高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市蕭山區(qū)2025屆高三上學(xué)期聯(lián)考（三）數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，則，集合，則，∴，故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A3.設(shè)，向量，，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，向量，，此時(shí)有，所以，故是充分條件；當(dāng)時(shí)，，解得，故不是必要條件；所以是的充分不必要條件，故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】?jī)蛇吰椒降芒伲郑剩瑑蛇吰椒降芒冢阶英?②得，，故，故.故選：C5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.【答案】C【解析】由解析式，知的定義域?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，在上，結(jié)合各項(xiàng)函數(shù)圖象，知：C選項(xiàng)滿足要求.故選：C6.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】顯然在上單調(diào)遞減，要想在R上單調(diào)遞減，則，解得.故選：D7.已知正方體中，點(diǎn)、滿足，則平面截正方體形成截面圖形為（）A.六邊形 B.五邊形C.四邊形 D.三角形【答案】B【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)、滿足，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接交于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于，連接，則五邊形為所求截面圖形.故選：B．8.已知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，等價(jià)于有兩個(gè)解，因?yàn)椋瑇>0，所以，令，原式等價(jià)于有兩個(gè)解，又在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)大于零的解.解，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，hx的圖象如圖：所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn).故選：A二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量，則B.已知隨機(jī)變量，C.數(shù)據(jù)，，，，，，10的第百分位數(shù)是D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的方差為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋裕裕蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，故C正確；對(duì)于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，則甲乙組成的總體樣本的方差為，故D不正確.故選：ABC.10.已知曲線，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則曲線表示兩條直線B.若，則曲線是橢圓C.若，則曲線是雙曲線D.若，則曲線的離心率為【答案】ACD【解析】由題意，曲線，，若，則，此時(shí)曲線，表示兩條直線，故A正確；若，又，則，曲線，可化為，當(dāng)時(shí)，則曲線表示圓，當(dāng)時(shí)，則曲線表示橢圓，故B錯(cuò)誤；若，又，則，則曲線表示雙曲線，故C正確；若，又，所以，則曲線為，則曲線為等軸雙曲線，離心率為，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱臺(tái)中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（）A.正三棱臺(tái)的高為B.正三棱臺(tái)的體積為C.與平面所成角的正切值為1D.正三棱臺(tái)外接球的表面積為【答案】BCD【解析】將正棱臺(tái)補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐，如下圖示，其中分別為上下底面的中心，為的中點(diǎn)，易知，則為等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角，所以，而，則，根據(jù)棱臺(tái)上下底面相似，知，即，故，A錯(cuò)；由，，所以，B對(duì)；由圖知：為與平面所成角，則，C對(duì)；若為正三棱臺(tái)外接球的球心，則其半徑，即，令，則，可得，所以，故外接球表面積為，D對(duì).故選：BCD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______.【答案】【解析】由數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可知：，即，則.故答案為：13.從數(shù)字，，，中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為，再?gòu)臄?shù)字，…，中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為的概率是______.【答案】【解析】記事件為“第一次取到數(shù)字”，，事件B為“第二次取到的數(shù)字為”，由題意知是兩兩互斥的事件，且（樣本空間），.故答案為：.14.已知拋物線，從拋物線內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出平行于軸的光線經(jīng)過(guò)扡物線上點(diǎn)反射后交拋物線于點(diǎn)，則的面積為______.【答案】【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線與軸的交點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)為，故與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，根據(jù)題意，畫出草圖，如下圖所示，令得，解得，又過(guò)焦點(diǎn)，所以方程為：，即，聯(lián)立，得，解得或，所以∴的邊上的高為，又，所以，故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15.若銳角中，、、所對(duì)的邊分別為、、，且的面積為（1）求；（2）求的取值范圍.解:（1）由余弦定理，，又三角形面積為，則，又由題，則；（2）由（1），，又為銳角三角形，則.由正弦定理：.因在上單調(diào)遞增，則時(shí)，.則，即.16.如圖，在四面體中，，，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：因?yàn)椋遥捎嘞叶ɡ砜傻茫矗矗裕矗郑遥矫妫云矫妫郑瑒t，即，以為原點(diǎn)，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又M是的中點(diǎn)，則，是的中點(diǎn)，則，且，則，則，所以，因?yàn)槠矫妫槠矫娴囊粋€(gè)法向量，且，因?yàn)椋裕瑒t平面.（2）解：由（1）可知，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，解得，取，則，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c則，解得，取，則，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，顯然為銳角，則.所以二面角的余弦值為.17.已知橢圓的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求△OMN面積的取值范圍.解：（1）依題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半焦距為，由橢圓的離心率為，得，則，設(shè)，則，橢圓的左焦點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，由消去得，則，直線，同理，則△OMN的面積，令，，當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，由對(duì)稱性，不妨令，，所以△OMN面積的取值范圍是.18.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.（1）解：由題設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，在上，在上，在上，所以，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上，在上，在上，所以，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）解：由，若時(shí)，，令且，則，所以時(shí)，時(shí)，故在上遞增，在上遞減，則，所以，結(jié)合（1）中的單調(diào)性，易知不可能出現(xiàn)兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，又時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足，所以，此時(shí)，在上，在上，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又趨向于0或負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮，只需成立，顯然在上遞減，且當(dāng)時(shí)，所以，時(shí)恒成立，即所求范圍為；（ii）證明：由（i），在時(shí)，存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，不妨令，要證，即證，而，由（i）知：在上單調(diào)遞增，只需證，由，則令，且，則，所以，在上，即在上遞增，所以，即成立，所以，得證.19.已知數(shù)列是正整數(shù)的一個(gè)全排列，若對(duì)每個(gè)都有或，則稱為數(shù)列（1）列出所有數(shù)列情形；（2）寫出一個(gè)滿足的數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：或.（1）解：若，則或，當(dāng)，時(shí)，，，，此時(shí)為，當(dāng)，時(shí)，，，，此時(shí)為，同理可得可能為：或或或或或或或，（2）解：若將記為的第一組數(shù)，構(gòu)造數(shù)列滿足，則對(duì)任意的，，或，當(dāng)時(shí)，符合要求，，.綜上所述：，同理可得若將記為的第一組數(shù)，則，，（3）證明：為等差數(shù)列