第3課時解直角三角形及其應用（3）【學習目標】使學生會把實際問題轉化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉化為數學問題來解決．【學習重點】要求學生善于將某些實際問題中的數量關系，歸結為直角三角形元素之間的關系，從而利用所學知識把實際問題解決．【學習難點】方位角的辨別和使用．舊知回顧：方位角：指北或指南方向與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫方位角．如圖中的目標方向線OA、OB、OC、OD的方向角分別表示北偏東60°，南偏東45°(或東南方向)，南偏西80°及北偏西30°.基礎知識梳理eq\a\vs4\al(知識模塊一基本的方位角問題)例：(1)如圖，小紅從A地向北偏東30°方向走100m到B地，再從B地向西走200m到C地，這時小紅距A地(B)A．150mB．100eq\r(3)mC．100mD．50eq\r(3)m（第(1)題圖)（第(2)題圖)（第(3)題圖)(2)如圖，C、D是兩個村莊，分別位于一個湖的南、北兩端A和B的正東方向上，且D位于C的北偏東30°方向上，CD＝6km，則AB＝3eq\r(3)km.(3)如圖，一艘船向正北航行，在A處看到燈塔S在船的北偏東30°的方向上，航行12海里到達B處，在B處看到燈塔S在船的北偏東60°的方向上，此船繼續沿正北方向航行過程中，距燈塔S的最近距離是6eq\r(3)海里．eq\a\vs4\al(知識模塊二復雜的方位角問題)例：如圖所示，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30分鐘后到達B處，此時又測得該島在北偏東30°方向上，已知在島C周圍9海里的區域內有暗礁，若繼續向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由．解：過C作CD⊥AB于點D.由題意可知：AB＝24×eq\f(30,60)＝12，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△BDC中，tan60°＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD.在Rt△ADC中，tan30°＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\r(3)CD.又AD＝AB＋BD，∴eq\r(3)CD＝12＋eq\f(\r(3),3)CD，∴CD＝6eq\r(3)＞9.∴若繼續向正東方向航行，該貨船沒有觸礁危險．eq\a\vs4\al(知識模塊三較為復雜的方位角問題)例：已知B港口位于A觀測點北偏東53.2°方向，且其到A觀測點正北方向的距離BD的長為16km，一艘貨輪從B港口以40km/h的速度沿如圖所示的BC方向航行，15min后達到C處，現測得C處位于A觀測點北偏東79.8°方向，求此時貨輪與A觀測點之間的距離AC的長(精確到0.1km)．(參考數據：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，eq\r(2)≈1.41，eq\r(5)≈2.24)解：過B作BH⊥AC交AC延長線于H.在Rt△ABD中，sin∠DAB＝eq\f(DB,AB)，AB＝eq\f(16,sin53.2°)≈20.在Rt△ABH中，∠BAH＝79.8°－53.2°＝26.6°，tan∠BAH＝eq\f(BH,AH)，tan26.6°＝eq\f(BH,AH)≈eq\f(1,2)，∴AH＝2BH.由BH2＋AH2＝AB2＝202得BH＝4eq\r(5)(取正值)、AH＝8eq\r(5).在Rt△BCH中，BC＝40×eq\f(15,60)＝10，CH＝eq\r(102－（4\r(5)）2)＝2eq\r(5).故AC＝AH－CH＝8eq\r(5)－2eq\r(5)＝6eq\r(5)≈13.4(km)變式：如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處．這時海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(精確到0.01海里)?解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝eq\f(PC,PB)，∴PB＝eq\f(PC,sinB)＝eq\f(72.505,sin34°)≈129.66.因此，當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約129.66海里．基礎知識訓練1．上午8時，一條船從A處出發，以每小時40海里的速度向正東方向航行，8時30分到達B處(如圖所示)，從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么在B處船與小島M的距離為(B)A．20海里B．20eq\r(2)海里C．15eq\r(3)海里D．20eq\r(3)海里2．一漁船在海島A南偏東20°方向的B處遇險，測得海島A與B的距離為20海里，漁船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西80°方向向海島C靠近，同時，從A處出發的救援船沿南偏西10°方向勻速航行20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為(D)A．10eq\r(3)海里/小時B．30海里/小時C．20eq\r(3)海里/小時D．30eq\r(3)海里/小時本課內容反思1．收獲：____________________________