北京二中2024-2025學年度高三年級第一學期開學測試

數學

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項）

1.已知全集0=區，集合"一’「卜一”"一3"°}和"=3'="一1*=12,…）的關系的韋恩

（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）

【答案】B

【解析】

【分析】由圖知，陰影部分所示的集合為MCN,根據條件求出M=利用集合的運

算，即可求解.

【詳解】由圖知，陰影部分所示的集合為MCN,

^,x2-2.r-3<0,得到-1W3,所以"=卜卜又N={x|x="-1,七=1,2,…）,

所以MCN=11.3},得到陰影部分所示的集合的元素共有:1個，

2.若加,〃是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若加uRalg,則沈_LaB.若則夕〃7

c若加J-A加〃％則a_L「D.若加〃a刀〃。，則加〃〃

【答案】c

【解析】

【分析】根據面面垂直的性質可判斷A,B；根據線面平行的性質以及面面垂直的判定定理判斷C；根據

線面平行的性質判斷直線的位置關系，可判斷D.

【詳解】對于A,若加<=夕。_1尸，則只有當初垂直于平面&夕的交線時，才有力_1_&,故A錯誤；

對于B,若aLxaip,則尸〃y或尸,y相交，B錯誤；

對于C,由a//a結合線面平行的性質可知在a內必存在直線////m,

a

ni

結合切1?，可得，_L1,又lua,故夕，c正確；

對于D,若加則加"或力內相交或異面，D錯誤，

故選：c

3.設"=1°83°4?=108439=尹4,貝|()

A.a<c<bb<c<aQa<b<cpZ><a<c

【答案】c

【解析】

【分析】借助指數函數與對數函數的單調性可得。、6、。范圍，即可得解.

【詳解】由a=log304<log31=0log.lvb=log.3<l*4即0<b=l,

c=304>3°=1,故a<b<c,

故選：c.

4.已知函數/(x)的定義域為R.當x<0時，/(-1?)=.^-1,當-14x41時，/(一1)=一/0)；當

》4時，勺則〃6)=

A.-2B.-1C.oD.2

【答案】D

【解析】

1-1、1、1

X>—/(*+—)=f(x--)X>—，/、

【詳解】試題分析：當2時：2“2,所以當2時,函數八X)是周期為1的周期函數,

所以S翱=翻：,又函數f(x)是奇函數，所以AD=-f(T)=-[(T)，故選D.

考點：函數的周期性和奇偶性.

5.定義在(一°°,田)上的任意函數,m都可以表示成一個奇函數目''I和一個偶函數"('，之和，如果

x

/(.x)=lg(10+l)xe(-^o,-Ko)那么()

l

Ag(x)=XA(.r)=lg(10+10-*+2)

Bg(x)=:[lg(10*+l)+x]A(x)=：[lg(10"+l)7

g(x)=：/?(->?)=1g(10*+1)-^

C.-?，i

/⑶==g)=W+叱

【答案】c

【解析】

/(x)-/(-x)/(*)+/(r)

g(x)=萬(x)=

【分析】構造奇函數,偶函數即可求解.

【詳解】根據題意,

/(x)-/(-x)/(x)+/(-x)

令g⑶，方

(x)0

/(x)-/(-x)/(.x)+/(-.x)

f(x)=t

則有0

所以

”+1

I1

/(x)/(x)lg(10+l)-lg(10-+l)lg"'+"Tg

x

k10x

g(x)=

*>9

/(x)+/(-x)Igfl^+O+lgflO-'+l)

力(x)=

7

10x+f

IgflO^lj+lg

101

=lg(10*+l)--

故選:c.

x+—<—2

6.設X為實數，貝uX<0a是“X”的

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

X+—4—2A'+--2

【分析】由“xVO”易得一I一一"，反過來,由“X”可得出“x<0”，從而得出"x<

x+—<-2

0”是“T”的充分必要條件.

1

x+—=-(-x)+—<-2

【詳解】若x<0,-x>0,貝U：X

1

”x<0"是”“的充分條件;

1CF+2X+1,C

X+-S-2----------<0

若X,則X

解得x<0；

x+-1S-2

”x<0”是”X”的必要條件;

+is-2

X

綜上得，“XVO”是“”的充分必要條件.

故選c.

【點睛】充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若夕則a”、“若g則P”的真假.并注意和圖示相結合，例如”為

真，則「是q的充分條件.

2.等價法：利用與非9=非P,4=P與非1=非4,與非非r的等價關系，對于條

件或結論是否定式的命題，一般運用等價法.

3.集合法：若A=3,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=3,則A是B的充要條件.

7.用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有

A.144個B.120個C.96個D.72個

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：根據題意，符合條件的五位數首位數字必須是4、5其中1個，末位數字為0、2、4

中其中1個；進而對首位數字分2種情況討論，①首位數字為5時，②首位數字為4時，每種情況下分

析首

位、末位數字的情況，再安排剩余的三個位置，由分步計數原理可得其情況數目，進而由分類加法原理，

計算可得答案.

解：根據題意，符合條件的五位數首位數字必須是4、5其中1個，末位數字為0、2、4中其中1個；

分兩種情況討論：

①首位數字為5時，末位數字有3種情況，在剩余的4個數中任取3個，放在剩余的3個位置上，有

A43=24種情況，此時有3x24=72個，

②首位數字為4時，末位數字有2種情況，在剩余的4個數中任取3個，放在剩余的3個位置上，有

A43=24種情況，此時有2x24=48個，

共有72+48=120個.

故選B

考點：排列、組合及簡單計數問題.

8.按照“碳達峰”、“碳中和”的實現路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現碳中和，到2060年，純電動汽

車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬勃發展的風口.Pe成e”于1898年提出蓄電

池的容量C（單位：Ah）,放電時間，（單位：h）與放電電流/（單位：A）之間關系的經驗公式：

C=rt,其中〃為Pe跟err常數，為了測算某蓄電池的Pewte"常數"，在電池容量不變的條件下，當

放電電流/=20A時，放電時間f=20h；當放電電流1=30A時，放電時間，=10h.則該蓄電池的

人"h%常數"大約為（）（參考數據：電？*°30,Ig3a048）

458

A.3B.3C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意可得C=20*20,C=30-10,兩式相比結合對數式與指數式的互化及換底公式即

可得出答案.

【詳解】解：根據題意可得°=20*,20,c=3（r10,

20*20_1f2Y=_1_

兩式相比得30"10一，即⑸

111rlg2lg20.35

12月起Ig3-lg20.48-0.33

所以2

故選：B.

9.已知定義在R上的函數丁滿足：函數力"一"的圖象關于直線x=l對稱，且當

'"8,0）時，/（X）+于（x）<o成立是函數了（、1的導函數），若"-1n6）《"6）,

_cj]1、

b=（ln>〃ln2）,（'同，則°,6,。的大小關系是（）

A.a>b>cB,b>a>cc_c>a>bD.a>c>6

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意可知函數丁=/（”是偶函數，構造函數g（x）=?l/（x）,可知函數g（x）是奇函數并得

到在X€（0,+8）的單調性，然后利用函數的單調性比較大小，簡單判斷可得結果.

【詳解】由題可知：函數】'=?"、一1）的圖象關于直線*=1對稱

所以函數J=?"*關于直線X=0對稱，即函數丁=7U）是偶函數

令g（x）=V（*）,g'（x）=/（.T）+礦（x）

又當xes⑼時，/（“）+夕（、）<°成立

所以函數g"）在（-8,0）單調遞減，又函數g（X）為奇函數，

所以該函數在（。，+8）為單調遞減

6=(ln2)/(ln2)=g(ln2)

1,、，、

c=Flogl4=2/2=g2

I24J

2>In2>In^=—

由2

所以a>b>c

故選：A

【點睛】本題考查構造函數，利用函數的單調性比較式子的大小，熟悉一些常見的函數的導函數，比如如

_/(.X)/(X)

g°g(x)=d/。)，gW=~T,g(x)=va),屬中檔題.

x2+(4a-3)x+3a,.x<0,.八

y（x）=,；；,(a>0

logjx+l)+l,.v>0,且a=D在心，”)上單調遞減，且函數

10.已知函數

g(x)=|/(x)|+x-2恰好有兩個零點，則。的取值范圍是（

1、|3|「A1.-U⑶（0,°-'3

A.b3JWB.b3jUWcA3」D.LS4j

【答案】A

【解析】

【分析】利用函數/（X）是R上的減函數求出a的范圍，再在同一直角坐標系中，畫出函數丁和

函數丁=2-x的圖象，根據方程［門口卜？-'的根的個數數形結合，從而可得出答案.

【詳解】因為函數J（川是區上的減函數,

<0<。<1

2

0+（4。-3）0+3a>logfl1+11<］<3

則〔，解得3--4,

函數g⑺=|/（x）|+xY恰好有兩個零點,即方程『⑴卜2-'恰好有兩個根,

如圖，在［°,9）上方程/⑺卜27恰好有一解，

所以在B⑷上，方程|/（"）卜？一?'有且僅有一解，

當3。>2即",彳時，由J+（4a-3）x+3"2-x,

即『+（4a-2）x+3a-2=O,x<o,則A=（4a-2）'-4（3a-2）=0,

=2

解得一［或1（舍去），

_3

當一不時，經檢驗符合題意；

12

一V。0—

當即33時，由圖象知符合題意.

3—5

綜上，。的取值范圍是1_3'3一4

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是函數的零點問題轉化為函數圖象得交點，數形結合解決.

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.已知甲盒中有3個白球，2個黑球；乙盒中有1個白球，2個黑球.若從這8個球中隨機選取一球，該

球是白球的概率是；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白

球的概率是.

7

【答案】①.5##0.50.15

【解析】

【分析】根據古典概型的計算公式及全概率的計算公式直接得解.

4=L

【詳解】根據題意，從這個8個球中隨機選取一球，該球是白球的概率是￡=5；

設“取出甲盒”為事件4,“取出乙盒”為事件4,“取到的球是白球”為事件

則⑷尸（4）+尸（卻4）口4）

所以從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是1"

1_7_

故答案為：2；15.

12.若（x-2）'=q、'+aK+%/+4x+4,則&=；%+%+%.

_40

【答案】①.16②.41

【解析】

【分析】借助賦值法，分別令》=0、、=1、、=-1計算即可得.

［詳解］令x=0,可得(°_2)'=4,即期=?=16,

令X=l,可得(1-2)'=%+q+4+4+4,即q+4+%+q+4=(-l『=l,

令可得+生一+《.，0

x=—l,(T-2)'=q_q4gp*~03+a2-al+aQ=(-3)=81

貝ij(4+%+&+q+q,)+(q-%+4-q+a0)=2(a4+a,+a0)=1+S1=82

即2+@+4?彳?41,貝代+/=l-(q+%+/)=1-41=-40,

%+為_40

故％+出+。441

_40

故答案為：16；41.

13.已知直線=0與圓+』+4x_2y=0相交，能說明，，直線y-y+m=0截圓

cf+.F+41-=o所得弦長不小于：J3，，是假命題的一個加的值為.

【答案】0(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據題意，利用直線與圓的位置關系和圓的弦長公式，列出不等式，求得實數巾取值范圍，進

而得到答案.

【詳解】由圓C：F+V+41--y=0，可得圓心0(-2,1),半徑為r=5

因為直線x-】'+力=°與圓c相交，可得JF+(7)’,

解得3-麗＜巾＜3+而，

又由“直線x-J'+加=°截圓/+V+4x-4'=°所得弦長不小于2相”是假命題,

可得“直線?'-】'+加=°截圓0：f+V+4x-h=0所得弦長小于2百，是真命題，

則滿足即收才＜3,解得d＞5/2,

2-1+司J—

可得我+(一以，解得m＜1或力＞5,

綜上可得，3-J元＜a＜l或5＜加＜3+J元，

即實數a的取值范圍為而'」1°('3+如),

所以一個實數加的為可以為0.

故答案為：0(答案不唯一).

R尸-y-Ty=>0,6>0）

14.已知點,1、竹分別是雙曲線。2廿的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點尸，

滿足忙區卜但用L且6到直線因的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為.

[答案]4\±3丁=0

【解析】

[分析】設尸醫中點為M,由朋卜出訃2c，可得正壯尸也則MFX="，從而得到尸式,又根據雙曲

線的定義可得尸"一尸居二%,進而求出小匕,即可得到漸近線方程

【詳解】設咫中點為因為歸居卜I耳耳I=%,所以此為5到直線PFX的距離，即典=2a，則

MF】=2bPF[=4b

2b=a+c44

因為產兄一尸尸【二為,所以尸X=?a+?c,則=1_/,則3_]",則漸近線方程為]一±不，即

4x±3j=0

故答案為：4x±"=0

【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線的定義的應用，考查運算能力

15.已知函數-X,給出下列四個結論：

①函數,（工）是奇函數；

②VkeR,且上工0,關于x的方程/（、）-h=°恰有兩個不相等的實數根；

、力|AP|>-

③已知尸是曲線）'=/（*上任意一點，V-九貝W12；

④設M（X,M）為曲線】'=/W上一點，N（x*y,）為曲線”-/。）上一點.若N+訃】,則|網之L

其中所有正確結論的序號是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】對①：計算定義域即可得；對②：對左>0與左<0分類討論，結合二次函數求根公式計算即可

得；對③：借助兩點間的距離公式與導數求取最值計算即可得；對④：結合函數性質與③中所得結論即可

得.

【詳解】對①：令--h0,即有x（x+l）（xT）N°,即ic[T0]u]L同，故函數了（A不是奇函

數，故①錯誤；

對②："丫）一去=々一x--=0,即=h,

當x=0時，有J6-0=0,故0是該方程的一個根；

當IHO,八0時，由=h,故x>0,結合定義域可得

有f一x=即”?--凸?T）=0,

^_k2+yjk2+4*_爐_4戶+4

令/―卜、-]=0,A=t$+4>0,有x2或a2（負值舍去），則

二+正+4Q+y/Q+4,

x=--------->——=1

-1，

故V-/工-1=0必有一個大于1的正根，即/（X）=°必有一個大于1的正根；

當xwO,七<0時，由JF-X=H,故X<0,結合定義域有xe卜1,0）,

力丫_尸丫2.X（.T3-^3.V-l）=0

有1一工一（1，即Hn1/,

_M+4._M+4P+4

令/-k%-l=0,A=A/+4>0,有、2或12（正值舍去），

令/+4=（>4,即/="4,則

k'-Jk，+42J4I2）4

x=---------=-------=---------->----------=-11

）。）*>

L_-J人+4]]

即.一2,故『一左、一1=0在定義域內亦必有一根，

綜上所述，#eR,且上工0,關于尤的方程/（1）-6=°恰有兩個不相等的實數根，故②正確;

2

(-：--\AP?=(x+口+(Jx'_x)=A3+x+—

對③：令P(x?),則有丁一》，'V2J\，/4,

3

令g(X)='+丁+彳，xe[-l,o]u[l,+(?]；g'(X)=3.x+2.x=x(3.v+2),

(/o\

A-€-1.-^-u(l,+a))\xe-三,0，/

當I"時，g(x)>0,當IiJ時，g(x)<0,

故g("在I3)、(l,+8)上單調遞增，在I3J上單調遞減，

g(-l)=-l+l+—=—g(0)=0+—=—g(.T)^—|AP|3—|AP|^—

又44,44,故54恒成立，即??4,故??2,故③

正確；

____i_

對④：當網=與時，由xclTOluH”],卜1+引=L故''2,

當氣8%時，由J=/（X）與J'=關于X軸對稱，不妨設M<-T2,則有一1"七<與40或

-l<.x1<0<l<x3<2>

當-14&40<14/0一時，由4一\之再Al,有

MM=J（a-a7+（肘-$-網-巧）邛i-引Ni弘一

*，故成乂；

當-1S1]＜與S0時，即有與=1-M,

.（1Y1

A:x+-+v3=-

由③知，點M與點N■在圓V-）4上或圓外，

設點"（孫m）與點"的"）在圓上且位于x軸兩側,則MM卜I

故網之國叫=1；

綜上所述，1命61?1恒成立，故④正確.

故答案為：②③④.

【點睛】關鍵點點睛：結論④中的關鍵點在于借助結論③，結合函數的對稱性，從而得到當\、工都小

于零時，|MN|的情況.

三、解答題（共6小題，共85分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）

bM“曬

—=---cosZ=------

16.在△ASC中，a5,10.

（1）求證：△融。為等腰三角形；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求8的值.

小兀

乙B=—

條件①：6；

15

條件②：△月5（7的面積為2；

條件③：松邊上的高為3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【答案】（1）證明見解析；

（2）詳見解析.

【解析】

b回,加

【分析】（1）把a5轉化為邊a、b之間的倍數關系，把10轉化為三邊a、b、c之間的

關系，綜合可得證；

cosA=-

（2）條件①，與已知10矛盾，三角形無解，不可選；

條件②，通過三角形面積公式解得a,可使AMC存在且唯一；

條件③，通過轉化條件，可使△池C存在且唯一.

【小問1詳解】

b回'反

―=---b=---a

在△HBC中，由。5,可得5

-Jld2i2y/\Oci^/fo

cosA=---a=(----)+c-2x'x--c

則由10，可得5510

即(a-c)(3a+5c)=。，故有c=a

故AA?。為等腰三角形.

【小問2詳解】

Z5=-ZA=^C=—

選擇條件①：6時，由(1)知。=。，則有12,

.5萬.nn.#-0而■

cosX=cos—=cost—+—)=------*----

此時1264410,

與已知矛盾，三角形無解.不能選；

15

選擇條件②：△-必。的面積為2時，

710—一i“c3MVio3

cos-4=--——sinB=sin(/r-2A)=2sinJ4cos-4=JX-----x---=-

由10得，10105

l_x3j_15

故有25a2,解得a=5,c=5"H

三角形存在且唯一，可選.

選擇條件③：/山邊上的高為3.

JyQn.z'八、3\Zw">/W3

cos4=---sinB=sin(7r-2A)=2sinHeos4=JX----x---=一

由10得，10105

a=----=-=5

sin5￡

可得5,則有c=5p=M.

三角形存在且唯一，可選.

綜上可知:選擇條件②時，三角形存在且唯一，b二回.

選擇條件③時，三角形存在且唯一，方=亞.

17.改革開放40年來，體育產業蓬勃發展反映了“健康中國”理念的普及.下圖是我國2006年至2016年

體育產業年增加值及年增速圖.其中條形圖為體育產業年增加值(單位：億元)，折線圖為體育產業年增

長率(％).

口體育產業增加值-O-體育產業年增長率（％）

（I）從2007年至2016年隨機選擇1年，求該年體育產業年增加值比前一年的體育產業年增加值多50°

億元以上的概率；

（II）從2007年至2016年隨機選擇3年，設X是選出的三年中體育產業年增長率超過20%的年數，求

X的分布列與數學期望；

（III）由圖判斷，從哪年開始連續三年的體育產業年增長率方差最大？從哪年開始連續三年的體育產業年

增加值方差最大？（結論不要求證明）

【答案】（1）5；（II）詳見解析；（III）從比08年或2009年開始連續三年的體育產業年增長率方

差最大.從？014年開始連續三年的體育產業年增加值方差最大.

【解析】

【分析】（I）由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；

（II）由題意首先確定x可能的取值，然后結合超幾何概型計算公式得到分布列，然后求解其數學期望即

可；

（III）由題意結合方差的性質和所給的圖形確定方差的最大值即可.

【詳解】（I）設A表示事件“從2007年至2016年隨機選出1年，該年體育產業年增加值比前一年的體

育產業年增加值多500億元以上，，.

由題意可知，2009年，2011年，2015年，2016年滿足要求,

4。

F\A）,一,二

故105.

（II）由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,且

C)1C'C21

^*100；1；

簧喘R…皆若

所以X的分布列為:

X0123

11

P

6530

叱歐X)=Ox-+lx—+2>—+3x——=-

故X的期望6210305.

(III)從比08年或2009年開始連續三年的體育產業年增長率方差最大.從2014年開始連續三年的體育

產業年增加值方差最大.

【點睛】本題主要考查統計圖表的識別，超幾何概型計算公式，離散型隨機變量的分布列與期望的計算，

古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

18,已知在四棱錐尸-48。中，底面幺BCD是邊長為4的正方形，匚尸月0是正三角形，平面R4DJ_

平面F、G分別是PC、PD、5(7的中點.

(1)求證：平面E尸G；

(2)求平面班3與平面力ECT)夾角的大?。?/p>

n

(3)線段上是否存在點M,使得直線迎與平面EWG所成角為不？若存在，求出線段尸為才的長

度；若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

n

(2)平面EHG與平面HBCD夾角的大小為3；

n

(3)線段上不存在點使得直線與平面E尸G所成角為6,理由見解析

【解析】

【分析】(1)由已知可得昉II0°,進而可得2BSF,可證結論；

(2)取？12?的中點。，連接PO,0G,由題意可證得PO尸O_LOG,AO1OG,以以。為

坐標原點，MOG,。尸為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面平面EFG的一個法向量為

”=(、行,0,1),求得平面幺ECZ)的一個法向量為=(0,0二/)，利用向量法可求平面E尸。與平面

期CD夾角的大小.

(3)設尸M=2P42e[0,l],利用設2,表示出礪，利用線面角的向量求法可構造方程，由方程無

解可知不存在.

【小問1詳解】

因為E、尸分別是尸C、尸D侑中點，所以即||。。，

又因為四邊形幺BCD是正方形，所以""CD,所以力8,ER,

又EFu平面GEF,加仁平面^^尸，所以力B//平面班G；

【小問2詳解】

取血）的中點0,連接P0，0G,

因為二尸XD是正三角形，所以P0J_/Q,

又平面R4Z）_L平面05。。，平面產/De平面松8=<0,平面Ru平面EM,

所以尸。J_平面，BCD,又。。u平面4BCZ）,所以P0_L0G,

由四邊形43C0是正方形，易得MG0是矩形，所以幺0_L°G,

以。為坐標原點，，°G,。尸為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。(0,0,0),月(2,0,0),3(2,4,0),。(一2,4,0)。(一2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,?VJ)

E(-L2,"),尸(TO,蜴，

所以EF=(0.-2,0),EG=(0,2,我，

設平面EEG的一個法向量為〃=（%，〕'，二）,

nSF=-2y=0

78G=*+1，_屁=0,令二=1,則可得下=0，1=相,

則

所以平面屈?不？的一個法向量為〃=（/，°，D,

又平面的一個法向量為。尸=（0,0,2班）,

設平面曲G與平面ABCD夾角的大小為6,

\QP^i\_2-J3_1

cos8=

所以\OP\J\n\'73+1x273~,

71

所以平面ERG與平面幺BCD夾角的大小為3；

【小問3詳解】

71

線段尸H上不存在點M,使得直線GW與平面EEG所成角為6,理由如下:

n

假設線段上存在點M,使得直線GM與平面ER3所成角為6,

n

即直線GM與平面ERG的法向量八所成的角為3,

設尸M=2",2e[0,l],GM=GP+PM=GP+入PA,

所以的=(U,-4二百(1一冷)，

71

COS=cos

3叼同2J4笛-64+7

所以

整理可得::筋-34+2=0,△=（守一4X2X2<°,所以方程無解,

n

所以線段R4上不存在點M,使得直線與平面瓦陽所成角為6.

C=l(a>6>0)力(_4,0),尸(2「3)

19.已知橢圓過點'

（1）求橢圓°的方程以及離心率;

（2）設直線'丁=匕-2與橢圓。交于兩點，過點N作直線】'=一6的垂線，垂足為Q.判斷直

線MQ是否過定點，并證明你的結論.

c1

g=-=一

【答案】（1）橢圓方程為1612,離心率為a2

（2）定點為證明見解析

【解析】

【分析】（1）代入”（一4°）,「仁,-31聯立方程，解方程可得a,b,進而得到橢圓方程；即可由離心

率公式求解

（2）聯立直線與橢圓方程，運用韋達定理，令x=0,代入化簡可得J=-4,即可得直線恒過定點;

【小問1詳解】

160,49,

將4-4,0),2(2,-3)代入橢圓方程可得ab2且/b2,

解得=16,6"=12,故c'=a'=4,

—x+y—=I1e2

故橢圓方程為1612,離心率為

【小問2詳解】

聯立/：.v=far-2與橢圓方程3/+4尸=48,消去】‘可得G+4丁）婷-lfifa-32-O,

16k

設N("D,2(J-6)可得甬+4=3+4/,*/=3+4月,

r.+6、/

isy■—(zx-x>)-67c

則MQ的方程為‘,又內=包一-

-32

?一一（】i+6）_一與（也+4）6_-如7-4占_6_一*3+4/一**一6

內一與內一巧近一占__

令x=0,則3+4A

3"z"16無）

=詢一例）

儂一“儂

3+4k2—23+4k213

故直線"Q經過定點（°「4）.

/、COSX/\1

/⑶=---------,g（X）=—ax

20.已知函數XI.

_兀

（1）求函數?"*在'=5處的切線方程；

（2）若函數，（'）和函數g（x）的圖象沒有公共點，求實數。的取值范圍.

y=--x+1

【答案】⑴"兀

（-a>.0）U[-,+a>）

（2）2

【解析】

【分析】（1）求出函數的導數，利用導數的幾何意義即可求得答案；

C0SX1

（2）將函數-"Xi和函數g"，的圖象沒有公共點，轉化為工一.7-G無實數根，即當1工°時，

cosx+ad-l=°無實數根問題，從而令Mx）=cosi+avT,-0,利用導數結合分類討論，即可求

解.

【小問1詳解】

故函數/（”）在”3■處的切線方程為“兀1即,n

【小問2詳解】

因為函數,'W和函數gIII的圖象沒有公共點,

故?"X）=g（X）,即二T.f-G無實數根，

即當XHO時，cosx+ai-lnO無實數根，

令力⑶=cosx+”2T亦0,由于；1（T）=MX）,故M?為偶函數,

所以Mx）在（。，+8）上無實根，

又〃'（X）=-sinx+2ax記m（x）=Ar（x）=-sinx+2ax

則M（x）=2a-cosx,xe（0,+<?）

①當a<0時，ax'<0,-1<COS.V<1,則cosi-lSO,

故&⑴=cosX+--1<0,滿足NX）=°在（0,+8）上無實根；

②當a=0時，"（.T）=cos、-1=°在（（）,+8）上有實根，不符合題意；

③當aNj時，T（"=2a-cosxt0,則*（x）=_smx+2ax在⑼+8）上單調遞增,

則〃'（VI>''（0）=0,故h（x）在（0.+8）上單調遞增，

則力.）>力（0）叫滿足力（卜）=0在德+8）上無實根；

0<a<—\cIQ'TI

④當2時，因為""-c°sa在（一J上單調遞增，

用'（0）==2a）。

6

則存在唯一的“10'5）使得M（M）=力-cos七=0；

當0<x<x°時，加'（汽）<。，當時，

則m（x）=、（x）在（Ou。）上單調遞減，在[%2）上單調遞增，

故xe（o,x°）時，*（X）<〃'（。）=0,故貼）在（°，X。）上單調遞減,故酬*"（0）=0,

又M%）=4加>0,且“X）在（0,+8）上連續，

故h（x）在（°;兀）上有實數根，不符合題意，

（-a>,0）u[-,+a>）

綜合可知，實數a的取值范圍為2

---=—av

【點睛】難點點睛：本題解答的難點是第二問，解決兩函數圖象無交點問題，要轉化為工工無實

數根，即當XHO時，cosx+af-1=0無實數根問題，從而構造函數，利用導數結合分類討論的方法解

決問題.

21.已知集合&=｛（不如…，。）I瓦，孫…，七是正整數12,，…,"的一個排列）（"A2）,函數

,[1,.x>0,

g（K）=<

11,?'<。對于出，…,定義：

4=gQ-2+80-的）+