天津市靜海區(qū)第一中學2024-2025學年高三上學期12月月考數(shù)

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜卜=1。82（X-1）},集合3={,y=12_",則A3=（）

A.（1收）B.（1,2]

C.[0,+oo）D.0

22

2.方程上=1表示橢圓的充要條件是（）.

4+m2-m

A.—4<m<2B.l<m<2

C.-4<m<-3D.m>—l

4.已知/，加是兩條不同的直線，。,夕是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若/〃/加〃a,且/，根u￡,貝ija〃/

B.若I工a,m〃0,且/_Lm,則a〃/

C.若/_La,根_L/?,且/_L根，則

D.若/〃a,加〃月，且/_Lm,則a-L〃

001

5.已知函數(shù)〃x)=e'+eT,若a=log30.6,b=3,c=log53,則有()

A./(a)>/(&)>/(c)B./(Z?)>/(c)>/(<7)

C./(^)>/(?)>/(c)D./(c)>/(a)>/(Z>)

6.已知在等比數(shù)列｛《｝中，a4as=12a6,等差數(shù)列也,｝的前〃項和為3,且2々=%,貝US,=

()

A.60B.54C.42D.36

7.已知函數(shù)/(x)=sin［岸+三、］-竽(。>0),在［0㈤上恰有4個零點，則0的取值

范圍是()

(10131<10161「10131「1016｝

(33」(33」L33JL33J

8.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，其中談到的“塹堵”是

指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.現(xiàn)有塹堵如圖所示，其中ACJL3C,若

A4,=AC=BC=4,平面4BG將塹堵分成了兩部分，這兩部分體積比值為()

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

22

9.已知點P為橢圓C:土+匕=1上第一象限的一點，左、右焦點為公，瑞，」的尸耳的平

43一一

分線與X軸交于點M,過點片作直線的垂線，垂足為H,0為坐標原點，若|OH|=；,

則耳尸居面積為()

3

A.WB.35/3C.-D.3

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足(l+2i)-z=2-4i,則|z|=.

11.已知x,y均為正實數(shù)，且x+y=16,則三一的最大值為___.

9x+y

試卷第2頁，共4頁

12.已知直線x+y-5=0與圓C：x?+;/-4x+2y-〃/=0相交于A,8兩點，且|AB|=4,

則實數(shù)m=.

13.己知VA2C的頂點A(l,l),高CD所在直線方程為3尤+>-12=0,角B的平分線旗所在

直線方程為x-2y+4=0.求：8點的坐標；BC邊所在直線方程.

TT

14.如圖，平行四邊形ABC。中，ZABC=j,E為8的中點，尸為線段AE上一點，且滿

^BP=mBA+^BC,貝ij加=；若ABCD的面積為4石，則網(wǎng)的最小值為.

------------------7D

B匕----------------JC

15.若函數(shù)〃力=卜、-4-alnx有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍為

16.已知VABC的內(nèi)角A,B,C,的對邊分別為。，b,c,滿足瘋/cosB=6sinA

⑴求角B的大小；

(2)若6=2,c=2a,求邊。的值；

(3)若cosA=孝,求cos(2A—3)的值.

17.如圖，已知正方形ABCD和ADMV邊長都為4,且平面ASCD4平面ADMV,E是BC

的中點，下是的中點，

⑴求證：CF〃平面NDE；

(2)求點A到直線AE的距離;

⑶求點A到平面NDE的距離;

(4)求二面角E-ND-A平面角的夾角的余弦值.

22

18.已知橢圓E:=+3=l(a>b>0)的短軸長為2石，離心率為;.

z

ri'n乙

⑴求橢圓E的方程；

⑵過點P(。』)的直線/交E于M,N兩點，

①若NP=3PM，求直線/的方程；

②若點A(l,l),求4WN的面積的取值范圍.

19.已知無窮數(shù)列｛%｝中，%、旬、…、金構(gòu)成以10為首項，以-2為公差的等差數(shù)列，。,向、

%+2....構(gòu)成首項為g，公比為1?的等比數(shù)列，其中〃*3,加eN*.

⑴當1W〃W2〃?，“zeN*時，求數(shù)列｛4｝的通項公式；

2m

⑵若，"是偶數(shù)且b=(-1)"片,求.

ni=l

⑶對一切正整數(shù)“，都有%+2",=%.設(shè)數(shù)列｛見｝的前〃項和為5“，判斷是否存在優(yōu)，使得

邑024加+3W31396成立？若存在，求出機的值；若不存在，請說明理由.

20.己知函數(shù)/(x)=eX+cos2x+2x2+x—2.g(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中aeR.

(1)求/(x)在x=0處的切線方程；

(2)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(3)求證:/(x)>ln(2x+l).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號123456789

答案ABBCBCABC

1.A

【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法，求出集合A8,再利用集合的運算，即可求解.

【詳解】因為y=log2(久—1)的定義域為(1,+8),由2-尤20,得到尤42,

所以y=萬工的值域為[0,+8),

得到A=(l,+"),B=[0,4W),所以A3=(l,+e),

故選：A.

2.B

【分析】借助橢圓的標準方程與充要條件的定義計算即可.

22

【詳解】若上一+^^=1表示橢圓，

4+m2-m

4+m>0

則<2-m>0,解得TVMV—1或一1vmv2.

4+m2-m

故選：B.

3.B

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除AC,再結(jié)合2Vx<3時，〃力>0即可排除D,進

而得到答案.

【詳解】由題意，/(x)=^±^-sin7cv,xe[-3,3],

XX

e-P_L

貝!Jf(-x)=——-----sin(-7LX)=-------------sinTIX=-f(x),

所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故AC不滿足；

e*+e~xex+e-'

當2cx<3時，——-——>0,sinTLX>0,貝！|/(x)=——----sinTUC>0,

故D不滿足，B符合題意.

故選：B.

4.C

【分析】利用空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷可得結(jié)論.

【詳解】對于A,若/〃a,加〃a,且/,%u￡,則a〃夕或a與￡相交，故A錯誤；

答案第1頁，共15頁

對于B,在正方體中，取AA為/,4。為機，平面ABCD為a,平面BCGA為夕,

符合題意，但^刀，故B錯誤;

對于C,因為/，a,機，尸，所以直線/的方向向量是平面a的法向量，

直線加的方向向量是平面夕的法向量，又Um,

所以兩直線的方向向量垂直，即兩平面的法向量垂直，所以￡,尸，故C正確；

對于D,在正方體中，取AA為/,AD為m,平面BCG耳為a,平面ARCB為夕，

此時符合題設(shè)，但a與夕不垂直，故D錯誤.

故選：C.

5.B

【分析】由已知可得/(x)為偶函數(shù)，貝Ij/(log30.6)=/，og3g，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指

數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得0<log3；<：,b>\,|<c<l,又當尤>0時，由尸(x)>0,可得/(x)

為單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到答案.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=e*+eT且定義域為R,則〃T)=eT+e*=/(x),所以/(x)為偶

函數(shù)，

3

因為a=log30.6=log3—<0,

貝I]/(log30.6)=/(-log30.6)=/|^-log31]=.logsg),

OO1

又Iog3；<log36=；,log3|>log3l=0,/,=3>3°=1,

c=log53>log56=;，c=log53<log55=1,

001

則J5jf^3>log53>log3|,

當尤>0時，因為r(x)=e'-er>0,所以為單調(diào)遞增函數(shù)，

答案第2頁，共15頁

所以/e）＞/（c）＞/（。）.

故選：B.

6.C

【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計算出&，然后得出等差數(shù)列的“，最后再根據(jù)等差數(shù)

列求和公式即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知4%=城=124，因為4*。，所以4=12,"=6,

所以跖="I；%＞=7b4=42.

故選：C

7.A

【分析】先根據(jù)誘導公式和二倍角公式，化簡函數(shù)小—也仁+三8］（。＞0）,

再根據(jù)其在［0,兀）上恰有4個零點，可列式求。的取值范圍.

【詳解】因為/（刈=豆"（+三卜也71COXCDX71]7171G)X

=sin--------F—COS

6-T23J26~~2

COX71COX71」sin8+交2兀

=sin——+—cos——+—

232323

2兀2兀

由/(%)=0=3+臼

30)3

27r）?在［兀）上恰有個零點.

因為①〉0,且1=—\ku—70,4

,1（.2兀5兀t,

所以一|4兀一-—<7l<—

33

故選：A

8.B

【分析】利用棱柱與棱錐的體積公式求解.

【詳解】由題意乙C.A向G=SBC,%-ASG44G.期，

、2

9

所以％—ACGA=YABC—ABC一%—AMG=耳^ABC-\BXCX

%—AMG_1

所以

Vy2,

ABCClAi

故選：B.

9.C

答案第3頁，共15頁

【分析】作出輔助線，由三線合一得到由"=|尸M，OH為△科巴的中位線，因N|=2|(?M=I,

設(shè)區(qū)P卜機，由橢圓定義得到出尸1=4-m，根據(jù)忸P|=|PN|得到方程，求出加=；,由余弦

定理得到cos/月尸工，進而得到其正弦值，利用三角形面積公式得到答案.

【詳解】如圖所示，延長KN,交尸區(qū)的延長線于點N,

因為PH為/4尸工的平分線，PH工KN,由三線合一得為等腰三角形，

即國”=|網(wǎng),H為耳N的中點，

因為。為片工的中點，所以為△科心的中位線，

故困陷=2|0”|=1,設(shè)=機，

由橢圓定義知，國"=2。-怩2=4-祖，

由郎=即得4一機=機+1,解得加得

45

故優(yōu)產(chǎn)|=屋M=2>

耳尸「+|工尸2T片用2

在中，由余弦定理得cos/耳Pg=

2|耳印取1

〔INIM3

-----------------------——，

2x35

22

故5也/月尸工=/-1|)=|.

113543

故S*瑪/月斗陽尸曲巳耳尸4=-x-x—x—=——.

252

;、

故選：C

10.2

答案第4頁，共15頁

【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法計算出Z,然后根據(jù)模長公式計算出|z|.

所以.2-4i(2一旬(1一2i)一6-8i_68.

【詳解】因為(l+2i)-z=2-4i,所以._]+石一(1+20(1—2。一5一---------1

55

/3664

所以|z|V25+25

故答案為：2.

11.1

xy1

——--=-----19119

【分析】由題意可得9x+y9+￡,由％+y=16,+-=+,展開后,

y%

運用基本不等式可得最值.

xy_1

【詳解】9x+y=2+J_,

yx

]a1]a1v9無

由x+y=16,可得一十—==(％+〉)(一+—)=—(1+9+—+一)

xyloxyloxy

2,0+2Q肛)=1,

16Vxx

當且僅當，=3X=12,等號成立，則產(chǎn)二的最大值為1.

9%+y

故答案為：1.

12.±77

【分析】利用弦長公式和點到直線距離公式列方程求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，圓l2+y2_4%+2y—/=0,

即(％—2)2+(y+1)?=5+，其圓心為(2,-1),半徑r=+而，

若|AB|=4,則圓心到直線/即A3的距離d=\5+m2—4=yl+m2，

12-1-51

又由圓心到直線x+y-5=0的距離d==26,

則有J1+>=2后,解可得：m=±yf7.

故答案為：±J7.

13.(-8,-2)；9x—13y+46=0.

答案第5頁，共15頁

【分析】先求出直線A3的斜率，從而求出直線AB的方程，由此能求出B點坐標；由％=；,

10

%BE=；，根據(jù)夾角公式求出原C=N，由此能求出直線BC的方程.

【詳解】???VABC的頂點A(l,l),高CD所在直線方程為3x+y-12=o,

角B的平分線能所在直線方程為x-2y+4=0,

,111

直線AB的斜率k=——=一一^=￡，

k1cD-33

；?直線48的方程為：y-l=g(無一1),即x_3y+2=0,

,[x-3y+2=0[x=-S

聯(lián)立//C，得°，

[x—2y+4=0[y=—2

???8點坐標為(-8,-2)；

kBE=^,角B的平分線班所在直線方程為x-2y+4=0,

|1+^AB,左8￡|I+^BC'^BE\

—ri=I―i------，解得的。=77或勺c=￡(舍)，

1+X

32|匕嚷

9

，直線BC的方程為：y+2=\(x+8),即9x-13y+46=0.

故答案為：(-8,-2)；9x-13y+46=0.

14.2亞

33

【分析】設(shè)AP=/AE,/?[0,1],由平面向量線性運算表示8P即可求出機，由

結(jié)合基本不等式可得網(wǎng)的最小值.

【詳解】^AP=lAE,l?[0,11，

貝U8P=函+AP=BA+XAE=a4+2(DE—ZM)

=BA+A(--BA+BC^(1--A)BA+ABC,

22

答案第6頁，共15頁

l1---l-Z0=m

212

Z.mBA+-BC=(l--A)BA+ABC,故＜

2=-

3

222

m=—,即BP=—BAH—BC.

333

由：ABC。的面積為4百得，網(wǎng)網(wǎng)s嗚=46,故網(wǎng)因=8,

,,,網(wǎng)=BA+lBC}=新印『+婀lY網(wǎng)四吟

=|,砌+時+8>|.、2網(wǎng)閘+8=孚，當且僅當網(wǎng)=忸4=2后時取等號,

，網(wǎng)的最小值為半.

故答案為：之；巫.

33

15.〃>e

【分析】分類討論。的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及利用數(shù)形結(jié)合方法，說明零點的個

數(shù)問題，即可得答案.

【詳解】當a=0時，/(x)=et(x>0),無零點;

當a<0時，/(力=6"-4一疝％在(0,+8)上單增，/(X)至多一個零點，不合題意;

設(shè)g(x)=H_a|,/z(x)=alnx,

當0<aVe時，g(x)與/z(x)的圖象大致如圖I所示，

當xNl時/(x)=e*-4_alnx,/'(無)=6"一旦在(1,+(?)單調(diào)遞增，f\x)>/,(l)=e-t7>0,

則/(x)在(1,+s)上單增，/(x)>/(l)=e-?>0,故“X)至多一個零點，不合題意；

答案第7頁，共15頁

當”>e時，g(x)與/?("的圖象大致如圖2所示，此時顯然有兩個交點,

故/(x)有兩個零點；綜上，a>e,

故答案為：”>e

【點睛】方法點睛：結(jié)合題意采用分類討論參數(shù)的取值范圍，進而數(shù)形結(jié)合，確定函數(shù)零點

個數(shù)，即可求解.

16.d)|

Q)空

3

2742-5

18

【分析】(1)由=bsinA,利用正弦定理求解；

(2)利用余弦定理求解；

(2)利用二倍角公式和兩角差的余弦公式求解.

【詳解】(1)解：因為百〃cos5=bsinA,由正弦定理得:

^3sinAcosB=sinBsinA,即sinA(6cos5-sin3)=0,

因為AI.O,兀)，所以tan5=百，則3=/；

IT

(2)由(1)知3=又b=2,c=2a,

由余弦定理得：Z?2=a2+c2-2accosB，4=a2+4a2-2a2，

解得y,則"竽

(3)由cosA=得：sinA=Vl-cos2A=,

33

則sin2A=2sinAcosA=2A,cos2A=2cos2A-l=~—,

99

所以cos(2A-8)=cos2Acos5+sin2AsinB,

512714V32A/42-5

—x——I----------x=--------------

929218

17.(1)證明見解析

⑵拽

3

⑶§

3

答案第8頁，共15頁

【分析】（1）結(jié)合題意，由平面ABCD工平面ADMV可得平面ABCD,建立空間直角

坐標系，利用空間向量證明即可；

（2）求AN，NE，利用空間向量求點到線的距離；

（3）求平面NOE的法向量，利用空間向量求點到面的距離；

（4）根據(jù)（1）（3）結(jié)論，利用空間向量求二面角.

【詳解】（1）證明：在正方形中，MD1.AD,

又平面ABCD人平面ADMZV,平面I平面=平面ADMZV,

所以MD_L平面ABCD,在正方形ABCZ）中，AD±CD,

因此以。為原點，分別以射線DADCOM為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則A（4,0,0）,N（4,0,4）,E（2,4,0）,D（0,0,0）,C（0,4,0）,F（0,0,2）,

則ON=（4,0,4）,OE=（2,4,0）,CF=（0,-4,2）,

n?DN=4〃+4c=0

設(shè)平面NDE的一個法向量為百=（a,b,c）,貝卜

n?DE=2〃+4b=0

令6=1,得為=（—2,1,2）,

SCF.n=-4+4=0，則b_L〃，即CR//平面NDE,而CFu平面NDE,

所以CF〃平面NDE.

（2）由（1）知，4V=（0,0,4）,NE=（-2,4,T）,

,AN.NE_T6_8

則AN=16，忖@V4+16+163,

答案第9頁，共15頁

\2

所以點A到直線AE的距離為，AN?-AN'NE

(3)由(1)知，DA=(4,0,0),平面NDE的一個法向量為〃=(一2,1,2),

所以點A到平面NDE的距離是d==,=-.

\n\74+1+43

(4)由(1)知，DC=(0,4,0)是平面4vo的一個法向量,

而平面NDE的一個法向量”=(-2,1,2),

DCri41

則cosDC,n=

\DC\\n\4x74+1+43,

而二面角E-ND-A的大小為銳角，

所以二面角E-NO-A平面角的夾角的余弦值為g.

r22

18.(1)—+^v-=1

43

(2)①y=±?+l；②(0,百］

【分析】(1)由題，聯(lián)立方程組求出。，方即可得解;

(2)①將直線與橢圓聯(lián)立，得到韋達定理式，再根據(jù)共線向量得到-無2=3%,代入計算即

網(wǎng)4+8人②

可；②利用弦長公式和點到直線的距離公式得到面積表達式指x何2+3)2,再利用換元

法及二次函數(shù)得到其范圍即可.

2b=25/3

c1a2=4

【詳解】(1)由題可得：-=-,解得

a2b2=3

a2=b2+c2

22

所以橢圓E的方程為：二+匕=1；

43

(2)

答案第10頁，共15頁

設(shè)直線/交E于M01/1),N(%2，y2)兩點，點尸(°』)在橢圓E內(nèi)，

①若直線/的斜率不存在，易得|NP|=百+1,|MP|=退-1,不滿足NP=3尸M，

故設(shè)直線/的方程為>=履+1,

y=kx+1

聯(lián)立尤2/,化簡得：(3+45片+8辰-8=0,

---1=1

143

8k

所以玉+無2=(1),

3+4/123+4%2

又;VP=(f,l一%),PM=a，%-l),NP=3PM，

所以-％=3為(2),

由(1)(2)兩式解得：左=±立，所以直線/的方程為y=土逅x+1；

22

②當直線/的斜率不存在時，直線/與E的交點為M(-6,0),N(6,0),則

S&AMN=；x\x2蒸=6,

當斜率為。時，直線/過點A(l,l),故不能構(gòu)成三角形，

當斜率存在且不為0時，

由①知，=J1+左之，(再+九2.一4%工2

答案第11頁，共15頁

2

8%8

=J1+左2I-4x

3+4/3+4/

_bt

點ACU）到直線/:y=fcr+l的距離

Jl+k2

4J12/+6

所以sAMN=；|MN|.d=gxJ1+左2x16/+8/

=6乂

（4r+3）2，

令3+4/=人則t>3,0<y<1,

則北誓二國「+1,

因為0＜：＜；,所以5AM.€((),港)，

綜上，AAW的面積的取值范圍為仙若］.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了直線與橢圓相交問題以及橢圓中三角形面積范圍問題,

難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理以及三角形面積公式代

入計算.

-2n+12,l<n<m,weN*

19.

,m+l<n<2m,nGN*

(2)2m2—22rH+——1

(3)不存在，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，根據(jù)〃的取值利用分段數(shù)列的形式表示

通項公式即可;

(2)根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求解;

(3)由題意可知數(shù)列的周期，先將數(shù)列｛%｝的前2帆項和求出，然后利用周期性可得S2°24“+3，

構(gòu)造函數(shù)“M=-川+11租+1-5，m＞3,利用定義法可求出/(口)的最大值，即可判斷.

答案第12頁，共15頁

【詳解】(1)當14幾《用時，an=10+(-2)(n-l)=-2zz+12,

-2n+12,l<n<m,nGN*

所以

,m+l<n<2m,neN*

(2)因為機是偶數(shù)，＜=(-l)”d，

2ni,

所以Z2=4+”2+4++2n+2n+l+久+2++b2m

i=l

=-〃；+域-。；+。：+?+-%+i+a，+2-%+3+，+aL

a-))-a1+a^-a^++嘮

=(a2-al)(a2+a1)+(a4-a3)(a4+a3)++(^m-mX+i+2+3

=-200+8+6+

一制10-2加+12)-4-Ij)11=2蘇-22加+2P--1

21+15?,

4

(3)不存在，理由如下:

因為對任意的N*，都有an+2m=〃”成立,

所以數(shù)列｛4｝的周期為2〃?,

lx1「丫

由(1)可得$加(1。-2%+12)2[12).1

1=-m2+1Im+1—__9

口2m-%jm

21--2

2

。]+%+。3=10+8+6=24,

2

所以S2024m+3=1012512^+〃1+〃2+〃3=^12-m+1Im+1———1+24,

2m

=-2小+10+擊，

貝U/(W+I)_/(〃?)=_(根+lf+-m2+1lm+1———

2m

當34根<5時，/(m+l)-/(m)>0,即/(m+l)>/(m),