專題09二次函數圖像與幾何變換

1.（2021?蘇州中考）已知拋物線＞=/+依-廬的對稱軸在y軸右側，現將該拋物線先向右平移3個單位長度，再

向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經過坐標原點，則左的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

解：：拋物線y=x1+kx-廬的對稱軸在y軸右側，

,,.x=--＞0,

2

：.k＜0.

2

..,拋物線夕=/+依-廬=（x+K）2-至X

24

...將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線的表達式是：y=（x+X-

2

3）2-

4

2

...將（0,0）代入，得0=（0+A.-3）2-aL_+1,

24

解得左1=2（舍去），k2=-5.

答案：B.

2.（2020?陜西中考）在同一平面直角坐標系中，若拋物線〉=加/+2工-n與＞=-6x2-2x+m-n關于x軸對稱，則

m,n的值為（）

A.m=-6,n=-3B.m=-6,n=3C.m=6,n=-3D.加=6,n=3

解：:拋物線-幾與y=-6/-2x+m-n關于x軸對稱，

-y=-mx2-2x+〃,

.*.y=-mx2-2x+n與y=-6x2-2x+m相同,

-m=-6,n=m-n,

解得加=6,n=3,

答案：D.

3.（2021?資陽模擬）如圖是函數＞=N-2X-3（0WXW4）的圖象，直線/〃'軸且過點（0,m）,將該函數在直線

/上方的圖象沿直線/向下翻折，在直線/下方的圖象保持不變，得到一個新圖象.若新圖象對應的函數的最大

值與最小值之差不大于5,則m的取值范圍是（）

A.機三1B.%W0C.OWmWlD.加21或機WO

解：如圖1所示，當加等于0時，

?.>=（X-1）2-4,

，頂點坐標為（1,-4）,

當x—O時，y--3,

：.A（0,-3）,

當x=4時，y=5,

：.C（4,5）,

當m—0時，

D（4,-5）,

此時最大值為0,最小值為-5；

如圖2所示，當加=1時，

此時最小值為-4,最大值為1,

當時，最大值與最小值之差大于5,不合題意;

綜上所述：OW/MWI,

答案：C.

4.（2021?茂名模擬）如圖，把拋物線>=/與直線》=1圍成的圖形0/3C繞原點。順時針旋轉90°后，再沿x軸

向右平移1個單位得到圖形O1481Q,則下列結論錯誤的是（）

A.點Q的坐標是(1,0)

B.點Q的坐標是(2,-1)

C.四邊形。氏4bBi是矩形

D.若連接OC,則梯形0c4/1的面積是3

解：根據圖形可知：點。的坐標是(0,0),點C的坐標是(1,1).

因為把拋物線y=N與直線y=l圍成的圖形O/3C繞原點。順時針旋轉90°后，再沿x軸向右平移1個單位得

到圖形Q431C1，所以點。，C繞原點。順時針旋轉90°后,再沿x軸向右平移1個單位得到點Q的坐標是

(1,0),點Q的坐標是(2,-1),所以選項/,8正確.

根據點。(0,0),B(0,1),4(2,1),Bi(2,0)的坐標可得：四邊形02小約是矩形，選項C正確.

根據點O(0,0),C(1,1),小(2,1),Bx(2,0)的坐標可得：梯形0c山5的面積等于■1(1+2)義1=旦

22

W3,所以選項。錯誤.

答案：D.

22

5.(2020?貴港中考)如圖，對于拋物線為=-x2+x+l,y2=-x+2x+\,y3=-x+3x+l,給出下列結論：

①這三條拋物線都經過點C0,1)；②拋物線為的對稱軸可由拋物線為的對稱軸向右平移1個單位而得到③

這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線y=l的交點中，相鄰兩點之間的距離相等.其中

正確結論的序號是①②⑷.

解：①當X=0時，分別代入拋物線為，＞2，為，即可得為=刃=丁3=1；①正確;

②為=--+x+l,,3=-/+3尤+1的對稱軸分別為直線X=LX——,

22

由X=上向右平移1個單位得到X=3,②正確；

22

③為=-x2+x+l=-(x--)2+—,頂點坐標(工—),

2424

歹2=-N+2x+l=-(x-1)2+2,頂點坐標為(1,2)；

為=-/+3工+1=-(%-旦)頂點坐標為(3,-1^-),

2424

???頂點不在同一條直線上，③錯誤；

④當y=1時，貝！J-/+%+1=1,

?\x=0或x=l；

-N+2X+1=1,

.,.x=0或x=2；

-/+3工+1=1,

.*.x=0或x=3；

,相鄰兩點之間的距離都是1,④正確；

答案：①②④.

6.(2021?徐州模擬)已知二次函數的圖象經過點尸(2,2),頂點為。(0,0)將該圖象向右平移，當它再次經過

點P時，所得拋物線的函數表達式為"=L(X-4)2.

2

解：設原來的拋物線解析式為：了=辦2(aNO).

把尸(2,2)代入，得2=4°,

解得a.

2

故原來的拋物線解析式是：、=L2.

2

設平移后的拋物線解析式為：y=L(x-b)2.

2

把P(2,2)代入，得2=工(2-6)2.

2

解得6=0(舍去)或6=4.

所以平移后拋物線的解析式是：了=工(x-4)2.

2

答案：產工(X-4)2.

2

7.(2021?瀘州模擬)如圖，拋物線的頂點為尸(-2,2),與y軸交于點/(0,3).若平移該拋物線使其頂點尸沿

直線移動到點P(2,-2),點N的對應點為N',則拋物線上尸/段掃過的區域(陰影部分)的面積為

12

由題意可得出：AP//A'P',AP=A'P',

四邊形ZPPA1是平行四邊形,

???拋物線的頂點為尸（-2,2）,與夕軸交于點N（0,3）,平移該拋物線使其頂點尸沿直線移動到點P（2,-

2）,

.1.PO=^22+22=272-ZAOP=45°,

又

/\ADO是等腰直角三角形，

J.PP'=2如X2=4正

.*./D=OO=sin45°?ON=Y^X3=^Z1,

22_

拋物線上尸/段掃過的區域（陰影部分）的面積為：4&xW返=12.

8.（2021?大連模擬）如圖，拋物線y=x2+6x+9與y軸相交于點）,與過點/平行于x軸的直線相交于點8（點8

2

在第一象限）.拋物線的頂點C在直線上，對稱軸與X軸相交于點D.平移拋物線，使其經過點N、D,則平

移后的拋物線的解析式為y=x2-9x+9.

2-2一

...拋物線的對稱軸為了=-2，直線0B的解析式為y=-Ax

22b

?.?拋物線的頂點C在直線0B上，

.,.〉=旦

4

，頂點c的縱坐標為工x9=9,

224

4X14

解得仇=3,b?=-3,

由圖可知，＞0,

2X1

:.b=-3,

對稱軸為直線x=--3=3,

2X12

...點。的坐標為（3,o）,

2

設平移后的拋物線的解析式為了=/+心無+〃,

n=y

則4CC,

93c

42

f9

解得1，

所以，y=N-3+9.

22

答案：＞=/--x+.iL.

22

9.（2021?荷澤模擬）如圖，一段拋物線：y=-x（x-2）（0W尤W2）記為Q,它與x軸交于兩點。，小；將Ci繞

4旋轉180°得到。2，交x軸于42；將。2繞42旋轉180°得到。3，交x軸于小；…如此進行下去，直至得到

...配方可得y=-（X-1）2+1（0WxW2）,

，頂點坐標為（1,1）,

.?.41坐標為（2,0）

VC2由Ci旋轉得到，

.,.04=4/2，即。2頂點坐標為（3,-1）,A2（4,0）；

照此類推可得，C3頂點坐標為（5,1）,A3（6,0）；

。4頂點坐標為（7,-1）,A4（8,0）；

C5頂點坐標為（9,1）,A5（10,0）；

。6頂點坐標為⑴，7），4（⑵0）；

??rn~~~1.

答案：-1.

2

10.（2021?湖州模擬）如圖，已知拋物線Cl：y=aix+blx+cl?C2：［=償—+如+該都經過原點，頂點分別為4

B,與x軸的另一交點分別為M,N,如果點/與點2,點〃與點N都關于原點。成中心對稱，則稱拋物線。

和。2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線Q和。2,使四邊形/沖“恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解

析式是反2+2、反和丫=、后2+2心（答案不唯一）.

解：連接

根據姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項的系數互為相反數，一次項系數相等且不等于零，常數項都是

零，

設拋物線C1的解析式為>="2+8，

根據四邊形Mvaw恰好是矩形可得：OA^OM,

'：OA=MA,

是等邊三角形，

設（W=2,則點/的坐標是（1,、/5）,

則[后a+b,

[0=4a+2b

解得:

（b=2V3

則拋物線Q的解析式為y=-??+2/不，

拋物線C2的解析式為〉=《市2+2小，

答案：y--、石：2+2<§1,y=（答案不唯一）.

11.（2021?荊州中考）小愛同學學習二次函數后，對函數y=-（|x|-1）2進行了探究.在經歷列表、描點、連線

步驟后，得到如圖的函數圖象.請根據函數圖象，回答下列問題:

(1)觀察探究：

①寫出該函數的一條性質：函數圖象關于V軸對稱；

②方程-(|x|-1)2=-I的解為：x=-2或無=0或x=2；

③若方程-(慟-1)2=。有四個實數根，則a的取值范圍是-K0.

(2)延伸思考：

將函數y=-(兇-1)2的圖象經過怎樣的平移可得到函數為=-1)2+3的圖象？寫出平移過程，并

直接寫出當2<yiW3時，自變量x的取值范圍.

解：(1)觀察探究：

①該函數的一條性質為：函數圖象關于y軸對稱；

②方程-(|x|-1)2=-1的解為：x=-2或x=0或x=2；

③若方程-(|x|-1)2=°有四個實數根，則0的取值范圍是-

答案：函數圖象關于y軸對稱；x=-2或x=0或x=2；-l<a<0.

(2)將函數y=-(|x|-1)2的圖象向右平移2個單位，向上平移3個單位可得到函數為=-(|x-2|-1)2+3

的圖象，

當2<勿?3時，自變量x的取值范圍是0<x<4且xW2.

-O-

5

/、

1\

/\

i；-Z1?)

/r\

//-2\

!

1-4

-j

12.(2020?安徽中考)在平面直角坐標系中，已知點/(1,2),B(2,3),C(2,1),直線y=x+機經過點力,拋

物線y=ax2+bx+l恰好經過/,B,C三點中的兩點.

(1)判斷點2是否在直線y=x+%上，并說明理由；

(2)求a,b的值；

(3)平移拋物線〉=。/+/+1,使其頂點仍在直線y=x+機上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最大

值.

解：(1)點3是在直線y=x+/w上，理由如下：

?.?直線y=x+機經過點/(1,2),

解得加=1,

直線為y=x+l,

把x=2代入y=x+l得y=3,

:.點、B(2,3)在直線y=x+/M上；

(2)..,直線y=x+l經過點2(2,3),直線y=x+l與拋物線了=0%2+公+1都經過點(0,1),點(0,1),A

(1,2),B(2,3)