第六章計數原理（16題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點01：分類加法計數原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識點02：分步乘法計數原理（1）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.知識點03：排列（1）定義：一般地,從個不同元素中取出()個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.（2）相同排列：兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.知識點04：排列數與排列數公式（1）定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同排列的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的排列數,用符號表示.（2）排列數公式①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，（3）全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列,叫做個元素的一個全排列,用符號表示.（4）階乘：正整數1到的連乘積,叫做的階乘,用符號表示.知識點05：組合（1）定義：一般地：從個不同的元素中取出()個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.（3）組合與排列的異同相同點:組合與排列都是“從個不同的元素中取出()個元素”.不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區分某一問題是組合問題還是排列問題,關鍵是看選出的元素是否與順序有關,即交換某兩個元素的位置對結果有沒有影響,若有影響,則是排列問題，若無影響，則是組合問題.知識點06：組合數與組合數公式（1）組合數的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的組合數,用符號表示.（2）組合數公式或：（，）.規定：知識點07：組合數的性質（1）性質1：（2）性質2：知識點08：知識鏈接（1）（2）知識點09：二項式定理及相關概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.（3）二項式系數與項的系數二項展開式中各項的二項式系數為(),項的系數是指該項中除變量外的常數部分,包含符號等.（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點10：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數項、中間項、有理項、系數最大的項等)及其系數等方面有著廣泛的應用.知識點11：二項式系數的性質①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數相等：②增減性：當時，二項式系數遞增，當時，二項式系數遞減；③最大值：當為奇數時，最中間兩項二項式系數最大；當為偶數時，最中間一項的二項式系數最大.④各二項式系數和：；奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：0303題型歸納題型一：分類加法與分步乘法計數原理綜合例題1：（2324高二下·江蘇宿遷·期中）某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．24種 B．10種 C．9種 D．15種【答案】D【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、分類加法計數原理【分析】利用分類加法和分步乘法計數原理計算可得結果.【詳解】依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有中選擇；所以共有種選擇.故選：D例題2：（2324高二下·山西長治·期中）甲、乙、丙等六位同學參加校園安全知識決賽，決出第一名到第六名的名次，甲乙兩人向老師詢問成績.老師對甲說：“你的成績沒有乙、丙的成績高.”對乙說：“很遺憾，你不是第一名.”根據以上信息，6人的名次排列的情況有（

）A．300種 B．120種 C．240種 D．180種【答案】D【知識點】分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據師生對話，結合三人的相對名次，利用插空法進行求解即可.【詳解】因為老師對甲說：“你的成績沒有乙、丙的成績高，所以有兩種相對名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲，因此不同的名次有種可能；老師對乙說：“很遺憾，你不是第一名，當乙是第一名時，有甲沒有丙的名次高，這時不同的名次有種可能，因此6人的名次排列的情況有種可能，故選：D例題3：（2425高二上·全國·課后作業）將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：(1)1號盒中無球的不同放法種數；(2)1號盒中有球的不同放法種數．【答案】(1)27(2)37【知識點】分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】（1）由分步乘法計數原理可直接求出答案；（2）分1號盒中有一個球、1號盒中有兩個球、1號盒中有三個球3種情況進行討論，再根據分類計數原理得到結果．【詳解】（1）1號盒中無球即A，B，C三個球只能放入2，3，4號盒子中，有（種）放法．（2）1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有（種）放法，一類是1號盒中有兩個球，共有（種）放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法．共有（種）放法．鞏固訓練1．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】B【知識點】分組分配問題、分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據給定條件，利用兩個原理，結合排列、組合應用列式計算即可.【詳解】①A校去乙地有種；②A校與另一所學校去丙地有種，③A校單獨去丙地有種，所以共有種，故選：B．2．（2425高二上·全國·課后作業）將《》《》等三本不同的書按如圖所示的方式放在一起，則《》放在最上面或最下面的不同放法共有（

）A．2種 B．4種 C．6種 D．9種【答案】B【知識點】分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】根據條件，利用分類分步計數原理，即可求出結果.【詳解】《》放在最上面或最下面的不同放法共有種，故選：B.3．（2024高三·全國·專題練習）分別編有，，，，號碼的人與椅，其中號人不坐號椅的不同坐法有多少種？【答案】44【知識點】分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】通過樹圖法即可求解.【詳解】樹圖法如下：2通過畫以上樹狀圖可得，號人不坐號椅的不同坐法有種．題型二：捆綁法例題1：（2425高二上·河南·階段練習）在一次文物展覽中，要將5件不同的文物從左到右擺成一排進行展示，其中有2件特殊的文物需要相鄰擺放，則不同的排列方法有（

）A．24種 B．48種 C．96種 D．120種【答案】B【知識點】相鄰問題的排列問題、全排列問題【分析】2個特殊的文物利用捆綁法，再與其他文物全排列即可.【詳解】先把2件特殊的文物放一起，看做一個整體與其余3個全排列，共有種不同的排法，故選：B例題2：（2324高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、全排列問題【分析】利用捆綁法結合分步乘法計數原理求解即可.【詳解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，對其全排列，共有種不同的站法，然后我們把他們捆綁為一個整體，再對這個整體和其他個人全排列，共有種不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法種數為，故D正確.故選：D例題3：（2425高二上·上海·期中）班級迎新晚會有3個唱歌節目、2個相聲節目和1個魔術節目，要求排出一個節目單.(1)魔術節目不排在最后一個節目，有多少種排法？(2)3個唱歌節目要排在一起，有多少種排法?【答案】(1)600；(2).【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】（1）先從3個唱歌節目和2個相聲節目中選1個放在最后，再將其余5個節目全排列，根據分步乘法計數原理即可求解；（2）先將3個歌唱節目捆綁在一起，再與其余3個節目全排列，根據分步乘法計數原理即可求解.【詳解】（1）魔術節目不排在最后一個節目，則先從3個唱歌節目和2個相聲節目中選1個放在最后，有5種排法；其余5個節目任意排，有種排法，所以魔術節目不排在最后一個節目，有種排法.（2）將3個歌唱節目捆綁在一起，看成1個節目有種，與其余3個節目一起排共種，則3個唱歌節目要排在一起，有種排法．鞏固訓練1．（2024·廣東·模擬預測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】D【知識點】其他排列模型、相鄰問題的排列問題【分析】將甲、乙兩人看成一個人，根據n個不同元素圍成的環狀共有種排法求解.【詳解】因為由于環狀排列沒有首尾之分，將n個不同元素圍成的環狀排列剪開看成n個元素排成一排，即共有種排法，由于n個不同元素共有n種不同的剪法，則環狀排列共有種排法.甲、乙兩人相鄰而坐，可將此2人當作1人看，即5人圍一圓桌，有種坐法，又因為甲、乙2人可換位，有2!種坐法，故所求坐法為種.故選：D2．（2324高二下·陜西渭南·期中）用數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數，則1，2相鄰，而3，4不相鄰的數有.【答案】【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】首先把1，2看做一個元素和5兩個元素排列，再在兩個元素形成的三個空中把3，4排列即可．【詳解】∵1，2相鄰，而3，4不相鄰，∴1，2相鄰要看做一個元素，而3，4不相鄰要用插空法，首先把1，2看做一個元素和5兩個元素排列（1，2內部還可排列）有，再在兩個元素形成的三個空中把3，4排列有，所以共有．故答案為：．3．（2324高二上·吉林長春·期中）六個節目制成一個節目單，其中游戲不安排在第一個，唱歌和跳舞相鄰，則不同的節目單順序有種.（結果用數字作答）【答案】192【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、實際問題中的組合計數問題【分析】根據唱歌和跳舞相鄰和游戲不安排在第一個，先將唱歌和跳舞進行捆綁看作一個與除游戲外的三個進行全排，然后將游戲進行插空即可求解.【詳解】先將唱歌和跳舞進行捆綁看作一個與除游戲外的三個進行全排，則有種排法，然后將游戲插入這4個排好的空中（不排第一個），有種，由于唱歌和跳舞的位置可以互換，所以不同的節目單順序有種，故答案為：.題型三：插空法（捆綁與插空綜合）例題1：（2425高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（

）A．144 B．72 C．36 D．24【答案】B【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】由題意知可將當成一個整體來計算，和總計有種排法，再根據插空法可得總排法有.故選：B例題2：（2324高二下·貴州·期中）2024年3月5日至11日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召開.此次大會是高舉旗幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚起扎實推進中國式現代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學習貫徹2024年全國兩會精神”圓桌會議，根據會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有種（用數字作答）.【答案】43200【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，甲和丙不能相鄰，采用插空法，結合圓排列，再根據分步乘法原理計算即可.【詳解】甲和乙必須相鄰，采用捆綁法，將其看作一個整體，與除丙丁外的其他6人排成一圈，共有種排列.甲和丙，丁不能相鄰，采用插空法，甲和乙與除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7個空，但甲與丙丁不能相鄰，故丙丁只有6個空位可選，有種選擇，根據分步乘法原理可知，不同的排法總數為.故答案為：43200

.例題3：（2324高二下·浙江嘉興·期中）從等人中選出人排成一排.(1)三人不全在內，有多少種排法？(2)都在內，且必須相鄰，與都不相鄰，都多少種排法？(3)不允許站排頭和排尾，不允許站在中間（第三位），有多少種排法？（列式并用數字作答）【答案】(1)1800(2)144(3)1560【知識點】全排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）根據全排列，去掉在內的情況即可由排列和組合求解，（2）根據相鄰和不相鄰問題，利用捆綁法和插空法即可求解，（3）分四類情況即可求解.【詳解】（1）從7人中任選5人排列共有種不同排法，三人全在內有種不同排法，由間接法可得三人不全在內共有種不同排法；（2）因A，B，C都在內，所以只需從余下4人中選2人有種不同結果，A，B必須相鄰，有種不同排法，由于C與A，B都不相鄰，先將選出的2人進行全排列共有種不同排法，再將A、B這個整體與C插入到選出的2人所產生的3個空位中有種不同排法，由乘法原理可得共有種不同排法；（3）分四類：第一類：所選的5人無A、B，共有種排法；第二類：所選的5人有A、無B，共有種排法；第三類：所選的5人無A、有B，共有種排法；第四類：所選的5人有A、B，若A排中間時，有種排法，若A不排中間時，有種排法，共有種排法；綜上，共有1560種不同排法.鞏固訓練1．（多選）（2425高二上·遼寧·期末）現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，則下列說法正確的是（

）A．4個男學生排在一起，有1440種不同的排法B．老師站在最中間，有1440種不同的排法C．4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端，有1728種不同的排法D．2名老師之間要有男女學生各1人，有3840種不同的排法【答案】BCD【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題、排列組合綜合【分析】利用捆綁法排列判斷A，特殊元素優先安排（即先安排都是排中間然后再在兩邊安排學生求解判斷B，用插空法（男生插入時需先先安排男生甲）求解判斷C，先任選一名男學生和一名女學生站兩位老師中間，把這四人捆綁后進行排列求解判斷D．【詳解】選項A：4個男學生排在一起共有種站法，則有2880種不同的排法，故A錯誤；選項B：老師站在最中間共有種站法，則有1440種不同的排法，故B正確；選項C：先排老師和女學生，共有種站法，再排男學生甲，有種站法，最后排剩余的3名男學生有種站法，所以共有種不同的站法，故C正確；選項D：先任選一名男學生和一名女學生站兩位老師中間，有種站法，兩名老師的站法有種，再將這一男學生一女學生兩位老師進行捆綁，與剩余的4個人進行全排列有種站法，所以共有種不同的站法.故D正確.故選：BCD．2．（多選）（2324高二下·江蘇徐州·階段練習）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬炮、兵等均為象棋中的棋子．現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法正確的是（

）A．共有120種排列方式．B．若兩個“將”相鄰，則有24種排列方式．C．若兩個“將”不相鄰，則有36種排列方式．D．若同色棋子不相鄰，則有12種排列方式．【答案】AD【知識點】相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】A選項，由全排列知識進行求解，B選項，相鄰問題進行捆綁，再由排列知識求出答案；C選項，不相鄰問題插空法進行求解；D選項，先將2個黑色的棋子進行全排列，再插空即可.【詳解】A選項，由排列知識可得共有種排列方式，故A正確；B選項，兩個“將”捆綁，有種情況，再和剩余的3個棋子進行全排列，故共有種情況，故B錯誤；C選項，兩個“將”不相鄰，先將剩余3個棋子進行全排列，共有4個空，再將兩個“將”插空，故共有種情況，故C錯誤；D選項，將2個黑色的棋子進行全排列，共有3個空，再將3個紅色的棋子進行插空，則有種排列方式，故D正確.故選：AD.3．（2425高二上·陜西渭南·階段練習）求下列問題的排列數：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.【答案】(1)720(種)(2)1440(種)(3)1440(種)【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、不相鄰排列問題【分析】（1）利用捆綁法進行排列計算可得結果；（2）利用插空法先排男生，再將女生插空排列計算可得結果；（3）根據特殊元素排法將兩端排上男生再進行全排列即可得結果.【詳解】（1）根據相鄰問題捆綁法得，先將3名女生全排列，并作為一個元素，再和其余4名男生一起排列，共有(種)不同的安排方法.（2）根據不相鄰問題插空法得，先將4名男生進行全排列，再將3名女生插在5個空位上，共有(種)不同的排列方法.（3）先從4名男生中取2人排在兩端，再將其余5人排在中間5個位置上，共有(種)不同的排列方法.題型四：特殊元素法例題1：（2425高二上·遼寧·階段練習）據典籍《周禮?春官》記載，“宮?商?角?徵?羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數是（

）A．50 B．64 C．66 D．78【答案】A【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、排列組合綜合、分類加法計數原理【分析】以“宮”的順序將音階排序分為四類，再考慮“商”“角”順序，運用排列組合知識可得答案.【詳解】①若“宮”為首音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；②若“宮”為第2音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；③若“宮”為第3音階，“商”“角”可取14，15，24，25音階，排成的音序有種；④若“宮”為第4音階，“商”“角”可取13，15，25，35音階，排成的音序有種.由分類加法計數原理可知，一共有種排法.故選：A.例題2：（2024高三·全國·專題練習）甲、乙、丙等5名同學站一排照相合影，要求甲與乙之間有一人，丙與甲不相鄰，丙與乙相鄰，則不同的排法有種．【答案】8【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、排列組合綜合【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根據計數原理計算即可.【詳解】先安排甲、乙，有種方法，且甲、乙之間有一個空位，而丙與甲不相鄰，所以安排空位有種方法；又丙與乙相鄰，所以丙位置固定，然后讓最后一人站兩端，有種方法；所以不同的排法共有（種）排法.故答案為：8例題3：（2024·上海閔行·一模）從10名數學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數為．【答案】144【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用【分析】利用分步乘法計數原理及排列應用問題列式計算得解.【詳解】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種，所以不同的值班安排方法種數為（種）.故答案為：144鞏固訓練1．（2324高二下·四川遂寧·階段練習）北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．156種 D．240種【答案】C【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、相鄰問題的排列問題、分步乘法計數原理及簡單應用、排列數的計算【分析】先應用捆綁解決相鄰，再分海鵬站位置分類，最后應用分步解決問題.【詳解】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有種排法；第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，故總共有種排法.

故選：C.2．（2324高二下·四川涼山·期中）某校高二年級組織學生去某旅游名勝區春游，包含小明在內的6位同學站成一排照相，小明不站在兩端，則不同的排法有（

）種．A．240 B．300 C．360 D．480【答案】D【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】先排小明，后排其他同學即可得.【詳解】小明先在中間4個位置選一個，然后再排其他5位同學，共有.故選：D.3．（2425高三上·廣東·階段練習）甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側，則不同的站法共有種．【答案】【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據分步乘法計數原理可得解.【詳解】先站甲、乙、丙人，共有種不同的站法，再站剩余人，先將1人排到甲、乙、丙3人之間的空位中，最后將剩余的1人排到前面4人之間的空位中，共有種不同的站法，根據分步乘法計數原理，不同的站法共有種．故答案為：40題型五：間接法例題1：（2425高二上·河南駐馬店·階段練習）某中學高二年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（

）A．57種 B．60種 C．114種 D．120種【答案】A【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、實際問題中的組合計數問題【分析】利用間接法，結合分步乘法計數原理可得解.【詳解】設獲獎的三個班級分別為，，，首先分配“先進集體”獎，有（種）可能；繼續分配“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”這三個獎項，每個獎項分別有，，三種可能，于是有（種）可能，相乘一共有（種）可能，其中一個班級一個獎項都不獲得，也就是分配“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”這三個獎項時均分配到兩個獲得“先進集體”獎的班級，共有（種）可能；兩者相減得所有的頒獎方式有（種）．故選：A．例題2：（多選）（2425高二上·江西·階段練習）某單位安排7名員工周一到周日為期一周的值日表，每名員工值日一天且不重復值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，則不同的安排方案種數為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分類討論求解判斷CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情況求解判斷B，先求出周一不安排甲的排法數,再排除乙排在周三的情況求解判斷A.【詳解】直接法：若乙安排在周一，則有種不同的排法；若乙不安排在周一，則甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有種不同的排法．故所有符合題意的方法共有種，所以選項D正確．間接法：（1）不管條件限制共有種不同的排法．當甲安排在周一或乙安排在周三時，有種不同的排法；當甲安排在周一且乙安排在周三時，有種排法．故所有符合題意的方法共有種，所以選項B正確．（2）從周一到周日的七天位置來看，周一不安排甲共有種不同的排法，其中周三安排乙共有種排法，是不符合題意的，故所有符合題意的方法共有種，所以選項A正確.故選：ABD例題3：（2024·貴州遵義·二模）某校開展勞動技能比賽，高三（1）班有3名男生，5名女生報名參賽，現從8名同學中選4名同學代表班級參加比賽，要求男女生各至少1人，則不同的選派方案共有種．【答案】65【知識點】實際問題中的組合計數問題【分析】利用組合計數問題，結合排除法列式計算即得.【詳解】從8名同學中任選4名，有種方法，其中全是女生的選法有種，所以不同的選派方案共有（種）.故答案為：65鞏固訓練1．（2024高三·全國·專題練習）有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是（

）A．24 B．48 C．72 D．96【答案】B【知識點】不相鄰排列問題【分析】用排除法，5本書的全排列減去語文書和數學書中只有一種是兩本相鄰的排列數，再減去語文書相鄰數學書也相鄰的排列數即可得．【詳解】故選：B．2．（2024·江西新余·模擬預測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】D【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙在最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種.【詳解】采用間接法，先5人全排有種，去掉甲在中間的有種，乙排最左端的有種，然后加上甲在中間和乙在最左端的有種，則共有種排法.故選：D.3．（2024·浙江金華·一模）從1，2，3，4，5，6這六個數中任選三個數，至少有兩個數為相鄰整數的選法有種【答案】16【知識點】實際問題中的組合計數問題、寫出某事件的對立事件【分析】由組合數公式計算出所有選法，減去三個數都不相鄰的選法即可.【詳解】從1，2，3，4，5，6這六個數中任選三個數，共有種選法，其中三個數都不相鄰的，有135，136，146，246這4種，所以至少有兩個數為相鄰整數的選法有204=16種.故答案為：164．（2324高三上·四川內江·階段練習）根據學校要求，錯峰放學去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.（用數字作答）【答案】【知識點】元素（位置）有限制的排列問題【分析】根據題意，由間接法代入計算，即可得到結果.【詳解】總方案有種，1班排在最后有種方案，4班排在第一位有種方案，1班排在最后且4班排在第一位有種方案，則滿足要求的方案有種.故答案為：題型六：隔板法例題1：（2324高二下·河南漯河·階段練習）某學校利用周末時間組織學生進行志愿者服務，高二年級共6個班，其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有3人參加，則共有（

）種分配方法.A．90 B．60 C．126 D．120【答案】C【知識點】分組分配問題【分析】將問題轉化為將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，進而結合隔板法求解即可得到.【詳解】若每個班至少3人參加，由于（1）班有2個志愿者隊長，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故只需在10個名額中的9個空上放置5個隔板即可，有種分配方法.故選：C.例題2：（2324高二下·山西臨汾·期中）將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數為（

）A．56 B．126 C．210 D．462【答案】B【知識點】分組分配問題【分析】根據題意，結合“隔板法”，即可求解.【詳解】將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額的分法，類比于用5個隔板插入10個小球中間的空隙中，將球分成6堆，由于10個小球中間共有9個空隙，因此共有種不同的分法.故選：B例題3：（2425高二上·全國·課后作業）將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為，恰有一個空盒子的方法數為．【答案】35175【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、實際問題中的組合計數問題【分析】對于空1，先把8個相同的小球排成一行，求出用隔板法將8個相同的小球分成5份的方法數即得解；對于空2，先選出一個空盒子，接著求出用隔板法將排成一行的8個相同的小球分成4份的方法數，再結合分步乘法計數原理即可求解.【詳解】先把8個相同的小球排成一行，然后在8個小球之間的7個空隙中任選4個空隙各插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，故每個盒子都不空的方法數共有種；若恰有一個空盒子，先選出一個空盒子，有種選法，并在8個小球之間的7個空隙中任選3個空隙各插入一塊隔板，有種插法，故由分步乘法計數原理恰有一個空盒子的方法數共有種.故答案為：35；175.鞏固訓練1．（2425高三上·江蘇南通·階段練習）把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（

）A．70 B．99 C．110 D．165【答案】D【知識點】分組分配問題【分析】相同元素的分配問題用“隔板法”即可.【詳解】當8個相同的藍球只分給其中1人時，有4種分法；當8個相同的藍球分給其中的2人時，先從4人里面選出2人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出1個空插入1個“隔板”即可，此時有種分法；當8個相同的藍球分給其中的3人時，先從4人里面選出3人，再將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出2個空插入2個“隔板”即可，此時有種分法；當8個相同的藍球分給其中的4人時，每人至少一個，此時將8個相同的藍球排成一排，形成的7個空里面選出3個空插入3個“隔板”即可，此時有種分法；因此把8個相同的藍球分發給甲、乙、丙、丁4人時，不同的分發種數有：故選：D.2．（天津市紅橋區20242025學年高二上學期1月期末考試數學試題）某學校準備組建一個18人的足球隊，這18人由高二年級十個班的學生組成，每個班至少一人，名額分配方案共種(用數字填寫).【答案】24310【知識點】實際問題中的組合計數問題、組合數的計算【分析】采用“隔板法”求解即可.【詳解】構成一個隔板模型，取18個棋子排成一排，在相鄰的每兩個棋子形成的17個間隙中選取9個插入隔板，這樣就把18個元素分成10個區間，第個區間的棋子個數對應第個班級的學生名額，因此，名額分配方案的種數與隔板插入數相等，因隔板插入數為，所以名額分配方案共有24310種.故答案為：24310.3．（2324高二下·全國·課后作業）將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為.【答案】35【知識點】實際問題中的組合計數問題【分析】用插隔板法：先把8個相同的小球排成一行，然后在8個小球之間的7個空隙中任選4個空隙各插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，由此可得結論．【詳解】先把8個相同的小球排成一行，然后在8個小球之間的7個空隙中任選4個空隙各插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，故每個盒子都不空的方法數共有種.故答案為：35.題型七：分組、分配問題（平均分，部分平均分，不平均分）例題1：（2425高二上·遼寧遼陽·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名導游分別前往沈陽故宮、本溪水洞、鞍山千山、盤錦紅海灘四個景區承擔義務講解任務，要求每個景區都要有導游前往，且每名導游都只安排去一個景區，則不同的安排方法種數為（

）A．1280 B．300 C．1880 D．1560【答案】D【知識點】分組分配問題【分析】利用先分組再分配的思想結合排列組合的知識求解.【詳解】將6名導游分成四組，各組人數分別為1，1，1，3或1，1，2，2．當各組人數為1，1，1，3時，共有種安排方法；當各組人數為1，1，2，2時，共有種安排方法．故不同安排方法有種．故選：D.例題2：（2024·貴州六盤水·模擬預測）甲、乙、丙、丁四位同學去三個不同的地方參加社會實踐活動，要求每個地方至少有一名同學參與，且每人只能去一個地方，則一共有種不同的分配方案（用數字作答）【答案】【知識點】分組分配問題【分析】先分成三組，再對三組進行分配即可得.【詳解】先將四名同學分成人、人、人三組，則有種分法，再將三組人隨機分配至三個不同的地方有種分法，故共有種不同分配方案.故答案為：.例題3：（2024高三·全國·專題練習）現有20個不同顏色的玻璃球，按照以下要求分配，共有多少種分配方法？(1)均勻地分為2組；均勻地分為4組.(2)分為3組，其中兩個組各6個球，另外兩個組各4個球.(3)從這20個玻璃球中選取19個玻璃球，放進3個不同的紙盒中，每個紙盒中至少放6顆球.【答案】(1)；(2)(3)【知識點】實際問題中的組合計數問題【分析】根據題意，利用排列數與組合數的概念與計算公式，即可求解.【詳解】（1）在抽取過程中，人為考慮了排列問題，例如，先抽取10個玻璃球，剩10個玻璃球，和先抽取剩的10個玻璃球是同一種情況，切勿計算兩次.平均分組不用管組與組之間的順序，先從20個不同顏色的玻璃球中抽取10個玻璃球作為一組，剩下的10個玻璃球作為一組，然后再除以重復的倍數，重復的倍數與分組的數量相關，具體次數是組數的一個全排列，即.同理，均勻地分為4組的分配方法有種.（2）先從20個不同顏色的玻璃球中抽取6個玻璃球，然后從14個不同顏色的玻璃球中抽取6個玻璃球，再從8個不同顏色的玻璃球中抽取4個玻璃球，剩下的4個不同顏色的玻璃球為一組，這時前面兩個分組的數量相同，后面兩個分組的數量也相同，所以存在排列問題，只需除以兩次2的全排列，即.（3）首先把不同的對象分成相應的組，然后把分成的組進行排列，將19個球分為6、6、7組進行分配，即.鞏固訓練1．（2425高二上·山東德州·階段練習）2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等8名志愿者到甲乙兩個路口做引導員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數為（

）A．82 B．100 C．124 D．164【答案】C【知識點】分組分配問題【分析】根據題意，先分配特殊的兩個人，再將剩余6個人分到兩個路口，按照分組分配相關知識進行計算即可．【詳解】若小王在甲號路口，小李在乙號路口，則剩余6個人分到兩個路口，兩個路口為人分布，共有種方案，兩個路口為人分布，共有種方案，兩個路口為人分布，共有種方案，此時共有種方案；同理若小王在甲號路口，小李在乙號路口，也共有種方案．所以一共有種不同的安排方案種數．故選：C．2．（2324高二下·福建泉州·期末）如圖為某公交線路圖的一部分，現在6名同學從安一中站點上車，分組到人民銀行、實驗小學、鳳山公園、鳳山書院4個站點參加公益宣傳活動，每個站點至少一人，且實驗小學站至少2人，則下車的不同方案種數為（

）A．120 B．480 C．540 D．660【答案】D【知識點】分類加法計數原理、分組分配問題【分析】分別考慮實驗小學站2人，實驗小學站3人，根據分組分配問題，結合排列組合即可求解．【詳解】當實驗小學站2人，種．實驗小學站3人，種．則下車的不同方案種數為．故選：D．3．（2425高三·上海·課堂例題）身高互不相同的個人呈橫排縱列照相，每個人都比他同列身后的人個子矮，則不同的排法種數是種．【答案】90【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、排列組合綜合、分組分配問題【分析】根據條件，將個人平均分成三組，再全排，即可求出結果.【詳解】將個人平均分成三組，有種方法，再進行全排，有種排法，故答案為：.題型八：染色問題例題1：（2425高二上·遼寧·期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區域顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A．48種 B．96種 C．102種 D．120種【答案】B【知識點】涂色問題、排列組合綜合【分析】設圖中的六個區域分別為，按照是否同色，分兩類，再結合分步乘法計數原理運算求解.【詳解】如圖，設圖中的六個區域分別為，按照是否同色，分兩類：①不同色，先給涂色，有，再根據是否用余下那種顏色分兩種情況，不用第三種顏色，即用的顏色，用的顏色，有種，有種，則有種涂法；用第三種顏色，即用第三種顏色，用的顏色，有種，有種，或用第三種顏色，用的顏色，則有種涂法，所以不同色的涂法有：，②同色，先給涂色，有，則只能用第三種顏色，有種，有種，所以同色的涂法有：，綜上，不同的涂色方法有：種.故選：B.例題2：（2324高三上·廣東東莞·階段練習）如圖所示，相鄰區域不得使用同一顏色，現有種顏色可供選擇，則涂滿所有區域的不同的著色方法共有種(用數字填寫答案)【答案】72【知識點】涂色問題、排列數的計算【分析】分用3色涂或4色涂兩種情況求解可得結論.【詳解】若用3色涂，則應先把1，2，3，4，5五塊區域分成三組，每組能用一種顏色涂，分組方法是35，24，1，此時的涂法有種，若用4色涂，則應先把1，2，3，4，5五塊區域分成四組，每組能用一種顏色涂，分組方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此時的涂法有種，所以總的涂色方法有.故答案為：.例題3：（2025高三·全國·專題練習）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區域涂色，要求相鄰的區域顏色不同，則一共有多少種不同的涂色方法？【答案】180【知識點】涂色問題、排列數的計算、分步乘法計數原理及簡單應用、實際問題中的組合計數問題【分析】分選擇四種顏色和選擇三種顏色兩種情況分別求出涂色方法即可.【詳解】若選擇四種顏色，則有種不同的涂色方法；若選擇三種顏色，則有種不同的涂色方法，故一共有種不同的涂色方法.鞏固訓練1．（2324高二下·廣東肇慶·階段練習）如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區域涂色，要求任意兩個相鄰區域不同色，有多少種不同涂色方法（

）13425A．120 B．72 C．288 D．144【答案】D【知識點】涂色問題【分析】根據任意兩個相鄰區域不同色，利用分步計數原理即可求解．【詳解】如圖，區域1有4種選法，區域2有3種選法，區域3有2種選法，區域4可選剩下的一種或選區域1，2所選的顏色，共有3種選法，區域5從區域4剩下的2種顏色中選有2種選法，共有種．故選：D2．（2324高二下·寧夏吳忠·階段練習）如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有種不同的著色方法.【答案】180【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用【分析】由分步乘法計數原理即可求解.【詳解】先給地區I染色有5種選擇，再給地區II染色有4種選擇，然后給地區III染色有3種選擇，最后給地區IV染色也有3種選擇，綜上所述，滿足題意的染色方法共有種.故答案為：180.3．（2324高二下·重慶·期末）如圖，為我國數學家趙爽驗證勾股定理的示意圖，用五種顏色（其中一種為黃色）對圖中四個區域進行染色，每個區域只能用一種染色.若必須使用黃色，則四個區域中有且只有一組相鄰區域同色的染色方法有種；若不使用黃色，則四個區域中所有相鄰區域都不同色的染色方法有種.【答案】【知識點】分類加法計數原理、分步乘法計數原理及簡單應用、涂色問題、排列組合綜合【分析】按同色區域用黃色和不用黃色分類，再結合分步乘法計數原理列式計算即得；按用色多少分成3類，再在每一類中采用先取后排的方法列式計算即得.【詳解】根據題意，要求四個區域中有且只有一組相鄰區域同色，而同色的相鄰區域共有4種，不妨假設為同色，①若同時染黃色，則另外兩個區域共有種染色方法，因此這種情況共有種染色方法；②若同時染的不是黃色，則它們的染色有4種，另外兩個區域一個必須染黃色，所以這兩個區域共有，因此這種情況共有種染色方法，綜上可知有且只有一組相鄰區域同色的染色方法的種數為種；根據題意，因為不用黃色，則只有四種顏色可選，分3種情況討論：①若一共使用了四種顏色，則共有種染色方法；②若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在相對的區域，所以一共有種染色方法；③若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組相對區域，所以共有種染色方法，綜上可知所有相鄰區域都不同色的染色方法的種數為84種.故答案為：；【點睛】思路點睛：染色問題，可以按用色多少分類，再在每一類中找同色方案，并結合排列組合綜合問題求解.題型九：排數問題例題1：（2024高三·全國·專題練習）從1，3，5，7中任取2個數字，從0，2，4，6，8中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有（

）A．252個 B．300個C．324個 D．228個【答案】B【知識點】分類加法計數原理、數字排列問題、排列組合綜合【分析】根據題意，分三種情況進行討論，四位數中包含5和0的情況，四位數中包含5，不含0的情況，四位數中包含0，不含5的情況，再由分步計數原理，即可求解．【詳解】（1）若四位數中含有數字0不含數字5，則選法是，可以組成四位數個；（2）若四位數中含有數字5不含數字0，則選法是，可以組成四位數個；（3）若既含數字0，又含數字5，選法是，排法是若0在個位，有種，若5在個位，有種，故可以組成四位數個．根據加法原理，共有個．故選：Ｂ．例題2：（2324高二下·江蘇南京·階段練習）“漸升數”是指每一位數字都比左邊數字大的正整數（如1347），那么四位“漸升數”有個，比5789小的四位“漸升數”有個.（用數字作答）【答案】【知識點】組合數的計算、代數中的組合計數問題、分類加法計數原理【分析】根據題意，利用“漸升數”的定義，集合組合數公式，分類討論，即可求解.【詳解】根據題意，“漸升數”中不能有0，則在其他的9個數字中任取4個數，則每種取法對應一個“漸升數”，所以四位“漸升數”有個；當千位數字為時，此時得到的漸升數都小于5789，有個；當千位數字為時，此時得到的漸升數都小于5789，有個；當千位數字為時，此時得到的漸升數都小于5789，有個；當千位數字為時，此時得到的漸升數都小于5789，有個；當千位數字為，百位數字為時，此時得到的漸升數都小于5789，有個，綜上可得，比5789小的四位“漸升數”有個.故答案為：；.例題3：（2324高二下·天津北辰·階段練習）從1，3，5，7中任取兩個數，從0，2，4，6中任取兩個數，組成沒有重復數字的四位數．這樣的四位偶數有個．（用數字作答）【答案】396【知識點】數字排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、代數中的組合計數問題【分析】利用分步乘法計數原理求出個位為偶數字的排列數，去掉最高位是數字0且個位為偶數字的排列數即可得結果.【詳解】取出兩個奇數字和兩個偶數字的方法數為種，把取出的4個數字排列，個位為偶數字的排列方法數為，其中取出數字0并排在最高位，個位為偶數字的有，所以符合要求的四位偶數個數為.故答案為：396鞏固訓練1．（2425高二下·全國·課后作業）從，，，，，，這個數中任選個組成一個沒有重復數字的“五位凹數”（滿足），則這樣的“五位凹數”的個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【知識點】分步乘法計數原理及簡單應用、實際問題中的組合計數問題【分析】利用分步乘法計數原理可得.【詳解】第一步，從，，，，，，這個數中任選個共有種方法，第二步，選出的個數中，最小的為，從剩下的4個數中選出個分給，由題意可知，選出后就確定了，共有種方法，故滿足條件的“五位凹數”個，故選：A2．（2425高二上·江西·階段練習）若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”，如360，253等都是“凸數”．用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的三位數，則在組成的三位數中“凸數”的個數為．（用數字作答）【答案】14【知識點】數字排列問題、元素（位置）有限制的排列問題、分類加法計數原理、排列組合綜合【分析】根據給定條件按三位數中是否有0分類，再利用排列組合應用問題列式計算得解.【詳解】將這些“凸數”分為兩類：①含數字0，則0一定在個位上，有種；②不含數字0，則有種，所以在組成的三位數中，“凸數”的個數為.故答案為：143．（2024高三·全國·專題練習）用，，，，，這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第個數是．【答案】【知識點】數字排列問題、排列數的計算【分析】根據四位數偶數，分千位數字是1，2，3，分別計算得出第71個數.【詳解】①千位為，個位為，有個；②千位為，個位為，有個；③千位為，個位為，有個；④千位為，個位為，有個；⑤千位為，個位為，有個；⑥千位為，百位為，個位為（或），各有個．共個．接下來有,,,,，，第個數是．故答案為：3140.題型十：系數例題1：（2425高三上·北京順義·階段練習）已知，則（

）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【知識點】求指定項的系數【分析】根據二項展開式的通項公式求解即可.【詳解】二項展開式的通項公式為，令，可得，所以，故選：C例題2：（2425高二上·廣西·期末）的展開式中的系數為.【答案】【知識點】代數中的組合計數問題、求指定項的系數【分析】結合組合知識可得答案.【詳解】可看作5個相同的因式相乘，個含有的括號中，1個括號取個括號取個括號取個括號取1，乘在一起構成這一項，或者3個括號取個括號取，乘在一起構成這一項，所以的系數為.故答案為：.例題3：（2425高三上·河北滄州·階段練習）的展開式中含的項的系數為.【答案】120【知識點】求指定項的系數、兩個二項式乘積展開式的系數問題【分析】根據二項展開式的通項公式求解即可.【詳解】展開式的通項公式為，中的乘以展開式的常數項得到一部分，中的乘以展開式中的含的項得到一部分，故展開式中含的項的系數為.故答案為：鞏固訓練1．（2024·上海青浦·一模）的展開式中，項的系數為.【答案】【知識點】求指定項的系數、兩個二項式乘積展開式的系數問題【分析】寫出展開式的通項，利用通項求出項的系數.【詳解】展開式的通項為，，所以含的項為，即項的系數為.故答案為：2．（2024·重慶·模擬預測）的展開式中的各項系數和為243，則該展開式中的系數為.【答案】【知識點】二項展開式各項的系數和、兩個二項式乘積展開式的系數問題【分析】令求出，然后求出展開式中的常數項和含的項，分別與因式中的項相乘可得.【詳解】令可得，解得，的展開式中通項，，分別令，得，所以展開式中的常數項和含的項分別為，所以展開式中的系數為.故答案為：3．（2425高三上·湖南·階段練習）的展開式中的系數為.【答案】【知識點】求指定項的系數、三項展開式的系數問題【分析】分析找到滿足題意的項，化簡即可得到結果．【詳解】根據題意，展開式中的項為則的系數為：故答案為：.題型十一：有理項、常數項例題1：（2324高二下·內蒙古通遼·期中）已知在的展開式中，第項為常數項，則展開式中所有的有理項共有（

）A．5項 B．4項 C．3項 D．2項【答案】C【知識點】求有理項或其系數、由項的系數確定參數【分析】寫出展開式的通項，結合第項為常數項，求出，再利用通項求出有理項的項數.【詳解】二項式展開式的通項為（且），因為第項為常數項，所以時，有，解得，則展開式的通項為（且），由，令，，則，即，因為，所以應為偶數，所以可取，即可以取，所以第項，第項，第項為有理項，即展開式中有理項的項數為.故選：C.例題2：（多選）（2324高二下·甘肅酒泉·期末）關于二項式的展開式，下列說法錯誤的是（

）A．常數項為－60 B．有理項的項數為4C．各項系數之和為64 D．二項式系數最大的項為第4項【答案】AC【知識點】二項式系數的增減性和最值、二項式的系數和、求指定項的系數、求有理項或其系數【分析】求出二項式展開式的通項，由此可判斷AB；利用賦值法可判斷C；根據二項式展開式的二項式系數性質可判斷D.【詳解】二項式展開式的通項（）．令，得，此時，故常數項為60，故A錯誤；若為展開式中的有理項，則為整數，即r為偶數，故r＝0，2，4，6時，均滿足有理項要求，共有4項，故B正確；令得，，所以各項系數之和為1，故C錯誤；展開式共有7項，最中間一項二項式系數最大，而最中間為第4項，所以展開式中二項式系數最大的項為第4項，D正確．故選：AC例題3：（2024高三·全國·專題練習）的展開式中的常數項為．【答案】【知識點】求指定項的系數、三項展開式的系數問題【分析】先求出展開式的通項，再令的系數都為零時列方程組求出，最后計算即可；【詳解】的展開式為．令解得所以其常數項為．故答案為：鞏固訓練1．（2324高二下·遼寧丹東·階段練習）二項式的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則此展開式中有理項的項數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】求有理項或其系數、由項的系數確定參數、等差數列的應用、組合數方程和不等式【分析】由二項式展開式求出前3項的系數，由條件列方程求出，再由展開式通項公式確定有理項的項數.【詳解】因為二項式的展開式的通項公式為，所以二項式的展開式的前三項的系數依次為，由已知依次成等差數列，且，則，即，化簡得，解得，或（舍去），故二項式的展開式的通項公式為，.設為有理項，則為整數，可得，故此展開式中有理項的項數是3.故選：C.2．（甘肅省酒泉市普通高中20222023學年高二上學期末調研考試數學試題）展開式中的常數項為（

）A．480 B． C．240 D．260【答案】C【知識點】求指定項的系數【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對有，則有，即展開式中的常數項為.故選：C.3．（2324高二下·江蘇南通·階段練習）二項式的展開式中有理項的項數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知識點】求有理項或其系數【分析】根據題意，求得二項式的展開式的通項為，結合通項，即可求解.【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為：，其中，當時，展開式為有理項，所以二項式的展開式中有理項的項數為5項.故選：B.題型十二：利用項的系數求參數例題1：（2425高三上·廣東潮州·階段練習）已知存在常數項，且常數項是，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【知識點】由項的系數確定參數【分析】求出二項式展開式的通項公式，由常數項是即可得.【詳解】的展開式的通項公式為，，令，得，，則展開式的的常數項為，所以，.故選：B例題2：（2425高二上·甘肅白銀·期末）若的展開式中含的系數為15，則實數（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【知識點】兩個二項式乘積展開式的系數問題【分析】根據二項式展開式的通項公式列方程來求得的值.【詳解】的展開式的通項，所以的展開式中含的系數為，令，即，解得．故選：D例題3：（天津市紅橋區20242025學年高二上學期1月期末考試數學試題）已知展開式的二項式系數和為64.(1)求n的值；(2)若展開式中的常數項為20，求m的值.【答案】(1)6；(2)1.【知識點】二項式的系數和、由項的系數確定參數【分析】（1）由二項式系數和定義可直接得n的值；（2）由（1）中的n的值求出展開式中的通項式，令的指數等于0，求出通項式中的，帶回通項式求得的值.【詳解】（1）因為展開式的二項式系數和為，所以；（2）因為展開式中的通項公式為，整理得，令，得，則，解得.鞏固訓練1．（2425高二上·遼寧·期末）已知的展開式中，常數項為135，則的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】D【知識點】由項的系數確定參數【分析】先求的展開式的通項公式，再結合式子特點令，得出，即可得到關于的方程，解出.【詳解】展開式的通項公式為，令，可得，因此，展開式中的常數項為．則，解得．故選：D.2．（2425高三上·上海·期中）已知二項式的展開式中的系數為15，則．【答案】3【知識點】由項的系數確定參數【分析】寫出二項展開式的通項公式，得到，故得到，求出答案.【詳解】展開式通項公式為，令得，故，解得.故答案為：33．（2025高三·全國·專題練習）的展開式中常數項為70，則的值為．【答案】1【知識點】求指定項的系數、由項的系數確定參數【分析】根據二項展開式的通項特征，即可求解常數項得解.【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中常數項為，又，所以．故答案為：1.題型十三：賦值法求二項式系數和例題1：（2425高二上·廣西·期末）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】C【知識點】二項展開式各項的系數和、奇次項與偶次項的系數和【分析】根據已知條件，結合二項式定理，利用賦值法逐項求解各個選項即可.【詳解】令，得，故A不正確；令，得，所以，故B不正確；令，得，所以，故C正確；令，得，所以D不正確.故選：C例題2：（2425高三上·重慶·期末）若，則.【答案】【知識點】基本初等函數的導數公式、二項展開式各項的系數和【分析】對兩邊求導，再令可得答案.【詳解】對兩邊同時求導可得：，再令可得：．故答案為：例題3：（2425高二上·遼寧·期末）若的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，且.(1)求的系數；(2)求的值.【答案】(1)180(2)【知識點】求指定項的系數、二項展開式各項的系數和【分析】（1）應用已知條件利用二項式系數的性質求出，結合二項式定理求出.（2）由（1）的結論，利用賦值法求出所求式子的值.【詳解】（1）第3項與第9項的二項式系數相等，則，解得，所以.所以的展開式中項為：，所以.（2）由（1）知，的展開式中，當時，，由二項展開式可得：所以都是正數，都是負數，所以當時，，所以.鞏固訓練1．（2425高三上·江西撫州·階段練習）設，則.【答案】【知識點】二項展開式各項的系數和【分析】利用賦值法，即可求解.【詳解】令，則，令，則，∴.故答案為：2．（2425高二上·北京·期末）設，則.【答案】0【知識點】二項展開式各項的系數和【分析】根據給定條件，利用賦值法求出值即可得解.【詳解】取，得，取，得，所以.故答案為：03．（2425高二上·遼寧·期末）設，求：(1)；(2).【答案】(1)(2)16384.【知識點】求指定項的系數、奇次項與偶次項的系數和、二項展開式各項的系數和【分析】（1）先取，得，進而分別代入和后兩式相加可得，從而求得答案；（2）由（1）可求得，根據展開式的通項可得運算得解.【詳解】（1）由條件，取，得到；取，得到取，得到兩式相加得到，所以.（2）根據（1）知：展開式的通項為：，故當為偶數時，對應系數為正；當為奇數時，對應系數為負，故.題型十四：不等式法求系數最大、最小項例題1：（2425高二下·全國·課后作業）已知的展開式的第5，6，7項的二項式系數依次成等差數列，且展開式的項數為偶數．(1)求的值；(2)求二項展開式中系數的絕對值最大的項．【答案】(1)(2)第7項．【知識點】二項展開式的應用、由二項展開式各項系數和求參數、求指定項的二項式系數【分析】（1）根結題意，得到，即，進而求得的值；（2）由（1）求得展開式的通項為，假設二項展開式中系數絕對值最大的是第項，列出不等式組，結合，即可求解.【詳解】（1）解：由二項式的展開式的第5，6，7項的二項式系數依次成等差數列，可得，即，解得或，又因為展開式的項數為偶數，所以.（2）解：由（1）知：可得展開式的通項為，假設二項展開式中系數絕對值最大的是第項，則滿足，解得，因為，所以，即二項展開式中系數絕對值最大的項為第7項．例題2：（2324高二下·浙江·期中）在二項式的展開式中，(1)若第4項的系數與第6項的系數比為5∶6，求展開式中的有理項；(2)若展開式中只有第5項的二項式系數最大，求展開式中系數最大的項．【答案】(1)，，(2)，【知識點】求有理項或其系數、求系數最大（小）的項、二項式系數的增減性和最值、由項的系數確定參數【分析】（1）根據已知條件及二項展開式的通項公式，結合有理項的特點即可求解；（2）利用二項式系數的性質及系數的最大項的求法即可求解.【詳解】（1）由題意得,∴，即,解得或（舍）.∴，，1，2，…6，所以，3，6時為有理項即展開式中的有理項為：，，.（2）因為展開式中只有第5項的二項式系數最大，所以，設第項的展開式系數最大，則,解得。所以展開式中系數最大項為：，.例題3：（2324高二下·福建福州·期中）已知在二項式的展開式中，第三項的系數是第二項的系數的倍．(1)求正整數的值；(2)若展開式中各項系數之和為，二項式系數之和為，求的值；(3)求系數最大的項．【答案】(1)(2)(3)【知識點】二項展開式各項的系數和、求系數最大（小）的項、二項式的系數和、由項的系數確定參數【分析】（1）根據二項式展開式通項找到項的系數，因為第三項的系數是第二項的系數的倍列出等式，計算解出的值；（2）利用賦值法計算各項系數之和，計算二項式系數之和，再得出的值；（3）根據二項式展開式通項找到項的系數，利用不等式關系計算出系數最大的項；【詳解】（1）由題意得，二項式的展開式的通項為，，第三項的系數是第二項的系數是又由第三項的系數是第二項的系數的倍，有解得；（2）對于二項式，令，即得展開式中各項系數之和為，可得，展開式的二項式系數之和為，可得，可得；（3）展開式的通項為，，則整理得，即而，∴，所以系數最大的項為．鞏固訓練1．（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習）已知.(1)若展開式中只有第5項的二項式系數最大，求的值；(2)當時，二項式的展開式中的系數為A，常數項為，若，則求的值；(3)當時，求二項式的展開式中系數最大的項.【答案】(1)8(2)2或2(3)【知識點】二項式系數的增減性和最值、求系數最大（小）的項、二項展開式的應用、求指定項的系數【分析】（1）根據二項定理展開式的性質可得；（2）根據二項式定理通項公式求出的系數與常數項，由條件可求的值；（3）根據二項式定理通項公式，設第r項系數最大，建立不等關系可求出的值，得系數最大的項.【詳解】（1）展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式共9項，故.（2）當時二項式為，由二項式定理通項公式得，令，得，所以，令，得，所以，又，解得（舍去）或或，所以或.（3）當時二項式為，由二項式定理通項公式得，設第r項系數最大，則，即，故，所以二項式的展開式中系數最大的項為.2．（2324高二下·山東臨沂·期中）在的展開式中．(1)求展開式中各項系數之和；(2)將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率；(3)求展開式中系數最大的項．【答案】(1)2187(2)(3)【知識點】不相鄰排列問題、求系數最大（小）的項、二項展開式各項的系數和【分析】（1）利用賦值法計算即可；（2）先利用二項式展開式通項公式確定有理項，再利用插孔法計算概率即可；（3）設第項系數最大，建立不等式組計算即可.【詳解】（1）令，可得展開式中各項系數之和為．（2）因為，，1，2，…，7，所以當，3，5，7時為有理項，由插空法可得有理項不相鄰的概率為．（3）設第項系數最大，則，即，解得，故此時，故所求系數最大的項是第6項，為．3．（2324高二下·江蘇南京·期末）已知（，）的展開式中，第2，3，4項的二項式系數成等差數列.(1)求的值；(2)求的近似值（精確到0.01）；(3