PAGE1-第1課時函數奇偶性的概念[A基礎達標]1．下列函數為奇函數的是()A．y＝x2＋2 B．y＝x，x∈(0，1]C．y＝x3＋x D．y＝x3＋1解析：選C.對于A，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝f(x)，即f(x)為偶函數；對于B，定義域不關于原點對稱，故f(x)既不是奇函數也不是偶函數；對于C，定義域為R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數；對于D，f(－x)＝－x3＋1≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函數，也不是偶函數．2．若函數f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數，則m的值是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.因為函數f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，即m－2＝－m＋2，解得m＝2.3．(2024·臺州高一檢測)已知f(x)為R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．1 B．2C．－1 D．－2解析：選D.因為函數f(x)為R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故選D.4．設f(x)是定義在R上的一個函數，則函數F(x)＝f(x)－f(－x)在R上肯定()A．是奇函數B．是偶函數C．既是奇函數又是偶函數D．既不是奇函數又不是偶函數解析：選A.F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函數的定義．5.如圖，給稀奇函數y＝f(x)的局部圖象，則f(－2)＋f(－1)的值為()A．－2 B．2C．1 D．0解析：選A.由題圖知f(1)＝eq\f(1,2)，f(2)＝eq\f(3,2)，又f(x)為奇函數，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝－2.故選A.6．已知函數f(x)＝eq\f(x＋b,x2＋1)是奇函數，則實數b＝________．解析：法一(定義法)：因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－x＋b,（－x）2＋1)＝－eq\f(x＋b,x2＋1)，整理得eq\f(－x＋b,x2＋1)＝－eq\f(x＋b,x2＋1)，所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，解得b＝0.法二(賦值法)：因為f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)，即eq\f(－1＋b,（－1）2＋1)＝－eq\f(1＋b,12＋1)，即eq\f(b－1,2)＝－eq\f(1＋b,2)，解得b＝0.法三(特別值)：因為f(x)為奇函數，且函數的定義域為R，所以f(0)＝0，即eq\f(0＋b,02＋1)＝0，解得b＝0.答案：07．假如函數y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>0，,f（x），x<0))是奇函數，則f(x)＝________．解析：設x<0，則－x>0，所以2×(－x)－3＝－2x－3.又原函數為奇函數，所以f(x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.答案：2x＋38．已知函數f(x)＝ax3＋bx＋eq\f(c,x)＋5，滿意f(－3)＝2，則f(3)的值為________．解析：因為f(x)＝ax3＋bx＋eq\f(c,x)＋5，所以f(－x)＝－ax3－bx－eq\f(c,x)＋5，即f(x)＋f(－x)＝10.所以f(－3)＋f(3)＝10，又f(－3)＝2，所以f(3)＝8.答案：89．推斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝3，x∈R；(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；(3)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2，x>0，,0，x＝0，,x2－1，x<0.))解：(1)因為f(－x)＝3＝f(x)，所以函數f(x)是偶函數．(2)因為x∈[－3，3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，所以函數f(x)是偶函數．(3)當x>0時，f(x)＝1－x2，此時－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；當x<0時，f(x)＝x2－1，此時－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；當x＝0時，f(－0)＝－f(0)＝0.綜上，對x∈R，總有f(－x)＝－f(x)，所以函數f(x)為R上的奇函數．10．定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示．(1)補全f(x)的圖象；(2)解不等式xf(x)>0.解：(1)描出點(1，1)，(2，0)關于原點的對稱點(－1，－1)，(－2，0)，則可得f(x)的圖象如圖所示．(2)結合函數f(x)的圖象，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)．[B實力提升]11．設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數B．|f(x)|g(x)是奇函數C．f(x)|g(x)|是奇函數D．|f(x)g(x)|是奇函數解析：選C.依題意得對隨意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函數，A錯；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函數，B錯；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函數，C正確；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數，D錯．故選C.12．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：選C.因為f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由題意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝1，故選C.13．已知奇函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0.))(1)求實數m的值，并畫出y＝f(x)的圖象；(2)若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，試確定a的取值范圍．解：(1)當x<0時，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2.y＝f(x)的圖象如圖所示．(2)由(1)知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋2x，x<0，))由圖象可知，f(x)在[－1，1]上單調遞增，要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))解得1<a≤3.14．(選做題)設f(x)是定義在R上的奇函數，且對隨意a、b∈R，當a＋b≠0時，都有eq\f(f（a）＋f（b）,a＋b)>0.(1)若a>b，試比較f(a)與f(b)的大小關系；(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求實數m的取值范圍．解：(1)因為a>b，所以a－b>0，由題意得eq\f(f（a）＋f（－b）,a－b)>0，所以f(a)＋