2025年高考數學第二次模擬考試（新高考II卷02）

全解全析

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合/={1,2,3,4,5},S.AOB=A,則集合8可以是（）

2

A.{1,2,3}B.|x|x>1|C.卜忙>1}D.|x|log2（x-2）<2j

【答案】C

【詳解】因為/口8=工，所以/1

A中集合不合題意；

B中集合為卜卜2>1}=&匡<-1或x>l},也不合題意，

C中集合為卜忙>1=2。}={中〉0},滿足題意，

D中集合為{x|log2（x-2）<2=log24}={x|0<x-2<4}={x|2<x<6},不合題意.

故選：C.

2.已知函數〃x）定義域為R,則命題夕：“函數為偶函數”是命題4：“*°eR,滿足/（%）=/（-無。）”

的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若"X）為偶函數，則有/'（X）=〃T）,充分性滿足；

若/（x）=sing）,則有/（-l）=sin（-7t）=o./（l）=simt=o,即=

而〃x)=sing)為奇函數，因此必要性不滿足.

故命題。：“函數/'(無)為偶函數”是命題9：“弱eR,滿足/伉)=/(-%)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.若zi3=l-5貝中|=()

A.1B.V7C.V6D.3

【答案】C

【詳解】因為03=1—后,

1-51-底一向卜

所以z=0=y[5+if

i3-1-1-1

所以

故選：c.

兀V2,5兀

4.已知sina-----，貝Ijcos2aH——

123

75

ABC.D.——

-4-i99

【答案】D

6兀

71271

【詳解】因為sina-------,所以cos2a-=l-2sina----?---二,

123121299

即cosf2a5

9

所以cos|2a+|5

=cos2*+7i=-cos2a——

I69

故選：D.

5.已知平面直角坐標系xOy中，A(-2,-2),8(1,2),OP=WA+^>-X)OB,若后//礪，則P的坐標為:

B.（0,2）C.（3,6）D.（3,4）

【答案】B

【詳解】TSO?=（-2A,-22）+（3-2）.（1,2）=（3-32,6-42）,

2P=0P-O4=(5-3/1,8-42)//(1,2),所以^^=2n2=l,

5—3/1

故方=刃+2礪=（0,2）,

故選：B.

6.2024年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天.某單位安排7位員工值班，每人值班1天,

每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排

方案共有（）

A.1440種B.1360種

C.1282種D.1128種

【答案】D

【詳解】采取對丙和甲進行捆綁的方法：

如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：A：A；=1440種，

如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：C；A；A；A：=192種，

若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：A；=120種.

則不同的安排方案共有1440-192-120=1128（種）.

故選：D.

7.已知橢圓C的左、右焦點分別為耳,巴，平行四邊形耳4助的頂點42都在C上，。在N軸上且滿足

2甌=月萬，則C的離心率為：（）.

AVioRV15「2夜nV6

5533

【答案】A

【詳解】連接4片,8片，設4片門〉軸=3,由于/月。。=/。。8，DFJ/GF^

所以==故片6=片。，所以四邊形片Gg。為菱形.

由于2麗=月萬，可設|/G|=x,|G周=2x,|/用=加,

\BF^=n,\AB\^2x,則在△/即中有3//愿=生土廠長

2-2x-x

在“3月中有cosNBA"=(2耳+⑶)-“

2-2x-3x

又cosZABF2=-cosNBAK,所以⑵)+廠-"/=_(2x)+(3x)-優,

2?2x?x2?2x?3x

整理得至lj3加2+/=28-,

又周+|4閶=忸周+忸閭=2〃,gp3x+m=x+n=2a,

所以3(2〃-3x)2+(2Q—=28/,解得％故機=_^_，幾=_^_,

a

在△力Gg中有［4閭=叵閭,則cos//GK=0=；,故cos/片Gg=—

T

LL2,2c16/入16a240a2故c=?,故e=?

所以4c2=2x--------2x-------

2525-25"55

故選：A.

8.將函數V=sinx圖象上所有點的橫坐標變為原來的一1（。＞1）,縱坐標不變，再將所得圖象向右平移兀個個

m3

單位長度后得到函數〃X）的圖象，若“X）在區間土兀上恰有5個零點，則。的取值范圍是（）

A.[5量B.[6,/CI*]D-（6,可

【答案】B

【詳解】依題意，/（x）=sin[?（x-1TT）],當「嗚JT何時,。（冶jr）且0,竽,

由/㈤在區間得利上恰有5個零點，得4兀4—＜5兀，解得6＜。＜程

故選:B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.函數/（X）=2退sin0xcos0x+2cos2（yxT（O<0<1）的圖象，如圖所示，則（）

A./（x）的最小正周期為無

B.函數/'Qx+g］是奇函數

C.y=/（x+［Jcosx的圖象關于點等）對稱

D.若y=/（幻?eRj>0）在［0,兀］上有且僅有三個零點,則此

【答案】BCD

【詳解】依題意，/（x）=V3sin2a)x+cos2a)x=2sin2①x+—

I6

JT

觀察圖象可得x=§時，函數f（x）取最大值，又0<3<1,

_7171_,71,_

所以26y-----1—=2歷id—,kwZ,

362

解得fv=3k+—f左wZ,而0<G<1,解得@=

71

f(x)=2sinX+-,/（尤）的最小正周期為2兀，A錯誤;

y=/12x+g)=2sin(2x+7i)=-2sin2x是奇函數，B正確;

71

cosx=2sinx+—cosx,

3

j/=cosx(sinx+V3cosx)=-sin2x++cos2x)=sinf2x+y1+

)2

令2%+'=而，keZ,可得％=如一二，kEZ,

326、

因止匕）=/卜+.注卜"），

COSX的對稱中心為---

當左時，函數/卜+巳卜的對稱中心為

=0V=osx故C正確;

I7CI7C7C7C

/(/x)=2sintx+—,z>0,當XE[0,兀]時，tx+—e—/兀+一

\6J666

依題意，3兀4機+2<4兀，解得〈學，D正確.

666

故選：BCD.

10.設A48c的內角4瓦。的對邊分別是a,6,c,若0=百，且(26-c)cos/=“cosC,則下列結論正確的

是()

IT

A.A=-B.A48C的外接圓的面積是兀

6

C.△4BC的面積的最大值是士8D.的取值范圍是(-百,2月)

4

【答案】BCD

【詳解】對于A項，因為(2b-c)cos/=qcosC,

所以2sin8cosA-sinCcos4=sin/cosC,

所以2sin5cosN=sin/cosC+sinCcosA=sin(/+C)=sinJ5,

又因為sin5w0,所以cos/=；,

又因為/e(0,m，所以/故A項錯誤.

對于B項，設A48C的外接圓的半徑為R,由正弦定理可得2R=—j=2,

sin/

則△/5C的外接圓的面積是兀R2=兀，故B項正確.

對于C項，由余弦定理可得/=〃+02-26ccos/,ipb2+02一加=3①.

因為〃+/22兒②，當且僅當b=c時，等號成立，

所以由①②得從(3,當且僅當6=c時，等號成立，

所以△45。的面積S=—besinA=^-bc則C項正確.

244

nncI7T

對于D項，由正弦定理可得一J二—三=2,則b=2sin5,c=2sinC=2sin彳=sinB+cosB,

sin/sin5sinC13

所以2b一c=3sin8一百cosB=2-73sin[一.

又因為0<8<4，所以，所以，

3662

所以-e<2VJsin[5-m<2百，即e—c的取值范圍是(-6,26)，故D項正確.

故選：BCD.

4

11.已知函數/'(無)=x-7g(x)=2x,貝!!()

A.y=/(x)g(x)的圖象關于y軸對稱

B.y=/(x)-g(x)有最大值

C.當無>1時，/(2x-l)<g(x+l)

D.若點2。分別在函數的圖象上，則|尸。的最小值為停

【答案】ACD

4

【詳解】因為/卜）=工-1（工片0）名（切=2%,

對于選項A：V=〃x）g（無）=2x2—8,x0

-3-7(-^)^(-^)=2(-^)2-8=2^2-8=/(x)g(x),

可知＞=/（x）g（x）為偶函數，圖象關于了軸對稱，故A正確;

對于選項B：y=/(x)-g(x)=[x-g]-(2x)=-(x+：j,

由對勾函數可知y=x+(的值域為(-嗎-4]u[4,+e),

可知>=-1x+：]的值域為(-oo,-4]u[4,+e),即了=/(x)-g(x)沒有最大值，故B錯誤;

對于選項C：因為g(x+l)-”2x_l)=2(x+l)-[(21)=-^-+3,

且x>1,則2x-1〉0,

nT^g(^+l)-/(2x-l)=-^-+3>0,即/(2x-l)<g(x+l),故C正確；

2x—1

對于選項D：由選項B可知-g(x)=[x+￡|wO,

即函數/(x),g(x)的圖象沒有交點，

由題意可知：|「。|的最小值即為點尸到直線y=g（x）的距離的最小值,

44

又因為/'(x)=l+j，令/'(x)=l+7=2,解得x=±2,

當x=2時，尸（2,0）到直線2x—y=0的距離為“=白=殍

當x=-2時，尸（/-2,0、）到直線2x-j=0的距離為d=14=號4A/5；

所以|尸。|的最小值為個，故D正確；

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若（X-1）'=%+《X++%尤3+。4苫4+。5苫5，則％=.

【答案】-10

【詳解】（X-以的展開式通項是：

依題意得,5—k=2,即左=3,所以％=C；（―I）'=-10,

故答案為：-10

13.拋物線必=8無的焦點為尸，A為了軸正半軸上的一點，射線E4與拋物線交于點8,與拋物線準線交于

點、M.若解|,|網,|//成等差數列,則照|=.

【答案】10

【詳解】由題意可知：尸（2,0）,設4（0,加），準線方程x=-2

如圖：

...點A為獨f中點,即叫/邳+忸典,

又?；I印,WbMM成等差數列，.?.四+畫=2叫,

.?.|￡8|+|/同+|昉|=2|四，即2忸刊=怛/|,而=；或=（一|4）

又；5在拋物線/=8x上，，=8xy,/.m=4^/6,

Z.|,4F|=^22+（4V6）2=10.

故答案為：10.

3..jr

14.在體積為一的三棱錐4-中，ACLAD,BCLBD,平面4CQ_L平面BCD,ZACD=-

26f

TT

ZBCD=~,若點A、B、C、。都在球。的表面上，則球。的表面積為

4

【答案】12兀

【詳解】過點A在平面/CZ）內作作垂足點為

取線段CD的中點。，連接CM、OB,如下圖所示：

因為/C_LAD,BCLBD,貝I」CM==」CD=0C=0D,

2

所以，三棱錐/-5co的外接球的球心。為DC中點，

因為平面NCD_L平面BCD,平面/CDPI平面BCD=CQ,AHYDC,

///u平面/CD,則平面88,

設球O的半徑為火，則。C=2A,

又乙4CD。,ZBCD=3,所以，DB=CB=42R,AD=R,AC=>5R,

64

訴WADxAC43R2y/3

加以，AH=--------二-----二——R,

DC2R2

所以，三棱錐Z-8CD的體積為1x!xO2xC2x/H=LxLxaRx岳X^R="R3=3,

3232262

解得火=百，因此，球。的表面積為4兀尺2=12兀.

故答案為：12九

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）某芯片代工廠生產甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指標，從這兩種芯片中各抽取

100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：

假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

（1）求頻率分布直方圖中X的值并估計乙型芯片該項指標的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為

代表）；

（2）已知甲型芯片指標在［80,100）為航天級芯片，乙型芯片指標在［60,70）為航天為航天級芯片.現分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在［70,90）內取2件，乙型芯片指標在［50,70）內取4件，再從這6件中任

取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率.

【答案】⑴x=0.020,X=47.（2）P（￡）=-.

【詳解】（1）由題意得10x（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x）=l,解得x=0.020.

由頻率分布直方圖得乙型芯片該項指標的平均值：

于=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根據分層抽樣得，來自甲型芯片指標在［70,80）和［80,90）的各1件，分別記為A和5,

來自甲型芯片指標在［50,60）和［60,70）分別為3件和1件,分別記為G，C2,G和。，

從中任取2件，樣本空間可記為。=｛（40，（4￡）,（4。2），（/?3）,（4。），（8,q）,

（T?,C）,（GC），（G，G），（G，D），G，G），C。），CM｝共15個，

（B,C2）,3（B,D）,

記事件E：至少有一件為航天級芯片，則￡=｛（48）,（4。），（及G）,（BC）,（B，G）,

（CQ）,（C2,￡＞）,G，。）｝共9個，

OQ

所以尸（0=西=不

16.(15分)如圖，在三棱柱48C-48。]中，側面/CG4為菱形，ZAtAC=60°,底面Z3C為等邊三角形,

——?1——--.1——.

平面平面43C,點。,E滿足"4￡=]4。，點尸為棱GC上的動點(含端點).

(1)當尸與C重合時，證明：平面。￡F_L平面48C；

(2)是否存在點尸，使得直線NC與平面。斯所成角的正弦值為如？若存在，求出笠的值；若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴證明見解析⑵存在，器日

【詳解】(1)如圖，取4C中點。，連接40,

因為側面/CC/1為菱形，^AtAC=60°,

所以4。L/C,

又因為平面ACCAAX±平面ABC,平面ACCXAXQ平面ABC=AC,

4(9u平面/CG4,所以40,平面48C，

又因為E為4。的中點，所以四邊形4OFE為平行四邊形，所以4。〃跖，

所以跖，平面48C,又￡Fu平面DEF,所以平面。E尸_L平面48C；

(2)連接。3,因為△4BC為等邊三角形，則O2LOC,

所以。昆。C,04兩兩垂直，則以。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示:

令三棱柱的棱長為2,所以08=OAt=y/3,

故0(0,0,0),Z(0,T,0),B(百,0,0),

4(0,0,G),c(o,1,0),E(O,1,G),G(0,2,G),

又麗=；方，所以。

3)

設Gb=xqc,Ae[o,i],

貝!I礪=A,OC+(1-%)西=(0,A,0)+(0,2-22,G-百4)=(0,2-4石-62),

即F(0,2-A,V3-V32)；

乂瓦=,￡F=(0,1-2,-V32),

設平面尸的法向量為比=(x,y,z),

mDE=0y/3x-2y=

則一取x=貝!]y=54/=-^-(1-4),

行rEF=。(1_小一收2=0

故平面OE尸的法向量可為而=

\7

又X=(0,2,0),設直線/C與平面ZXEF所成角為巴

廠|比.癰_______|3￡|___________V6

2224

由題可得sindTcos慶,=f，BP|m||^C|2^3A+-A+-(1-2)

整理得：62-3=0,解得彳=；,

故當第=；時，直線NC與平面。叱所成角的正弦值為逅.

CjC24

17.(15分)設函數/介)=如+加ln(x+l)(加eR).

(1)若加=-1,

①求曲線〃x)在點(OJ(O))處的切線方程；

②當xw(l,+8)時，求證：/(x)<x3.

(2)若函數/(x)在區間(0,1)上存在唯一零點，求實數優的取值范圍.

【答案】(1)①x+y=0；②證明見解析(2)[-+，。]

212+2x-1

【詳解】(1)①當機=-1時，/(x)=/-ln(x+1),可得/'(無)=2x——-

X+X+1

則/'(0)=TJ(0)=0，

可得曲線/1)在點(0,7(0))處的切線方程為y-0=Tx(x-0),即x+k0.

②令/z(x)=/(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),

貝|J"(x)=-3x2+2x—一—=_3x3+(1)2,

x+1x+1

當xe(1,+CO)時，可得砥x)<0,/z(x)在(1,+co)上單調遞減，

又因為〃⑴=-ln2<0,所以為x)<0,即就-ln(x+l)<x3,HPf(x)<x3

即當xe(l,+co)時,f(x)<x3.

(2)由函數/(x)=x2+加ln(x+l),xe(0,l),可得/⑴=2x+*-=至+2x+m

X+1x+\

令g(x)=2x2+2x+m,xG(0,1),

當冽20時，g(x)>0,即/(x)〉0ja)在區間(0,1)上單調遞增.

因為/(0)=。所以〃x)>/(0)=0,

所以函數/(%)在區間(0,1)上沒有零點，不符合題意；

當冽<0時，函數ga)=2/+2x+加的圖像開口向上，且對稱軸為直線'=

2

由g(l)=2+2+m<0,解得m<-4,

當加0-4時，g(x)<0在區間(0,1)上恒成立，

即/(x)<0J(x)在區間(0,1)上單調遞減.

因為"0)=0,所以/(x)</(0)=0,

所以函數〃%)在區間(0,1)上沒有零點，不符合題意.

綜上可得，-4<m<0,

設/e(O,l)使得g(Xo)=O,

當xe(O,x。)時,g(x)<0,/-(x)<0,/(x)單調遞減;

當xe(x°,l)時,g(x)>O/(x)>OJ(x)單調遞增,

因為/(0)=0,要使得函數/(尤)在區間(0,1)上存在唯一零點，

則滿足/(1)=1+/wln(l+l)>0,解得比>—上，

所以實數m的取值范圍為,上,。］.

18.(17分)平面內有一點月(1,0)和直線/：》=2,動點尸(xj)滿足：P到點月的距離與P到直線/的距離

的比值是它.點P的運動軌跡是曲線E,曲線￡上有48、C、。四個動點.

2

⑴求曲線E的方程；

(2)若A在x軸上方，2可+瓦方=0,求直線48的斜率；

(3)若C、。都在x軸上方，片(-1,0),直線。巴//。耳，求四邊形小不。的面積的最大值.

【答案】⑴5+/=1⑵理⑶/

【詳解】(1)由題意J(x_l)2+r=?_2|母,

兩邊平方得x2-2x+l+y2=--；+4，化簡得］+/=1,

2

所以曲線E的方程為］+/=1；

(2)2可+可=6,即月方=-2可，則直線的斜率是正數,

設品:x=@+l,直線48的斜率為:(左>0),

K

x=ky+\

設/(%1，%)同%2)2)，聯立,iX221，

—+V=1

I2/

化簡得&+2b2+2?_1=0,所以乂+%=-2k-1

k2+2，yi)>2~k2+2'

由題意矢口%二—2%，

2斤-1

代入%+%，%%，消%，,-2^=-^—,

k+2k+2

(3)延長C&,交橢圓于點G,

=

CF2//DF1,由對稱性可知Gg=Z>6，△與Gg和△CZ>K等底等高，Sa皿SkCDF'，

四邊形CF^D的面積S=5卬=1?(7c-%)=九-,

-2k.-1

^lCD-.x=kxy+\,由(2)知Vc+yG=^F^，ycyG=^T^，

所以7c—VG=J(7c-先『=，(生+%)2-4/％=*'即$=

/C.?ZJK;,??TZ,

,____J8好+82"2mn

令庶不=所以干丁="=下〈蟲，

t

當且