圓錐曲線中的極點極線問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線極點極線的定義2.理解、掌握圓錐曲線的極點極線問題及其相關計算【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習知識講解極點極線的定義如圖,設P是不在圓雉曲線上的一點,過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點P對應的極線.若P為圓雉曲線上的點,則過P點的切線即為極線.

同理,PM為點N對應的極線,PN為點M所對應的極線.因而將△MNP稱為自極三點形.設直線MN其他定義對于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設點Px(2)當點P在橢圓外時,極線l與橢圓相交,且為由P點向橢圓所引切線的切點弦所在直線。(3)當點P在橢圓內時,極線l與橢圓相離,極線l為經過點P的弦在兩端點處的切線交點的軌跡,且極線l與以點P為中點的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對于橢圓x2a2+y2b2=1,與點Px0,y0對應的極線方程為x0考點一、極點極線初步學習1．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結論進行解答)極點與極線是法國數學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點Px0,y0（不是原點）對應的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.2．（22-23高二上·貴州貴陽·期末）閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；對于拋物線，與點對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質?定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.2．（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)橢圓方程，平面上有一點.定義直線方程是橢圓在點處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點處的極線就是過點的切線;②若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點.證明:三點共線.考點二、極點極線在圓錐曲線中的應用1．（2022·全國·統考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（Ⅱ）設為原點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．3．（全國·高考真題）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.4．（全國·統考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.1．（24-25高三上·北京·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．(1)求橢圓C的標準方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．2．（2023·遼寧·二模）已知橢圓的離心率為，直線，左焦點F到直線l的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A，B兩點．C，D是橢圓T上異于A，B的任意兩點，且直線AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．設直線AC，BC的斜率為，．①求的值；②求直線MN的斜率．3．（2023·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓C上一點．(1)求橢圓C的方程；(2)設是橢圓C上且處于第一象限的動點，直線與橢圓C分別相交于兩點，直線，相交于點N，試求的最大值．4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內；（ii）求四邊形面積的最大值.5．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習）如圖，橢圓：的左右焦點分別為、，設Px0,y0是第一象限內橢圓上的一點，、的延長線分別交橢圓于點，

(1)若軸，求的面積；(2)若，求點的坐標；(3)求的最小值.1．（23-24高二上·山東日照·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的標準方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，橢圓的上頂點和右頂點分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個動點，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.3．（2024·云南·模擬預測）拋物線的圖象經過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．5．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學考試）已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點.6．（22-23高三上·四川綿陽·階段練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為，離心率為，P是直線上任一點，過點且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點．(1)求橢圓的方程；(2)設直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．7．（2023高三·全國·專題練習）已知圓心為H的圓和定點，B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C．(1)求C的方程．(2)如圖所示，過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F，求的取值范圍8．（23-24高二上·湖北·期中）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點，過作一條不平行于坐標軸的直線交橢圓于A，B兩點，的周長為．

(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點D．①試討論直線AD是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．②求面積的最大值．9．（23-24高三上·江蘇鎮江·期末）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設的中點分別為．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．10．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點；(1)當直線過橢圓右焦點時，求點的坐標；(2)當點異于點時，求證：為定值．1．（2021·全國·統考高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．（Ⅰ）當|CD|=時，求直線l的方程；（Ⅱ）當點P異于A、B兩點時，求證：為定值．4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.5．（全國·高考真題）在直角坐標系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.6．（北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點、.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.若、和點共線，求.7．（北京·統考高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．8．（四川·高考真題）如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.9．（江西·高考真題）如圖，橢圓經過點P（1，），離心率e=，直線l的方程為x=4.（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問：是否存在常數λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理圓錐曲線中的極點極線問題（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點精講精練）命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的選考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線極點極線的定義2.理解、掌握圓錐曲線的極點極線問題及其相關計算【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習知識講解極點極線的定義如圖,設P是不在圓雉曲線上的一點,過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點P對應的極線.若P為圓雉曲線上的點,則過P點的切線即為極線.

同理,PM為點N對應的極線,PN為點M所對應的極線.因而將△MNP稱為自極三點形.設直線MN其他定義對于圓錐曲線C:Axl:Ax0x+B?x0y+y0x2+C替換原則x0x極點極線的幾何意義(以橢圓為例)

已知橢圓方程:x2a2+y2b2=1,設點Px(2)當點P在橢圓外時,極線l與橢圓相交,且為由P點向橢圓所引切線的切點弦所在直線。(3)當點P在橢圓內時,極線l與橢圓相離,極線l為經過點P的弦在兩端點處的切線交點的軌跡,且極線l與以點P為中點的弦所在的直線平行。特別地:

(1)對于橢圓x2a2+y2b2=1,與點Px0,y0對應的極線方程為x0考點一、極點極線初步學習1．（2024·全國·一模）如圖，已知橢圓的短軸長為，焦點與雙曲線的焦點重合.點，斜率為的直線與橢圓交于兩點.

(1)求常數的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結論進行解答)極點與極線是法國數學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點Px0,y0（不是原點）對應的極線為，且若極點在軸上，則過點作橢圓的割線交于點，則對于上任意一點，均有（當斜率均存在時）.已知點是直線上的一點，且點的橫坐標為2.連接交軸于點.連接分別交橢圓于兩點.①設直線、分別交軸于點、點，證明：點為、的中點；②證明直線：恒過定點，并求出定點的坐標.【答案】(1)，(2)①證明過程見解析②證明過程見解析，定點坐標為【分析】（1）由橢圓焦點在軸上面，列出不等式組即可得的范圍，由的關系以及短軸長列出方程組即可得，由此即可得橢圓方程.（2）為了說明結論的驗證性，首先證明一下題述引理（用解析幾何方法），即聯立直線方程與橢圓方程，由韋達定理以及斜率公式證明即可，從而對于①由結論法說明Q是和的交點，且，結合由此即可進一步得證；對于②由結論法可表示出的方程，由此整理即可得解.【詳解】（1）由題意焦點在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設，則Q在P的極線上，現在如果經過P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達定理有，此時要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結論得證.接下來我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點，又由于，故，設，而，，，所以，也就是E是的中點；②設，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過點.【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵是用解析幾何證明題述引理的正確性，由此即可利用結論法進一步求解.2．（22-23高二上·貴州貴陽·期末）閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】(1)根據題意和離心率求出a、b，即可求解；(2)利用代數法證明點Q在橢圓C外，則點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.根據題意中的概念求出點Q對應的極線MN方程，可得該直線恒過定點T（2,1），利用點差法求出直線的斜率，即可求解.【詳解】（1）因為橢圓過點P(4,0)，則，得，又，所以，所以，所以橢圓C的方程為.根據閱讀材料，與點P對應的極線方程為，即；（2）由題意，設點Q的坐標為(,)，因為點Q在直線上運動，所以，聯立，得，，該方程無實數根，所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，又QM，QN都與橢圓C相切，所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.對于橢圓，與點Q(,)對應的極線方程為，將代入，整理得，又因為定點T的坐標與的取值無關，所以，解得，所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.當時，T是線段MN的中點，設，直線MN的斜率為，則，兩式相減，整理得，即，所以當時，直線MN的方程為，即.1．（23-24高二下·廣東深圳·期中）閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；對于拋物線，與點對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質?定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）根據給定條件，判斷直線與橢圓的位置關系，求得點對應的極線方程，進而求出定點，再利用點差法求解即得.（2）求出極線方程，并與橢圓方程聯立求出弦長及點到直線的距離，進而求得三角形面積的函數關系，利用導數求出最大值即得.【詳解】（1）設點，由點在直線上運動，得，由消去并整理得，顯然，即此方程組無實數解，于是直線與橢圓相離，即點在橢圓外，又，都與橢圓相切，因此點和直線是橢圓的一對極點和極線，對于橢圓，與點對應的極線方程為，將代入，整理得，顯然定點的坐標與的取值無關，即有，解得，所以存在定點恒在直線上，當時，是線段的中點有在橢圓內，設，直線的斜率為，則，兩式相減并整理得，即，所以當時，直線的方程為，即.（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，由消去并整理得：，而，則，設，，則，，所以，

點到直線的距離為：，因此面積，當時，令，求導得，即在單調遞增，則的最大值為，由對稱性可知當時，的最大值也為，所以面積的最大值為.【點睛】思路點睛：涉及直線被圓錐曲線所截弦中點及直線斜率問題，可以利用“點差法”，設出弦的兩個端點坐標，代入曲線方程作差求解.2．（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標準方程;(2)橢圓方程，平面上有一點.定義直線方程是橢圓在點處的極線.①若在橢圓上，證明:橢圓在點處的極線就是過點的切線;②若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點.證明:三點共線.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）由題意得，，再結合，從而可求出，進而可求出橢圓的標準方程；（2）①由定義可知橢圓在點處的極線方程為，然后分和兩種情況證明；②設點，然后由①可得過點的切線方程和過點的切線方程，則可求出割線的方程，同時可求出切點弦的方程，從而可證得結論.【詳解】（1）由已知，，則所以直線，即，該直線與圓與相切，則，所以解得，，故橢圓的標準方程為（2）①由(1)得橢圓的方程是.因為在橢圓上，所以，即，由定義可知橢圓在點處的極線方程為，當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線，當時，極線方程為，即，由，得，所以，所以處的極線就是過點的切線，綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線;②設點，由①可知，過點的切線方程為，過點的切線方程為，因為都過點，所以有，則割線的方程為，同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為，即，又因為割線過點，代入割線方程得，即，所以三點共線，都在直線上．【點睛】關鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的切線，考查橢圓中點共線問題，解題的關鍵是合理利用過橢圓上一點的切線方程的定義，考查計算能力，屬于較難題.考點二、極點極線在圓錐曲線中的應用1．（2022·全國·統考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點代入設出的方程求解即可；（2）設出直線方程，與橢圓C的方程聯立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設.聯立得，可得，，且聯立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．（北京·高考真題）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（Ⅱ）設為原點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點．問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在點．【詳解】（Ⅰ）由于橢圓：過點且離心率為，，，橢圓的方程為.,直線的方程為：，令，；（Ⅱ），直線的方程為：，直線PB與x軸交于點N，令，則.設,,,則，所以，（注：點在橢圓上，），則，存在點使得.考點：1.求橢圓方程；2.求直線方程及與坐標軸的交點；3.存在性問題.3．（全國·高考真題）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.【答案】（1）的方程為或；（2）證明見解析.【分析】（1）根據與軸垂直，且過點，求得直線的方程為，代入橢圓方程求得點的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程；（2）方法一：分直線與軸重合、與軸垂直、與軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關系來體現，從而證得結果.【詳解】（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點的坐標為或.所以的方程為或.（2）［方法一］：【通性通法】分類＋常規聯立當與軸重合時，.當與軸垂直時，為的垂直平分線，所以.當與軸不重合也不垂直時，設的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補，所以.綜上，.［方法二］：角平分線定義的應用當直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當直線l與x軸不垂直也不重合時，設直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達定理得．點A關于x軸的對稱點，則直線的方程為．令，，則直線過點M，．［方法三］：直線參數方程的應用設直線l的參數方程為（t為參數）．（*）將（*）式代入橢圓方程中，整理得．則，．又，則，即．所以．［方法四］：【最優解】橢圓第二定義的應用當直線l與x軸重合時，．當直線l與x軸不重合時，如圖，過點A，B分別作準線的垂線，垂足分別為C，D，則有軸．

由橢圓的第二定義，有，，得，即．由軸，有，即，于是，且．可得，即有．［方法五］：角平分線定理逆定理＋極坐標方程的應用橢圓以右焦點為極點，x軸正方向為極軸，得.設．．所以，．由角平分線定理的逆定理可知，命題得證．［方法六］：角平分線定理的逆定理的應用設點O（也可選點F）到直線的距離分別為，根據角平分線定理的逆定理，要證，只需證．當直線l的斜率為0時，易得．當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為：．由方程組得恒成立，．．直線的方程為：．因為點A在直線l上，所以，故．同理，．．因為，所以，即．綜上，．［方法七］：【通性通法】分類＋常規聯立當直線l與x軸重合或垂直時，顯然有．當直線l與x軸不垂直也不重合時，設直線l的方程為，交橢圓于，．由得．由韋達定理得．所以，故、的傾斜角互補，所以.［方法八］：定比點差法設，，所以，由作差可得，，所以，，又，所以，，故，、的傾斜角互補，所以.當時，與軸垂直，為的垂直平分線，所以.故．【整體點評】（2）方法一：通過分類以及常規聯立，把角相等轉化為斜率和為零，再通過韋達定理即可實現，是解決該類問題的通性通法；方法二：根據角平分線的定義可知，利用點關于軸的對稱點在直線上，證直線過點即可；方法三：利用直線的參數方程證明斜率互為相反數；方法四：根據點M是橢圓的右準線與x軸的交點，用橢圓的第二定義結合平面幾何知識證明，運算量極小，是該題的最優解；方法五：利用橢圓的極坐標方程以及角平分線定理的逆定理的應用，也是不錯的方法選擇；方法六：類比方法五，角平分線定理的逆定理的應用；方法七：常規聯立，同方法一，只是設直線的方程形式不一樣；方法八：定比點差法的應用．4．（全國·統考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設，可得直線的方程為：，聯立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標為，同理可得點的坐標為，當時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設而求點法證明：設，則直線的方程為：，即：聯立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或將代入直線可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為當時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．[方法二]【最優解】：數形結合設，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個點滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點．【整體點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質及方程思想，還考查了計算能力及轉化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運算能力要求嚴格；方法二曲線系的應用更多的體現了幾何與代數結合的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.1．（24-25高三上·北京·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．(1)求橢圓C的標準方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件結合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標準方程.（2）設直線的方程為：，與橢圓方程聯立，消去得到關于的一元二次方程，由韋達定理得到，，再把用，表示出來，化簡即可得解.【詳解】（1）由的周長為16，及橢圓的定義，可知：，即，又離心率為所以．所以橢圓C的方程為：．（2）依題意，直線l與x軸不重合，設l的方程為：．聯立得：，因為在橢圓內，所以，即，易知該不等式恒成立，設，由韋達定理得．又，則注意到，即：.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.2．（2023·遼寧·二模）已知橢圓的離心率為，直線，左焦點F到直線l的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A，B兩點．C，D是橢圓T上異于A，B的任意兩點，且直線AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．設直線AC，BC的斜率為，．①求的值；②求直線MN的斜率．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由距離公式求出，再由離心率求出，即可求出，從而得解；（2）首先求出，兩點坐標，①設，利用斜率公式計算可得；②設，的斜率分別為，，設直線的方程為，直線的方程為，即可求出點坐標，同理求出點坐標，再由斜率公式計算即可得解.【詳解】（1）因為，所以，又左焦點到直線的距離為，有，解得或（舍去），所以，，橢圓方程為．（2）由（1）知，橢圓的方程為，由，解得或，所以，．①，斜率都存在，即，存在．設，顯然，且，從而．②設，的斜率分別為，，設直線的方程為，直線的方程為．由，解得，從而點的坐標為，因為，，設直線的方程為，即，設直線的方程為，即，用代，代得點的坐標為，即點的坐標為，所以．3．（2023·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓C上一點．(1)求橢圓C的方程；(2)設是橢圓C上且處于第一象限的動點，直線與橢圓C分別相交于兩點，直線，相交于點N，試求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據橢圓的定義求出，然后根據的關系即可求解；（2）設，得到，將的方程與曲線方程聯立，利用韋達定理得到，，代入進而利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，∴橢圓C的方程是；（2）設，根據題意設的方程為：，由題意知，，

將，代入中，整理得，，又，．，，同理可得，，

（當且僅當時取等號）的最大值是．4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內；（ii）求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）6【分析】（1）將兩點代入橢圓中，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）（i）分別將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出兩點坐標，由數量積可得為鈍角，得出證明；（ii）由（i）可寫出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數單調性即可得出面積的最大值為6.【詳解】（1）依題意將和兩點代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設，；根據題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；聯立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點B在以為直徑的圓內；（ii）易知四邊形的面積為，設，則，當且僅當時等號成立；由對勾函數性質可知在上單調遞增，所以，可得，由對稱性可知，即當點的坐標為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.【點睛】關鍵點點睛：證明點和圓的位置關系時，可利用向量數量積的正負判斷與直徑所對圓周角的大小即可得出結論；在求解四邊形面積的最值時，首先可用一個變量表示出面積的表達式，再根據函數單調性或基本不等式求出最值即可.5．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習）如圖，橢圓：的左右焦點分別為、，設Px0,y0是第一象限內橢圓上的一點，、的延長線分別交橢圓于點，

(1)若軸，求的面積；(2)若，求點的坐標；(3)求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由橢圓方程求出，從而可得坐標，將其橫坐標代入橢圓方程中可求出的值，進而可求出的面積;（2）設點的坐標為，則直線的方程為，代入橢圓方程中求出得，因為，可得，計算即可得出坐標；（3）由（2）同理可求得，從而可得化簡后結合基本不等式可得答案【詳解】（1）設橢圓的半長軸長為，短半軸長為，半焦距為，由橢圓，得，則，所以，當時，，得，所以所以的面積為;（2）設點的坐標為（），則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，整理得，所以，得，所以，因為，所以，可得，化簡得，解得，代入得出所以點的坐標為（3）由（2）得同理可求得，所以當且僅當，即時取等號，所以的最大值為【點睛】關鍵點點睛：的最大值得關鍵是結合韋達定理得出,再轉換未知量,最后應用基本不等式求解即可.1．（23-24高二上·山東日照·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的標準方程；(2)M，N為C上且在x軸上方的兩點，，與的交點為P，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)定值為．【分析】（1）根據面積求出，即可得出橢圓方程；（2）設，根據相似三角形表示出，利用直線與橢圓方程化簡可得的和積，代入化簡即可得解.【詳解】（1）橢圓的左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，因為四邊形是面積為8的正方形，所以有且，解得，故，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知，則，設，因為，所以．又因為，所以，所以．即．設，的方程分別為：，，設，，則，所以，因此，同理可得：，因此，，所以．所以為定值，定值為．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于運算，大量的運算保證了消參的進行，為求證定值的必要條件，運算能力的培養是解決問題的關鍵.2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，橢圓的上頂點和右頂點分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個動點，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)4(3)是，定值為【分析】（1）由題意求出b的值，根據離心率可求出，即得答案；（2）設直線的方程，聯立橢圓方程可得根與系數的關系式，結合弦長公式求出的表達式，即可求得四邊形面積的表達式，利用三角代換，結合二次函數性質即可求得面積的最大值；（3）求出直線與的斜率之積的表達式，結合根與系數的關系化簡，即可得結論.【詳解】（1）因為，所以，又離心率為，所以，即，，所以橢圓的標準方程為（2）因為，所以，所以，設直線的方程為，，，由，得，由得，則，，故，直線方程為，，所以，直線與之間的距離為，故四邊形的面積為，令，則，令，則，，所以，而函數在上單調遞增，所以當時，即時，四邊形面積的最大值為4；（3）由第（2）問得，，，故直線與的斜率之積為定值，且定值為.3．（2024·云南·模擬預測）拋物線的圖象經過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由曲線圖象經過點，可得，則得拋物線的標準方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯立，消元后，由韋達定理可得，則；（3）設直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯立，消元后，由韋達定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯立，消元后，由韋達定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．【詳解】（1）曲線圖象經過點，所以，所以，所以拋物線的標準方程為．（2）由（1）知，當時，,所以的方程為，聯立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，，，聯立得，，因此，．設直線的方程為，聯立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知橢圓的左、右焦點別為，，離心率為，過點的動直線l交E于A，B兩點，點A在x軸上方，且l不與x軸垂直，的周長為，直線與E交于另一點C，直線與E交于另一點D，點P為橢圓E的下頂點，如圖．(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義和離心率，求解橢圓方程；（2）設點Ax1,y1，Bx2,y2，，，【詳解】（1）由橢圓定義可知，BF1所以的周長為，所以，又因為橢圓離心率為，所以，所以，又，所以橢圓的方程：．（2）設點Ax1,y1，B則直線的方程為，則，由得，，所以，因為，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三點共線，得，所以，直線CD的方程為，由對稱性可知，如果直線CD過定點，則該定點在x軸上，令得，，故直線CD過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.5．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學考試）已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據離心率列式求，即可得橢圓方程，結合斜率公式分析證明；（2）解法一：設，聯立方程可得韋達定理，根據斜率關系列式求得，即可得結果；解法二：設，聯立方程求坐標，進而根據直線方程分析定點.【詳解】（1）由題意，可得，所以橢圓，且設，則，即，可得，所以為定值.（2）解法一：設，則，可得，設直線，，聯立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因為，則，解得，所以直線過定點解法二：設，則，直線，可知與橢圓必相交，聯立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時，，則，令，；當的斜率不存在時，則，解得；綜上所述：直線過定點【點睛】方法點睛：1．過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設動直線方程（斜率存在）為由題設條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；（2）動曲線C過定點問題．解法：引入參變量建立曲線C的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點．2．求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數（某些變量）無關；也可令系數等于零，得出定值；（3）得出結論．6．（22-23高三上·四川綿陽·階段練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為，離心率為，P是直線上任一點，過點且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點．(1)求橢圓的方程；(2)設直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據右頂點和離心率求出和，進而求出，即可得到橢圓的方程.（2）假設存在，然后對直線斜率是否存在進行分類討論，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，代入，即可求出的值.【詳解】（1）由題意在橢圓中，右頂點為，離心率為，∴，∴∴∴橢圓的方程為：（2）由題意及（1）得在橢圓中，設存在常數，使得當直線斜率不存在時，其方程為：，代入橢圓方程得，，此時,可得當直線斜率存在時，設直線的方程為，，，將直線方程代入橢圓方程得：∴，∵P是直線上任一點，過點且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點∴直線的方程為：∴由幾何知識得：，，∵∴將，，，代入方程，并化簡得：解得：綜上，存在常數，使得7．（2023高三·全國·專題練習）已知圓心為H的圓和定點，B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C．(1)求C的方程．(2)如圖所示，過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由l是線段AB的中垂線得，根據橢圓定義可得答案；（2）由直線EF與直線PQ垂直可得，①當直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，可取，，，，可得；②當直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得；③當直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設直線PQ的方程為，設直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，令，利用韋達定理代入，根據的范圍可得答案．【詳解】（1）由，得，所以圓心為，半徑為4，連接MA，由l是線段AB的中垂線，得，所以，又，根據橢圓的定義可知，點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，所以，，，所求曲線C的方程為；（2）由直線EF與直線PQ垂直，可得，于是，①當直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，此時可不妨取，，，，所以，②當直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得，③當直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設直線PQ的方程為，，，，，則直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，并整理得，，所以，，于是，將上面的k換成，可得，所以，令，則，于是上式化簡整理可得，，由，得，所以，綜合①②③可知，的取值范圍為．8．（23-24高二上·湖北·期中）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點，過作一條不平行于坐標軸的直線交橢圓于A，B兩點，的周長為．

(1)求橢圓C的方程；(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點D．①試討論直線AD是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)①恒過定點；②.【分析】（1）根據已知焦點三角形周長，由橢圓定義及其離心率求橢圓參數即可得方程；（2）①設直線AD為且，，，，聯立橢圓方程，應用韋達定理并結合A，B，共線有，整理化簡求參數m，即可確定定點；②由直線AD所過定點，結合并將韋達公式代入化簡，應用基本不等式求面積最大值，注意取值條件.【詳解】（1）由題的周長，可得，又，則，，故橢圓的方程為．（2）①由題，設直線AD為且，，，，聯立方程可得：，化簡可得：，所以，，因為A，B，共線，則有，化簡可得，即，化簡可得恒成立．∴，即直線AD的方程為恒過定點．②設直線AD恒過定點記為，由上，可得，所以，·，令，則，當且僅當，即時，取等號．∴面積的最大值為．【點睛】關鍵點點睛：第二問，設直線AD為且，利用橢圓方程，應用韋達定理及已知條件求出參數m為關鍵.9．（23-24高三上·江蘇鎮江·期末）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設的中點分別為．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；(3)若弦的斜率均存在，求面積的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析；；(3)【分析】（1）根據題意求出的值，即可得答案；（2）討論直線斜率是否存在，存在時，設直線方程并聯立橢圓方程，得根與系數關系式，進而求得M，N坐標，求出直線方程，化簡即可得結論；（3）結合（2）求出面積的表達式，利用換元法化簡，構造函數，結合函數的單調性，求得最值.【詳解】（1）由題意：，則，故橢圓的方程為；（2）證明：當斜率均存在時，設直線方程為：，設，則，聯立得，得，直線過橢圓焦點，必有，則，故，將上式中的換成，則同理可得：，如，得，則直線斜率不存在，此時直線過點，設點為P，下證動直線過定點.若直線斜率存在，則，直線為，令，得，即直線過定點；當斜率有一條不存在時，不妨設AB斜率不存在，則CD斜率為0，此時M即為F，N即為O點，直線也過定點，綜上，直線過定點；（3）由第（2）問可知直線過定點，故，令，，則，則在單調遞減，故當時，取得最大值，此時取得最大值，此時.【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關系中的定點定值問題，綜合性較強；解答時要注意聯立方程，利用根與系數的關系式化簡求值，難點在于計算過程比較復雜，計算量較大，需要十分細心.10．（23-24高二上·陜西渭南·期末）如圖，過點C0,1的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于點，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點；(1)當直線過橢圓右焦點時，求點的坐標；(2)當點異于點時，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據已知結合離心率，以及關系，即可求得橢圓方程和直線方程，聯立方程即可得出結果；（2）設出直線方程，與橢圓聯立得到點坐標，再表示出直線方程，與直線聯立即可得到坐標，利用向量的數量積即可得證.【詳解】（1）由題知，，又，，所以，，則橢圓方程為，此時為焦點，所以直線斜率為，所以直線方程為，聯立得：，解得，代入直線方程，得，可得點坐標為.（2）當直線與軸垂直時不符合題意；因為，，則直線方程：，設直線方程：，和橢圓聯立得：，解得，代入直線得，則點坐標為，又，則，則直線方程為，和直線聯立，解得，則，又為與軸交點，則，所以為定值.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.1．（2021·全國·統考高考真題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.2．（北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．【答案】（1）拋物線C的焦點坐標為，準線方程為x＝－；（2）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）代入點求得拋物線的方程，根據方程表示焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）設直線l的方程為（），與拋物線方程聯立，再由根與系數的關系，及直線ON的方程為，聯立求得點的坐標為，再證明.試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過點P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）由題意，設直線l的方程為（），l與拋物線C的交點為，.由，得.則，.因為點P的坐標為（1，1），所以直線OP的方程為，點A的坐標為.直線ON的方程為，點B的坐標為.因為，所以.故A為線段BM的中點.【名師點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，考查了轉化與化歸能力，當看到題目中出現直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數的關系，找準題設條件中突顯的或隱含的等量關系，把這種關系“翻譯”出來即可，有時不一定要把結果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.3．（四川·高考真題）橢圓有兩頂點A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．（Ⅰ）當|CD|=時，求直線l的方程；（Ⅱ）當點P異于A、B兩點時，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）y=x+1（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓有兩頂點A（﹣1，0）、B（1，0），焦點F（0，1），可知橢圓的焦點在y軸上，b=1，c=1，，可以求得橢圓的方程，聯立直線和橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式可求出直線l的方程；（Ⅱ）根據過其焦點F（0，1）的直線l的方程可求出點P的坐標，該直線與橢圓交于C、D兩點，和直線AC與直線BD交于點Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點Q的坐標，代入即可證明結論．（Ⅰ）∵橢圓的焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，橢圓的方程為，當直線l與x軸垂直時與題意不符，設直線l的方程為y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，則x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直線l的方程為y=x+1；（Ⅱ）證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符，設直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P點的坐標為（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，將兩直線聯立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴與異號，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴與y1y2異號，與同號，∴=，解得x=﹣k，故Q點坐標為（﹣k，y0），=（﹣，0）?（﹣k，y0）=1，故為定值．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題點評：此題是個難題．本題考查了橢圓的標準方程和簡單的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．體現了分類討論和數形結合的思想4．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達式，結合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設聯立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意