絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷01(天津卷)

數學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題(本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的)

1.設全集U={123,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則N毛M=()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

2.已知p:2'-8W0,q:(x-3)(x-4)V0,則()

A.p是4的充分不必要條件B.p是g的充要條件

C.q是p的必要不充分條件D.q是p的充分不必要條件

02

3.已知。=logo,20-3,b=log060.35,c=4,則()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

4.已知函數y=/(x)的部分圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是()

C.y=sinx—xcosx

5.已知等比數列{g}的前〃項和S“，滿足凡M=S〃+1(〃￡N*),則%=()

A.16B.32C.81D.243

TTJT

6.已知函數丁=Asin（0x+e）+s的最大值為4,最小值為0,最小正周期為萬，直線x=§是其圖象的一條

對稱軸，則符合條件的函數解析式可以是（)

JI

A.y=4sin（4x+—）B.y=2sin(4x+^)+2

71兀

C.y=2sin（2x+—）+2D.y=2sin(4x+-)+2

7.下列說法正確的是（）

A.一組數據7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位數為17；

B.根據分類變量X與丫的成對樣本數據，計算得到/=4.712,根據小概率值。=0.05的獨立性檢驗

（%。5=3.841）,可判斷X與V有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；

C.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于0；

D.若隨機變量。〃滿足〃=34-2,則。（77）=3D?—2.

8.在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器內有一

定量的水.若在高腳杯內放入一個球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經過冰塊的球心

0（水沒有溢出），則原來高腳杯內水的體積與球的體積之比是（）

A.1B.'

9.已知雙曲線C：3-==l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為冷尸2,點”在雙曲線C的右支上，MFJMF。,

ab

若西與C的一條漸近線/垂直，垂足為N,且|八%|-|。叫=2,其中。為坐標原點，則雙曲線C的標準

方程為（）

AdB丁y21

D.--------------=1

2016204

cV—D/L

416420

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.i是虛數單位，復數史到=______.

l-2i

2x—的展開式中X的系數為

12.已知過原點。的一條直線/與圓C：(x+2y+y2=3相切，且/與拋物線y2=2px(0>O)交于0,尸兩

點，若|OP|=4,貝!]〃=.

13.有兩臺車床加工同一型號的零件,第一臺車床加工的優秀率為15%,第二臺車床加工的優秀率為10%.假

定兩臺車床加工的優秀率互不影響，則兩臺車床加工零件，同時出現優秀品的概率為；若把加

工出來的零件混放在一起，已知第一臺車床加工的零件數占總數的60%,第二臺車床加工的零件數占

總數的40%,現任取一個零件，則它是優秀品的概率為.

14.如圖，平行四邊形ABCD中NZMB=60。，AD=3,AB=6,DE=EC,BF=^BC,AD=b，

用〃，b表不AE=，AE,AF=_____?

15.已知函數-依+1]有且僅有2個零點，則實數〃的取值范圍為.

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分14分)在非等腰ABC中，a,b,。分別是三個內角A,B,。的對邊，且a=3,c=4,

C=2A.

⑴求cosA的值；

(2)求ABC的周長；

(3)求cos124+叫的值.

17.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐P—ABCD中，AB±AD,CD±AD,平面B4O_L平面ABCD,

PA=AD=PD=AB=2,CD=4,M■為PC的中點.

(1)求證:儂//平面PAD；

(2)求點A到面尸的距離

(3)求二面角P-3D-C平面角的正弦值

22

18.(本小題滿分15分)已知橢圓C：=+斗=1(。>6>0)的焦距是短軸長的0倍，以橢圓的四個頂點為

ab

頂點的四邊形周長為4君.

(1)求橢圓的方程；

⑵直線，=辰+m(版W0)與橢圓C交于A、8兩點，與y軸交于點P,線段AB的垂直平分線與交

于點與y軸交于點N,。為坐標原點，如果NMOP=2N肱VP,求上的值.

19.(本小題滿分15分)若某類數列｛%｝滿足“皿22,2>2,且0產0，，(“€e)，則稱這個數列｛q｝為“G

an-\

型數列”.

⑴若數列｛叫滿足q=3,%%=3?用，求的，4的值并證明：數列｛%｝是“G型數列”；

⑵若數列｛4｝的各項均為正整數，且4=1,｛。,｝為“G型數列"，記勿=見+1,數列出｝為等比數列，公

比4為正整數，當圾｝不是“G型數列”時，

(i)求數列｛4｝的通項公式;

(ii)求4證：S￡---1--<—5/.)x.

I44+i12

20.(本小題滿分16分)設函數/"bf+lnx.

⑴求曲線>=/(力在點處的切線方程;

⑵設函數g(x)=/(x)-ax(aeR)

(i)當x=l時，g(x)取得極值，求g(x)的單調區間；,、,、

g(%)-gGJja

(ii)若且⑴存在兩個極值點玉，馬,證明：%一玉a2

數學.參考答案

一、單項選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的）

123456789

ADBCABBDC

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.l+2i11.-56012.313.1.5%；13%

14.-a+b-y15.（-2-2A/3,-2）I（-2,2-2^）

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

b_c

【解】（1）在中，由正弦定理三a=3c=4

sinBsinCf

34

可得

sinAsinC

3_43_4

因為。=2A,所以即

sinAsin2AsinA2sinAcosA

2

顯然sinAw0,解得cosA=—.

(2)在.ABC中，由余弦定理/+/—2〃ccosA,

得/一,+7=0,解得6=3或6=(.

7

由已知〃，b,。互不相等，所以人=§,

728

以CARC=Q+5+C=3+4H—==—.

33

(3)因為cosA=：,所以sinA=-cos?A二,

33

所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-l=-^~,

99

「g4行1A/3+4A/5

所以cos2A+—j=cos2Acos--sin2Asin—=——X--------------x—=-----------------

I6J66I9)29218

17.（本小題滿分15分）

【解】（1）取尸。中點N,連接AMMN,如圖

PR

M

AB

由M為尸。的中點，所以肱V〃8且

2

又AB_LAT>,CD_LAC>,且AB=2,CD=4,

所以A3〃cr>且

2

數MNHAB豆MN=AB,

所以四變形3MMi為平行四邊形，板BMHAN

又平面PAD,ANu平面PAD

所以平面PAD

(2)由CZ)_LAD,CDu平面A3C￡>

平面PAD1,平面ABCD,

平面ABCDc平面PAD=AD

所以CD_L平面PAD,又ANu平面PAD

所以CD_L4V,由B4=A￡>=PD=2,

所以MD為正三角形，所以4VJ_PD

則CDc尸￡>=￡>,CD,尸Du平面PCD

所以⑷V工平面PCD,且AN=2.@=6

2

所以點A到面PCD的距離即AN=6

(3)作尸石工AD交AD于點E,

作EFLBD交BD于點F,連接斯，尸產

由平面P4D，平面A3CD,PEu平面平面PAD

平面ABCDc平面41D=攵)，

所以「E_L平面ABCD,3￡>u平面ABCD,

所以PE_L3￡>,又PEcEF=E

PE,EFu平面PEF,所以BD2平面PEF

又PRu平面PEF,所以工PF

所以二面角尸-助一石平面角為NPFE

PE=y/3,又ADEF為等腰直角三角形

所以EF=正，所以尸尸=《PE?+EF?=巫

22

所以sin/PFE=B=近2

PF7

又二面角P-BD-C平面角為萬-NPEE

故sin（萬一ZPF￡）=sinNPFE=半

所以二面角P-BD-C平面角的正弦值為叵

7

18.（本小題滿分15分）

2c=26b

【解】（1）由題設得■4J，+Z?2=4>/5,解得a=2,b=l,c=,

a2=b2+c2

所以橢圓C的方程為:+y2=L

X22

1,得（4左之+1）無2+8/+4m2_4=0,

（2）由彳+y7nx

y=kx+m

得4k2—m2+1>0,

2m

設4（石，弘）、3（々，%），則/+?=-4,；［'M+%=%（石+龍2）+2機4k2+1

1,人心年“，工一M+X,4km八m

所以點V的橫坐標X=-=-—~,縱坐標y=—~,

M24k+1M4%~+1

所以直線MN的方程為y-/p-g"言

令尤=0,則點N的縱坐標明=-泮7,則N°，-/一r，

^rKI1\^rK1y

因為尸（0,機），所以點N、點尸在原點兩側,

因為ZMOP=2ZMNP,所以NWO=NOACV,所以10M=|ON|,

-Xbk1nr+nr

又因為1所

(4/+1)2

9m2

所以

"+1)2-(止+1廣

解得16r+1=9,所以％=土交

2

19.（本小題滿分15分）

2,,+13

【解】(1)。“凡+1=3,令〃=1,則01a『3a2=9,

令〃=2,貝!|=3,，4=27；由①,

，當“22時，。“_口”=3"i②,

由①+②得，當"22時，—=9,

an-l

所以數列｛%〃｝（〃eN*）和數列｛出力｝（〃eN*）是等比數列

因為6=3,。"％+]=32n+1,所以的=9,

nnl

所以%T=3-9“T^~\a2n=9-9-32",因此%=3",

從而2=3>2（讓2）,所以數列｛%｝是，G型數列”.

an-\

（2）⑴因為數列｛。.｝的各項均為正整數，且｛。“｝為“G型數列”,

所以智>2,所以。用>2%>%,因此數列｛見｝遞增.又2=""+1,

所以bn+i-bn=an+l-an>0,因此｛bn｝遞增,

所以公比4>1.又也｝不是“G型數列”，所以存在/eN*,

使得2V2,所以qW2,又公比為正整數,

%

所以q=2,又偽=4+1=2,所以2=2",則氏=2"-1.

nn+12n+12n+1n

(zz)anan+l=(2-l)(2-l)=2-3x2"+1>2-3x2,

n

因為22〃M—3X2〃=4〃+2"(2〃—3)>4〃N2),所以anan+i>4(n>2),

11i〃i

所以——</(〃/，令s，，？入二,當九=1時，E=g，

4%4n

當〃N2時，3〃=」-+，+」-++一1字11<1L不1十

1不〔1一入J11(1>115

3]_j_31214)31212

~4

20.(本小題滿分16分)

【解】(1)/'(x)=2x+1,

則r(i)=3j(i)=i,

所以曲線y=/(x)在點(11(1))處的切線方程為y-l=3(x-l),即y=3x-2；

(2)(i)g(%)=12一辦+ln%,

，/、12x2—ax+1/\

g(x)=2x