2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷01（新九省卷）

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復(fù)數(shù)2=蕓，貝丘=（）

3+41

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

2.為了了解學(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個年級共抽取100

人進(jìn)行各項指標(biāo)測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取

的人數(shù)為（）

A.30B.25C.20D.15

3.已知a=,若〃〃人則加二（)

2

A.1B.-1C.-D.--

33

4.若3sin(兀一二)一4cosa=0,貝Ul-cos2c=()

A7R1827c32

D.——

25252525

22

5.雙曲線C:￡f=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳，鳥,閨閶=4,且C的一條漸近線與直線

/:瓜-y+l=0平行，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

6.我國元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突?器身施白

釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高

4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（）（附：7149?12.2）

A.34KB.27TIC.20兀D.18K

7.已知O為坐標(biāo)原點，直線/：》=〃7+3與圓C:Y+y2-6x+8=0相交于A,8兩點，則方.麗=（）

A.4B.6C.8D.10

8.在同一平面上有相距14公里的A,8兩座炮臺，A在3的正東方.某次演習(xí)時，A向西偏北夕方向發(fā)射炮

彈，B則向東偏北d方向發(fā)射炮彈，其中6為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著

A改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點則8炮臺與彈著點加的距離為（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.袋子中有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機(jī)取出兩個球，設(shè)事件A="取出的球

的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件8="取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C="取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，

則（）

A.事件A與B是互斥事件B.事件A與B是對立事件

C.事件8與C是互斥事件D.事件8與C相互獨(dú)立

10.已知函數(shù)/（%）=Atan（0x+o）（o>O,O<°<7i）的部分圖象如圖所示，貝I］（)

4兀

A.。夕A=一

6

B.的圖象過點j—,臺

C.函數(shù)y=，（尤）|的圖象關(guān)于直線對稱

D.若函數(shù)y=|〃x）|+2〃x）在區(qū)間，上不單調(diào)，則實數(shù)4的取值范圍是［-1』

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A耳GA中，M是棱2C的中點，N是棱。R上的動點（含端點）,

則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐的體積為定值

B.若N是棱的中點，則過A,M,N的平面截正方體ABCD-所得的截面圖形的周長為拽

2

C.若N是棱。2的中點，則四面體2-AMN的外接球的表面積為7兀

D.若CN與平面例。所成的角為，，貝代inOe中淮

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4={*|爐V4},8={x|a—lVxVa+l},若Ac3=0,則”的取值范圍是,

22

13.已知橢圓C:j+2=1（。>6>0）的一個焦點的坐標(biāo)為（1,0）,一條切線的方程為x+y=7,則C的離心

ab

率e=.

b

14.關(guān)于％的不等式xe"+法-lnx21（〃>0）恒成立，則一的最小值為.

a

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間

（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個小矩形的高度比為3：2：1.

l頻率/組距

0.0125

0.0075

5r:04’06左疝右01；0時簡/分鐘

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作

為代表分兩周進(jìn)行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于［80,100）的人數(shù)記為鼻

求隨機(jī)變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

16.（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AA與B用的距離為AB=AC=AiB=2,

AC=BC=20.

（1）證明：平面AXABBX1平面ABC；

（2）若點N在棱AC上，求直線AN與平面A4C所成角的正弦值的最大值.

17.(本小題滿分15分)已知函數(shù)〃x)=e2，+e=3

⑴當(dāng)。=3時，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵討論極值點的個數(shù).

18.(本小題滿分17分)設(shè)拋物線C:丁=2px(°>0),過焦點廠的直線與拋物線C交于點A(&%),3(9,%).

當(dāng)直線AB垂直于尤軸時，|A5|=2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵己知點P(l,0),直線AP,分別與拋物線C交于點C,D.

①求證：直線過定點；

②求APAB與APCD面積之和的最小值.

19.(本小題滿分17分)給定整數(shù)心3,由"元實數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集7={,-川a、6eS,a4},如果

min(T)=l,則稱集合S為一個九元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)/為其中所有元素絕對值之和.

⑴判斷A={-0.1,-l.l,2,2.5}、3={T.5,-0.5,0.5,1.5}哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；

(2)任取一個〃元規(guī)范數(shù)集S,記加、加分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：|min(S)|+|max(S)|N"-l；

(3)當(dāng)S={%的，L，%⑶}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)/的最小值.

注：min(X)、max(X)分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù).

數(shù)學(xué)?參考答案

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

91011

ABBCDAD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

13.(Y,-3)U(3,+?))14.115.-1

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)

【解】⑴由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均閱讀時間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分鐘)

(2)由題意，在[60,80),[80,100),[100,120]三組分別抽取3,2,1人

4的可能取值為：0,1,2

3

則「修=0)=宣Cc0=《1尸c=i)=C罟2cl=3(

2

P(42)=當(dāng)c'c」1

c；5

所以4的分布列為:

2

]_3]_

P

555

131

￡（^）=0x-+lx-+2x-=l

16.(本小題滿分15分)

【解】(1)取棱4A中點D,連接3。，因為AB=AB,所以8。，①

因為三棱柱ABC-\BXCX,所以的〃Bg,

所以8。_1_8耳，所以退

因為AB=2,所以AO=1,M=2；

因為AC=2,AC=2及,所以AC2+A4：=AC2,所以ACIA4,

同理AC_LAB,

因為MnA8=A,且AA，ABu平面AA24,所以AC,平面4AB4，

因為ACu平面ABC,

所以平面AAB瓦，平面ABC；

取A3中點。，連接4。，取2C中點尸，連接OP,則QP〃AC,

由(1)知AC,平面AAB%所以。尸，平面AABBi

因為A0平面AABB-ABu平面AAB耳，

所以O(shè)PLAQ,OPJLAB,

因為==則A。

以。為坐標(biāo)原點，OP,OB,。4所在的直線為無軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

則A(Q-1,O),4(0,0,b)，4(0,2,6),C(2,-l,0),

可設(shè)點N=（〃,0,6）,（0＜^Z＜2）,

44=（0,2,0）,4c=（2,-1,一石），AN=（a,1,6）,

n-A^B=0=2y

設(shè)面44c的法向量為為=（x,y,z）,得＜X

n-AjC-0-2x-y-y/3z

取了=石，則y=。，z=2,所以為=（班,0,2）

設(shè)直線期與平面ABC所成角為出

?_\n-AN\百a+2

貝Ism0=cos<AN>=?X/

11\n\-\AN\SJ/+4

若a=0,則sin6=----,

7

4

當(dāng)且僅當(dāng)〃=—,即〃=2時，等號成立,

a

所以直線,與平面ABC所成角的正弦值的最大值年.

17.（本小題滿分15分）

【解】（1）當(dāng)。=3時，/（x）=e2'+e'-3x定義域為R,

又尸（x）=2e2x+e*-3,

所以/（x）=（2e*+3）（e*T，

由力2"）＞。，解得尤＞0,此時“X）單調(diào)遞增；

由廣（力＜。，解得x＜0,此時“X）單調(diào)遞減，

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+。），單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0）.

（2）函數(shù)“X）的定義域為R,

由題意知，/''（x）=2e2'+e*-a,

當(dāng)aVO時，/^x)>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增,

即/⑺極值點的個數(shù)為。個；

當(dāng)〃>0時，易知l+8a>0,

故解關(guān)于，的方程得，「土富，「士野

所以尸(x)=2@F)(e，-2)，

-1+J1+8〃-1+1八-l-Vl+8(2

又/2=--------------->--------=0，A=---------------<0,

444

所以當(dāng)%時，/^)>0,即“力在(Injw)上單調(diào)遞增，

當(dāng)工<1小時，Z(x)<0,即/⑴在(―8,1口幻上單調(diào)遞減,

即"》)極值點的個數(shù)為1個.

綜上，當(dāng)aWO時，〃x)極值點的個數(shù)為0個；當(dāng)。>0時，/(x)極值點的個數(shù)為1個.

18.(本小題滿分17分)

【解】⑴由題意，當(dāng)直線AB垂直于無軸時，代入拋物線方程得X=±P,則|Afi|=2p,所以2P=2,

即P=l,所以拋物線C：V=2x.

(2)(i)設(shè)。(玉,%)，。(尤4，%)，直線42:尤=%+：,

與拋物線Uy?=2%聯(lián)立，得丁一2沖一1=0,因此必+%=2m，乂%=-1.

設(shè)直線AC:%=〃y+l,與拋物線Uy?=2%聯(lián)立，%y2-2ny-2=0,

-2-2

因此必+%=2〃，%為=-2,貝!J%=——?同理可得以=一.

M%

k=％一乂%一必22:%必;：1

所以CD支_支為+%3+心％+%2m.

22M%

因此直線CD:x=2根(y-%)+w，由對稱性知，定點在x軸上，

=2(i)+22=2+2[&+』=2+2.^^=2,

xMIxyJ/

所以直線8過定點。(2,0).

(ii)因為％AS=]|"卜也一刃=；回一為|,

11_o

-2J__J_y一%

Sa=J|PQ|.|%一%|=w——

%必必

所以年向8+5/8=：|必一%|=：,4加2+4=：，'"2+12：,

當(dāng)且僅當(dāng)〃?=。時取到最小值1?.

2

19.(本小題滿分17分)

【解】(1)對于集合人因為|2.5-2|=0.5<1,所以集合A不是規(guī)范數(shù)集;

對于集合8因為8={-1.5,-0.5,0.5,15},

又卜1.5-(-0.5)|=1,|-1.5-0.5|=2,|-1.5-1.5|=3,|-0.5-0.5|=1,|-0.5-1.5|=2,|0.5-1.5|=1,

所以8相伴數(shù)集7={1,2,3},即min(T)=l,故集合8是規(guī)范數(shù)集.

(2)不妨設(shè)集合S中的元素為占<苫2,即min(S)=Apmax(S)=x",

因為S為規(guī)范數(shù)集，則VieN*,14i4"-l,則和且于°eN*,lWioW"-l,使得無加一%=1,

當(dāng)％N0時，

則|min(S)|+|max(S)|=國+屈=%+xn=(x2-%])+(x3-%2)+L(xn-xn_x)+2xx>n-\+2.r(>??-1,

當(dāng)且僅當(dāng)且%=0時，等號成立；

當(dāng)時，

則min(S)|+|max(S)|=|可+聞=-%-%=(%2-^)+(^-x2)+L+(x?-%?_1)-2xn>>n-l,

當(dāng)且僅當(dāng)％+i-％=1且％=0時，等號成立；

當(dāng)玉<0,%>0時，

則|min(s)|+|max(5)=㈤+聞=F+4=(巧一%)+L+(%-%)之〃一1,

當(dāng)且僅當(dāng)無,+「%=1時，等號成立；

綜上所述：|min(S)|+|max(S)|2"-l.

(3)法一:

不妨設(shè)q2VL<“2023，

因為S為規(guī)范數(shù)集，則VieN*,lWiW2022,則且于0eN*,l4i042022,使得4+1-%=1,

當(dāng)q2。時，

貝!|當(dāng)2V〃<2023時，可得。”=(。"一”"-I)+(4-1-。”-2)+L+(/_%)+q2(〃-1)+q，

當(dāng)且僅當(dāng)q+j-q=1,ieN*,14i4〃一1時，等號成立，

則范數(shù)/=+|。)|+L+|tz,Q231=+L+<z,g23-+1+q+L+2022+q,

當(dāng)且僅當(dāng)aM-at=l,ieN*,l<i42022時，等號成立，

_2022x(1+2022)

又q+l+q+L+2022+%=--------------------^+2023q=1011x2023+2023%>1011x2023,

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時，等號成立，

故了21011x2023,即范數(shù)/的最小值1011x2023；

當(dāng)。2023W°時，

=-[(a-“2022)+(2022-02021)+1%023——(%023,

則當(dāng)1W〃<2022時,可得an2023。+L+(見—。〃)]+2。23—")+

當(dāng)且僅當(dāng)生+1—q=l,i￡N*,〃Wi(2022時，等號成立，貝IJ—4N2023—〃—物汨，

貝I」范數(shù)/=|q|+|%|+L+1々20231=—4—〃2—L_%023—2022—6^20232021—^2023+1一々2023+(一"2023)，

當(dāng)且僅當(dāng)4+1—4=Li￡N*,n<i<2022時,等號成立,

2022x(1+2022)

3^2022—1/2023+2021—^2023+L+1—^2023+(—%023)二—2023%023

2

=1011x2023-2023a2023>1011x2023,

當(dāng)且僅當(dāng)〃2023=0時，等號成立，

故了21011x2023,即范數(shù)/的最小值1011x2023；

當(dāng)mm￡N*/VniW2022,使得冊<04冊+1，且〃2。23。0,

2023

當(dāng)2023—2m20,KPm<------,即機(jī)(1011時,

2

則當(dāng)根+1V〃W2O23時,可得紇=(%-最_1)+&_]-%_2)+1+(?,?+2-am+l)+am+1>n-rn-l+am+1,

當(dāng)且僅當(dāng)ai+l-ai=l,ieK,m+l<i<2022時,等號成立,

a

則當(dāng)1W九W〃曲，可得=(?,?+i-,?-i)+L+(an+i-an)>m-n+\,

當(dāng)且僅當(dāng)年+1-4機(jī)時，等號成立，

)

則范數(shù)/=M+k|+L+|%023|=(一4一％一1-^)+(^m+i+L+々2023

((

=4+1_q)+(4+1_%)+L+4+1_4)_^iam+l+(4+1+4+2+L+%023)

>(m+m-l+L+1)-mam+l+(am+1+1+am+l+L+2022-rn+tzm+1)

+(2023-加)(2022-加)(、

H

=2+(2。23-2m)am+}

2

=m-2022m+1011x2023+(2023-2m)am+l

>m2-2022m+1011x2023;

y=rr^-2022m+1011x2023(m<1011),其開口向上，對稱軸為根=1011,

所以JU=10112—2022X1011+1011X2023=1012X10