專題01導數切線問題相關知識點1．函數在某點處的導數的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近點Po(x0,f(x0))時，割線PoP無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數在某點處的導數的幾何意義

函數y=f(x)在x=x0處的導數f'(x0)就是切線PoT的斜率，即==f'(x0).這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為。2．切線方程的求法1、求曲線“在”某點處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點處切線的斜率第二步（寫方程）：用點斜式第三步（變形式）：將點斜式變成一般式。2、求曲線“過”某點處的切線方程步驟第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據直線的點斜式方程，得切線方程為．?？伎键c考點1：求函數某點處切線已知函數f(x)=x3?2lnx，那么f(x)在點(1【答案】x?y=0【分析】求導，根據導數的幾何意義結合直線的點斜式方程運算求解.【詳解】因為f(x)=x3?2lnx，則f'(x)=3x2?2x，

可得f(1)=1，f'1=1，

即切點坐標為1，1，切線斜率為1，

所以切線方程為y?1=1×x?1，整理得x?y=0.

故答案為：【答案】x?y+1=0【分析】根據導數的幾何意義即得.【解析】【解答】因為y=excosx，

所以y'=excosx?故答案為：xy+1=0.3.（2324高二下·陜西西安·期中）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用導數幾何意義去求切線方程即可.【詳解】由，得，所以該曲線在點處的切線斜率為，故所求切線方程為，即．故選：C.4．（2324高二下·吉林·期中）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】求出函數的導數，并求出的值，再利用導數的幾何意義求出切線方程.【詳解】由，求導得，則，解得，于是，，所以所求切線方程為，即.故答案為：已知曲線y=aex+xlnxA．a=e，b=?1 B．a=e，b=1C．a=e?1，b=1【答案】D【分析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得a，將點的坐標代入直線方程，求得b【詳解】解：yk=y'將(1，1)代入y=2x+b得2+b=1，b=?1，故選D．考點2：求函數過某點切線方程1．過原點且與函數fx=lnA．y=?x B．y=?2ex C．y=?【答案】C【分析】先設出切點，再利用導數的幾何意義建立方程求出切線的斜率即可得到結果.【詳解】因為f(x)=ln(?x)，所以設所求切線的切點為(x0,f(由題知，1x0=f(x故所求切線方程為y=?1故選：C.（2324高二上·云南昆明·期末）過點且與曲線相切的直線斜率為（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，進而求出切線斜率.【詳解】設過點與曲線相切的切點坐標為，由求導得：，則切線方程為，于是，整理得，解得，所以所求切線的斜率為1.故選：C3．（2425高二上·江蘇南京·階段練習）過點且與曲線相切的切線斜率不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設切點，結合導數的幾何意義可得切線方程，根據切線過點，可得，進而確定切線斜率.【詳解】由，得，設切點為，則切線斜率，即切線方程為，又切線過點，則，整理可得，解得或或，則切線斜率為或或，故選：D．4．（多選）（2324高二下·貴州·期中）過點且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】運用導數幾何意義，結合導數運算，點斜式可解.【詳解】求導得，設切點為，則，切線方程為，又切線過點，所以，整理得，解得或.當時，，切線方程為.當時，，切線方程為.故選：BC.5．（2324高三上·山東青島·期中）曲線過原點的切線方程為.【答案】【分析】設切點，求導，即可根據點斜式求解切線方程，進而根據直線過原點即可求解切點坐標，進而可求解.【詳解】由得設切點為，則切線方程為由于切線經過原點，所以，解得，所以切線方程為，即，故答案為：考點3：切線條數問題若過點(a,b)可作曲線y=x2?2x的兩條切線，則點(a,b)A．(0,0) B．(1,1) C．(2,0) D．(3,2)【答案】D【分析】設切點的坐標為(t,t2?2t)，求得切線方程為y=(2t?2)(x?t)+t2?2t，把點(a,b)代入得t2【詳解】由函數y=x2?2x設切點的坐標為(t,t2?2t)把點(a,b)代入，可得b=(2t?2)(a?t)+t整理得t2?2at+2a+b=0，因為過點(a,b)可作曲線則方程t2所以Δ=4a2分別把點(0,0),(1,1),(2,0),(3,2)代入驗證，可得只有(3,2)滿足，所以點(a,b)可以是(3,2).故選：D.2．（2324高二下·廣東·期中）過點作曲線的兩條切線，.設，的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩條切線的斜率，由兩直線的夾角公式求得夾角的正切值．【詳解】兩條切線，的傾斜角分別為，，根據題意，，若點是切點時，切線斜率為，若點是切點（點不重合），則，由，解得（舍去），所以直線斜率為，則．故選：C．3．若直線x=1上一點P可以作曲線x=lny的兩條切線，則點P縱坐標的取值范圍為．【答案】0,e???????【分析】先求出過點P1,b的切線方程，分離參數變量，從而轉化為函數直線y=b與曲線y=ft有兩個交點，再借助導數判斷出函數的單調性，從而得出函數的最值，結合直線與曲線的圖象得出點【解析】解：因為曲線x=lny為曲線y=e在曲線y=ex上任取一點Mt,et所以曲線y=ex在點Mt,et又因為切線過點P1,b，則b=令ft=2?t當t<1時，f't>0當t>1時，f't<0所以f(t)由題意知，直線y=b與曲線y=ft有兩個交點，則b<f當t<2時，ft>0；當t>2時，ft<0，故答案為：0,e.

4.若過點P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(?∞,+∞C．(?1,3) D．(?【答案】D【分析】求得f′(x)=?xex【詳解】設過點P(m,0)的直線與曲線f(x)=x+1ex由f(x)=x+1ex，可得f′(x)=?整理得t2因為切線有2條，所以切點有2個，即方程t2則Δ=(1?m)2?4>0，解得所以m的取值范圍是(?∞故選：D．5．（2024高二·全國·專題練習）已知函數若過點存在條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設切點坐標為，由導數的幾何意義求出切線方程，轉化為有三個不等實根，利用導數分析單調性最值，畫出圖象求參數的取值范圍即可.【詳解】設切點坐標為.由題意得，所以函數的圖像在點處的切線的斜率為，所以切線方程為，因為切線過點，所以，則，由題意可知，這個方程有三個不等實根.設，則，由得，由得或.所以函數在和上單調遞減，在上單調遞增，又當趨近于正無窮時，趨近于；當趨近于負無窮，趨近于正無窮，且，所以的大致圖象如圖，所以要使直線與函數的圖象有三個交點，則.故選：C考點4.公切線問題若直線x+y+a=0是曲線fx=x3+bx?14與曲線gA．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由gx=x2?3lnx，利用切線斜率為1求得切點，再將切點代入切線方程求得【詳解】解：因為gx所以g′x=2x?3x，由2x?所以切點為1,1，因為切點在切線x+y+a=0上，解得a=?2，所以切線方程為x+y?2=0，f′x=3由題意得3t2+b=?1所以a?b=11，故選：D.2．（2024·四川成都·二模）直線與函數和的圖象都相切，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設直線與函數的切點為x1,y1，與函數的切點為x2,【詳解】設直線與函數的切點為x1,y1，則設直線與函數的切點為x2,y2，則由；由，；由.由，所以.故選：D3．（2425高二下·全國·課后作業）若曲線與曲線存在公共切線，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設切點，根據導數求解斜率，可得和，進而將問題轉化為與函數的圖象有交點，即可根據導數求解.【詳解】由得，曲線在點處的切線斜率為由得在點處的切線斜率為，如果兩條曲線存在公共切線，那么．又由斜率公式可得，由此得到，則有解，所以直線與函數的圖象有交點即可．當直線與函數的圖象相切時，設切點為，則，且，得，即有切點，此時，故實數a的取值范圍是．

故選：D．4.（多選）（2324高二上·山西運城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】借助導數的幾何意義計算即可得.【詳解】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.故選：BD.5．（2324高三上·江蘇連云港·階段練習）已知直線分別與曲線，相切于點，，則的值為.【答案】1【分析】利用導數求切點處的切線方程，可得，通過指數式對數式的運算，求出的值.【詳解】由，，有，，在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，則有，得，所以，可得.故答案為：1.考點5：切線問題中的參數問題1．（2425高三上·安徽·階段練習）已知曲線，在點處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據導數求出曲線在點處的切線斜率，再根據兩條互相垂直的直線斜率之積等于算出即可.【詳解】，則，則，曲線在點處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：C曲線y=x5?ax+1在x=1處的切線的斜率大于1，則A．?∞,4 B．?∞,3 C．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義即可求解.【詳解】設函數fx=x5?ax+1，則故選：A.3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若曲線y=fx在點處的切線方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代點求解出，然后對函數進行求導，對應求解出，最后求解.【詳解】由已知，，故，，則切線斜率為，故，所以．故選：B.4．（2324高二下·安徽·階段練習）若函數的圖象在點處的切線方程為，則（

）A．13 B．7 C．4 D．1【答案】A【分析】求出函數的導函數，依題意可得，即可得到方程組，求出、的值，再代入計算可得.【詳解】∵函數的圖象在點1,f1處的切線方程為，，，由題可知，，，，，．故選：A5．（2324高二下·天津濱海新·期末）已知，直線與曲線相切，則的最小值是．【答案】25【分析】根據題意設直線與曲線的切點為，進而根據導數的幾何意義得，再根據基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】根據題意，設直線與曲線的切點為，因為，直線的斜率為，所以，，，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立.所以的最小值是25.故答案為：25.考點6：切線綜合問題如圖，函數y=fx的圖象在點P1,y0處的切線是l，則

A．1 B．2 C．0 D．?1【分析】C【分析】根據函數圖象中的數據求出切線l的方程，從而可求出點P的縱坐標，則可得f(1)，求出直線的斜率可得f′【詳解】由圖象可得切線過點(2,0),(0,2)，所以切線l的方程為x2+y所以切線的斜率為?1，所以f因為點P1,y0在切線上，所以y所以f1故選：C.2．（2324高二下·貴州貴陽·階段練習）曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導得到切線斜率，再得到直線方程，再得到截距，進而得到面積.【詳解】解：由，則，，所以在處切線的方程為，令，得，令，得，所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故選：A3．（2024高三·全國·專題練習）已知P是曲線（）上的動點，點Q在直線上運動，則當取最小值時，點P的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出曲線（）和直線的圖象，將所求距離問題轉化為兩平行線距離最小，從而結合兩直線平行，利用導數的幾何意義列方程即可求得切點的橫坐標.【詳解】畫出曲線（）和直線的圖象，如下圖所示

若使得取最小值，則曲線在點處的切線與直線平行，對函數求導得，令，可得，又，解得．故選：C4.已知函數fx(1)求函數fx在區間0,2(2)設gx=2x+kx，若曲線y=fx在點1,f1處的切線與曲線(3)求過點2,f2且與曲線y=f【答案】（1）2k=1y=10x?14或y=x+4.【分析】（1）根據平均變化率公式，即可求解；（2）利用導數求的幾何意義求切線斜率，利用斜率相等，即可求解；（3）首先設切點x0【詳解】（1）函數fx在區間0,2上的平均變化率為f（2）fx=x3?2x+2gx=2x+kx，由題意可知，2?k=1，得k=1；（3）f2=6，設切點為x0則曲線y=fx在點x0,x0則6?x03即x0?2x得x0=2或當x0=2時，切線方程為當x0=?1時，切線方程為綜上可知，切線方程為y=10x?14或y=x+4.5．（2425高三上·陜西西安·階段練習）已知函數，，其中