2024-2025學(xué)年湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.若則（）A B. C. D.3.數(shù)列是公差不為零等差數(shù)列，它的前項和為，若且成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.24.已知函數(shù)，對任意的，都有成立，則的可能取值是（）A. B. C. D.5.對于平面凸四邊形，若，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.大小不確定6.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A若與互斥，則B.若與相互獨(dú)立，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則10.已知，且，則（）A. B.C. D.11.設(shè)是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.13.若是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為__________.14.在如圖所示直角梯形中，為梯形內(nèi)一動點(diǎn)，且，若，則的最大值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為.求.16.在中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.設(shè)向量，，且.（1）求角B的大小；（2）設(shè)D是邊上的一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍，且，求線段的長.17.已知為實數(shù)，函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的最小值.18.如圖，在四棱錐中，底面，，平面與平面的交線為.（1）求證：平面；（2）設(shè)為內(nèi)一動點(diǎn)，且，求線段長度的最小值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段的長最小時，求直線與平面所成角的正弦值.19.在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵.若把信息熵定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量的所有取值為，定義信息熵：（1）若，且，求隨機(jī)變量的信息熵；（2）若，求隨機(jī)變量的信息熵；（3）設(shè)和是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，求證.2024-2025學(xué)年湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意求集合，進(jìn)而求交集.【詳解】由題意可知：，，所以.故選：C.2.若則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用二倍角余弦公式，及齊次式弦化切，從而得到結(jié)果.【詳解】，故選：D.3.數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項和為，若且成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，再根據(jù)等比中項運(yùn)算可得，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，因為，即，又因為成等比數(shù)列，則，即，整理可得，所以.故選：B.4.已知函數(shù)，對任意的，都有成立，則的可能取值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知函數(shù)的最小正周期，在利用最小正周期公式運(yùn)算求解.【詳解】因為，即，可得，可知函數(shù)的最小正周期，且，即，解得.故選：D.5.對于平面凸四邊形，若，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.大小不確定【正確答案】A【分析】根據(jù)向量夾角公式可得直線的夾角的余弦值，再結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.【詳解】因為，則，可得，設(shè)直線的夾角為，則，可得，所以四邊形的面積為.故選：A.6.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求得，分析可知對任意恒成立，參變分離結(jié)合正弦函數(shù)有界性分析求解.【詳解】因，則，由題意可得對任意恒成立，即對任意恒成立，又因為，則，可得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，可得，，根據(jù)直角三角形三角比可得，再利用勾股定理列式求解.【詳解】設(shè)，則，，因為，則，即，整理可得，則，又因為，即，整理可得，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為.故選：B.8.已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求導(dǎo)，分析可知有兩個不相等的正根，根據(jù)二次方程根的分布解得，可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求值域即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，由題意可知：有兩個不相等的正根，顯然，即有兩個不相等的正根，則，解得，可得，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)趨近于0時，趨近于，即值域為，所以的取值范圍是.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理可得，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)求值域.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨(dú)立，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則【正確答案】BC【分析】選項A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；選項B，利用，求得，即可求解；選項C，利用相互獨(dú)立的判斷方法，即可求解；選項D，由題知，即可求解.【詳解】對于選項A，因為與互斥，則，所以選項A錯誤，對于選項B，與相互獨(dú)立，則，所以選項B正確，對于選項C，因為，所以，由相互獨(dú)立的定義知與相互獨(dú)立，所以選項C正確，對于選項D，因為發(fā)生時一定發(fā)生，所以，則，所以選項D錯誤，故選：BC.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】對于A：結(jié)合題意利用反證法分析判斷；對于C：根據(jù)題意結(jié)合不等式性質(zhì)分析判斷；對于B：根據(jù)，，結(jié)合不等式性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)題意分析可知，，即可得結(jié)果.【詳解】對于A：因為，且，若，則，則，不合題意，所以；若，則，則，不合題意，所以；綜上所述：，故A正確；對于C：因為，則，可得，即，可得，故C錯誤；對于B：由選項AC可知：，且，得，即，且，所以，故B正確；對于D：因為，可得，又因為，可得，所以，故D正確；故選：ABD.11.設(shè)是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的有（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】由題意可得：，且，，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性逐項分析判斷.【詳解】因為是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且，可得：，且，，對于選項A：因為，且，則，可得，因為，則，可得，所以，故A正確；對于選項B：因為，且，即，則，即，故B錯誤；對于選項C：因為，則，則，由選項A可知：，所以，故C正確；對于選項D：因為，又因為，則，可得，即，所以，故D正確；故選：ACD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)銳角三角形分析滿足的條件和范圍，這是解題的關(guān)鍵和基礎(chǔ).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.【正確答案】【分析】先利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求出，進(jìn)而求出模長.【詳解】由已知條件可知，可得到，化簡整理可得，，所以，所以.故13.若是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為__________.【正確答案】【分析】由函數(shù)偶函數(shù)，則，代入計算并驗證即可求出.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，則,,化簡可得.當(dāng)時，則所以，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，則.故14.在如圖所示的直角梯形中，為梯形內(nèi)一動點(diǎn)，且，若，則的最大值為__________.【正確答案】##【分析】建系，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算用表示，利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)最值求最值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，且，可知點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，可設(shè)，可得，若，可得，解得，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，，此時為第四象限角，符合題意，取到最大值故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于向量中的動點(diǎn)問題，常常建系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算求解，可以簡化復(fù)雜的線性運(yùn)算推導(dǎo).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為.求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意先求得，，利用構(gòu)造法求得，即可得結(jié)果；（2）由（1）可得，即可得，利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】因為，可得令，可得，即，由可得，且，可知數(shù)列是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，可得，即，則，且符合上式，所以.【小問2詳解】由（1）可得：，則，可知bn是以首項，公差為1的等差數(shù)列，可得，當(dāng)時，則，所以.16.在中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.設(shè)向量，，且.（1）求角B大小；（2）設(shè)D是邊上的一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍，且，求線段的長.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合正弦定理邊角互化以及三角恒等變換運(yùn)算求解；(2)根據(jù)面積相等關(guān)系可得，再結(jié)合題中關(guān)系，兩式聯(lián)立即可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴.由正弦定理，得.在三角形中，，所以，∴，所以.【小問2詳解】∵∴.∵，∴.兩邊同時除以，又，∴.又，∴.17.已知為實數(shù)，函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的最小值.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）對求導(dǎo)，得到，再分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用（1）中結(jié)果得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的最小值，即可求解.【小問1詳解】易知，因為，所以，當(dāng)時，恒成立，此時在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由，得到，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，時，在上單調(diào)遞增，時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】因為當(dāng)時，時，，由（1）知，要使對任意的恒成立，則，且恒成立，即恒成立，得到，所以，令，則，由，得到，當(dāng)時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故的最小值為.18.如圖，在四棱錐中，底面，，平面與平面的交線為.（1）求證：平面；（2）設(shè)為內(nèi)一動點(diǎn)，且，求線段長度的最小值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段的長最小時，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得得，當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，此時取得最小值，即可求解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和的方向向量，利用線面角的向量法，即可求解.【小問1詳解】因為，所以，而平面，平面，得平面，由平面，平面平面，得，因為平面，平面，所以，而，平面，得平面，由，得平面．【小問2詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，則，而，得，得，而，由，得，由，當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，此時取得最小值，則線段長度的最小值為：．【小問3詳解】當(dāng)線段的長最小時，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，即，設(shè)與平面所成角為，則．19.在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵.