江蘇無錫市湖濱中學2024-2025學年高二(上)數學第14周階段性訓練模擬練習

一.選擇題(共6小題)

1.在平面直角坐標系中，直線/：冽x+y-冽=0被圓V：/+、2-4工-2y+l=0截得的最短弦的長度為

A.近C.272

2.已知平面。=｛萬福不消=0｝,其中點Po(1,2,3),法向量［=(1,1,1),則下列各點中不在平面a

內的是()

A.(3,2,1)B.(-2,5,4)C.(-3,4,5)D.(2,-4,8)

3.在平面直角坐標系xQy中，已知一動圓P經過N(-1,0),且與圓C：(x-1)2+/=9相切，則圓

心P的軌跡是()

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

4.如圖，在直三棱柱/2C-431cl中，/BCA=90°,NC=CG=2,M是4小的中點，以C為坐標原

點，建立如圖所示的空間直角坐標系.若不上彳，則異面直線CM與小8所成角的余弦值為()

5.對任意數列｛為J,定義函數下(％)=〃1+〃2%+。3/+…+?！ǖ?1(〃€N*)是數列｛〃”｝的“生成函數已知

2

F(1)=nf則F

2n+3一2n+l

A.3-B.4布

C.6-2n+lD.62n+3

6.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線C：x2=4y,過點/(0,a)的直線交C于尸，。兩點，若

為常數，則實數a的值為(

|PA|2'|QA|2

A.1B.2C.3D.4

二.多選題（共4小題）

（多選）7.如圖，在平行六面體4BCZ>-481cl）中，已知XAD=ZAXAB=Z.BAD

=60°,￡為棱CCi上一點，且字=2而，則（）

B.平面BDD181

CBDi=V2

D.直線ADi與平面NCCi/i所成角為工

4

（多選）8.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線C：廿=2x的焦點為足點/,8為C上異于。不同

兩點，故。/,的斜率分別為瓦，k2,7是C的準線與x軸的交點.若人的=-4,貝|（）

A.以48為直徑的圓與C的準線相切

B.存在瓦，伶，使得磔回=包

2

C.ZX/OB面積的最小值為反

4

DlAFl」AT|

|BFI|BTI

（多選）9.如圖，已知四面體N8CD的所有棱長都等于2,E,F,G分別是AD,DC的中點，則

（）

A.AB-AC=2B.GF-AC=2C.BC-EF=1D.GF-EF=0

22

(多選)10.在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓c：三三=l(a>b>o)的離心率為返，直線乙

a2b23

x+y+4=0與C沒有公共點，且C上至少有一個點到/的距離為&,則C的短軸長可能是()

A.1B.2C.3D.4

三.填空題(共5小題)

11.在平面直角坐標系xQy中，已知點/(2,2),記拋物線C：/=4x上的動點尸到準線的距離為4,

則d-的最大值為.

12.已知圓臺的高為2,上底面圓。1的半徑為2,下底面圓Q的半徑為4,A,5兩點分別在圓。卜圓Q

上，若向量0]A與向量。2百的夾角為60°,則直線48與直線所成角的大小

為.

13.函數y=國被廣泛應用于數論、函數繪圖和計算機領域，其中因為不超過實數x的最大整數，例如：

[-1]=-1,[4.2]=4,已知數列｛劭｝的通項公式為1=[log2(2〃+1)],設｛詼｝的前〃項和為當,則使

得S.W300的最大正整數n的值為.

14.已知數列｛斯｝的前〃項和為用，若｛即｝與｛'師｝均為等差數列且公差不為0,則包的值

a5

為.

15.在平面直角坐標系xQy中，已知/(-I,-1),B(1,-1),C(0,-2),直線/M,3M相交于點

M,且/〃與BM的斜率之差為2,則|MC|的最小值為.

四.解答題(共7小題)

16.如圖，在直三棱柱/8C-421cl中，已知NA4c=90°,4B=AC=2,點、E,廠分別為線段48,AC

上的動點(不含端點)，且/尸=8￡,BiFLCiE.

(1)求該直三棱柱的高；

(2)當三棱錐小-AB尸的體積最大時，求平面小訪與平面/CCi/i夾角的余弦值.

22

17.如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓C：號送了二i(〃>6>0)的長軸長是短軸長的2倍，

焦距為473.

(1)求C的標準方程；

(2)若斜率為工的直線/(不過原點O)交C于48兩點，點。關于/的對稱點尸在C上，求四邊形

2

22

18.如圖，在平面直角坐標系xQy中，己知雙曲線Cl：2---工—=1的右焦點為尸(2,0),左、右頂點

a2a2+2

分別為4,，2,過尸且斜率不為o的直線/與c的左、右兩支分別交于P、。兩點，與c的兩條漸近

線分別交于。、￡兩點(從左到右依次為尸、D、E、0),記以小為直徑的圓為圓。

(1)當/與圓。相切時，求|。￡|；

(2)求證：直線40與直線幺22的交點S在圓。內.

19.在①$3=9,另=25；②d=2,且&,S2,S4成等比數列；③S"=3〃2-2"這三個條件中任選一個,

補充在下面問題中，并解答該問題.

記等差數列｛斯｝的公差為d,前〃項和為耳，已知.

（1）求｛劭｝的通項公式；

（2）令為=—?_,求數列｛%｝的前〃項和

anard-l

20.在平面直角坐標系xQy中，已知點F（展，0）,設動點P到直線x=A巧的距離為d,且

3

iPFl^d-

（1）記點尸的軌跡為曲線C,求C的方程；

（2）若過點/且斜率為左1>0）直線/交C于1,8兩點，問在y軸上是否存在點。，使得△NAD為

正三角形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線「：J-卑l（a>0,b〉0）的左頂點為/，右焦

j1>已

點為凡離心率為2,且經過點(4,6),點PGo,兆)是雙曲線右支上一動點，過三點4,P,尸的圓

的圓心為C,點尸，C分別在x軸的兩側.

(1)求「的標準方程；

(2)求比的取值范圍；

(3)證明：NACF=3/PCF.

22.已知數列｛的｝中的各項均為正數，肉=2,點An(l+&n，向:)在曲線了=4上，數列｛為｝滿足

-

Ian?n為偶數

b=[，記數列｛%｝的前〃項和為S〃.

n為奇數

(1)求｛叢｝的前2"項和必力；

(2)求滿足不等式S2n^b2n-1的正整數n的取值集合.

參考答案與試題解析

選擇題(共6小題)

1.【解答】解：直線/：mx+y-加=0過定點/(1,0),

圓“：/+/-―-2尹1=0化為圓M：(x-2)2+(了-1)』4,可知圓的圓心M(2,1),半徑尺=

2,

因為點/(1,0)在圓M內，如圖，

由圓的幾何性質可知，當直線/時，

弦長最短為2A/R2-|MA|2=SV?^=272?

故選：C.

2.【解答】解：對于/,p^p=(2,0,-2),n'p^p=lX2+lX0+lX(-2)=0,故選項N在平面a

內；

對于2,pp=(-3,3,1),n**p^P=1X(-3)+1X3+1X1=1WO,故選項8不在平面a內；

r0r

對于C,pp=(-4,2,2),n-'T-p=lX(-4)+1X2+1X2=O,故選項C在平面a內；

rorr0r

對于D，(1,-6,5),n-p^p=lXl+lX(-6)+1X5=0,故選項。在平面a內.

：B.

3.【解答】解：根據題意，可知點/(-1,0)位于圓C：(x-1)2+廿=9的內部，

所以圓P與圓C內切，且圓P在圓C的內部，

作出圓C過切點。的半徑C。，則根據兩圓內切的關系，得到點P在C0上，

因為0C=PQ+PC=3,且尸/=PQ,所以尸/+PC=3,

根據4P+PC=3>/C=2,可知點尸軌跡是以N、C為焦點的橢圓.

4【解答】解：由題意得設C2=/>0,則有

C(0,0,0),A1(2,0,2),B(0,t,0),Bi(0，t,2),M(1,/，2),Cr(0,0,

'A]B=(-2,t,-2),彳=(1，p0>由不1彳得

—.—?2

tCM=(1,1,2),A[B=(-2,2,-2)>■1?

A1B-C1M=-2+-y=0=>t=2-

CM-ApB

cos(CM>AjB)--4

|CM|lA^Bl-V6xV12-3

故異面直線CM與//所成角的余弦值為亞.

3

故選：A.

5.【解答]解：因為F(x)二@[+@2又+&3乂2+…+及口/1，且歹⑴=后

所以軟1十七十打十…十'二n2①，

當n=\可得句=1,

當〃22時。1+。2+...+。篦-1=(〃-1)2②)，

①■②得an二r?-(n-l)2=2n-「顯然當n=i時上式也成立，

所以an=2n-1，

所以FC1)=1+3X'+5X(y)2+--+(2n-l)X/嚴L

(y)2+5X(-l)3...(-l)X(-1)n>

嗚F/=lXy+3X++2n

2n

a*lF(1)=1+2x-^+2X(-1)+2Xg)3+…+2X?產l-(2n-l)X(-1)

]1

=H——彳-----(2n-l)X(y)n=3-(2n+3)X(y)n,

所以尸/)=6箸?

故選：D.

6.【解答】解：當過點/（0,a）的直線斜率不存在時，

此時直線與拋物線C：x2=4y只有1個交點，不合要求，舍去；

當直線斜率存在時，設直線方程為＞=依+。，

y二kx+a

聯立＜，可得N-4京-4a=0,設尸（xp為），Q（%2，歹2），

,x2=4y

貝!J%1+%2=4左，x\X2=-4Q,

2222

|PA|=xf+（y1-a）=xf+kxi=（1+k）

同理可得：|QA|2=(l+k2)x*

(XI+X2)2-2X/2_1J6k2+8a

111,11）我

故?2+22

IPA||QA|1+k(x[x?)21+k216a2

要想_二+_二為常數，與人無關,

|PA|2|QA|2

2

故16k+8a為定值,所以8a=16,

2

l+k

解得。=2,此時一一二=上，滿足要求?

|PA|2|QA|2a2

故選：B.

二.多選題（共4小題）

7.【解答】解：在平行六面體/BCD-481C15中，AB=AD=AAX=\,AAXAD=ZAXAB=ABAD=60

E為棱CCi上一點，且3左2而

對于a由題意知△小/BgZUiN。，.??4。=48,

設NCC8O=O,O為瓦）中點，連接40,則為OL8。，

,四邊形4BCD為菱形，C.BDLAC,：.BDAXACCV

平面小/CCi，：.AXELBD,故N正確；

對于2，,??仔=-|■西+薪+布

...9.—?—?■9.2—?.—?.9111

*/AiE?AAi=(-<AAi+AB+AD)?AAi-]AA[+AB?I。AA1=土?垮垮甘

ooJ/NJAA+AD

???可石與瓦7不垂直，即可了與麗7不垂直，

與平面8DD/1不垂直，故8錯誤；

對于G西=就+而+3，=-靛+而+標，

22222=

???|可|=l-AB+AA^+AD|=(AB)+(AA^)+(AD)-2AB-AA7-2AB-AD+2AA1-AD

>

3-2Xy-2Xy+2Xy=2^BD1=V2故C正確

對于D,由/知3D_L平面小/CCi，

直線BDi與平面ACQAi所成角即為直線BDi與BD所成角的余角，

...

BD=AD-AB-

vIBD|=LBD-BD^=(AD-AB)?(-AB+AAj+AD)=1

BD.BD/~

|cos(BD，BDi)|=|—?~—I=I后I=，直線與2。所成角為二號，

1|BD|-|BDj|1,XJ<224

二直線2)與平面/CC14所成角為工，故。正確.

4

故選：ACD.

8.【解答】解：拋物線C：廿=2x的焦點為尸(X0),p=l,

2

設”(%i,力)，B(切，>2),貝Uk[k)=~~"~~=-~-=-4,

12xix2丫途2

得：VV=-l=-n2>故直線N8過焦點凡點T和點尸重合，選項。正確；

y1y2y

由拋物線的性質得|/方|=/+工，|BF|=x2+工，|4四=修+%2+1，

22

線段的中點M到準線的距離為1版1+1即|=X1+X2+=|AB],

222

所以以N8為直徑的圓與C的準線相切，選項/正確；

|48|、20=2,故選項8正確；

設直線的傾斜角為。，貝區-詼一_L_>1,選項C錯誤.

'△AOB2sine2sine^2

（或當NB為通徑時，SAAOB=JL_=1<1,故選項c錯誤）.

故選：ABD.

9.【解答】解：由題意得：四面體48co為正四面體，

故/B/C=/CBD=60°,

故正=|藤|?|正|cos60。=2X2Xy=2>正確；

因為E,F,G分別是AD,DC的中點，

所以產G〃/C,EF//BD,且FG=-^AC=1，EF=-^BD=I，

故而,菽二I而I-I菽LOS180°=-2，?,?5錯誤；

VBC?EF=1-BC'BD=^-|'BC|?|BD|cos600=yX2X2Xy=l>?"正確;

取的中點〃，連接/〃，CH,

因為△/區0,△BCD均為等邊三角形，

所以且

因為且CHu平面ZCH,

所以8D1,平面NC”,又/Cu平面NC”,

所以2D_L4C,所以即_LFG,

故GF,EF=0，。正確.

故選：ACD.

E

22

10?【解答】解：依題意，橢圓C：當逐亍=l（a>b>0）的離心率，解得

a2=3b2,

橢圓C的方程為/+3廿=3乂，設橢圓C上的點p（?bcos8,bsinQ）,0<8<2兀，

x+y+4=0

直線/：x+y+4=0與C沒有公共點，即方程組無實數解，

^x2+3y=3b2

因此方程4x2+24x+48-3y=0無實根，有△=242-48（16-b2）<0,即屬<4,解得0<6<2,

因為C上至少有一個點到I的距離為&,則有點P到直線I的距離d的最小值不大于血,

弓

d=iv^bcoseosine+4|^|bsin（eq）+2I3[bsin（8）+2]*（2-b），

當且僅當e且WL,即eqL時取等號，

326

于是得加（2-b）《&，從而1W6<2,有2W2b<4,顯然選項4,。不滿足，選項8,C滿足.

故選：BC.

三.填空題（共5小題）

11.【解答】解：拋物線C：/=4x的焦點尸（1,0）,

由拋物線的定義知d=\PF],

所以d-=|尸尸|-|尸/年]/尸尸丫（2-1）2+（2-0）2=遍，

當點P位于射線FA與拋物線交點時，取最大值遍.

答案為：VB-

12?【解答】解：作出示意圖形，如下圖所示,

向量與向量的夾角為60°,結合。1/〃。2。，得/3。2c=60°,

所以△BO2。為等邊三角形,

設點”在圓。2所在平面內的射影為》連接BD,

則/。與。02平行且相等，且。為02c中點,

ZBAD（或其補角）就是異面直線與直線。1。2所成角，

RtzXBCD中，BD=V42-22=2V3,

在RtZ\4D8中，NO=QO2=2,得tan/BAD朵$，所以NBAD=4

AUo

即直線AB與直線0Q所成角為二.

3

故答案為：2L.

3

13?【解答】解：L〃=[10g2⑵+1)],

k+1

可得a.i=[l°g2(2牡1)]=k,a.=[log9(2+l)]=k+l-

22乙

故九時，an=k,共2"-201=2八1項,

其和為＞2人1=(左-1)-2k-(k-2)?2斤7,

Sc*「0?21-(-1)?20+l?22-0?21+???+(k-l)?2卜-(『2)?2=(k-1)-2k+l)

2-1

則尻3=(6-1)X26+l=321>300,

又32W〃W63時，an=6,故560=303,S59=297,

因此，所求正整數〃的最大值為59.

故答案為：59.

14.【解答】解：設數列的公差為d,則斯=肉+(?-1)d,/na=Jna[+n(n-1)d,

因為數列｛?工｝是等差數列，則有2展5二百+相或，即242al+2d=a+1/3al+6d，

化簡整理得：a2,2aid+d2=0,解得對=/顯然d>0,斯=叔與6^=涵均為等差數歹U,

n(.a!+an得―)，則小詈=2,

Sn2

所以*的值為2.

a5

故答案為：2.

15.【解答】解：設M(x,y)(x#±l),貝隈y+1.y+1

AJTx+1‘kBM="'

所以工上=2，即>=-12,

x+lX-1

即動點"的軌跡方程為》=-N,(%w±i),

所以IMC|=7x2+(y+2)2=V-y+(y+2)2

所以當y=-^■時|KI

y21m-lmin

故答案為：近.

2

四.解答題(共7小題)

16.【解答】解：(1)在直三棱柱N5C-431cl中，,：ZBAC=90°,：.AB,AC,4小兩兩垂直,

以/為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

"：AB=AC=2,則4(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),

設44i=a(a>0),則4(0,0,a),Bx(2,0,a),C\(0,2,a),

設AF=BE—(0<A<2),則￡(2-A,0,0),F(0,入，0),

,?BjF=(~2,入，-a)，C[E=(2-入，-2,-a>

,

'：BiF±CiE,B1F-C1E=0

即2入-4-2入+°2=o,解得：a—2,

即該直三棱柱的高為2；

(2)在直三棱柱/BC-N/Ci中，有44i_L平面/￡尸，

又/BAC=9Q°，由(1)知/小=2,AE=BEG(0<A<2),

VAAEF《"AEF'AA^yX'(2-X)<y當且僅當入=1時取"=”，

即點￡,尸分別為線段NC的中點時，三棱錐小-/￡尸的體積最大，

此時￡(1,0,0),F(0,1,0),小(0,0,2),

0,-2)，A]F=(0,11-2),

設平面小EF的法向量為￡=(x,y,z)-

A,E-ni=0

」，即

則xTz=°,取z=l,則口(2,2,1)，

AJ"以1=0y-2z=0

又平面NCC14的一個法向量為石=(1,0,0)，

nl，n222

所以|cos，n)I=|

2=3X1=T

Irij|?|n2I

因為平面4M與平面/CCM1的夾角。為銳角，所以cos8=—.

3

17?【解答】解：(1)由題意2c=4愿，所以C=2\6i/a2-b2,又因為a=26,所以a=4,b=2,

22

所以C的標準方程為J上

164

(2)設直線/：片x也(加WO),A(X1，為)，B(工2，>2)，P(X3，為)?

22

將y=>^~x+ir代入°：卡"'二1中，化簡整理得N+2加x+2加2-8=0,

422

因為P在C上，所以―2——上=1，解得m2受

16417

m2

又因為點0到直線I的距離d=|m|,

一1+/三)一而

所以由對稱性得s四邊形0=|AB|二？

A=2SAOAB囁m

2

Im|V8-m=2X-T=XJ8-y1-=^yVTll-

2

V17VIfif

18.【解答】解：(1)因為尸(2,0),所以/+($+2)=%所以*=1,

所以圓O的半徑廠=1,由題意知/的斜率存在,

設/：y=k(x-2)"W0),當/與圓。相切時，。到/的距離d=r,即1J2kl4解得卜=±爽_,

V1+k23

y=k(x-2),

由，c/得(A2-3)N-4廢什4左2=0,即2/+%-1=0,解得知=-i,

J看二0,E2

o

2

所以IDE|=Vi+k|xD-xE|=V3-

y=k(x-2),

（2）證明:設尸（xpyi）,Q（如歹2），由，2y2得(廬-3)x2-4心+4廬+3=0,

x-T-1,

2

4k+3

此時左WO,A>0,XiXn=<0,解得0〈廬<3,

xlx2.2V

k-3o

4k2,12

xl=4^1-

k-3

且.所以X[X2=*(xj+x2)-1,

4k2+3.15

xl2-k2-3-\2-3

y?Yi

=-

因為4(-1,0),A2(b0),所以小0：yyr(x+1),力2尸：y=—(x-1),

x2+1x「l

x+i(x+l)yk(x+l)(xj-2)x1x+x-2X-2

聯立4Q,方程，消去/得212212

x-1(xj-1)y2k(xj-1)(X2~2)xiX2~X2~2Xi+2

593

X1X2+X1-2X2-2161+乂2)-1+X「2X2-2-X1-^X2-3

所以=-3)即包=3,所以xd

XiX9-X9-2XI+25/、r__31tx-12

-(X1+X2)-1-X2-2X1+27x13x2+1

將小代入/2P方程，得丫=「一、，即s———)

*2丫2（x「l）

-y<23（x?-1）3（xj+1）ooq

因為孫<7,所以（1）==1）一（°,珠）'

4（X]T），4（X]T）4x1-14

2_2

所以（??。?（一’1-）<1，即直線為0,小尸的交點S在圓。內.

22（xj-l）

19.【解答】解：（1）若選條件①$3=9,必=25,

9ai+36d=9al=1

則，解得

5a[+10d=25.d=2

??Q八=2幾-1;

若選條件②d=2,且Si，S2,又成等比數歹！J,

則sg=S[?S1(2ai+2)2=ai?(4ai+12)，解得。1=1，

?*cin~~2n-1；

若選條件③必=3川-2n,

當n=\時，〃i=Si=l；

22

當心2時，an=Sn-Sn_1=(3n-2n)-[3(n-l)-2(n-1)]=6n-5-

又田=1滿足上式，

??6n-5.

（2）若選條件①②,

由（1）知.211

n-(2n-l)(2n+l)~2n-l2n+l

，T廣（/）+/福）+“■+（/?-備）=1_1二2n

Wn+l-詬I

數列｛bn\的前〃項和T二2rL；

n2n+l

若選條件③，由(i)知b=-------A--(―^―—),

n(6n-5)(6n+l)36n-56n+l

T/[(4)+6得)"+(段-備)〕點1-備)=6^1

數列｛bn｝的前n項和丁=2n

n6n+l

20.【解答】解：(1)設點尸(x,y),V|pjr|=-^-d,

7(X-V3)2+y2|x-yV3|'

化簡可得X2+4_/=4,

2,

；.。的方程為,+丫2=1；

(2)設直線1：y=k()(k>0),A(xj,V[),B(x2>了2)'線段”臺的中點為初，

△2=1

聯立?47'-(l+4k2)x2-8V3k2x+12k2-4=0;

、y=k(x-V3),

8V3k212k2-4

X1+x9=------------k'X1X9=-------------易得A>0,

l+4k?l+4k^

x+x2

_l24V3k,zg、V3k

==，

XM-n------F2yM=卜(XM-V3)---------2

2i+4kMMi+4k

即M冷空，空冬），

l+4kJl+4kJ

若△N8D為等邊三角形，則為線段N8的中垂線,

即的直線方程為7AL，D(0,^4>

l+4k2ki+4k2l+4k2

又|AB|5|x「2l上昌，iMDl^Hpr-i?^4-oi=-4禽|k|爪2+1

l+4k?l+4k2

.?.由|仙|*1ABi，可得等xlgM.lk產,

22i+4kzl+4k

解得卜2』，,女巫，此時3?k

2

33i+4k7

，存在點D（0,J"），使得為等邊三角形?

—=2

a

21?【解答】解（1）根據題意可得116361

2,2x

ab