工產超，都有

/"'二，_々)>0,則不等式〃2A2)>〃X+1)的解集是()

A.(―8,—l)u(3,+8)B.(―e,—1)

C.(3,+力)D.(-1,3)

【答案】D

【分析】判斷函數的對稱性和單調性，由此化簡不等式〃2x-2)>〃x+l)并求得不等式的解集.

【詳解】依題意，函數/(x)對任意XCR滿足〃尤)=/(Tr),

所以/(x)關于直線x=-2對稱.

由于任意與X2G(-^,-2],且x產馬，都有"為)一"T-x?)=->0,

玉一馬玉一%2

所以/(X)在(F，-2]上單調遞增，則/(X)在(-2,+8)上單調遞減，

所以由/(2x-2)>/(x+l)可得1(2元_2)_(_2)|<|(x+l)_(_2),

Bp|2x|<|x+3|,兩邊平方并化簡得％2-方-3=(x-3乂%+1)<0,

解得-L<x<3,所以不等式/(2x-2)>/(x+。的解集(-1,3).

故選：D

【點睛】易錯點睛：

對稱性理解不清：如果沒有準確理解函數的對稱性，可能會導致錯誤地推導不等式的解集.

不等式求解過程中的符號錯誤：在化簡過程中，可能會忽略符號導致最終解答不正確.

求解不等式時的步驟遺漏：在求解二次不等式時，遺漏了符號分析，導致錯誤的結果.

/、/、f|log7x|-m,0<x<2,

5.設機e(O,l),函數2<x<4有4個不同的零點4，%,Z，且玉<々<三<匕,

則4+4-26的取值范圍是()

石+工2

【答案】A

【分析】先求出函數的解析式，根據題意，由零點，可以得方程，然后常變量分離，構造函數，利用新構

造函數的對稱性，得到現，龍2，鼻，彳4之間的關系，再根據對數的運算性質，得到孫超之間的關系，這樣可以

把王土上絲化簡成關于七的代數式，最后利用換元法，基本不等式以及函數的單調性求出值域即可.

玉+x2

【詳解】當2cx<4時，有。<4-x<2,因此有/■(x)=/(4-x)=|log2(4-x)|-〃2,

所以函數的解析式為八)=f朦|log]9x)\|—一m,0犯<x2<2?4,

log9x\,0<x<2

由題意/(x)=0有四個不同的實數解，因此m=〈…有四個不同根,

log2x|,0<x<2

設函數g(x)=

log2(4-x)|,2<x<4

可知函數,=根的圖象與函數y=g(x)的圖象有四個不同的交點,

函數y=g(x)的圖象如下圖所示：

要想函數,二根的圖象與函數y=g(x)的圖象有四個不同的交點,必須有0<相<1,

止匕時有。<玉<1〈工2<2〈工3<3<工4，

再由/。)=/(4-%),結合圖象可知：y=g(%)函數是關于直線x=2對稱，

因此有玉+%4=%+%3=4,

由|1。82石|二|1。82%|可知一1。82%1=1。82冗2，即lOg2(%%2)=。，故石Z=1，

125、(4-％>+(4-％J?-264

玉+%2=%+—￡2,不，所以-------------------二(玉+冗2)+------------8，

X

2\Xi+X2再

^t=x1+x2.-.fe^2,-|^,令//(0=/+——8,函數在上單調遞增，

又/，(2)=-4,/7^]=-會，所以一4</7(。<一號.

、乙，，U1U

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：利用換元法轉化為對勾函數后，根據對勾函數的單調性求取值范圍，是解題的關鍵

所在，另外需注意其中數形結合的應用.

壓軸題型三：周期型

V滿分技法

1、f(x+a)=f(x+b),貝UT=|a-b|

2、f(x+a)=-f6)=即￡(x+a)+f(x)=0,貝打=2同

k

3、f(x+a)=±-----nf(x+a)?f(x)=±k,則T=2|a|

f(x)11

4、f(x)=f(x+a)+f(x-a)，則T=6a

周期函數特征，簡稱為“差定為期”。

5.正余弦型函數對稱性質，可類比正弦(或者余弦)簡潔記憶:

(1)倆中心(a,0),(b,0),T/2=|a-b

⑵倆垂直軸x=a,x=b,則T/2=|a-b|

(3)一個中心(a,0),一條軸x=b,則T/4=|a-b|

1.已知函數/(x)的定義域為R,『(尤+4)為偶函數,/(-x+2)為奇函數,且/(力在［0,2］上單調遞增，

則下列錯誤的是()

A./(2)=0

B.x=4為函數"X)圖象的一條對稱軸

C.函數/'(x)在［4,8］上單調遞減

D-/(1)</(7)

【答案】D

【分析】由/(—x+2)為奇函數可得了(—x+2)+/(x+2)=0,取x=0,即可判斷A；由“x+4)為偶函數

可得〃x+4)=〃f+4),即可判斷B；分析可得在［0,4］上單調遞增，結合B選項可判斷C；由

/(x+4)=/(-x+4),取*=一3,即可判斷D.

【詳解】A選項，因/(T+2)為奇函數,則/(-x+2)+/(x+2)=。,

令x=0,得"(2)=0,可得"2)=0,故A正確；

B選項，因/(x+4)為偶函數,則〃x+4)=/(-x+4),

即x=4為函數/(x)圖象的一條對稱軸，故B正確；

C選項，由+2)+7(x+2)=0,得(2,0)為圖象的一個對稱中心，

又/(x)在［0,2］上單調遞增，則〃x)在［2,4］上單調遞增，

所以“X)在［0,4］當單調遞增，

又由B選項可知函數f(x)在［4,8］上單調遞減，故C正確；

D選項,由B選項，/(x+4)=/(-x+4),令13,可得〃1)=/⑺,故D錯誤.

故選：D.

2.若定義在R上的函數滿足了(x+2)+〃x)=0J(2x+l)是奇函數，=設函數

g(x)=xf(x-^\,貝ljg(l)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)=()

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】根據條件判斷抽象函數的周期，對稱性，根據周期性和對稱性求函數值，再代入求和.

【詳解】根據題意，定義在R上的函數“X)滿足/(x+2)+/(x)=0,

則“x+4)=-/(x+2)=/(x),故函數為周期函數，4是函數“X)的一個周期.

因/(2x+l)是R上的奇函數，貝l］/(-2x+l)+/(2x+l)=0,f(x)的圖象關于點(L0)對稱,

于是植+同=。,唱+小"圖+小+。,

在/(x+2)+/(x)=0,=得+=因g(x)=#(x-g),

13579

則g⑴+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)=/(-)+2/(-)+3/(-)+4/(-)+5/(1)

乙乙乙乙乙

=5/(|)=5/(4+1)=5/(1)=5.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用賦值，賦變量，轉化抽象關系式，判斷和利用函數的周期性和對

稱性解題.

3.已知可導函數的定義域為為奇函數，設g(x)是“X)的導函數，若g(2x+l)為奇函數，

110

且g@=：，則￡h(2Q=()

2k=i

、1111-13-13

A.一B.----C.——D.-----

2222

【答案】B

【分析】由7色-1]為奇函數，結合導數運算/'(x-1)=/'(T-1),由g(2x+l)為奇函數，得到

g(x+l)+g(-x+l)=0,通過整理可得g(x+4)=-g(x),進而分析得至Ug(8左+2)=g(8k+4)=-(

g(8Z+6)=g(8左+8)=g/eZ,從而得出結果.

[詳解]為奇函數，二/|^_1)=_/[一5_1]

BP/(x-l)=-/(-^-l),兩邊求導得廣(x-l)=/'(T-l),

則g(x-l)=g(—x-l),可知g(尤)關于直線x=-l對稱，

又g(2x+l)為奇函數，所以g(2x+l)+g(—2x+l)=0,

即g(x+l)+g(-x+l)=0,可知g(x)關于直線(1,0)對稱，

令彳=1,可得g(2)+g(0)=0,即g(2)=_g(0)=-：,

由g(xT)=g(rT)，可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(-x+l)=。，可得g(x)+g(-x+2)=0,BPg(x)=-g(-x+2),

可得g(-x—2)=-g(—尤+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g?=-；；令x=2,可得g6=-g⑵=g；

且g(x+8)=-g(x+4)=-[-g(x)]=g(x),可知8為g(x)的周期.

可知g(8左+2)=g(8%+4)=—g,g(8左+6)=g(8左+8)=g,左eZ,

101111

所以￡%g(2左)=一(1+2+5+6+9+10)+—(3+4+7+8)=——.

t=\222

故選：B.

【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中

根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題.

C1>12023

4.已知函數/(x)的定義域為R,且7'(尤+2)+/(尤)=/(0)](2無+1)為奇函數，/!-!=-,則=

()

20232023

C.D.

22

【答案】B

【分析】首先根據/(》+4)=/。)求出/。)的一個周期為4,由/(2x+l)為奇函數求出函數"X)的圖象關于

點(1,0)對稱，然后求解即可.

【詳解】由f(x+2)+f(x)=/(0),</(x+4)+/(x+2)=/(0),

所以/(%+4)=/(元)，所以/(x)的一個周期為4.

由f(x+2)+/(x)"(0),令x=0,則有/⑵+/(。)=/(0),所以42)=0.

因為/(2x+l)為奇函數，所以/(一2x+l)=-/(2尤+1),所以/(一x+l)=-/(x+1),

所以函數/(x)的圖象關于點(L0)對稱，

所以〃2)=/(0)=0,,所以/(x+2)=-/(x),

令x=；，則小31+13

即/

2

令X=:,則/

2

3137

令犬=；,則/0,

222

又因為/(x)的一個周期為4,所以

20232n-]3

Zf+/

n=l2

+/

故選：B.

2025

5.已知函數的定義域為R,且〃x+2)+〃x)=0,5(x+l)為奇函數,fi,則￡燈

k=\

()

A.2025B.-2025C.4050D.-4050

【答案】A

【分析】通過條件可得/(x)是周期為4的函數，由/(x+1)為奇函數得/(-x+l)=-/(x+1),通過給不賦

值可計算出了,利用函數的周期性可得結果.

【詳解】因為/(%+2)+。(￡)=。0,所以〃x+2)+〃x+4)=0,

所以/(H=/(x+4),所以〃x)的周期為4,

因為『(X+1)為奇函數，所以/x+l)=—/(X+1)②

令尤=；,由②得了

1,所以7-1，

1

①中令x=0,所以了-1，

r得/出2+了

令尤=|，得/圖3+63+2卜0,所以7

=1,

22

綜上，f(4m+^\=f=l,fUm+||=

5=-l,f(4m+^\=

/(4m+i=meZ,

所以(4m+l)/f4m+；)+(4m+2)/14/w+：3|+(4〃z+3)/14m+g5|+(4"?+4)/f4m+g7

222

=(4m+l)xl+(4m+2)x(-l)+(4m+3)x(—l)+(4m+4)xl=0,

2025

由函數的周期性得,=506x0+2025/12025-1=20252024+1=2025/2025.

k=\

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題求出特殊值的函數值及周期后，關鍵在于發現

(4機+l)/(4m+，+(4%+2)/(4/n+|J+(4/7i+3)/(4m+g]+(4m+4)/(4m+3為常數，據此4個相鄰項

和為一組，利用周期即可得解.

壓軸題型四：雙函數型

V，滿分技法

“雙函數”

雙函數常規思維：是依賴單調性、中心對稱性、周期性來推導函數。

雙函數實戰思維：

1.雙函數各自自身對稱性

2.形如g(x)=a-『(x+b)+c。借助數形結合，f(x)的性質，可以傳遞給g(x)。

3.形如f(x)=m?/(x+n)+h,與g(x)=a?/(x+b)+c,可以借助函數方程消去一個，剩余另一個函數,

再借助函數性質得到圖像特征。

L已知函數/(x),g(x)的定義域均為RJ(x+l)的圖象關于x=-l對稱，g("l)+l是奇函數，且

g(x)=/(x+2)+4,/(4)=-3,則下列說法正確的有()

A./(x)=/(-x)B.g(-l)=O

2023

C.g⑵=1D.￡g(i)=-2021

4=1

【答案】ACD

【分析】A選項，根據/(尤+1)的圖象關于X=-1對稱，所以/(X)關于y軸對稱，故"X)=〃-x),A正確；

B選項，由奇函數性質得到g(0-l)+l=0,故g(-l)=-l,B錯誤；CD選項，由題目條件得到

g(-x-l)+g(x-l)=-2,結合一x)=/(x)得至Ug(x_3)=g(_x_l),故g(x-3)+g(x—l)=—2,推出

g(x)=g(x+4),得到周期，賦值法得到g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=Y,g(2)=〃4)+4ng(2)=l,并利

2023

用周期求出?＞。)=-2021.

Z=1

【詳解】A選項，因為〃X+1)的圖象關于x=-l對稱，所以“X)關于y軸對稱，

故/。)是偶函數,則/⑺="-x),故A正確；

B選項，因為g(x-l)+l是奇函數，所以g(O—1)+1=。，即g(-l)=-l,故B錯誤；

CD選項，由g(-x-l)+l=-[g(x-l)+l]ffg(-x-l)+g(x-l)=-2,

又g(x)=f(x+2)+4,所以〃x)=g(x_2)_4,X/(-x)=/(x),

即g(x-2)—4=g(—彳—2)—4,即g(x—2)=g(一無一2),貝｝|g(x-3)=g(一尤一1),

所以g(x-3)+g(x-l)=-2,所以g(x)+g(x+2)=_2①，

即g(x+4)+g(x+2)=-2②，

②-①得g(x)=g(x+4),所以函數g(x)的周期為4,

令x=l,由g(x)+g(x+2)=-2,得g⑴+g⑶=-2,

再令x=2,貝ljg(2)+g(4)=—2,所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=T,

又〃4)=一3,由g(2)=〃4)+4ng(2)=l,

2023

所以Xg(i)=g⑴+g(2)++g(2023)=505x(-4)+g⑴+g(2)+g(3)

Z=1

=-2020+(-2)+1=-2021,故C,D正確.

故選：ACD.

2.已知定義在R上的函數,g(x)滿足〃3—x)=〃l+x),g(2-x)+g(x)=2,+="2x)+1,

則下列結論正確的是()

A./(6-x)=/(6+x)B.g(x+2)=g(x)C./(6-x)+/(x)=0

24

D.Z[〃i)+g⑺]=48

Z=1

【答案】ABC

【分析】根據題意將g(x)全部轉為〃x),可得〃3T)+〃XT)=0,再結合題意分析可得/(久+2)=

-fix),進而可得“》+4)=/(力，〃6—力="6+尤)，/(6-"+外力=0,即可判斷AC；結合周期性分

析可得g(x+2)=gQ),即可判斷B；根據題意分析可得/⑴+/⑵+/⑶+/⑷=0,g(l)+g(2)=2,

結合周期性判斷D.

【詳解】因為g[x+g)=/(2x)+l,即g(x)=/(2x—l)+l,

又因為g(2-x)+g(x)=2,貝|/(2(2—x)—1)+1+/(2尤-1)+1=2,

可得〃3—2尤)+/(2尤-1)=0,Ep/(3-x)+/(x-l)=0,貝4(3—力=一〃-1+x),

又因為/(3r)=〃l+x),則一〃—1+尤)=/(1+0，

可得/(x+2)=-/(%),則f(x4-4)=-f(x+2)=/(%),

可知4為〃x)的周期，

由"3-x)=〃l+x),可得"7-x)=〃5+x),則"6-x)=〃6+x),故A正確；

由*3-x)=〃l+x),可得〃x)=〃4一x),

且fO+2)=-f(x),可得/(4—x)=-/(6-x),

則〃x)=—〃6-力，gp/(6-x)+/(x)=0,故C正確；

因為/(x+4)=/(x),則/(2尤+4)+l=/(2x)+l,

H.g(x)=/(2x-l)+l,貝ij+=+,

所以g(x+2)=g(x),可知2為g(x)的周期，故B正確；

由“6-無)+〃尤)=0,可得/(2)+/(4)=0,/(3)+/(3)=0,即"3)=0,

由〃3—x)+，(x—l)=0,可得〃1)+〃1)=0,即〃1)=0,

24

則/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=0,結合周期可得⑺=。，

i=l

又因為g(l)=/(l)+l=Lg(2)=/(3)+l=l,

24

可得g。)+g(2)=2,結合周期可得￡g(z)=24,

Z=1

242424

所以Z[/(i)+g(i)]=27(。+￡g1)=24,故D錯誤；

Z=1Z=1Z=1

故選：ABC.

【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中

根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題.

3.設/'(x)，g(x)都是定義在R上的奇函數，且/'(x)為單調函數，若對任意X6R有“g(x)-x)=a

(a為常數)，g(〃x+2))+g(〃x))=2x+2,貝|()

A.g(2)=0B.〃3)<3

C./(x)-x為周期函數D.￡/(的>2"+2〃

k=l

【答案】BC

【分析】對于A,在f(g(x)-x)=4中，令無=0得。=/(8(0))=〃0)=0,"力為單調函數,所以8(2-％=0；

對于B,由/(3)+/(1)=4,得"3)=4-〃1)<3,對于C,設Mx)=〃x)r,則由〃x+2)+〃x)=2尤+2,

可得〃(X+2)+/2(X)=0,對于D,由/2(X+4)=/2(X),得/(x+4)-尤一4=/(尤)一無，｛〃4研為等差數列，

且〃4)一〃0)=4,所以￡"44)=4義嗎R=2川+2%

k=l2

【詳解】在/(g(x)T)=a中，令x=0得a=/(g(O))"(O)=O,

所以/(g(x)-尤)=。，又為單調函數，

所以g(x)-x=0,即g(x)