三年級奧數：和倍問題，和差問題,

差倍問題，周期問題，時間問題

I三年級奧數：和倍問題

三年級奧數：和倍問題

和倍問題，就是已知幾個數的和與這幾個數之間的倍數關系，求這幾個數各是多

少的應用題。解和倍問題的關鍵是要找準"和〃與"倍"，并能借助線段圖來解

決問題。解和倍問題的一般思路是：（1）讀題，找出最小的一個數，把它看成

1倍量；（2）畫圖，用線段圖表示出數與數之間的倍數關系；（3）比較，觀察

圖形準確判斷”和〃里面一共是幾倍或幾倍多幾（幾倍少幾），即判斷"和"相

當于幾個1倍量，并求出1倍量；（4）代入，根據1倍量與幾個數之間的倍數

關系求出其他的數。

三年級奧數:和倍問題

請在正確的結論前面面打

(V)1、甲是乙的3倍,如果把乙看成1份，那么甲是3份。

(V)2、甲是乙的3倍,如果把乙看成1份，那么甲、乙

的和是4份。

(V)3、甲是乙的4倍,如果把乙看成1份，那么甲、乙

的和是5份。

已知兩個數的倍數關系，把較小的數看成1份，較大的數就是較小數的幾倍，較

大的數就是幾份。下面我們來看例題1。

］三年級奧數:和倍問題

例1:王伯伯家一共養了300只雞，其中母雞的只數是公雞的

3倍多20只，他家養的母雞和公雞各有多少只？

根據倍數關系畫出

-----------?線段圖，把公雞看

3001：成1份，從30。中減

-------1------------去20只后，余下的

300-20=280（只）相當于多少份呢？

1+3=4

280-4=70（只）——公雞

70x3+20=230（只）——母雞

答：他家養的母雞有230只，公雞有70只。

例題1

解決這類和倍問題時，首先根據倍數關系畫出線段圖，以較小量為一段，先畫出

較小的的量，然后找到和相當于多少份，求出一份數。T分的數知道了，其他的

問題也就好解決了。

3年級奧數:和倍問題

前7師徒合作加工一批零件，3天共加工了120個，

師傅每天加工的個數是徒弟的3倍。師傅和徒弟每天

各加工多少個零件？

徒弟?_____?1師徒兩人1天題目中的倍數關系

，力口工120-3是每天的倍數關系,

師傅??______I--------I-I=40（個）那么兩人每天的和

1+3=4是多少？

40-4=10（個）----徒弟

10x3=30（個）----師傅

答：師傅每天加工30個零件，

徒弟每天加工10個零件。

例題2

我們知道，平均數（每份數）二總數:總份數。師傅和徒弟的總份數根據題意可

以看成是和徒弟加工個數一樣的4份。當兩個量的和與倍數關系不對應時，先求

出與倍數關系對應的和，再畫線段圖求出兩個量。

3年級奧數:和倍問題

W：實驗小學這學期共有360人參加音樂、科技

和美術興趣小組的活動。其中參加科技小組的人

數是音樂小組的2倍，參加美術小組的人數是音樂

小組的3倍。參加三個小組的人數各是多少？

音樂根據倍數關系畫出

線段圖,把最少的

科技360人

畫在上面。把音樂

美術

小組的人數看成1

1+2+3=6份，那么三個小組

360-6=60（人）--音樂的總人數是多少份?

60x2=120（人）—科技

60x3=180（人）———美術

例題3

求三個量的和倍問題時，先比較三個數的大小，再找出1倍量，畫出線段圖，然

后通過“剪尾巴"或"填坑〃找到三個數的和相當于多少份，求出1份數。

通過以上的例子，詳細大家已經對和倍問題有了一定的了解，下面我就給大家出

一些相關的練習

1、甲乙兩人共有150張畫片，甲的張數比乙的2倍多30張。兩人各有多少張

畫片？

2、四、五年級共有165人，四年級學生比五年級學生人數的2倍少6人。四五

年級各有學生多少人？

3、小麗有紅、黃、白三種顏色的珠子54粒，紅珠子是黃珠子的2倍，白珠子

是黃珠子的3倍。三種顏色的珠子各有多少粒？

三年級奧數:和差問題

三年級奧數：和差問題

+

和差問題與和倍問題、差倍問題一起統稱"和差倍問題〃，是小學階段尤其是中

年級常見的典型應用題。和差問題的特點是已知幾個數的和與這幾個數的差，求

這幾個數各是多少的應用題。解答和差問題的關鍵是緊盯"和〃和"差〃，并能

借助線段圖化"暗和〃為"明和〃，化〃暗差〃為"明差〃。一般的思路如下:

(1)讀題，找出最小的一個數，把它看成1倍量；

(2)畫圖，根據數與數之間的差畫出線段圖；

(3)假設，將其余的數假設與1倍量一樣大，然后從“和〃里面"多減少加"，

把所有的數都轉換成整倍數的關系，求出1倍的量；

(4)代入，根據1倍量與幾個數之間的差求出另外幾個數。

首先將貴的5元減去，得12元。這樣如果將磁帶的價格看成T分，根據題意書

的價格減去5元后就是和磁帶價格一樣的了，這個時候12元中就有兩份磁帶的

價格了。我們前面在課堂上學過，已知一個數的幾倍是多少,求這個數時，用除

法，因此可以求出磁帶的價格6元,因為書比磁帶貴5元，因此書的價格就是

11元。

我們在解和差問題的時候，首先要根據兩個數的差畫線段圖，從兩個數的和中減

去多出的部分，然后用除法求出比較小的數，最后根據兩個數的差求出較大的數。

三年級奧數:和差問題

例1:小宇去新華書店買了一本書和一盒磁帶用去

17元，一本書比一個磁帶貴5元。這本書和這盒磁

帶各多少元？如果用一條線段表示

磁帶的價格，那么表

示書的線段更長還是

更短呢？此時17表示

17-5=12（元）幾份多幾？

1+1=2

12-2=6（元）-----磁帶

6+5=11（元）-----書

I三年級奧數:和差問題

?例2：甲、乙兩桶油共重60千克，若把甲桶中的6

千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等。問：甲、

乙兩桶原油多少油？

■■▲甲、乙兩桶里面的油誰多？

1------!:一、丁二舞兩桶只相差6千克嗎？已知

甲I----------住￡J2j共6千克X兩桶的和與差怎么求兩桶各

60-12=48（千克）有多少呢？

1+1=2

484-2=24（千克）--乙

24+12=36（千克）一甲|

例2

首先我們要明確的是原來甲比乙的油要多，多多少呢？根據題意，甲給乙6千克

后兩者相等，說明開始的時候甲是比乙多2個6千克的，也就是說明甲開始比

乙多12千克。那么我們要從和里面先將多的減掉，得到的就是兩倍的乙的油的

重量48T克,再用除法就能算出乙原來油的重量了。

例2這種和差問題中并沒有直接告訴我們兩個數的差解題時要首先根據題意找

出兩數相差的數是多少，然后再畫線段圖來解題。

I三年級奧數:和差問題

例3：小明和小剛的故事書總數的平均數是15,小明

比小剛多4本。請問：小明和小剛各有故事書多少本？

■.▲一已知兩個人故事書的平均數,

小剛I-----1:你知道兩人一共有多少本故

小明??事書嗎？

15x2-4=26（本）

1+1=2

26+2=13體）--小剛

13+4=17（本）--小明一一

例3

已知兩個數的平均數時，首先根據〃總數二份數x平均數〃求出和，再根據差畫

線段圖求解；若幾個數的和發生改變時，先求出改變后的和，再根據改變后的和

與改變后的差求出現在的兩個數，然后根據現在的兩個數倒推求出原來的數。

三年級奧數:和差問題

例4：把24米長的繩子剪成三段，第一段比第二段短

2米，第三段比第一段多4米。三段繩子各長多少米?

比較三個數的大小，根據

一段，

'eI差畫出線段圖，把最少的

2

。殳，24X,畫在上面。

4

三段.

24-2-4=18（米）

1+1+1=3

18-3=6（米）------第一段

6+2=8（米）-------第二段

6+4=10（米）------第三段

例4

解三個量的和差問題時，首先比較三個數的大小，再根據差畫出線段圖，把最少

的畫在上面，然后再從和中減去"小尾巴〃，求出一份的數。

三年級奧數：差倍問題

三年級奧數：差倍問題

已知幾個數的差與這幾個數之間的倍數關系，求這幾個數分別是多少的應用題叫

做差倍問題。解差倍問題的關鍵是要找準"差〃與"倍〃，并能借助線段圖”暗

差"為"明差"，以及找出隱藏的倍數。

解差倍問題的一般思路是：

(1)讀題，找出最小的一個數，把它看成1倍量；

(2)畫圖，用線段圖表示出數與數之間多與少，以及差與倍數的關系；

(3)比較，分析圖形判斷"差"對應幾倍或幾倍多幾(幾倍少幾)，求出1倍

量；

(4)代入，根據差的倍數關系和1倍量求出其他的數。

下面我們通過具體的例子來說明：

I三年級奧數:差倍問題

例1：小明比小剛多30吊戔，小明的錢數是小剛的4倍。請問:

小剛、小明各有多少錢？

?首先根據兩人的倍數

小剛?---■1

■，關系畫出線段圖，再

“找出差相當于多少份,

小明"—i—?—?—；

-----30元—求出一份是多少。

4-1=3

30+3=10（元）--小剛

10x4=40（元）——小明

例1

首先我們可以根據倍數關系畫出線段圖，因為小剛的錢數少，將小剛的錢數看成

一份，那么小明的錢數就是4份，從線段圖很容易看出，他們錢數的差相當于小

剛錢的3份，因為錢數的差告訴我們是30,那么每一份的錢也就是小剛的錢就

能算出來了。小明的錢是小剛的4倍，也就都算出來了。

三年級奧數:差倍問題

例2：“非典,?期間，藥店運來的消毒液比酒精多80（）箱，已知消

毒液的箱數是酒精的5倍，藥店運來消毒液和酒精各多少箱？

酒精?_,，磨盤把酒精看成T分后，

：消毒液占幾份？此時

消毒液i~~i~~?-?-?~消毒液比酒精多幾份?

一800箱一這幾份對應的是多少

5-1=4箱呢？

800+4=200（箱）一酒精

200x5=1000（箱）--消毒液|

例2

例2和例1的解題思路是一樣的，首先根據倍數關系畫出皖圖，再在圖中畫

出兩數的差然后找到差對應的份數如果是整倍數就直接求出1份數:較小數）,

如果不是整倍數，先從差中把多的減掉，少的加上，然后再求出1份數。

三年級奧數:差倍問題

例3：兩筐同樣重的蘋果，甲筐賣出11千克，乙筐賣出29千克

后，甲筐剩下的蘋果重量是乙筐的3倍。兩筐蘋果原來各有多

少千克？

現在哪筐蘋果多呢？

乙1~~!

■”甲筐剩下的蘋果和乙

甲?—i—?—?筐剩下的蘋果重之差

-U-18"■是多少千克？

20-1118（千克）

3-1=2

18?2%（千克）一乙筐剩下的

9+29=38（千克）乙筐原有的

答：甲乙兩筐各有38千克蘋果。

例3

因為兩箱蘋果原來的重量是相同的，因此減少部分的差，也就是賣出去部分的差,

就是剩下部分的差。所以根據題目中知道的倍數關系，畫出線段圖，標出差代表

的份數，然后按照例1和例2的思路來解題。

由此可知，兩個物體原來重量相等,各自減去一部分重量后，剩下部分的重量差

與減去部分的重量差是相等的。求出兩數的差后再根據倍數關系畫出線段圖求

解。

I三年級奧數:差倍問題

|例4：學校圖書館里的故事書是科技書的3倍,借走60本故事書,

又買來20本科技書，這時故事書的本書和科技書的本數相等。

原有故事書和科技書各多少本？一

科技書?-J'原來故事書和科技書

：相差多少本2

故事書1~~!--1~~I

-M-40f■

60+20=80（本）

3-1=2

80+2=40（本）一一科技書

40x3=120（本）—故事書|

例4

例4的難點在于找到故事書和科技書原名的數量差事多少，因為故事書減少了

60本，科技書增加了20本后兩者數量一樣，說明兩者之前的數量差是

60+20=80（本），然后再根據倍數關系畫出線段圖求解。下面我們來做一下相

關的練習看看是否將今天學習的內容在掌握了。

1.和平學校的足球隊員比籃球隊員多24人，且足球隊人數是籃球隊人數的3倍。

足球隊和籃球隊各有多少人？

2.小華比爺爺小57歲,爺爺的年齡是小華的6倍少3歲。那么小華和爺爺各多少

歲？

3.兩筐蘋果一樣重。第一筐賣出8千克，第二筐賣出16千克。第一筐中剩下的蘋

果恰好是第二筐中剩下的3倍。原來每筐蘋果重多少千克？

4.甲、乙兩個糧倉庫中,甲倉庫存的糧食是乙倉庫的4倍,如果從甲倉庫中取走320

噸,乙倉庫中取走20噸，這時甲、乙兩個倉庫的糧食正好相等。問:甲、乙兩倉庫

原來各有存糧多少噸？

三年級奧數：周期問題

三年級奧數：周期問題

2008年元旦是星期二，那么同年的國慶節

周期問題

在我們的日常生活中，經常有一些按照一定規律不斷重復出現的現象，如：春夏

秋冬四個季節的輪回；星期一到星期天的輪回；十二生肖的輪回等等，我們把這

些現象都稱為周期現象，把具有周期現象的問題就叫做周期問題。解決周期問題

的關鍵是要確定周期，下面我們介紹三種確定周期的方法：

(1)觀察找周期，規律比較明顯，可以通過觀察直接發現規律，如數字排列規

律；

(2)、計算找周期：規律比較隱蔽，需要通過分析比較,計算才能發現規律，

如計算多個相同數字相乘，積的個位數字是多少;

(3)根據生活常識找周期：有些周期，我們可以根據生活常識來確定，如判斷

某天是星期幾。

我們把一組數或圖形按照固定的順序，不斷重復出現的規律叫做周期，每組中的

數字或圖形的個數就是周期的個數。下面我們通過具體的例子來講解。

三年級奧數：周期問題

例1：國慶節期間，天安門廣場的道路兩邊掛著一排彩燈，每排

彩燈都是按照“二盞紅燈、三盞綠燈、四盞黃燈.?的順序排列的,

每排的第51盞彩燈是什么顏色的?—第27盞彩燈是什么顏色的？

514-(2+3+4)=5........4多少盞燈的排列會

所以第51盞燈是一個周期?重復一次呢？即周

的第6盞燈，是黃燈。期的是多少呢？第

51、27盞燈分別是

27+(2+3+4)=3

第幾個周期的第幾

所以第盞燈是一個周期的

27盞燈？

最后一盞燈，是黃燈。

根據題意可以知道，每一個周期是2+3+4=9盞燈，那么就看51盞燈里面有多

少個9,并且有沒有余數，不同的余數可能代表的是不同的燈。

周期問題中，如果沒有余數，就是周期中的最后一個；如果有余數，余數是幾，

就是周期中的第幾個。

I三年級奧數:周期問題

((列2：把2,3,5,6,8,9這些數字按下面規律排列：253689253689.........

第63個數字是多少？前63個數字的和是多少？

63+6=10.........3觀察發現，每個周期

所以第63個數字是3的和都是相等的，每

(2+5+346+8+9)X10個周期里面的個數是

6個。只要能找出63個

=33x10+10

數字里面有多少個周

=340期即可簡便計算。

答：第63個數字是3,前63個數字的和是340。

例題2

總結：求一列數中第幾個數字是幾時，首先找到周期，再根據余數判斷，沒有余

數時，就是周期里的最后一個，有余數時，余數是幾，就是周期里的第幾個；求

一個數列中幾個數字的和時，首先找到周期，再求出有多少個周期及一個周期的

數字和，然后求所有數字的和。

I三年級奧數:周期問題

]SZo個7相乘，積的個位數是幾?

分別計算出1個7,2個

1個7的個位數是7；2個相乘，積的

7,3個7,4個7,5個7,6

個位數字是9；3個相乘,積的？

個7相乘，觀察

個位數字是3；4個相乘,積的

積的各位數字后，你

個位數字是1；5個相乘,積的

發現什么規律了呢？

個位數字是7；6個相乘,積的

個位數字是9……觀察發現，積的個位數字不斷重復出現7,9,3,

1這四個數字，因此周期是4,2014:5,沒有余數，即第20個數是

周期里的最后一個，是L

例題3

求若干個相同的數字積的個位數字是多少時，首先通過計算，確定積的個位數字

不斷重復出現的是哪幾個數字，即確定周期是多少，然后再根據余數判斷。如果

沒有余數，就是周期中的最后一個，如果有余數，余數是幾，就是周期里的第幾

個。

三年級奧數:周期問題

■■■■■■*

利4：這個月的1號是星期三，那么31號是星期幾?

31-1+1=31（天）從1號到31號共有多少

31-7=4.........3天？每幾天可以看成

答，31號是星期五一個周期？

例5：這個月1號是星期三，那么29號是星期幾?

29-1+1=29（天）

29-7=4.........1

答：29號是星期星期三。

例題4,5

計算某一天是星期幾時，首先求出總天數，再除以周期7,并從周期里的第一天

開始排列出7天，最后根據余數判斷，余數是幾，就是周期里的第幾天。

若給出的開始日期和結束日期再同一個月份，則總天數二結束曰期一開始曰期

+1,；若給出的開始日期和結束日期不在同一個月份，則要分月來計算總天數。

■

明蟲創意

I三年級奧數:時間問題

三年級奧數：時間問題

時間問題

數學來源于生活，又應用于生活，這就告訴我們，學習數學和學好數學離不開對

生活的觀察和思考。生活中的數學問題有很多，比如植樹、最短路線、烤餅、時

間、時鐘等等。今天我們主要從以下三個方面來學習一下生活中的時間問題：

(1)認識"時間"：熟悉秒、分、小時、天之間的單位換箕，1分鐘=60秒，

1小時=60分鐘，1天=24小;

(2)計算"時間"：如果是計算同一天中兩個時刻的時間差時，就把這兩個時刻

都轉換成24小時制，然后相減；如果兩個時刻不在同一天,就要從240(0)

點處把兩個時間分開，然后分段求時間差；

(3)運用〃時間"如果把某個時刻的時針與分針看反，則讀出的時間一定會出

錯，但錯誤時間與正確時間的差是不變的，我們可以根據這個時間差和錯