四川省綿陽南山中學2024-2025學年高一上學期12月月考數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合人={即082%?"，B={X|0<X<4},則AB=()

A.{x|x<2}B.(x|x<4}

C.|x|0<x<41D.|x|0<x<2}

2.已知命題P:HxvO,x+3>2",則—LP是()

A.Vx<0,x+3>2xB.3x>0,x+3>2x

C.Vx<0,x+3<2xD.3x>0,x+3<2x

3.函數/'(力=75二工+坨(了+1)的定義域是()

A.(-1,+<?)B.(-1,1)C.(-1,1]D.(-CO,-1)

4.若函數/（"=/+--2彳-2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據

如表：那么方程尤3+尤2-2元一2=0的一個近似根（精確度0.04）為（）

X11.51.251.3751.43751.40625

-20.625-0.984-0.2600.165-0.052

A.1.5B.1.25C.1.375D.1.418

5.設優，”為實數，貝『'108，,＞108'”是“0.2枚＞0.2"”的（）

mn

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.函數/'（;＜）=』一的圖象大致為（）

、72-2-%

7.已知〃x)=若〃。-3)=/(。+2),則/(4)=()

A.1B.72C.2D.石

2+x

8.已知函數/(6=In設a=f(0.32),Z7=/(log20.3),c=/(21n2),則a,b,c

2-x

的大小關系是()

A.a>obB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

二、多選題

9.已知正實數a*滿足2o+b=3融，下列結論中正確的是（）

98

A.必的最大值是gB.2a+b的最小值是￡

83

C.a+2）的最小值是3D.%-1的最小值為20-3

a

10.給出下列結論，其中不正確的結論是（）

A.函數>=…'的最大值為g

B.已知函數y=log“（2-辦）（a>0且。*1）在（0,1）上是減函數，則實數a的取值范圍是

（1,2）

C.在同一平面直角坐標系中，函數y=2*與y=log2x的圖象關于直線y=x對稱

D.已知定義在R上的奇函數〃x）在（F,0）內有110個零點，則函數的零點個數

為221

4

11.已知函數〃x）=『-a,則（）

A.是R上的減函數

B.不等式〃l+3x）+〃x）>4-2“的解集為（一--j

C.若>=/（*）是奇函數，貝ija=2

試卷第2頁，共4頁

D.y=F(x)的圖象關于點(0,-2°)對稱

三、填空題

3_________

2

12.16^+7(3-7i)-log23-log32=----------

13.基函數〃x)=(m2-2*2*在(0,+8)上單調遞增，則g(x)=axm+1(a>1)的圖像過定

點.

3]_

14.設函數〃x)="7、8x5(auR),若函數y="(x)+5的零點為4,則使得

8/(?-16)+6320成立的整數f的個數為.

四、解答題

15.已知集合A={x[0<ar+l<4},T=,y=,8-2*1.

(1)若2eA,aeN*,求\A;

(2)若AQB,O>0,求正數”的取值范圍.

16.已知/(x)=log“x+loga(4-x)(a>0,且owl),且/(2)=-2.

⑴求a的值及/(x)的定義域；

⑵求/(x)在口，引上的最小值.

17.已知函數〃尤)=三"為奇函數.

⑴求。的值；

⑵判斷并證明〃力=蕓"的單調性；

(3)若不等式公/⑺-/(2x)<0對任意*>0都成立，求實數上的取值范圍.

18.學校為了鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，需要制定一個課余鍛煉考核評分制度,

建立一個每天得分y與當天鍛煉時間X(單位：分鐘，0<x<60)的函數關系式，要求如

下:

(i)函數的圖象接近圖示；

(ii)每天鍛煉時間為0分鐘時，當天得分為0分；

(iii)每天鍛煉時間為9分鐘時，當天得分為6分;

(iiii)每天得分最多不超過12分.

現有以下三個函數模型供選擇：

@y=k4x+b{k>G)；②y=hl.OF+6伏>0)；(3)y=31og3(Ax+3)+m(k>0).

(1)請根據函數圖像性質，結合題設條件，從中選擇一個最合適的函數模型并求出解析式;

(2)若學校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘？

（參考值：log3163n4.63）

19.“函數°(x)的圖像關于點(私〃)對稱”的充要條件是“對于函數°(x)定義域內的任意x,

都有°(司+姒2m-x)=2〃”.若函數〃尤)的圖像關于點(1,2)對稱，且當xe[0,l]時，

/(x)=x2-ot+a+1.

⑴求〃T)+〃3)的值；

⑵設函數g(x)=/-.

2-x

(i)證明：函數g(x)的圖像關于點(2,-2)對稱；

「4~1

(ii)若對任意玉40,2],總存在%e-2,-,使得/(%)=g(%)成立，求實數a的取值

范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CCCDAABCBCDAB

題號11

答案ABC

1.C

【分析】根據對數函數的性質化簡集合A,即可由并集的定義求解.

【詳解】ilog2X<1,則log?尤<log?2,所以0<xV2,

所以A={x|log2尤41}=30<尤42},AuB={x[0<x44}

故選：C

2.C

【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，求解即可.

【詳解】Bx^M,p(x)成立的否定為：VxeM,」p(x)成立.

命題PHx<0,x+3>2，,則是Vx<0,尤+342工.

故選：C.

3.C

【分析】根據被開方式大于或等于零且真數大于零得到結果.

【詳解】要使函數有意義，

l-x>0

則尤+1>。,得T<E

所以函數的定義域為(-1』.

故選：C

4.D

【分析】首先分析題意與表格，運用二分法求方程的近似解進行解答.

【詳解】由表格可知，方程尤3+尤2_2尤一2=0的近似根在

(1,1.5),(1.25,1.5),(1.375,1.5),(1.375,1.4375),(1.40625,1.4375)內,

又因為1.4375-1.40625=0.03125<0.04,又1.418e(1.40625,1.4375),

故方程9+%2一2彳-2=0的一個近似根(精確度0.04河以為1.418.

答案第1頁，共12頁

故選：D.

5.A

【分析】根據指數函數和對數函數單調性分別化簡02">0.2"和log,'>log,』，根據充分

mn

條件和必要條件的定義判斷兩者關系.

【詳解】因為函數>=1限尤為(。，+向上的單調遞增函數，又log,工>logzL所以

mnmn

所以0<7”〃，又函數y=02'在(…,+8)上單調遞減，所以02">0.2",所以

“log,是"0.2"，>0.2"”的充分條件，因為函數y=0.2"在(-co,+oo)上單調遞減，又

mn

02">0.2",所以根<〃，當加為負數時，,沒有對數值，所以“log,，>log」“不是

mmn

“0.2">0.2"”的必要條件，所以“log,—>log,L，是“0.2"，>0.2■”的充分不必要條件,A正確，

mn

故選：A.

6.A

【分析】由奇函數性質以及指數函數單調性即可判斷.

【詳解】〃T)=—A=且函數定義域為{X|"O},關于原點對稱，所以“X)為

奇函數，排除CD.

當x>0時，2，-2T>0,所以〃x)>0,排除B,經檢驗A選項符合題意.

故選：A.

7.B

【分析】根據題意將兩部分范圍確定，分別代入函數成立等式，即可解出。的值，再代入求

解即可.

/、fx+3,x<0

【詳解】根據題意〃x)=「，若〃。一3)=/(0+2),

yjx,x>0

a—3<〃+2,

，.—3<0

則必有<C八，即—2〈。<3,

[Q+2>0

貝！J(a-3)+3=J〃+2,

即a=y/a+2，貝!Ja20,

答案第2頁，共12頁

解得：〃=2或-1(舍去),

.?15)="2)=0,

故選：B.

8.C

/、2+x

【分析】確定〃無一的奇偶性及單調性，即可求解.

2—X

2Ix2Ix

【詳解】函數〃尤）=卜力，由/>。，即（國+2乂（同一2））<0,岡<2,

解得2,2）顯然f（—%）=/Q）,.?./（X）為偶函數,

.?.當x《0,2）時，/（X）=ln--=ln---------=ln-------1,

2—x：2—x12—xJ

4/、

易知y=士-1在x40,2）上單調遞增，結合復合函數單調性可知：

/⑺=In-在x《0,2）上單調遞增.

2-x

“X）在（-2,0）上為減函數，在（0,2）上為增函數，

222

|o.3|=0.3e（0,1）,|log20.3|=-log20.3=log2y>log22=|,

所以Jog?0.3|=log?ge1|,2,21n2|=In4<In1=|,|2In2|e11,|J,

??b>c>a.

故選：C.

9.BCD

Q

【分析】對于A項,直接應用均值不等式求出3a6的最大值即可求解;對于B項:應用仍21,

21

對2a+%直接應用均值不等式即可求解；對于C項：構造（a+26）（：+與展開再應用均值不

ba

等式即可求解；對于D項：將‘消去再應用均值不等式求解即可.

a

【詳解】解：對于A項：因為3ab=2a+6N2/^,所以3屆22點，

則8（當且僅當〃=2］4時取等號），故A錯誤；

824

對于B項：因為2Q+Z?=3Q力之］（當且僅當Q==§時取等號），故B正確；

答案第3頁，共12頁

.21

對于C項：因為2a+〃=3ab,所以—+—=3,

ba

因為3(a+2b)=(〃+2b)(—I—)=5H-----125+2J—x—=9，

baba\ba

所以3+20)>3(當且僅當a=Z?=l時取等號)，故C正確；

對于D項：b--^b+--3>2.bx--3^2y/2-3(當且僅當6=應時取等號)，故D正確.

abVb

故選：BCD.

10.AB

【分析】由復合函數的單調性可求的y=g)T%的最小值，y=log.(2-依)在(0,1)上為減函

數時”的范圍，判斷A、B的正誤，結合指對數函數圖像的關系、奇函數的性質可判斷C、

D的正誤.

【詳解】對A選項，利用復合函數的單調性，令隨〃增大函數值減小，

而當％=0時，"=-/+1有最大值1,可求得當％=0時，y=的最小值為可知A

選項錯誤；

對B選項，可令〃=2-依，

當0<a<l時，y=log“"中，y隨a增大而減小，若原函數是減函數，則"=2-依隨x增

大而增大，可得4<0,與條件矛盾；

當時，,隨〃減小而減小，且真數要恒大于0,

a>1

滿足題意的不等式組為，a>0,可知。的取值范圍為(1,2],B選項錯誤；

2-a>0

對C選項，設y=2'的圖像上任意一點(占,2%),將指數式轉化為對數式：%=log22%，可

知其關于y=%的對稱點(2",%)在y=log,x的圖像上，

反之，對于y=log2X的圖像上的任意一點(x2,log2x2),將對數式轉化為指數式，有2幅〃=%,

即點(尤2,log2尤2)關于直線y=X的對稱點(log?%，X2)在函數y=2"的圖像上，

可知y=2*的圖像與y=10g2X的圖像關于y=X對稱，C選項正確；

(也可根據同一底數的指數函數和對數函數互為反函數，互為反函數的函數圖像關于衛=龍

答案第4頁，共12頁

對稱判斷)

對于D選項，奇函數的圖像關于原點中心對稱，在(-8,0)有110個零點，則在(0,+8)也有110

個零點，再加上定義在R上的奇函數圖像必過原點，x=0也是一個零點，共有221個零點,

D選項正確.

故選：AB

11.ABC

【分析】結合指數函數單調性判斷A；計算/(力+/(-”的值，將不等式轉化后利用函數

單調性求解，即可判斷B；利用函數奇偶性求參數判斷C；根據/(%)+/(-力的值可判斷函

數的對稱中心，判斷D.

4

【詳解】對于A,因為y=e"在R上單調遞增且e，>0,故“x=—4是R上的減函數，

正確；

444

對于B,由尤~--a,可得/(%)+/(—%)=■；---a+-~~~~a

'1+e1+e1+e1

44ex

=----+------2a=4-2a,

l+ex1+e'

故由f(l+3x)+f(力>4一2a得

即/(1+3無)>/(-%),結合"元)是R上的減函數，

可得l+3x<—x,即/(l+3x)+/(x)>4-2a的解集為(一巴一；］,B正確;

對于C,〃x)=鼻-a的定義域為R,若y=是奇函數，

42l-ex

則“°)=177一1"2,即〃上白-2=

1+e]

2(1-b)空二L_〃x)，即“X)為奇函數,

滿足〃_%)=

l+e-x

故。=2,C正確；

對于D,由B的分析可知〃x)+〃r)=4-2a,

即y=〃x)的圖象關于點(0,2-。)對稱，(0,-2〃)和(0,2-a)不一定是同一個點，D錯誤,

故選：ABC

12.4+//萬+4

答案第5頁，共12頁

【分析】根據指數幕的運算及換底公式計算可得.

3______

?

【詳解】16^+A/(3^7t)-log23.log32

=(2"尸+|3—兀|一妲?皎=23+兀一3—1=4+兀.

1lg21g3

故答案為：4+兀

13.(3,2)

【分析】先根據幕函數的定義和性質求出機的值，再結合4°=1即可求出函數g(X)過定點的

坐標.

zzz?—21n—2—1

,

{m>Q

解得〃2=3,所以g(x)=優3+1(°>1),

故令x—3=0得x=3,所以g⑶=“°+1=2,所以8(司=?5+1(。>1)的圖像過定點(3,2).

故答案為：(3,2)

14.10

【分析】先由函數零點求出4=9,判斷此時函數/(X)的單調性，將所求不等式化為

/(r-16)>-y,根據單調性，得至IJ0V/-16W64,進而可根據題中條件，求出結果.

【詳解】因為函數y=4/(x)+5的零點為4,所以/(4)=-3,

4

31_

又〃的=佇史2至，所以/(4)=史二i=所以a=9,

八一x+8124

22

9-x-8xJ;G[0,+oo)

所以/W=

x+8x+8

因為>=金正在xe[0,+oo)上單調遞減，>=/在尤?[0,+<?)上單調遞增；

所以/(%)在[。,+e)上單調遞減，且/(64)=-苧；

O

由8M產―16)+6320得/任_16”_曰，即/(/一16bA64),所以04產.16W64,

故f€[-4"-4]d[4,4方],又teZ,

故/=±8,±7,,±4,故整數7的個數為10.

故答案為：10.

答案第6頁，共12頁

【點睛】思路點睛：

根據函數單調性解不等式時，一般需要根據所給函數的解析式，先判斷函數單調性，再將所

求式子變形整理，利用函數單調性，即可求解.

15.(1)\A=(-8,-1]U[3,+8)

⑵[1,+8).

【分析】(1)由題意可得。=1,結合補集的概念與運算即可求解；

(2)根據指數不等式和一元一次不等式的運算可得3=(f,3],A=(-L3),結合集合之間

aa

的包含關系即可求解.

【詳解】(1)由題意得。v2〃+l<4,而QEN*,故a=l,

得A=(-1,3),-4=(-8,-1卜[3,+8)；

(2)由8-2*2得2"8=2',即x<3,即8=(-9,3],

1313

而4>0,由0vdx+lv4得—<x<一,即A=(—,—),

aaaa

3

而故—43,且Q〉0,得“21,

a

即a的取值范圍為口,+8).

16.⑴，(0,4)

⑵-2

【分析】(1)代入函數值即可求出參數。的值，由對數運算中真數大于。列出不等式求得定

義域；

(2)化簡函數解析式得到一個復合函數，通過復合函數的單調性的定義得出函數單調區間，

從而找到最小值點得到最小值.

【詳解】(1)f(2)=logfl2+logfl2--2,即log“2=T,則a=；,

由題意得-*-0<x<4,〃x)的定義域為：(0,4).

(2)/(x)=log工x+logA(4一x)=log,(4x-/),

222

令心)=—/+?，則y=l°gj,

A4

%(%)的對稱軸：—~~r~=——=2,

答案第7頁，共12頁

?,"（x）在［1,2）上單調遞增，f（力在（2,3］上單調遞減；

1.,-<1,>=i°gj在（。,+8）單調遞減，

22

由復合函數可知：無式1,2）時，單調遞減，xe（2,3］時，單調遞增,

”(必"(2)=-2.

17.（1）1；

（2）/（力在R上單調遞減，證明見解析;

(3)[2,+00).

【分析】（1）由/（。）=。求解。的值，再檢驗即可;

（2）根據單調性的定義判斷和證明即可;

2

l+e%

（3）將問題轉化為人1,利用換元法及基本不等式求解即可.

>l+e2x

【詳解】（1）由函數=為奇函數，其定義域為R,

所以“0)=0,

即/（0）=g=0,解得a=l,此時=

滿足=K1\

即“X）為奇函數,

故a的值為1.

（2）解：/（尤）在R上單調遞減，證明如下：

1—9

由（1）知=~~r=-1+；~~T'

1+e1+e

X/%1,x2GR,且％1<%2，

2?2（e巧—e』）

貝I/（l王）一/（l々'）=-1-+-e-為----1-+-e-*-=。7+爐~）（-1-+-6，項）

因為王<々，所以e*2-e*>0,l+eX1>0,l+e*>0,

所以1a）—/（x）>。,?/&）>/（/）,

答案第8頁，共12頁

即函數/（X）在R上單調遞減;

2x

]-PX1_

⑶由題知：當、武。,+功,h.一ke<°恒成立;

2

.1+吟

則心

l+e2x

令/=e*Je(l,+oo),

7Q+1)212t,2

r-rpi>--------=1+-----=1-1------

所以“+1r+1-1；

IH—

22

1+--<1+—^=2

又,當且僅當f=l時等號成立,

tH—2Jr-

而1>1,所以"匚<2,則上22.

t2+l

所以實數上的取值范圍為⑵+8）

18.⑴選擇③，y=31ogf|x+3j-3.

3「X￡[0,60]；

(2)29.25.

【分析】（1）根據三種函數的圖象特征選擇合適的函數模型，然后代入點（。,0）和（9,6）解方

程組即可得解析式;

（2）根據題意解對數不等式即可.

【詳解】（1）模型①y=%?+咐:>0）,由圖象過點（0,0）,（9,6）,

得，解得左=2,6=0,y=24，在原點附近增長速度先快后慢，不符合;

模型②y=hl.OU+b（k>0）為爆炸增長型函數，不符合,

故選模型③y=310g3(區+3)+m(k>0).

31ogo3+m=0g

由題知,31叫邰+3)+機=6'解得加=一3,左=葭

所以y=31og3tx+3)-3,尤e

[0,60].

(2)由⑴知，y=31og3(|x+3,3,

答案第9頁，共12頁

令310g3生+3)-329,得晦生+344,解得S29.25,

所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要鍛煉29.25分鐘.

19.⑴/(-1)+〃3)=4

⑵(i)證明見解析；(ii)[-1,3].

【分析】(1)由函數/(x)的圖像關于點。,2)對稱，可得〃-1)+/(3)=4；

-4~1

(2)(i)證明g(x)+g(4—x)=T即可；(ii)由g(x)在-2,-的值域為[—1,4],設

在[0,2]上的值域為A,問題轉化為A=[-L4],先求解A,分類討論軸與區間的關系，研究

二次函數的值域即可.

【詳解】(1)因為函數“X)的圖像關于點(1,2)對稱，

則/(力+〃2-力=2*2=4,

令x=T,可得"—1)+