高考大題專項練四高考中的立體幾何1.如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB∥平面AEC;(2)設(shè)AP=1,AD=,三棱錐PABD的體積V=,求A到平面PBC的距離.2.(2017湖北武漢五月調(diào)考)如圖,在四棱錐PABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形,E是BC的中點.(1)求證:AE∥平面PCD;(2)求四棱錐PABCD的體積.3.(2017山東,文18)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E⊥平面ABCD.(1)證明:A1O∥平面B1CD1;(2)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM⊥平面B1CD1.4.如圖,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,點E在A1D上.(1)證明:AA1⊥平面ABCD;(2)當(dāng)為何值時,A1B∥平面EAC,并求出此時三棱錐DAEC的體積.5.如圖所示,AB是圓O的直徑,點C是弧AB的中點,點V是圓O所在平面外一點,D是AC的中點,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求證:OD∥平面VBC;(2)求證:AC⊥平面VOD;(3)求棱錐CABV的體積.6.如圖,已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連結(jié)PE并延長交AB于點G.(1)證明:G是AB的中點;(2)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.7.如圖,三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱錐PABC的體積;(2)證明:在線段PC上,存在點M,使得AC⊥BM,并求的值.8.(2017天津,文17)如圖,在四棱錐PABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD⊥平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.答案：1.(1)證明:設(shè)BD與AC的交點為O,連接EO.因為四邊形ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點,所以EO∥PB.又EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解:V=PA·AB·AD=AB,由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H,由題設(shè)知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.又AH=.所以A到平面PBC的距離為.2.(1)證明:∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中點,∴AD=CE.∴四邊形ADCE是平行四邊形,∴AE∥CD,又AE?平面PCD,CD?平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解:連接DE,BD(圖略),設(shè)AE∩BD=O,則四邊形ABED是正方形,∴O為BD的中點.∵△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA,又OA?平面ABCD,BD?平面ABCD,OA∩BD=O,∴OP⊥平面ABCD.∴VPABCD=S梯形ABCD·OP=(2+4)×2×=2.3.證明:(1)取B1D1的中點O1,連接CO1,A1O1,由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C.又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因為AC⊥BD,E,M分別為AD和OD的中點,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD,因為B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1?平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(1)證明:因為底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2.在△AA1B中,由A+AB2=A1B2,知AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.又因為AB∩AD于點A,所以AA1⊥平面ABCD.(2)解:當(dāng)=1時,A1B∥平面EAC.證明如下:連接BD交AC于O,當(dāng)=1,即點E為A1D的中點時,連接OE,則OE∥A1B,所以A1B∥平面EAC.設(shè)AD的中點為F,連接EF.則EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1,可求得S△ACD=.所以VEACD=×1×,即VDAEC=VEACD=.5.(1)證明:∵O,D分別是AB和AC的中點,∴OD∥BC.又OD?平面VBC,BC?平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)證明:∵VA=VB,O為AB中點,∴VO⊥AB.連接OC,在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.又AB∩OC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC?平面ABC,∴AC⊥VO.又VA=VC,D是AC的中點,∴AC⊥VD.∵VO?平面VOD,VD?平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解:由(2)知VO是棱錐VABC的高,且VO=.又點C是弧AB的中點,∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2.∴三角形ABC的面積S△ABC=AB·CO=×2×1=1,∴棱錐VABC的體積為VVABC=S△ABC·VO=×1×,故棱錐CABV的體積為.6.(1)證明:因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB⊥PD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點.(2)解:在平面PAB內(nèi),過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連接CG,因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中點,所以D在CG上,故CD=CG.由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面體PDEF的體積V=×2×2×2=.7.(1)解:由題設(shè)AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐PABC的高,又PA=1,所以三棱錐PABC的體積V=·S△ABC·PA=.(2)證明:在平面ABC內(nèi),過點B作BN⊥AC,垂足為N.在平面PAC內(nèi),過點N作MN∥PA交PC于點M,連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,從而NC=ACAN=.由MN∥PA,得.8.(1)解:如圖,由已知AD∥BC,故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP=,故cos∠DAP=.所以,異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)證明:因為AD⊥平面PDC,直線PD?平面PDC,所以AD⊥PD.又因為BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.(3)解:過點D作AB的平行線交BC于點F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于A