重難點專題10導數與不等式恒成立九大題型匯總

dan

題型1直接求導型................................................................1

題型2端點賦值法................................................................2

題型3隱零點型..................................................................3

題型4分離參數法................................................................5

題型5分離參數法-洛必達法則....................................................5

題型6構造輔助函數求參..........................................................6

題型7絕對值同構求參............................................................7

題型8函數取“整”型............................................................9

題型9“存在”成立問題.........................................................10

u(1,+00)

(1)求函數f(%)在點處的切線方程；

(2)若g(x)=—標且VxeD,/(幻冷⑴恒成立，求a的取值范圍.

【變式1-111.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中校考階段練習)已知函數fQ)=2ln%-1

mx2+l(meR).

⑴當m=1時,證明：/(%)<1;

(2)若關于x的不等式f(久)<(m-2)x恒成立，求整數6的最小值.

【變式1-1]2.(2023秋?陜西西安?高三校聯考開學考試)已知函數/(x)=久2—小久也

x+1,nieR且m40.

(1)當小=1時，求曲線y=f(x)在點(1/(1))處的切線方程；

9

(2)若關于久的不等式八支)2丁恒成立，其中e是自然對數的底數，求實數小的取值范圍.

【變式1-1】3.(2023秋?重慶?高三統考階段練習)已知函數爪(X)=t?/+In*,n(%)

=1-1哈

(1)若函數F(x)=m(x)-n(x),討論當t=1時函數F(x)的單調性；

(2)若函數根Q)>2恒成立，求的勺取值范圍.

【變式1-1】4.(2023秋?云南保山?高三統考期末)已知函數f(%)=2ax-sinx.

(1)當a=1時，求曲線y=/(久)在點(0)(0))處的切線方程；

(2)當x〉0時，/(x)Naxcosx恒成立，求實數a的取值范圍.

題型2端點賦值法

1.端點賦值法(函數一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關重要的作用)

2.為了簡化討論，當端點值是閉區間時候，代入限制參數討論范圍.注意，開區間不一定

是充分條件.

有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論.

【例題2](2022?河南鄭州?統考一模)設函數/Xx)=Inx-p(x-l),p6R.

(1)當P=1時，求函婁好(久)的單調區間；

(2)設函數g(X)=W(x)+p(2%2一二一1)對任意1都有g(￡)v0成立,求p的取值范

圍.

【變式2-1】1.(2022秋?黑龍江雞西?高三校考階段練習)已知函數f(x)=1%2-(a+1)

x+alnx+1.

(1)若久=3是/(x)的極值點，求人久)的單調性；

(2)若f(x)>1恒成立，求a的取值范圍.

【變式2-1]2.(2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校考階段練習)設函數人久)=

(%+a)ex—1,已知直線y=2久是曲線y=f(久)的一條切線.

⑴求實數a的值；

(2)若不等式/(%)>t[x+ln(x+1)]對任意xG(-1,+8)恒成立，求實數t的取值范圍.

【變式2-1】3.(2023春?河南鄭州?高三鄭州外國語學校校考階段練習)已知函數

/(X)=21nx+bx.(a,b為實數)

(1)當匕=2時，求過點(0,-2)的f(x)圖象的切線方程；

(2)設g(x)=ei+,若gO)>0恒成立，求b的取值范圍.

【變式2-1]4.(2023?四川成都?校聯考二模)已知函數f(x)=-1+(fo-1)%+a在尤=0

處的切線與y軸垂直.(其中e是自然對數的底數)

(1)設g(x)=乎，xe(0,+8),當a=i時，求證：函數/(久)在Xe(0,+8)上的圖象恒在函

數g(x)的圖象的上方；

(2)Vx￡[0,+00),不等式2[eXf(x)—cosx]>ln(x+1)恒成立，求實數a的取值范圍.

題型3隱零點型

、I,I

駟包重直

1.導函數(主要是一階導函數)等零這一步，有根xo但不可解.但得到參數和xo的等量代

換關系.備用

2.知原函數最值處就是一階導函數的零點處，可代入虛根xo

3.利用xo與參數互化得關系式，先消掉參數，得出xo不等式，求得xo范圍.

4.再代入參數和xo互化式中求得參數范圍.

【例題3](2023秋?湖北隨州?高三隨州市曾都區第一中學校考開學考試)已知函數f(x)=a

%2+xlnx(aeR)圖象在點(1/(1))處的切線與直線％+3y=0垂直.

(1)求實數2的值；

(2)若存在keZ,使得f(x)>k恒成立，求實數k的最大值.

【變式3-1]1.(2023秋?四川成都高三樹德中學校考開學考試)已知函數/'(X)=ex-ax,

aER.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若當x>一1時，/(%)>ax,求a的取值范圍.

(3)若存在實數a、b,使得/'⑺+心.-5恒成立，求”6的最小值.

【變式3-1]2.(2022秋?江西撫州?高三臨JI|一中校考期中)已知函數/⑺=ex-ax,<p^

=/(%)+sin2%,(aeR),其中e?2.71828為自然對數的底數.

⑴討論函數f(x)的單調性，

(2)若aeN*,當％20時，9(%)N0恒成立時，求a的最大值.(參考數據：e3?20.1)

【變式3-113.(2023?福建泉州?校考模擬預測)已知函數/㈤=lnx-mx2+(l-2m)

X+1.

⑴若m=1,求/(久)的極值;

(2)若對任意久>0,/(x)W0恒成立，求整數m的最小值.

題型4分離參數法

【例題4](2023秋?江蘇鎮江?高三統考開學考試)已知函婁好(x)=Inx-+§(e為自

然對數的底數).

(1)求函婁好(久)在％=1處的切線方程；

x

(2)若/'(X)+x-|-l>ae~+Inx恒成立，求證：實數a<-1.

【變式4-1】1.(2023秋?廣東江門?高三統考階段練習)已知函數人久)=。—l)lnx—小

(%+1).

(1)若％=1是函數y=/(x)的極值點，求m的值；

(2)若對任意的久eg,+8),/(W>。恒成立，求實數m的取值范圍.

【變式4-1]2.(2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二O中學校考階段練習)已知函數

/(%)=2x3+3(1+m)x2+6mx(xGR).

(1)討論函數/(%)的單調性；

(2)若/(-1)=1,函數g(x)=a(ln久+1)-等W0在(1,+8)上恒成立，求整數a的最大

值.

【變式4-1]3.(2023秋?陜西西安?高三校聯考開學考試)已知函數/(無)=Inx—x+Q—2)

ex—m,mEZ.

(1)當加=1時，求曲線y=f(x)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若關于x的不等式久久)<。在(0,1]上恒成立，求小的最小值.

【變式4-1】4.(2023?江西?校聯考模擬預測)設函數f(久)=xlnx+1—a久；

⑴若f(久)>0恒成立,求實數a的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，證明：產5?1(條一b，

題型5分離參數法-洛必達法則

【變式5-1】1.設函數〃x)=^—lnx+ln(x+l).

(1)求八久)的單調區間和極值；

(2)是否存在實數亂使得關于x的不等式f(x)2a的解集為(0,+8)?若存在，求a

的取值范圍；若不存在，試說明理由.

【變式5-1】2.已知函數/(%)=e"曲線y=/(x)在點(盯,即)處的切線為y=g(x).

⑴證明:對于v比GR,)吐)>g(x);

(2)當％20時，/(久)21+署恒成立，求實數a的取值范圍.

題型6構造輔助函數求參

中一劃f<5

1.含有久1和冷型，大多數可以考慮變換結構相同，構造函數解決.

2.可以利用第一問的某些結論或者函數結構尋找構造的函數特征.

s/WWWWWVWWWVWWWWWWWWWWVWWWWWWVWWWWWWX/VWWWWWWWWWWVWWWWWWVWVWVWV'v

【例題6】(2023?四川宜賓?四川省宜賓市第四中學校校考三模)已知函數f(x)=aln

(久T)+#+Lg(x)=fQ)+A(-T).

(1)當a=—1時，求函數人嗎的極值;

(2)若任意打應e(1,+8)且小牛犯，都有吟管>1成立，求實數a的取值范圍.

【變式6-1]1.(2023春?江蘇揚州?高三揚州中學校考階段練習)已知函數f⑶=3+

(2—2d)ei—a(%+l)(a6R).

⑴討論/(%)的單調性;

x

(2)設g(x)=xe-In(ex)+mx,若a=1,且對任意小eR,x2e(0,+00),%2/(%1)+9(x2)>0

恒成立，求實數小的取值范圍.

【變式6-1]2.(2023秋?重慶渝北?高三重慶市渝北中學校校考階段練習)已知函婁好⑴=

1

2

112

-X4+aln(x-1),g(x)=/(x)+—--x+x.

(1)當a=—1時，求函數f(x)的極值;

(2)若任意打、*26(1,+8)且省中到，都有迎要瞥〉1成立，求實數a的取值范圍.

12,

--

【變式6-1】3.(2022?陜西西安?西安中學校考模擬預測)已知函數八%)-2Xla\

Inx,其中a>0.

(1)當a=1時，求函數y=/(%)在區間(0,e]上的最大值;

(2)若ae(o,3,證明對任意%i,%2e2(%iw冷)，八的)一/。2)<拒成立.

xl-xl

【變式6-1]4.(2021?甘肅嘉峪關?嘉峪關市第一中學校考三模)已知函數/(%)=ax2-

(aGR).

(1)若曲線y=f(%)在％=1處的切線與y軸垂直，求y=/'(%)的最大值；

(2)若對任意04久1W久2,都有f(%2)+冷(2-21n2)</(%1)+的(2-21n2),求a的取值

范圍.

題型7絕對值同構求參

1.含絕對值型，大多數都是有單調性的，所以可以通過討論去掉絕對值.

2.去掉絕對值，可以通過"同構"重新構造函數.

【例題7】(2023?上海徐匯?位育中學校考模擬預測)已知函婁好(%)=/-ax-a,aeR.

(1)判斷函數/(%)的奇偶性；

(2)若函數F(x)=x"(x)在x=1處有極值，且關于x的方程F(x)=爪有3個不同的實根，求

實數m的取值范圍；

⑶記g(x)=-e"(e是自然對數的底數).若對任意犯、牝e[0啟]且巧>久2時，均有

<|gQi)—9(犯)I成立，求實數a的取值范圍.

【變式7-1]1.(2022秋?天津北辰?高三校聯考期中)已知函數/'(X)=|x2-(a++In

x,其中a>0.

(1)當。=2時，求曲線y=/(乃在點(1/(1))處切線的方程；

(2)當a力1時，求函數f(x)的單調區間；

(3)若ae(0,1),證明對任意xi,*2€[Q](刈豐x2),皆二｝)1<姮成立.

【變式7-1】2.(2022秋?天津東麗?高三校考階段練習)已知函數f(x)=32-alnx+6

(awR).

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為3久-y-3=0,求實數a,6的值；

(2)當a=1時，/(%-()=/(%2),且工產％2，求證X?)+久2>2.

⑶若0<a4l,對任意巧，工2金(1,2],不等式(久2)佇機2恒成立，求小的取值

范圍；

【變式7-1]3.(2021?吉林長春?吉林省實驗校考模擬預測)已知函數/⑺=x—1—a\nx.

⑴討論函數/'⑺的單調性;

(2)若對任意X1,%26(。,1]都有1/(*1)一/(久2)1w|g(*i)—g(X2)l成立，其中。(無)=：且口<。,

求實數a的取值范圍.

【變式7-1]4.(2020秋?海南海口?高三校考階段練習)已知函數久久)=Inx-1ax2+x

(aER),g(%)=-2%+3.

(1)討論函數F(x)=f(x)+gag(x)的單調性；

(2)若一3WaW-l時,對任意當、X2G[1,2],不等式|八打)一汽冷)1W門以5)一9(久2)l恒

成立，求實數的勺最小值.

【變式7-1】5.(2021秋?山西長治?高三山西省長治市第二中學校校考階段練習)已知函

數/(x)=a—+21nx.

(1)若f(x)在(0,1]上的最大值為—2,求a的值；

(2)記g(x)=f(x)+(a-l)lnx+1,當aW-2時，若對任意小如e(0,+oo),總有

|g(%i)—g(X2)l2k\x1—x2\,求k的最大值.

題型8函數取“整”型

、I,匐百

即上塾量點

討論出單調性，要注意整數解中相鄰兩個整數點函數的符號問題1

【例題8】(2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學校考階段練習)已知函數/。)=2好

+3(1+m)x2+6mx(x6R).

(1)討論函數/(支)的單調性；

⑵若/(—1)=1,函數90)=。。—+1)-譬=0在(1,+8)上恒成立,求整數a的最大

值.

【變式8-1】1.(2023秋?寧夏銀川?高三銀川一中校考階段練習)已知函婁好(x)=2lnx-：

mx2+1(771eR).

(1)當6=1時，證明：/(X)<1；

(2)若關于x的不等式f(久)<(m-2)x恒成立，求整數小的最小值.

【變式8-1]2.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三校考階段練習)設函數f(x)=/—3a久2+3所

(1)若a=l,b=0,求曲線y=/O)在點(1)(1))處的切線方程；

(2)若0<a<b,不等式((警)>/9)對任意xe(l,+8)恒成立，求整數k的最大值.

【變式8-1]3.(2023?廣西桂林?校考模擬預測)已知函數/(無)=備—ln(x+a).

(1)討論函數g(x)=/(%)-高的單調性；

(2)若a=l,且存在整數k使得(Q)>k恒成立，求整數k的最大值.

(參考數據：ln2=0.69,ln3=1.10)

【變式8-1]4.(2022秋?云南?高三云南民族大學附屬中學校考期中)已知函婁好(久)=In

%+mx(meR).

⑴討論函數-x)的單調性；

(2)若m為整數,且關于x的不等式久久)<決2+(2m_1)x_1恒成立，求整數小的最小

值.

題型9“存在”成立問題

⑴證明:當久>0時,f(x)>o恒成立;

(2)若關于x的方程y+5=asinx在(0次)內有解，求實數a的取值范圍.

【變式9-1】1.(2023秋?內蒙古赤峰?高三統考開學考試)已知函數f(x)=詈，xe

(0,E，是f(%)的導函數.

(1)證明：((%)存在唯一零點；

(2)若關于x的不等式尸(久)+J+a<0有解，求a的取值范圍.

【變式9-1】2.(2023?全國?高三專題練習)設函數f(x)=(a—a2)x+ln久—§(aeR).

⑴討論函數-x)的單調性；

(2)當a=1時，記以久)=%/(%)+%2+1,是否存在整數t,使得關于x的不等式tNg(x)有解？

若存在，請求出t的最小值；若不存在，請說明理由.

【變式9-1】3.(2022?遼寧?校聯考一模)已知函數久久)=%3——$也。+久+i,ae

[-/'

(1)討論函數/(均的單調性；

(2)證明：存在ae[—巳4，使得不等式/(%)>/有解(e是自然對數的底).

LoZJ

【變式9-1]4.(2022秋?北京?高三北京市第十二中學校考階段練習)已知函婁好(%)=1(

x2+ax+a).

(1)當a=l時，求函數/0)的單調區間：

(2)若關于X的不等式外支)We0在口+8)上有解，求實數a的取值范圍；

(3)若曲線y=f(x)存在兩條互相垂直的切線，求實數a的取值范圍；(只需直接寫出結果)

【變式9-1】5.(2022?北京海淀-101中學統考模擬預測)設函數fO)=lnx+?

,g(x)=ax—3.

(1)求函數a(x)=f(久)+g(X)的單調遞增區間；

(2)當a=l時，記八(久)=f(x)g(x),是否存在整數Z使得關于x的不等式24》伙久)有解?

若存在，請求出屈勺最小值；若不存在，請說明理由.

1.(2023?陜西商洛?鎮安中學校考模擬預測)已知函婁好(切=(x-l)e"廣⑶是f(久)的導

函數.

(1)設。(切=/")—9,證明：g(“)是增函數；

(2)當x>0時，rO)>alnQ+l)NT+an3—討亙成立，求實數a的取值范圍.

x

2.(2023?河南開封?統考三模)已知函數f(久)=e(%eR).

(1)若乂>0,函數/(x)的圖象與函數y=ax\a>0)的圖象有兩個公共點，求實數a的取值范

圍；

(2)若m1<n(m,neR)在％G(0,1)恒成立，求九一小的最小值.

3.(2023?福建廈門?廈門一中校考一模)函數f(x)=喈