第四節數列求和

課標解讀考向預測

數列求和是高考考查的重點知識，預計2025年高考會

1.熟練掌握等差、等比數列的前“項

考查等差、等比數列的前〃項和公式以及其他求和公

和公式.

式，可能與通項公式相結合，也有可能與函數、方程、

2.掌握數列求和的幾種常見方法.

不等式等相結合，綜合命題，難度適中.

必備知識——強基礎

知識梳理

數列求和的幾種常用方法

1.公式法

(1)等差數列的前〃項和公式

①已知等差數列的第1項和第n項求前n項和S?=n(ai^an)；

vi(n—1)

②已知等差數列的第1項和公差求前n項和Sn=nai+2d.

(2)等比數列的前〃項和公式

當q=l時，S?=nai；當存1時，

①已知等比數列的第1項和第〃項求前n項和5"=1吆；

1一4

②已知等比數列的第1項和公比求前n項和Sn=~':

i—q

2.分組求和法與并項求和法

(1)若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和

法，分別求和后相加減.

(2)形如斯=(-1產式")類型，常采用兩項合并求解.

3.裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.

4.錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列

的前“項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的.

5.倒序相加法

如果一個數列｛斯｝的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么

求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導

的.

常用

n(幾+1)

1.1+2+3+4+...+〃=2~~

n(?+1)⑵+1)

2.l2+22+...+n2=

6

3.裂項求和常用的變形

(1)分式型：n笠+左)=3-市)'

⑵一)—(—一#)

________]1n(n+1)

n(n+1)(〃+2)=2]

_(n+1)(〃+2)_

2〃_____________1_1/+2________1

Q)指數型:(2〃+i—1)(2〃-1)=2"——n(〃+1)*幾次1

(n+1)?2〃寸?

(3)根式型：5)等?

(4)對數型：log卷」=logm斯+1—log加z〃，斯＞0,加＞0且*1.

?診斷自測

1.概念辨析(正確的打y”，錯誤的打“X”)

(1)設數列｛斯｝的前力項和為％,若%=

則1.()

⑵層〈(〃一1)及一及一13)

⑶求a=。+2/+3〃+…+力〃時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求

和.()

(4)若數列為，勿一…，小—斯-1是首項為1,公比為3的等比數列，則數列｛斯｝的通項公

八口3"-1

式是an=-2--()

答案(l)x(2)x(3)x(4)1

2.小題熱身

(1)(人教A選擇性必修第二冊4.4練習T2改編)數列｛詼｝的前w項和為Sn,若詼=〃(〃：i).，

則S5=()

5

A.1B.T

o

C工DX

-630

答案B

解析,:a.=“(“；］)=、一;，S5=ai+a2+…+/=1-3+>1+…故選

B.

(2)(人教A選擇性必修第二冊4.4練習T1改編)數列｛詼｝的通項公式斯=(-1)"(2〃-1),則該

數列的前100項和為()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析Sioo=(—1+3)+(—5+7)+…+(-197+199)=2x50=100.故選D.

l

(3)(人教A選擇性必修第二冊習題4.3T3改編)若數列｛斯｝的通項公式an=2'+2n-],則數列

｛斯｝的前"項和為()

A.2"+層一1B.2/1+〃2—1

C.2n+1+n2-2D.2"+〃一2

答案C

解析S”=+“2+43+…+斯=(2]+2x1—1)+(22+2x2—1)+(23+2x3—1)+…+(2”+2〃

........................................................2(1-2"),n(〃+1),

-1)=(2+22+...+2,!)+2(1+2+3+...+?)-?=―:-T—+2x-------------一〃=2(2"—1)+

1—22

層+〃一〃=2"+1+〃2—2.故選C.

(4)在數列｛斯｝中，“1=1,〃〃以+1=—2,則Sioo=.

答案一50

解析根據題意，由。1=1,〃1。2=-2,得〃2=-2,又。2的=—2,得〃3=1,a3a4=-2,得

〃4=—2,…，所以｛斯｝中所有的奇數項均為1,所有的偶數項均為一2,所以S100=〃l+〃2+…

+。99+。100=1-2+…+1—2—50x(—1)=—50.

考點探究提素養

考點一拆項分組法求和

例1（2023?湖南岳陽統考三模）已知等比數列｛〃“｝的前”項和為S”，其公比存一1，義二”

〃7十〃8

畀且S4=〃3+93.

（1）求數列｛斯｝的通項公式;

f1,

\og^an'〃為奇數'

（2）已知仇=]3求數列｛d｝的前〃項和

an，〃為偶數,

解（1）因為｛%｝是等比數列，公比4，一1,

則Q4=〃iq3，〃5="iq3〃7=〃146,〃8=〃17，

次+/aiq3+aiq411

所以E=a/+a0=]=或，解仔4=3,

,ai(1—34)

由84=03+93,可/付a'z=9。1+93,

1—5

解得＜71=3,

所以數列｛〃“｝的通項公式為斯=3".

—w，〃為奇數，

⑵由(1)得b—

n3"，〃為偶數.

當n為偶數時，7.=匕1+歷+…+6"=(6I+63+…+6"T)+(62+b4+…+%”)=—(1+3+…+〃

-1)+(32+34+...+3,!)

nU.

刊+(M-1)]9(1—9，)

2+-1-9

1）得；

一)_(〃+l)j」3"+U+l)2

當“為奇數時，T"=Tn+i—b,,+i1)4°8°84

綜上所述,

13〃+】_,一為奇數，

T?=

9〃2

O(3"-1)—T，〃為偶數.

.O4

【通性通法】

拆項分組法求和的常見類型

求

拆

a項

數列

或等比

等差

｛%｝為

也｝,

土％，

的”為二幾

分

前組

n

為等差

，舊

“

黛

嚼

項%=也求

和和

列

比數

或等

】

遷移

【鞏固

為.

的值

和S〃

〃項

的前

￡,…

1)+

(2〃-

，…，

，7自

,5E

，3《

列破

1.數

—/

層+1

答案

+

1)]

(2〃-

…+

5+

+3+

〃=[1

則S

^,

1)+

(2n—

a—

式為

項公

，通

可得

題意

由

解析

n

和

化法求

并項轉

考點二

6.

18=3

2,4

。6=1

已知

｝中,

列｛斯

差數

在等

例2

式；

通項公

｛斯｝的

數列

(1)求

n

和S”.

n項

｝的前

列｛為

求數

s，

(—l)

bn=

(2)若

,

差為d

｝的公

列｛如

差數

設等

題意，

(1)由

解

2，

J〃i=

，

=12

+5d

J〃i

解得

2,

[d=

36,

l7d=

[〃i+

=2幾

)x2

(〃1

=2+

??斯

〃?2%

-1)

?斯=(

-1)〃

由=(

⑴,得

(2)由

2〃，

-1產

…+(

+8—

4—6

—2+

2~\~

\-\~b

n—b

??S

6+8)

)+(—

2+4

〃=(—

1尸2

+(—

-...

6+8

+4—

=—2

+/

岳+…

=當+

,S〃

數時

為偶

當n

(i)

ri

；

2="

=gx

…+2

+2+

川=2

1)+2

2(〃-

+[—

偶數,

1為

，幾一

奇數時

當〃為

(ii)

=

=

=

-1.

=-n