專題03解題技巧專題：二次函數的圖象與系數壓軸題五種模型全攻略

『匚【考點導航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點一二次函數與一次函數圖象共存問題】.................................................1

【考點二二次函數與反比例函數圖象共存問題】..............................................5

【考點三含字母參數的二次函數的圖象和性質】.............................................10

【考點四二次函數的圖象和性質與系數a,。,c的問題】.......................................20

【考點五二次函數的圖象與幾何動點問題】..................................................25

【典型例題】

【考點一二次函數與一次函數圖象共存問題】

例題：（2023?山東濟南?校考三模）一次函數丫=依+。與二次函數、=62+法+,在同一個平面坐標系中圖象

可能是（）

【答案】B

【分析】根據一次函數、二次函數圖象與系數的關系逐項判斷即可.

【詳解】解：由解析式可得：一次函數廣6+c與二次函數y=a/+6x+c的圖象與y軸的交點都為（0,c）,

即交點重合，選項8,C,。滿足，選項A不滿足，排除A；

8選項，由一次函數圖象可得“<0,此時二次函數丁=辦2+公+。的圖象應開口向下，有可能；

C選項，由一次函數圖象可得。>0,此時二次函數丁="2+法+。的圖象應開口向上，不可能；

。選項，由一次函數圖象可得“<0,此時二次函數y=a/+bx+c的圖象應開口向下，不可能；

故選B.

【點睛】本題考查一次函數與二次函數圖象的綜合判斷，解題的關鍵是掌握一次函數、二次函數圖象與系

數的關系.

【變式訓練】

1.（2023秋?新疆阿克蘇?九年級校考階段練習）在同一平面直角坐標系中，函數y=和函數

y=-iwc+2x+2是常數，且加/0）的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】根據函數圖象判斷兩個加值，函數的圖象是否正確即可得到答案.

【詳解】解：A、根據函數圖象可知：一次函數解析式中機<0,二次函數解析式中-帆<0,故該選項不符

合題意；

2

8、根據函數圖象可知：一次函數解析式中機<0,二次函數解析式中相>0,但對稱軸x=—>0,矛盾，故

m

該選項不符合題意；

C、根據函數圖象可知：一次函數解析式中m>0,二次函數解析式中-m>0,故該選項不符合題意；

。、根據函數圖象可知：一次函數解析式中機<0,二次函數解析式中-m>0,兩者符號相同，根據〃=-〃?，

6=2得拋物線的對稱軸應在>軸的左側，與圖象相符，故該選項符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查一次函數與二次函數的圖象性質，根據圖象判斷函數解析式中字母的取值，正確理解函

數圖象是解題的關鍵.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）下列圖象中，當">0時，函數>=以2與'=公+6的圖象是（）

【答案】D

【分析】分別根據四個選項中一次函數和二次函數的圖象判斷出a和b的正負，然后通過比較求解即可.

【詳解】解：A、對于直線>=6+6,得a>0,b<0,與而>0矛盾，所以選項錯誤，不合題意;

B、由拋物線〉="2開口向上得到。>0,而由直線>=依+匕經過第二、四象限得到〃<0,所以選項錯誤，

不合題意；

C、由拋物線>=以2開口向下得到“<0,而由直線>=6+6經過第一、三象限得到。>0,所以選項錯誤，

不合題意；

D、由拋物線>=。尤2開口向下得到〃<0,則直線y=or+6經過第二、四象限，由于。6>0,則/?<0,所以

直線與y軸的交點在無軸下方，所以選項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖像和一次函數圖像的性質，掌握函數關系式的系數與圖像的位置之間

的關系是解題的關鍵.

3.（2023秋?廣東汕頭?九年級校考階段練習）在同一平面直角坐標系中，一次函數>=。升1與二次函數

【分析】根據一次函數和二次函數的圖象與性質分別進行判斷即可

【詳解】解：A.選項中一次函數的圖象經過一、二、三象限，則。>0,二次函數的圖象與y軸負半軸相交，

則《<0,矛盾，故選項不符合題意；

B.選項中二次函數的圖象開口向下，而y=/+a的圖象開口向上，矛盾，故選項不符合題意；

C.一次函數的圖象經過一、二、四象限，則〃<0,與y軸正半軸相交，二次函數的圖象與y軸負半軸相交，

則4<0,不矛盾，故選項符合題意；

D.一次函數的圖象經過二、三、四象限，與一次函數的圖象與y軸正半軸相交矛盾，故選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】此題考查了一次函數和二次函數的圖象與性質，熟練掌握兩個函數的圖象和性質是解題的關鍵.

4.（2023秋?江蘇蘇州?九年級蘇州市平江中學校校考階段練習）函數>="2+1和,=依+。為常數，且

awO）,在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（）

【答案】D

【分析】由二次函數的解析式可得二次函數>=62+1的圖象的頂點為（0，1）即可排除A、B,由一次函數的

解析式可得一次函數y="+。的圖象經過點（-L0）即可排除C,從而得到答案.

【詳解】解：?.”=爾+1,

二二次函數,=依2+1的圖象的頂點為故A、8不符合題意；

在y=ov+a中，當y=。時，ax+a=G,解得元=-1,

二一次函數y=◎+”的圖象經過點（-W）,故c不符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數、二次函數圖象的綜合判斷，熟練掌握一次函數和二次函數的圖象與性質是

解題的關鍵.

5.（2023春?四川內江?九年級校考階段練習）在同一平面直角坐標系中，二次函數>=。尤2與一次函數

>=6尤+c的圖象如圖所示，則二次函數y=??+6x+c的圖象可能是（）

【分析】根據二次函數>與一次函數，=a+c的圖象，即可得出b>0,c<0,由此即可得出：

b

二次函數y="+6x+c的圖象開口向上，對稱軸x=-丁<0,與y軸的交點在y軸負半軸，再對照四個選

2a

項中的圖象即可得出結論.

【詳解】解：因為從二次函數>=辦2與一次函數y="+c的圖象得到a>0,b>0,c<0,

所以二次函數y=〃/+"+c的圖象開口向上，

二次函數丫=以2+公+。的對稱軸x=-丁＜0,且其圖象與y軸的交點在y軸負半軸，

2a

四個選項中的圖象符合上述要求的是。選項，

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數的圖象以及二次函數的圖象，根據二次函數圖象和一次函數圖象經過的象限,

找出a＞0,b＞0,c＜0是解題的關鍵.

【考點二二次函數與反比例函數圖象共存問題】

例題：（2023?湖北襄陽,統考一模）如圖，二次函數》="?+依與反比例函數＞=3在同一平面直角坐標系內

【分析】根據〉="/+以可知，二次函數圖象與y軸交點為y=0時，即二次函數圖象過原點.再分兩種情

況即。＞0,。＜0時結合二次函數+fcr+c中a,b同號對稱軸在y軸左側，a,b異號對稱軸在y軸右

側來判斷出二次函數與反比例函數圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案.

【詳解】解：①當。＞0時，二次函數、=0^+辦開口向上，過原點，對稱軸在y軸左側，故二次函數在一、

二、三象限，反比例函數在一、三象限；

②當a〈0時，二次函數丫=辦2+辦開口向下，過原點，對稱軸在y軸左側，故二次函數在二、三、四象限，

反比例函數在二、四象限，

觀察圖象可知只有。符合，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象以及反比例函數圖象的性質，解題的關鍵是根據二次函數中。的取

值確定二次函數以及反比例函數的圖象.

【變式訓練】

k

1.（2023春?山東日照?九年級校考期中）在同一直角坐標系中，反比例函數y=—與二次函數y=Y-履-左的

大致圖像可能是（）

【分析】根據左的取值范圍分當上＞0時和當左＜0時兩種情況進行討論，根據反比例函數的圖像與性質以及

二次函數的圖像與性質進行判斷即可.

k

【詳解】解：當上＞0時，反比例函數y=勺的圖像經過一、三象限，二次函數y=f-近-k的圖像開口向

x

上，其對稱軸尤=寺在y軸右側，且與y軸交于負半軸，故選項c、。不符合題意；

2

k

當上＜0時，反比例函數y=勺的圖像經過二、四象限，二次函數丫=/-履-上的圖像開口向上，其對稱軸

X

X=9在y軸左側，且與，軸交于正半軸，故選項A不符合題意，選項2符合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖像與性質以及二次函數的圖像與性質，解題關鍵是根據上的取值范

圍分當左＞0時和當上＜0時兩種情況進行討論.

2.（2023春?安徽合肥?九年級校考階段練習）若左片0,函數＞=2與丫=-b?+/在同一平面直角坐標系中

X

的圖象可能是（）

【分析】先由函數六人的圖象所在象限判斷左的正負，得力的正負，判斷函數丫=-丘2+公的圖象開口方

向是否符合；由左W0,得公＞0,判斷函數＞=-丘?+的圖象與y軸交點應在y軸的正半軸上.據此逐項

判斷即可.

【詳解】由ZwO,得上2＞0,判斷函數＞=-質?+廿的圖象與y軸交點應在y軸的正半軸上.

A、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得左＞0,則-左＜0,拋物線開口方向應向下、拋物線與y軸的

交點應在y軸的正半軸上，本圖象符合，故選項A正確；

B、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得左＜o,則-左＞0,拋物線與y軸的交點應在y軸的正半軸上，

拋物線開口方向應向上，而本圖象拋物線開口方向是向下，不符合，故選項8錯誤；

C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得左＞0,則-左＜0,拋物線開口方向應向下、拋物線與y軸的

交點應在y軸的正半軸上，本圖象拋物線開口方向、與y軸的交點都不符合，故選項c錯誤；

。、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得左＜o,則-左＞o,拋物線開口方向應向上、拋物線與y軸

的交點應在y軸的正半軸上，而本圖象拋物線與y軸的交點在〉軸的負半軸上，不符合，故選項。錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數及反比例函數的圖象和性質，解決此類問題方法步驟一般為：（1）先根據反

比例函數圖象所在象限與二次函數圖象開口方向是否同時符合％的正負；（2）根據二次函數圖象判斷拋物線

與y軸的交點是否符合要求.掌握解決此類問題的方法步驟是解題的關鍵.

3.（2023?湖北襄陽?統考一模）如圖，二次函數y=a/+依與反比例函數y=4在同一平面直角坐標系內的

X

【答案】D

【分析】根據＞=62+辦可知，二次函數圖象與y軸交點為y=o時，即二次函數圖象過原點.再分兩種情

況即a＞0,時結合二次函數＞=取2+6x+c中q,6同號對稱軸在y軸左側，a,b異號對稱軸在y軸右

側來判斷出二次函數與反比例函數圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案.

【詳解】解：①當時，二次函數、=依2+辦開口向上，過原點，對稱軸在y軸左側，故二次函數在一、

二、三象限，反比例函數在一、三象限；

②當a＜0時，二次函數、="2+如開口向下，過原點，對稱軸在y軸左側，故二次函數在二、三、四象限，

反比例函數在二、四象限，

觀察圖象可知只有D符合，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象以及反比例函數圖象的性質，解題的關鍵是根據二次函數中。的取

值確定二次函數以及反比例函數的圖象.

4.（2023,貴州銅仁?校考一模）函數y='與＞=4一后（％0）在同一直角坐標系中的圖象大致是（）

X

【分析】根據左＜0,左＞0,結合兩個函數的圖象及其性質分類討論.

【詳解】解：分兩種情況討論：

①當左＜0時，反比例函數y=±,在二、四象限，而二次函數＞=依2-左開口向下，與y軸交點在原點上

X

方，故選項2、C、。都不符合題意，選項A符合題意；

②當人＞0時，反比例函數y=與，在一、三象限，而二次函數＞=依2-左開口向上，與y軸交點在原點下

X

方，故選項A、B、C、。都不符合題意，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二次函數及反比例函數和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據圖象的特

點判斷左取值是否矛盾；（2）根據二次函數圖象判斷拋物線與y軸的交點是否符合要求.

5.（2023?湖北襄陽?統考模擬預測）如圖，一次函數y=6+b和反比例函數y=￡圖像，則二次函數

X

y=ax2+bx+c的圖像可能是（）

【分析】根據一次函數與反比例函數的圖象位置，確定出。，b,。的正負，進而利用二次函數圖象與性質判

斷即可.

【詳解】解：觀察圖象可得：a>0,b<0,c<0,

，二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，與y軸交點在負半軸,

則二次函數y="2+6x+c的圖象可能是

故選：B.

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象，一次函數圖象，以及二次函數的圖象，熟練掌握各自圖象的

性質是解本題的關鍵.

6.（2023春?浙江杭州?八年級校考階段練習）二次函數y=ax2+Zzx+c的圖象如圖所示，則一次函數

【分析】由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即（1，o+b+c）在第四象限可得。+人+。<0,從而得到反

比例函數>=￡的圖象分布在二、四象限，由拋物線的開口方向和與x的交點個數得到

%

a<0,b2-4ac>0,從而得到一次函數y=辦+/-4碇的圖象經過一、二、三象限，即可得到答案.

【詳解】解：由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即（1，。+人+c）在第四象限,

.\?+Z?+c<0,

二反比例函數"的圖象分布在二、四象限，

X

V拋物線的開口向上，

拋物線與X軸有兩個交點，

A=b~-4ac>0，

.,.一次函數y=ax+〃-4ac的圖象經過一、二、三象限，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象與系數的關系，熟練掌握一次函數、反

比例函數、二次函數的圖象與系數的關系，采用數形結合的思想解題，是解此題的關鍵.

【考點三含字母參數的二次函數的圖象和性質】

例題：(2023,全國?九年級專題練習)已知二次函數一(3a+i)x+3(aw0),下列說法正確的是()

A.點(1,2)在該函數的圖象上

B.當。=1且一時，0”48

C.該函數的圖象與x軸一定有交點

3

D.當。>0時，該函數圖象的對稱軸一定在直線彳=彳的左側

2

【答案】C

【分析】根據二次函數的圖象和性質，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：回丫=爾-(3。+1)彳+3(。工0),

當x=l時：y=a—(3G+1)+3=2—2a,

回。#0,

回2—2a豐2,

即：點(1,2)不在該函數的圖象上，故A選項錯誤；

當。=1時，j=x2-4x+3=(x-2)2-1,

回拋物線的開口向上，對稱軸為x=2,

回拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越大，

0-l<x<3,|-1-2|>|3-2|>|2-2|,

回當x=-l時，y有最大值為（-1-2）2-1=8,

當x=2時，y有最小值為-1,

回故B選項錯誤；

0A=［-（3a+l）］2-4x3a=9a2-6a+l=（3a-l）2>0,

囪該函數的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；

當。>0時，拋物線的對稱軸為：》=鋁=：+3>：，

2a22。2

3

回該函數圖象的對稱軸一定在直線尤=］的右側，故選項D錯誤；

故選C.

【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質.熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?江蘇揚州?統考中考真題）已知二次函數>="2-2犬+；（0為常數，且a>0）,下列結論：

①函數圖像一定經過第一、二、四象限；②函數圖像一定不經過第三象限；③當x<0時，y隨x的增大而

減小；④當x>0時，y隨x的增大而增大.其中所有正確結論的序號是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【分析】根據二次函數的圖象與性質進行逐一分析即可.

【詳解】解：回拋物線對稱軸為一二=一?=1>0,c=1>0,

2a2aa2

團二次函數圖象必經過第一、二象限，

又回A=Z?2-4ac=4-2a,

回。>0,

團4—2a<4,

當4-2〃<0時，拋物線與x軸無交點，二次函數圖象只經過第一、二象限，

當0<4-2a<4時，拋物線與％軸有兩個交點，二次函數圖象經過第一、二、四象限，

故①錯誤；②正確；

1

團拋物線對稱軸為一h==—-92=±>0,a>0,

2a2aa

回拋物線開口向上，

回當x<工時，y隨x的增大而減小，故③正確；

a

回當X>!時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，

a

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數圖象與各項系數符號之間的關系是解題的關

鍵.

2.（2023?江蘇無錫?江蘇省天一中學校考模擬預測）拋物線y=-2ox+c（a，c是常數且a/0,c>0）

經過點A（3,0）.下列四個結論：

①該拋物線一定經過8（-1,0）;

②2a+c>0；

③點片。+2022,%）,P,（t+2023,%），在拋物線上，且口>為，貝卜>-2021；

④若是方程ax?+2ax+c=p的兩個根，其中P>o,貝1]-3<〃2<〃<1.

其中正確的個數有（）

A.1個8.2個C.3個D4個

【答案】C

【分析】由函數解析式可得函數的對稱軸為直線尤=-：=1,再根據二次函數的圖像和性質，逐一分析,

判斷對錯即可解答.

【詳解】解：①回拋物線經過點4（3,0）,

「.9a-6a+c=0,

3a+c=0,

當x=-1時，a+2a+c=0,

3a+c=0,

團該拋物線一定經過3（-1,。），

故此項正確；

②由①得：c=-3a,

Qc>0,

—3a>0,

/.a<0,

?「3a+c=0,

2a+c=-a,

二.2a+c>0,

故此項正確；

③拋物線的對稱軸為直線無=-支=1,

2a

當,=-2021時，《。，%）,￡（2,%），

a<0,

乂>%，

/.t=-2021也符合題意與t>-2021矛盾，

故此項錯誤.

④回拋物線丁=奴2一2必+。，對稱軸為直線冗二一1,拋物線,=。%2+2以+。對稱軸為直線％=一1,

團拋物線y=ax2-2ax+c圖象向左平移2個單位得到拋物線y=〃/+2以+。的圖象，

團拋物線y=——2QX+C經過點（一1,0）,（3,0）,

團拋物線y=ax2+lax+c經過點（-3,01（1,0）,

,「加,〃（帆<〃）是方程of一2〃%+0=p的兩個根，

「?帆川是拋物線必=ax2+2ax+c與直線y=P交點的橫坐標，

??,p>0,

故此項正確，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質和數形結合的思想，掌握二次函數的基本性質并會靈活應用是

解題的關鍵.

3.（2023?陜西西安?西安市第六中學校考模擬預測）已知y=/+6依+4（aw0）是關于尤的二次函數，當自

變量尤的取值范圍為時，函數y有最大值，最大值為13,則下列結論不正確的是（）

A.拋物線與x軸有兩個交點B.當拋物線開口向下時，。=-1

C.對稱軸在y軸的左側D.當拋物線開口向上時，a=—

【答案】D

【分析】先把拋物線的解析式化成頂點式，再根據二次函數的性質逐個判斷即可.

【詳解】解：由題意得，y=依2+6辦+3有最大值是13

Ely=/+6av+3=a（x+3）~+2—9。，

04—2a=13,解得a=—1,

回3選項正確.

拋物線解析式為：y=-（x+3）2+13,即對稱軸是：直線x=-3,

13c選項正確，

又當y=0時，-（尤+3）氣13=0,

A=（-7）2-4X（-4）X4＞0,

回一（元+7）2+13=0有兩個不等的實數根，

EL4選項正確，

Ely=ax7+66+4=。（尤+2）2+4—2。,

回當拋物線開口向上時，由時，得當尤=6時，

則a+6a+4=13,

解得

回。選項錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象、二次函數的性質和二次函數的最值，能熟記二次函數的性質是解此

題的關鍵.

4.（2023?內蒙古呼和浩特?統考中考真題）關于x的二次函數y=M2_6?u-5（〃沖0）的結論

①對于任意實數。，都有為=3+。對應的函數值與％=3-。對應的函數值相等.

②若圖象過點4（占,%），點以女，力），點C（2,T3）,則當國＞馬＞苫時，匚囪＜0.

③若34x46,對應的＞的整數值有4個，則-[＜根或;

④當機>0且〃<3時，一14WyV〃2+i,貝|〃=1.

其中正確的結論有（）

A.1個5.2個C.3個D4個

【答案】B

【分析】先求出該函數對稱軸為直線1=3,再得出玉=3+〃和々=3—。關于直線1=3對稱，即可判斷①;

把。（2,-13）代入y=g2_6w5（mw0）,求出根=1,則當x>3時，y隨工的增大而增大，得出

22

xl-x2>0,yl-y2>0,即可判斷②；^^y=mx-6mx-5=m（x-3）-5-9m,然后進行分類討論：當機>0

時，當機<0時，即可判斷③；根據當機>0且〃工九<3時，得出y隨工的增大而減小，根據x=3時，

y=-5-9m=-14,求出機=1,貝！J當1=〃時，y=n2-6n-5=n2+1,求出〃的值，即可判斷④.

【詳解】解：①團二次函數丁=如2_6儂：_5（帆。0）,

回該函數的對稱軸為直線X=-鑼=3,

2m

國芭=3+〃，x2=3-a,

0%產=3,即（為，匕）和（工，％）關于直線x=3對稱，

回演=3+。對應的函數值與％=3-。對應的函數值相等，故①正確，符合題意；

②把C（2,-13）代入y=mx2-6mx-5（mw0）得：一13=4m-12m-5,

解得：m=\,

回二次函數表達式為y=%2-6x-5,

0?=1>0,該函數的對稱軸為直線x=3,

團當%>3時，y隨x的增大而增大，

9

團%1>%>/，

團K>%，

回x一%>（）,%一%>0,

回無￡>°，故②不正確，不符合題意；

③團y=mx2—6mx—5=m（x—3）2—5—9m,

團當％=3時，y=-5-9mf當x=6時，y=-5f

當相>0時,

03<x<6,

團y隨x的增大而增大，

03<x<6,對應的y的整數值有4個,

國四個整數解為：-5,-6,—7,-8,

14

<m<

0-9<-5-9m<-8,角畢得:3--9-

當機v0時，

03<x<6,

團y隨工的增大而減小，

03<x<6,對應的丁的整數值有4個，

國四個整數解為：-5,-4,-3,-2,

41

[?]-2<-5-9m<-l,解得：,

綜上：故③正確，符合題意；

④當機>0且〃Vx<3時，y隨x的增大而減小，

0-14<y<M2+l,

團當x=3時，y=-5-9m=-14,解得：m=l,

0y=x2-6x—5,

當X=〃時，y=n2—6n—5=n2+1,

解得：力=-l,故④不正確，不符合題意；

綜上：正確的有①③，共2個，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握>=（x-/zy+左的對稱軸為x=/z,頂點坐

標為他,左）；。>0時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨尤的增大

而增大，a<0時，函數開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減

小.

5.（2023?浙江嘉興?統考二模）已知二次函數,=/_2阻+租2+2m—4,下列說法中正確的個數是（）

（1）當相=0時，此拋物線圖象關于，軸對稱；

（2）若點A—2,%）,點%）在此函數圖象上，貝

（3）若此拋物線與直線y=x-4有且只有一個交點，則機=-1；

（4）無論m為何值，此拋物線的頂點到直線y=2x的距離都等于生5.

5

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求得拋物線的對稱軸即可判斷①；求得兩點到對稱軸的距離即可判斷②；令

%-4=%2-2mx+m2+2m-4,根據△=[一（2必+1）7-4（療+2旭）=0,求得一的值即可判斷③;求得拋物

線頂點坐標得到拋物線的頂點在直線y=2x-4上，可知直線y=2x-4與直線y=2無平行，求得兩直線的距

離即可判斷④.

【詳解】解：（1）當"7=0時，y=x2-4,

回拋物線的對稱軸為y軸，

此拋物線圖象關于y軸對稱，故該項正確；

（2）Elj=x2-2mx+m2+2m-4,

—2m

回拋物線開口向上，對稱軸為直線X=-三一=M,

團點A（m-2,yJ,點3（〃2+1,%）在此函數圖象上，且相一（〃7-2）＞〃7+1-m，

團%＞%，故該項錯誤；

（3）若此拋物線與直線y=x-4有且只有一個交點，

則令x—4=x?—?.mx+m2+2m—4,

整理得X?一（2機+1）%+機之+2m=0,

0A=[-（2m+l）]2-4（療+2機）=0

解得根=],故該項錯誤；

4

（4）（By=無？—Imx+rn1+2機一4=（無一機）~+2機一4

團頂點為（以2M-4）,

回拋物線的頂點在直線＞=2x-4上，

回直線y=2無一4與直線y=2x平行，

回此拋物線的頂點到直線V=2x的距離都相等.

設直線、=2尤-4交X軸于A,交y軸于8,點。到A3的距離為

則4（2⑼,3（0,T）,

回AB=j22+42=2小

^S^AOB=^OA-OB=^ABOD

^-x2x4=-x2y/5OD

22

團or>=延，

5

回兩直線間的距離為逑，故該項正確；

5

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與方程的關

系，熟知二次函數的性質是解題的關鍵.

6.（2023?湖北武漢?統考一模）已知函數y=&-（k+2）x+2（左為實數），下列四個結論：

①當上=0時，圖象與坐標軸所夾的銳角為45。；

②若女<0,則當x>l時，y隨著X的增大而減小；

③不論上為何值，若將函數圖象向左平移1個單位長度，則圖象經過原點；

④當左<-2時，拋物線頂點在第一象限.

其中正確的結論是（填寫序號）

【答案】②③④

【分析】由一次函數丁=-2尤+2即可判斷①；根據二次函數的性質即可判斷②；得到平移后的解析式即可

判斷③；求得頂點坐標即可判斷④.

【詳解】解：①當左=0時，函數為一次函數k-2彳+2,由于系數為一2,所以圖象與坐標軸所夾的銳角不

為45。，故①錯誤；

②若女<0,拋物線的對稱軸為直線尤=-也②=^+!<L則當X>1時，y隨著X的增大而減小，故②

2k2k2

正確；

③當函數圖象向左平移1個單位時，解析式為y=?x+l）2-（左+2）（x+l）+2,則其圖象過原點，故③正確；

④當發<—2時，對稱軸直線-YE」+：>（）,頂點縱坐標為-21=一出二比>o,故拋物

2k2k4k4k

線頂點在第一象限，故④正確；

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數,=以2+a+°（°,6,。是常數，。-0）與x軸的交點

坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數的性質.

7.（2023春,福建福州?八年級福建省福州延安中學校考期末）對于二次函數>=依2-（5a+l）x+4a+4.有下

列說法：

①若則二次函數的圖象與y軸的負半軸相交；

②若。>0,當14x42時，y有最大值3；

③若a為整數，且二次函數的圖象與x軸的兩個公共點都為整數點，則a的值只能等于1；

④若a<0,且A（2,yJ,以3,%）,C（4,%）為該函數圖象上的三點，則%>%>%.

其中正確的是.（只需填寫序號）

【答案】①②④

【分析】求出4a+4的取值即可判斷①；由對稱軸方程可判斷出當x=l時，函數在14龍42時，y有最大值

3,故可判斷②；根據二次函數的圖象與x軸的兩個公共點都為整數點可知對稱軸也是整數，可求出a,進

而判斷③；分別求出A,B,C三點對應的函數值，再進行比較即可判斷④.

【詳角軍】解：①對于，=依2一（5。+1）》+4。+4,令x=0,得y=4a+4,由a<-1可得y=4。+4<。，即二

次函數的圖象與y軸的負半軸相交，故①正確；

②二次函數）=依2_（5口+1）尤+4a+4對稱軸方程為直線苫=_^^=宇=^^=2+匕，

2a2a2a2a

團a>0,

回%>2,

又拋物線的開口向上，

國二次函數y=ax2-（5a+l）x+4a+4的圖象在14x42內，當％=1時，y有最大值，最大值為：3；故②正確;

③團二次函數尸加-（5。+1卜+44+4的圖象與無軸有兩個交點，

0A=[-（5a+1）]-4a（4a+4）=25a2+10o+l—16o2-16o=9a2—6a+l=（3a—l）-,

加為整數，

0W（3a-l）2>O,即a為任意整數；

又二次函數的圖象與x軸的兩個公共點都為整數點，

國對稱軸》=2+$必為整數，此時。的值不只能等于1,也可以是-1,故③錯誤；

2a

④回4（2,乂）,3（3,%）,。（4,%）為函數y=?%2-（5a+l）x+4a+4圖象上的三點，

團當龍=2時,y=—2a+2；

當九=3時，y=-2a+l；

當％=4時，y=°；

回〃<0,

團一2cl+2>—2a+l>0,即%>%>為?正確，

所以，正確的結論是①②④，

故答案為：①②④.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，利用數形結合，從開口方向、對稱軸、與無軸S軸）

的交點進行判斷是解題的關鍵.

【考點四二次函數的圖象和性質與系數a,仇C的問題】

例題：（2023春?湖南長沙?八年級校聯考期末）某二次函數丫=改2+及+。（。片0）的部分圖象如圖所示，下列

結論中一定成立的有（）

（1）abc>0；（2）a-b+c<0；（3）a=--；（4）8a+c>0.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與。的關系，由拋物線與y軸的交點判斷y與。的關系，然后根據對稱

軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【詳解】解：①函數的對稱軸在y軸右側，則必<o,拋物線與y軸交于負半軸，貝貝U"c>o,故

①正確；

②函數的對稱軸為x=l,函數和x軸的一個交點是（3,0）,則另外一個交點為（T,O）,當x=-l時，

y=a-b+c=0,故②錯誤；

A1

③函數的對稱軸為工=-白=1,即"-力，故③錯誤；

」2a2b

④由②③得，b=-2a,a-b+c=0,故3a+c=0,而拋物線開口向上，貝！］。>0,即5。>0,故8a+c>0,

故④正確；

故選：B.

【點睛】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與方的關系，以及二次函數

與方程之間的轉換是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統考三模）如圖，二次函數丁=62+法+。（0<0）的圖象與x軸交于A、8兩點，

與y軸交于點C,對稱軸為直線x=l,結合圖象給出下列結論：①心c>0；（2）4ac-b2<0;③3a+c<0；

④方程ox?+6x+c=-/：2一1的兩根和為1；⑤若占，龍2（為<%）是方程/+法+。=0的兩根，則方程

。（尤一不）（工一％）+3=0的兩根根,滿足。（機―王）（〃—尤2）>0；其中正確結論有（）

A.2個8.3個C.4個D5個

【答案】B

【分析】綜合二次函數圖象與各項系數之間的關系，以及二次函數與方程之間的聯系進行逐項分析.

b

【詳解】解：由題意，。<0,對稱軸為直線X=-==1,

2a

團Z?=-2a,b>0,

拋物線與y軸相交于正半軸，則c>o,

0abc<0,故①錯誤；

團拋物線與x軸有兩個不同的交點，

Sb2-4ac>0,即：4ac-b2<0,故②正確；

回由圖象可得，當x=-l時，函數值，<0,

回，一Z?+,

團/?=—2a,

團3Q+CV0,故③正確；

對于方程ax2+bx+c=—k2—1,

整理得：ax2+Z?x+c+A:2+1=0?

b

回其兩根之和占+%2=-一，

a

團Z?=—2。,

回百+%=2

國方程?2+云+°=-左2—1的兩根和為2,故④錯誤；

回西,々（為<%）是方程4尤2+Zzx+c=O的兩根，

回函數y="2+6X+C圖象與X軸的兩個交點的橫坐標為玉,々（占<工2），

團方程a（x-占）（x-%）+3=0的兩根,

回拋物線y=加+法+。與直線>=-3的交點橫坐標為加,〃（加<〃）,

回拋物線開口向下，

回機<玉，n>x2,

回根一石<0,〃一九2〉。，

回〃<0,

0a（m-jq）（H-x2）>O,故⑤正確；

團正確的有②③⑤，

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數圖象與性質，二次函數與一元二次方程之間的聯系，掌握函數的基本性質，理

解并熟練運用函數與方程之間的關系是解題關鍵.

2.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統考中考真題）如圖，二次函數丫=依2+法+0（。片0）圖像的一部分與無軸的一個

交點坐標為（3,0）,對稱軸為直線x=l,結合圖像給出下列結論：

①abc>0；@b-2a；③3a+c=0；

④關于尤的一元二次方程以Z+6x+c+Z?=0（ax0）有兩個不相等的實數根；

⑤若點（加,％）,（-加+2,%）均在該二次函數圖像上，則%=%.其中正確結論的個數是（）

【答案】B

【分析】根據拋物線的對稱軸、開口方向、與y軸的交點確定b、。的正負，即可判定①和②；將點（3,0）

代入拋物線解析式并結合6=-2。即可判定③；運用根的判別式并結合a、c的正負，判定判別式是否大于

零即可判定④；判定點（八%）,（-心+2,%）的對稱軸為x=l，然后根據拋物線的對稱性即可判定⑤.

【詳解】解：???拋物線開口向上.，與y軸交于負半軸，

a>0,c<0,

回拋物線的對稱軸為直線X=1,

A

0--=1,即人=-2a<0,即②錯誤；

2a

[?]abc>0,即①正確，

二次函數,=依?+法二0）圖像的一部分與x軸的一個交點坐標為（3,0）

:.9a+3b+c=G

9a+3（-2a）+c=0,即3a+c=0,故③）正確；

團關于x的——元二次方程以之+法+。+左2=0（〃。0）,A=Z?2—^a（c+k1^=b1—4ac—4ak2,a>Q,c<0,

團-4ac>0，-4ak2<0,

團無法判斷》2—4〃C-4成2的正負，即無法確定關于X的一元二次方程以2+云+°+%2=0（"0）的根的情況，

故④錯誤；

m+（-m+2）

-2"

回點（利,yj,（-〃z+2,%）關于直線x=i對稱

回點（加,%）,（-m+2,%）均在該二次函數圖像上，

回%=%,即⑤正確；

綜上，正確的為①③⑤，共3個

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的>=依2+法+。（。*0）的性質及圖像與系數的關系，能夠從圖像中準確的獲

取信息是解題的關鍵.

3.（2023?全國?九年級假期作業）拋物線丁=以2+法+。的對稱軸是直線了=—I,且過點（LO）頂點位于第二象

限,其部分圖象如圖所示給出以下判斷：①出>>0,且c<0；②4o-2b+c>0；③8a+c>0；④c=3a-3b；

⑤直線y=2x+2與拋物線y=ox2+bx+c兩個交點的橫坐標分別為A，巧，則占+/+%“2=-5.其中正

確的個數為（）

A.1個8.2個C.3個D4個

【答案】C

【分析】根據二次函數的圖象和性質一一判斷即可.

【詳解】回拋物線對稱軸x=-l,經過點（LO）,

團---——1,ci-\-b+c=09

2a

團Z7=2a,c=-3a,

回〃<0,

團Z?<0,c>0,

回">0且c>0,故①錯誤，

回拋物線對稱軸x=-l,經過。，0),

團(-3,0)和(1,0)關于對稱軸對稱，

回了=-2時，y>0,

04a-2Z?+c>O,故②正確，

回拋物線與x軸交于(-3,0),

Elx=-4時，y<0,

町6a-4Z?+c<0,

團b=2”,

團16〃一8〃+。<0,即8a+cv0,故③錯誤，

回C=-3〃=3Q-6a,b=2a,

^lc=3a-3b,故④正確，

回直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+。兩個交點的橫坐標分別為與々，

團方程辦2+僅一2)%+。-2=。的兩個根分另1」為不，x?,

b-2c-2

團X]+W=--------,玉,%2二-----，

aa

回國+%+再％=-組2+匕2=-網二2+色二工=一5,故⑤正確，正確的個數為3個.

aaaa

故選：c.

【點睛】本題考查二次函數與系數的關系，二次函數圖象上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用所學知識

解決問題，屬于中考常考題型.

【考點五二次函數的圖象與幾何動點問題】

例題：(2023?河南周口?河南省淮陽中學校考三模)如圖，在RtaABC中，ZA=90°,AC=AB=8.動點。

從點A出發，沿線段A3以1單位長度/秒的速度運動，當點。與點8重合時，整個運動停止.以AD為一邊

向上作正方形ADEF,若設運動時間為尤秒（0<x<8）,正方形ADEF與"RC重合部分的面積為九則下

列能大致反映>與x的函數關系的圖象是（）

【分析】根據題目所給條件，分當04x44時和當4<x