專題2.2一元二次方程的解法【十大題型】

【北師大版】

>題型梳理

【題型1直接開平方法解一元二次方程】..........................................................1

【題型2配方法解一元二次方程】...............................................................4

【題型3公式法解一元二次方程】...............................................................6

【題型4因式分解法解一元二次方程】...........................................................8

【題型5十字相乘法解一元二次方程】..........................................................10

【題型6用適當方法解一元二次方程】..........................................................14

【題型7用指定方法解一元二次方程】..........................................................18

【題型8用換元法解一元二次方程】............................................................23

【題型9解含絕對值的一元二次方程】..........................................................24

【題型10配方法的應用】.......................................................................27

?舉一反三

知識點1：直接開平方法解一元二次方程

根據平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.

直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為X?=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0,m*0)的形式;

②直接開平方化為兩個一元一次方程；③解兩個一元一次方程得到原方程的解.

【題型1直接開平方法解一元二次方程】

[例1](23-24九年級上.廣東深圳?期中)將方程(2x—I7=9的兩邊同時開平方，

得2%—1=,

即2x-1=或2久-1=,

所以的=，x2=.

【答案】±33-32-1

【分析】依照直接開平方法解一元二次方程的方法及步驟，一步步解出方程即可

【詳解】V(2%-1)2=9

/.2x-1=±3

2x—1=3,2x—1—3

??久］%2

【點睛】此題考查解一元二次方程直接開平方法，掌握運算法則是解題關鍵

【變式1-1](23-24九年級上.貴州遵義?階段練習)用直接開平方解下列一元二次方程，其中無解的方程為()

A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0

【答案】A

【分析】根據負數沒有平方根即可求出答案.

【詳解】解：(A)移項可得/=-9,故選項A無解；

(B)-2x2=0,即/=o,故選項B有解；

(C)移項可得/=3,故選項C有解；

(D)(刀一2/=0,故選項D有解；

故選A.

【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法.

【變式1-2](23-24九年級上.陜西渭南.階段練習)如果關于x的一元二次方程(X-5/=巾-7可以用直接

開平方求解，則m的取值范圍是.

【答案】m>7

【分析】根據平方的非負性得出不等式，求出不等式的解集即可.

【詳解】解：?.?方程0—5)2=爪-7可以用直接開平方求解，

m—7>0,

解得：m>7,

故答案為：m>7.

【點睛】本題考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出關于m的不程是解此題的關鍵.

【變式1-3](23-24九年級上.河南南陽?階段練習)小明在解一元二次方程時，發現有這樣一種解法：如：

解方程x(x+4)=6.

解：原方程可變形，得：[(久+2)—2][(%+2)+2]=6.0+2)2—22=6,(*+2)2=10.直接開平方并

整理，得.x1——2+V10,x2——2—V10.

我們稱小明這種解法為“平均數法”

(1)下面是小明用“平均數法”解方程(x+5)(%+9)=5時寫的解題過程.

解：原方程可變形，得：[(久+a)-切[(x+a)+b]=5.(x+a)2—b2=5,/.(x+a)2=5+b2.直接開

平方并整理，得.久i=c,x2—d.

上述過程中的a、b、c、d表示的數分別為,,,.

(2)請用“平均數法”解方程：(x-5)(久+7)=12.

【答案】⑴7,2,-4,-10.

(2)%1=-1+4A/3,x2=-1-4V3.

【分析】(1)仿照平均數法可把原方程化為[(x+7)—2][。+7)+2]=5,可得0+7)2=9,再解方程即

可；

(2)仿照平均數法可把原方程化為[(x+1)—6][(x+l)+6]=12,可得(x+l)2=48,再解方程即可；

【詳解】(1)解：?..(x+5)O+9)=5,

/.[(x+7)-2][(x+7)+2]=5,

A(%+7)2-4=5,

；.(久+7尸=9,

/.x+7=3或％+7=—3,

解得：X]—4,%2=—10.

...上述過程中的。、b、c、d表示的數分別為7,2,-4,-10.

(2)V(x-5)(%+7)=12,

[(x+1)-6][(%+1)+6]=12,

(久+1乃-36=12,

；.(久+1尸=48,

/.x+1=4V3,x+1=-4y/3,

解得：Xj=-1+4-\/3,亞=-1—4V3.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，新定義運算的含義，理解平均數法結合直接開平方法解一元二

次方程是解本題的關鍵.

知識點2配方法解一元二次方程

將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(aK0)的形式；②方程兩邊同除以二

次項系數，使二次項系數為1,并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④

把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法

來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解.

【題型2配方法解一元二次方程】

【例2】（23-24九年級上?廣東深圳?期中）用配方法解方程，補全解答過程.

51

3久2-=-X.

22

解：兩邊同除以3,得.

移項，得一一J

6o

配方，得

即（久一擊2=含

兩邊開平方，得

111111

nBnPX—,^XiX—

12121212

所以%1=1，%=

2~6

【答案】/一|="%2一"+舄)2=|+舄)2%-A=±l|

【分析】方程兩邊除以3把二次項系數化為1,常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，利用完

全平方公式變形后，開方即可求出解.

【詳解】3X2-|=|X.

解：兩邊同除以3,得/一三=三口

66

移項，得/一2%=3

66

配方，得--"+（靜="（凱

即（第--2121

144

兩邊開平方，得x-±=±*，

即%一專=苫，或X—專=一芳

所以%1=1,X=

26

【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

【變式2-1］（23-24九年級下?廣西百色?期中）用配方法解方程/-6x-1=0時，配方結果正確的是（

A.(尤一3)2=9B.0—3)2=10C.(*+3)2=8D.(x-3)2=8

【答案】B

【分析】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關鍵是掌握配方法求解一元二次方程的步驟.根據配

方法的步驟，求解即可.

【詳解】解：%2-6%-1=0

移項得：x2—6x—1

配方得：%2-6%+9=1+9

即（％—3）2=10

故選:B

【變式2-2]（24-25九年級上?全國?假期作業）用配方法解方程：%2+2mx-m2=0.

【答案】=-m+V2m,x2=-m—V2m

【分析】本題考查了解一元二次方程——配方法.先移項，再進行配方，最后開方即可得.

【詳解】解：移項得/+2小久=Hl?,

配方得/+2mx+m2=m2+m2,即（x+m）2=2m2,

所以原方程的解為：xr--m+y/2m,x2-—m—s/2m.

【變式2-3]（2024?貴州黔東南?一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2/+鈕-8=0的過程，請認

真閱讀并完成相應的任務.

解：移項，得2/+鈕=8第一步

二次項系數化為1,得/+2x=4第二步

配方，得（久+2>=8第三步

由此可得x+2=±2V2第四步

所以，=—2+2A/2,x2——2—2V2第五步

①小明同學的解答過程，從第一步開始出現錯誤;

②請寫出你認為正確的解答過程.

【答案】①第三步；②詳見解析

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法，先將方程2/+4x-8=0變為/+2x=4,

然后配方為0+1）2=8,再開平方即可.

【詳解】解：①小明同學的解答過程，從第三步開始出現錯誤；

②2萬2+4久一8=0,

移項，得2/+4X=8,

二次項系數化為1,得/+2X=4,

配方，得(x+l)2=5,

由此可得x+1=±V5,

所以，X]=-1+V5,%2=-1-.

知識點3公式法解一元二次方程

當b2-4ac20時，方程ax?+bx+c=0(a40)通過配方，其實數根可寫為x=但詈亙的形式，這個

式子叫做一元二次方程2*2+5*+?=0缶K0)的求根公式，把各項系數的值直接代入這個公式，這種解

一元二次方程的方法叫做公式法.

【題型3公式法解一元二次方程】

【例3】(23-24九年級上?山西大同?階段練習)用公式法解關于尤的一元二次方程，得刈=-6±V,49,則

2X4

該一元二次方程是—.

【答案】4/+6x+1=0

【分析】根據公式法的公式X="士?'Tae,可得方程的各項系數，即可解答.

2a

【詳解】解：???X=毋迎Jac=-6±?4X4X1,

2a2X4

???a=4,b=6,c=1,

從而得到一元二次方程為4/+6x+l=o,

故答案為：4x2+6x+l=0.

【點睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記公式是解題的關鍵.

【變式3-1](23-24九年級上.廣東深圳?期中)用公式法解一元二次方程：(%-2)(3%-5)=0.

一元二次方程

I

化成辦2+bx+c=0的形式

I

a=?b=?c=?

求/二〃一4〃。

心0?

是/'否

代入求根公式求解無實數根

解：方程化為37-11%+10=0.

a=3,b=,c=10.

△=爐—4ac=—4x3xl0=l>0.

方程實數根.

x==,

即%1=，%2=1?

【答案】一11（-11）2有兩個不相等的一（?產等i2

2X36

【分析】根據公式法解一元二次方程的解法步驟求解即.

【詳解】解：方程化為3/一llx+10=0.

a=3,b=-11,c=10.

△=fo2-4ac=（-11）2-4x3xl0=l>0.

方程有兩個不相等的實數根.

-（-n）±Vin±i

x=------------=-------,

2X36

艮口久1=2,%2=

故答案為：—11；（—11）2；有兩個不相等的；（士2.

2X3R6

【點睛】本題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程的解法步驟是解答的關鍵.

【變式3-2]（23-24九年級上?河南三門峽?期中）用公式法解方程—a/+法一。=o40）,下列代入公

式正確的是（）

2

Ax=一匕±J-2-4ax(-c)cb±y/b-4ac

B.x=-----------

2x(―Q)2a

2

r_匕±J匕2-4ax(—c)--b±yjb-4ac

D.x=-=----------

2x(—Q)2a

【答案】B

【分析】先將方程進行化簡，然后根據一元二次方程的求根公式，即可做出判斷.

【詳解】解：方程—ax?+b*-c=0（a力0）可化為ax?—bx+c-0

由求根公式可得：”=土也正史遠=些好王

2a2a

故選：B

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，準確的識記求根公式是解答本題的關鍵.

【變式3-3]（23-24九年級上?廣東深圳?期中）用求根公式法解得某方程a/+族+c=0（a40）的兩個根互

為相反數，則（）

A.h=0B.c=0C.b2—4ac=0D.b+c=0

【答案】A

【分析】根據求根公式法求得一元二次方程的兩個根%1、％2，由題意得%1+%2=0,可求出b=0.

【詳解】???方程a/++。=o（aW0）有兩根，

A=b2-4ac>0且aH0.

求根公式得到方程的根為工=生等近兩根互為相反數,

-b-y/b2-4ac?

所以％1+%2=。，即生4+---------=0,

2a

解得6=0.

故選：A.

【點睛】本題考查了解一元二次方程一公式法，相反數的意義，熟練掌握用公式法解一元二次方程是解題的

關鍵.

知識點4因式分解法解一元二次方程

當一個一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程

轉化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

【題型4因式分解法解一元二次方程】

【例4】（23-24九年級下.安徽亳州?期中）關于久的一元二次方程x（x-2）=2-比的根是（）

A.-1B.0C.1和2D.—1和2

【答案】D

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項，然后利用因式分解法解方程即可得到答案.

【詳解】解：,.”（刀一2）=2—x,

—2）+（%-2）=0,

：.{x+1）（%-2）=0,

/.x+1=0或x—2=0,

解得x=-1或％=2,

故選：D.

【變式4-1]（23-24九年級上?陜西榆林?階段練習）以下是某同學解方程/一3%=-2久+6的過程：

解：方程兩邊因式分解，得x（x-3）=-2（久-3）,①

方程兩邊同除以0—3）,得x=—2,②

，原方程的解為x=-2.③

(1)上面的運算過程第步出現了錯誤.

(2)請你寫出正確的解答過程.

【答案】⑴②

(2)過程見解析

【分析】(1)根據等式的性質作答即可；

(2)先移項，然后用因式分解法求解.

【詳解】⑴解：???(％-3)可能為0,

二不能除以(久一3),

.?.第②步出現了錯誤

故答案為②.

(2)解：方程兩邊因式分解，得-3)=—2(x—3),

移項,得*0-3)+20-3)=0,

A(x-3)(x+2)=0,

?,—3,~2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,

熟練掌握各種方法是解答本題的關鍵.

【變式4-2](23-24九年級下?安徽安慶?期中)對于實數n,定義運算m^\n=m2-2n,例如：2團3=

22—2x3=—2.若油5x=0,則方程的根為()

A.都為10B.都為0C.。或10D.5或一5

【答案】C

【分析】本題考查的知識點是新定義運算、解一元二次方程，解題關鍵是理解題意.

現根據新定義運算得出一元二次方程，再求解即可.

【詳解】解：根據定義運算小加i=m2-2n可得，

久團5x=0即為/—5x-2=0,

即x(x-10)=0,

%1=0,x2—10,

則方程的根為0或10.

故選：c.

【變式4-3](13-14九年級.浙江.課后作業)利用因式分解求解方程

(1)4y2=3y；

(2)(2%+3)(2久-3)-久(2K+3)=0.

【答案】(1)yi=。,%=：；(2)叼=—|,久2=3

【分析】(1)利用移項、提公因式法因式分解求出方程的根；

(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.

【詳解】⑴4y2=3y；

4y2-3y=0

y(4y-3)=0

y=0或4y-3=0

.c3

?-7i=0,y2=-)

故答案為：%=0,y2=I；

(2)(2%+3)(2%-3)-x(2x+3)=0

(2x+3)(x-3)=0

2%+3=0或％—3=0

——5,第2—3,

故答案為：=—|,x2=3.

【點睛】本題考查利用因式分解解方程，關鍵是防止丟掉方程的根.例如：解方程4y2=3y時，給方程兩邊

同除以y,解得y=3,而丟掉y=0的情況.

【題型5十字相乘法解一元二次方程】

【例5】(23-24九年級下?廣西百色?期中)以下是解一元二次方程。久2+日+。=0(￡1力0)的一種方法：二

%Ci

次項的系數。分解成常數項c分解成QC2,并且把的，。2,q,C2排列為：然后按斜線

交叉相乘,再相加，得到。遇2+azG，若此時滿足。遙2+a2cl=6,那么a/+族+c=0(a片0)就可以因

式分解為(口6+q)(ct2X+c2)=0,這種方法叫做“十字相乘法”.那么6/-llx-10=0按照“十字相乘法”

可因式分解為()

A.(%-2)(6%+5)=0B.(2%+2)(3%-5)=0

C.(%-5)(6%+2)=0D.(2%—5)(3%+2)=0

【答案】D

【分析】根據“十字相乘法”分解因式得出6/一llx-10=(2%-5)(3%+2)即可.

2\^-5

【詳解】2x2+(-5)X3=-11

，6久2-Hx-10=(2%-5)(3%+2)=0.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正確分解常數項是解題

關鍵.

【變式5-1](23-24九年級上?江西上饒?期末)試用十字相乘法解下列方程

(I)%2+5%+4=0；

(2)x2+3x-10=0.

【答案】⑴%i=—4,x2=—1；

(2)久1=2,x2=—5.

【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、

因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.

(1)利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，進一步求解可得答案;

(2)利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于工的一元一次方程，進一步求解可得答案.

【詳解】(1)解：%2+5x+4=0

(%+4)(%+1)=0

%+4=0或％+1=0

?\%i=—4,%2=—1；

(2)解：%2+3%-10=0

(%+5)(x—2)=0

%+5=0或％—2=0

??X]=2,=5?

【變式5-2](23-24九年級下.廣西梧州?期中)解關于%的方程%2—7m%+12/=0得()

A.=—3m,x2=4mB.xr=3m,x2=4m

C.打=—3m,x2=-4mD.=3m,x2=—4m

【答案】B

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用十字相乘法求解即可.

直接運用十字相乘法解一元二次方程即可.

【詳解】解：x2—7mx+12m2=0,

(%—3m)(%—4m)=0,

x—3m=0或％—4m=0,

=3m,x2=4m.

故選B.

【變式5-3](23-24九年級下.重慶?期中)閱讀下面材料：

材料一：分解因式是將一個多項式化為若干個整式積的形式的變形，“十字相乘法”可把某些二次三項式分解

為兩個一次式的乘積，具體做法如下：對關于％,y的二次三項式a/+b%y+cy2,如圖1,將％2項系數。=

ar-a2,作為第一列，yz項系數。=J.。2，作為第二列，若。遙2+a2cl恰好等于久y項的系數小那么a/+

22

bxy+cy2可直接分解因式為：ax+bxy+cy=(arx+c1y)(a2x+c2y)

示例1：分解因式：x2+5xy+6y2

解：如圖2,其中1=1x1,6=2x3,而5=lx3+lx2；

.'.%2+Sxy+6y2=(%+2y)(x+3y)；

示例2：分解因式：x2-4xy-12y2.

解：如圖3,其中1=1x1,-12=-6x2,而-4=1x2+1X(-6)；

??x2—4xy—12y2=(%—6y)(x+2y)；

材料二：關于％,y的二次多項式a/+萬町+cy2+〃+匕+/也可以用“十字相乘法”分解為兩個一次式的

乘積.如圖4,將a=作為一列，c=qc2作為第二列，f=。月作為第三列，若的。2+。2cl=b,arf2+

a2fr=d,crf2+c2fr=e,即第1、2歹！J,第1、3列和第2、3列都滿足十字相乘規則，則原式分解因式的

22

結果為：ax+bxy+cy+dx+ey+f=(%%+cry++c2y+f)

圖4圖5

示例3：分解因式：x2—4xy+3y2—2%+8y—3.

解：如圖5,其中1=1x1,3=(-1)x(-3),-3=(-3)x1；

滿足—4=1X(—3)+1x(—1),—2=1X(—3)+1X1,8—(—3)X(—3)+(—1)x1；

.*.x2—4xy+3y2—2%+8y—3=(%—y—3)(%—3y+1)

請根據上述材料，完成下列問題：

(1)分解因式：x2+3%+2=_；x2—5xy+6y2+%+2y—20=_；

(2)若x,y,TH均為整數，且關于％,y的二次多項式/+-6y2一2%+my-120可用“十字相乘法”分

解為兩個一次式的乘積，求出m的值，并求出關于％,y的方程/+-6y2一2%+my-120=-1的整數

解.

仁和叱

【答案】(1)(%+1)(%+2),(%-3y+5)(x-2y-4)；(2)巾=524

m=-56

【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某個字母看成常數用十字相乘法分解即可;

(2)用十字相乘法把能分解的集中情況全部列出求出m值.

【詳解】解：(1)①1=1x1,2=1x2,3=lxl+lx2,

二?原式=(%+1)(%+2)；

②1=1x1,6=(-2)x(-3),-20=5x(-4)

滿足(-5)=lx(-2)+lx(-3),l=lx5+lx(-4),2=(-2)x5+(-3)x(-4)

?,*原式=(%—3y+5)(%—2y—4)；

1-35,_匚

?C2+a2cl——5

(2)a

①？-2{l)22+a2fl=1

,2Cif?+C2fl=2

。2c?

alC2+a2cl=11_

-2109-12

②;{aiA+a2fl=-2[□

3-1210

c62+c2fr=m

(x—2y+10)(%+3y—12)=x2+xy-6y2—2%+my-120

Am=54

(%—2y—12)(x+3y+10)=x2+xy—6y2—2x+my-120

Am=—56

當m=54時，(%—2y+10)(%+3y—12)=-1

7

fx-2y+10=l—產―2y+10=-l產=—,小、x=—1

｛尤+3了-]2=-]或｛%+3丫_12=]'｛丫=>(舍)，ty=4

當TH=-56時，(%—2y—12)(%+3y+10)=—1

_69

%-2y-12-1%-2y=12=1x=2或J=g

（舍）

?+3y+10=-1塊。+3y+10=1'R=-4dl2

)5

綜上所述，方程/+xy-6y2-2x+my-120=一1的整數解有｛J和｛j]

方法二：/+%y+(—6y2)—2%+my-120=(x4-3y)(x—2y)—2x+my-12y

=(%+3y+a)(%—2y+b)=(第+3y)(x—2y)+(a+/?)%+(3b—2a)y+ab

a+b=—2

產——12或(a—10m=54

｛3b—2a=m=>1b=10~'b=-12=m=-56'

ab=-120

【點睛】本題考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清題目中的十字相乘的方法是解題關鍵.

【題型6用適當方法解一元二次方程】

【例6】(23-24九年級上.江蘇宿遷?期末)用適當的方法解下列方程:

(l)x2=4x；

(2)(%-3)2-4=0；

(3)2x2-4x-5=0；

(4)(x-l)(x+2)=2(%+2).

【答案】⑴久i=4,%2=0

(2)%1=5,x2=1

小2+V142-V14

(3>i=

(4)&=-2,%2=3

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟練掌握解一元二次方程

的方法是解題的關鍵.

(1)利用解一元二次方程-因式分解法進行計算，即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法進行計算，即可解答；

(3)利用解一元二次方程-公式法進行計算，即可解答；

(4)利用解一元二次方程-因式分解法進行計算，即可解答.

【詳解】(1)解：/-4%=0

x(x—4)=0,

解得=4,x2=0

(2)解：(x—3—2)(*—3+2)=0

(x—5)(%—1)=0,

解得X1=5,x2=1

(3)解：???a=2,b=-4,c=-5

b2-4ac=(一4產-4x2x(-5)=16—(-40)=56

4±V562±V14

"x=2x2——2—

4汨2+V142-V14

解n得/=乂2=-^―

(4)解:(x-1)0+2)—2(%+2)=0

(%+2)(%—1—2)—0,

(x+2)(x-3)=0,

x+2—0,x—3—0,

解得X1=-2,尤2=3

【變式6-1](23-24九年級上?山西太原?期中)用適當的方法解下列一元二次方程：

(l)x2+4%-2=0；

(2)x(x+3)=5x+15.

【答案】(1)%1=遍—2,x2=—V6—2

(2)%!=—3,x2=5

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的

關鍵.

(1)利用配方法解方程;

(2)先移項，再利用提公因式法解方程.

【詳解】(1)解：移項，得%2+4%=2,

配方，得/+4%+4=2+4,

(%+2)2=6,

兩邊開平方，得汽+2=±V6,

所以，=V6-2,x2=—V6—2；

(2)解：原方程可變形為：%(%+3)=5(x+3),

%(%+3)—5(%+3)=0,

(x+3)(%—5)=0,

x+3=0或第一5=0,

所以，汽1=—3,上=5

【變式6-2](23-24九年級下.山東泰安?期末)用適當的方法解下列方程

(1)3%2=54；

(2)(%+1)(3%-1)=1；

(3)4x(2x+1)=3(2%+1)；

(4)%2+6x=10.

【答案】⑴%i=3V2,x2=—3V2

⑺V.=士叱.=土叱

(3)Xi=

(4)Xi=-3+V19,%2=-3-V19

【分析】(1)方程整理后，利用直接開平方法求解即可;

(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；

(3)方程利用因式分解法求解即可；

(4)方程利用配方法求解即可.

【詳解】(1)解：方程整理得：/=18,

開方得：x=±3&,

解得：久1=3V2,x2——3V2；

(2)解：方程整理得：3/+2X-2=0,

這里a=3,b=2,c=-2,

=22-4x3x(-2)=4+24=28>0,

_-2±2V7_-1±V7

X——,

63

缶刀夕日一1+夕—1—y/7

解得：%1=—^―，%2=二一；

(3)解：方程移項得：4x(2%+l)-3(2x+1)=0,

分解因式得：(2%4-l)(4x-3)=0,

所以2x+1=0或4x-3=0,

解得：X1=一;，x2=

(4)解：配方得：x2+6x+9=19,即(x+3)2=19,

開方得：x+3=±V19,

解得：X1=-3+V19,x2=-3-V19.

【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接開平方法，配方法，熟練掌握根據方程的

特征選擇恰當的解法是解本題的關鍵.

【變式6-3](23-24九年級上.海南省直轄縣級單位.期末)用適當的方法解下列方程.

(1)0+2)2—25=0；

(2)久2+4x—5=0；

(3)2/—3x+1=0.

【答案】⑴Xi=3,%2=-7

(2)%]=1,%2=-5

(3)久1=5，&=1

【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可.

【詳解】(1)解：(%+2)2-25=0,

(%+2—5)(第+2+5)=0,

??.％—3=0或％+7=0,

解得X1=3,g=-7；

(2)解：%2+4x-5=0,

(x—1)(%+5)=0,

x-1=0或x+5=0,

解得久1-1,%2=-5;

(3)解：2/-3x+l=0,

(2x-1)(%-1)=0,

2x—1—0或x—1=0,

解得X1=I，%2=1.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個

一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就

把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).

【題型7用指定方法解一元二次方程】

【例7】(23-24九年級下?山東日照?期末)用指定的方法解下列方程：

(1)4(x-1)2-36=0(直接開方法)

(2)尤2+2x-3-0(配方法)

(3)(x+1)(x-2)-4(公式法)

(4)2(x+1)-x(尤+1)=0(因式分解法)

【答案】(1)xj=4,尤2=-2；(2)xi=l,尤2=-3；(3)xi=3,X2=-2；(4)xi--1,X2=2.

【分析】(1)直接利用開方法進行求解即可得到答案；

(2)直接利用配方法進行求解即可得到答案；

(3)直接利用公式法進行求解即可得到答案；

(4)直接利用因式分解法進行求解即可得到答案；

【詳解】解：(1)???40-1)2-36=0

(尤-1)2=9,

.,.尤-1=±3,

??尤/=4,X2=-2；

(2)2+2尤=3,

***/+2x+1=4,

(x+1)2=4,

；?冗+1=±2,

??M=1,X2=-3;

(3)Vx2-x-6=0,

.*.△=1-4xlx(-6)=25,

,1±V251±5

??X=，

22

??X/=3,X2=-2；

(4)V2(x+1)—x(x+1)=0

(x+1)(2-x)=0,

/.x+l=0或2-x=0,

??X111,X22.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法.

【變式7-1](23-24九年級下?山東煙臺?期中)用指定的方法解方程：

(I)%2-4%-1=0(用配方法)

(2)3--Hx=-9(用公式法)

(3)5(x—3)2=/_9(用因式分解法)

(4)2y2+4y=y+2(用適當的方法)

【答案】⑴%1=V5+2,x2=—V5+2

八、11+V13H-V13

(2)%i=——，x=——

OO2

9

(3)%i—3,犯=3

1

(4)乃=->乃=-2

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

(1)運用配方法解方程，先移項再配方，然后開方即可作答.

(2)先化為一般式，再根據△=爐—4ac算出，以及代入久=型斗進行化簡，即可作答.

2a

(3)先移項，再提取公因式，令每個因式為0,進行解出工的值，即可作答.

(4)先移項，再提取公因式，令每個因式為0,進行解出汽的值，即可作答.

【詳解】(1)解：x2-4x-1=0

移項，得/-4x=1

配方，得久2—4%+4=1+4,即(久—2)2=5

x—2=+V5

；

角牟得久1=V5+2,x2=—\/5+2

(2)角軍：3%2-llx=-9

3x2-llx+9=0

△=b2-4ac=121-4x3x9=121-108=13

.11±V13

?.x=--------

6

缶刀汨11+V1311-V13

oo

(3)解：5(%-3)2=/一9

5(%-3)2-(%2-9)=0

5(%—3)2—(x—3)(%+3)=0

(%—3)[5(%—3)—(%+3)]=(x-3)(4%—18)=0

則第一3=0,4%-18=0

解得%1=3,x2=

(4)解：2y2+4y=y+2

2y2+4y-(y+2)=0

2y(y+2)—(y+2)=0

(2y-l)(y+2)=0

/.2y—1=0,y+2=0

解得yi=[，y2--2.

【變式7-2](23-24九年級上.新疆烏魯木齊.期中)用指定的方法解方程：

(l)|x2-2x-5=0(用配方法)

(2)久2=8%+20(用公式法)

(3)(久-3)2+4x(x-3)=0(用因式分解法)

(4)(%+2)(3久-1)=10(用適當的方法)

【答案】(1)%】=2+V14,%2=2-V14

(2)%i=10,%2=—2

(3)%i=3,%2=0?6

4

(4)X]=-3,%2=2

【分析】(1)利用配方法解方程即可；

(2)利用公式法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可；

(4)先將給出的方程進行變形，然后利用因式分解法解方程即可.

【詳解】(1)移項，得：|%2-2x=5,

系數化1,得：x2-4x=10,

配方，得：x2-4%+4=14,

(x-2)2=14,

x-2=±V14,

=2+V14,打=2—V14;

(2)原方程可變形為久2-8%-20=0,

a=lfb=—8,c=—20,

4=(—8)2-4xlx(-20)=64+80=144>0,原方程有兩個不相等的實數根,

-b±yJb2-4ac8±V1448±12

???X=------------=---------=-------,

2a22

??—10,%2=—2；

(3)原方程可變形為：(x-3)(x-3+4x)=0,

整理得：(X-3)(5%-3)=0,

解得X1=3,x2=0.6；

(4)原方程可變形為：3/+5%-2-10=0,

整理得：3/+5%-12=0,

(3%-4)(%+3)=0,

???%1—30,%2—~4

【點睛】本題主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有關知識，掌握配方法的基本步

驟，一元二次方程的求根公式是解題關鍵.

【變式7-3](23-24九年級上?河北邯鄲?期中)按指定的方法解下列方程：

(1)久2=8%+9(配方法)；

(2)2y2+7y+3=0(公式法)；

(3)(x+2尸=3久+6(因式分解法).

【答案】⑴/=9,%2--L

1

(2)第1=-3,%2=-2,

(3)%i=—2,x2=1.

【分析】(1)先把方程化為一一8%+16=25,可得(％-4)2=25,再利用直接開平方法解方程即可；

(2)先計算△=72-4x2x3=49-24=25>0,再利用求根公式解方程即可；

(3)先移項，再把方程左邊分解因式可得(％+2)0-1)=0,再化為兩個一次方程，再解一次方程即可.

【詳解】(1)解：x2=8%+9,

移項得：x2—8x=9,

.*.%2—8%+16=25,

配方得：(％-4尸=25,

.'.X—4=5或%—4=—5,

解得：/=9,第2=-1.

(2)解：2y2+7y+3=0,

???△=72-4x2x3=49—24=25>0,

?o1

??X]—3,%2—~?

(3)解：(％+2)2=3%+6,

移項得：(％+2尸一3(%+2)=0,

/.(x+2)(x-1)=0,

.*.%+2=0或久—1=0,

解得：/=-2,&=L

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本題

的關鍵.

【題型8用換元法解一元二次方程】

【例8】(23-24九年級下?浙江杭州?期中)已知(。2+爐)32+爐+2)-15=0,求+的值.

【答案】3

2

【分析】先用換元法令a?+b=x(x>0),再解關于x的一元二次方程即可.

【詳解】解：令。2+/;2=久(％>0),則原等式可化為：

x(x+2)—15=0,

解得：%1=3,%2=-5,

x>0,

x=3,即a2+=3.

。2+抉的值為3.

【點睛】本題考查了換元法、一元二次方程的解法，注意。2+爐為非負數是本題的關鍵.

【變式8-1](23-24九年級下?安徽合肥?期中)關于X的方程(/+X)2+2/+2X—3=0,則久2+乂的值是

()

A.-3B.1C.—3或1D.3或一1

【答案】B

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用換元法解方程是解題的關鍵.

設/+%=3則此方程可化為產+2t-3=0,然后用因式分解法求解即可.

【詳解】解：設/+x=3則此方程可化為產+2t—3=0,

A(t-l)(t+3)=0,

?*.t-1=0或t+3=0,

解得h=1,t2=-3,

+x的值是1或一3.

Vx2+%=-3,BP%2+x+3=0,

△=12_4xix3=-11<0

方程無解，故/+%=-3舍去，

'.X2+x的值是1,

故選：B.

【變式8-2](23-24九年級上?廣東江門?期中)若(￡1+5匕)(￡1+56+6)=7,則a+56=.

【答案】1或一7

【分析】本題主要考查解一元二次方程，設a+5b=%,則原方程可變形為比(％+6)=7,方程變形后運用因

式分解法求出x的值即可得到結論.

【詳解】解：設a+5b=x,則原方程可變形為x(x+6)=7,

整理得，x2+6%—7=0,

(x-l)(x+7)=0,

%—1=0,x+7—0,

.".x—1,x=—7,

即a+5b=1或一7,

故答案為：1或-7.

【變式8-3](23-24九年級上?山東臨沂?期中)利用換元法解下列方程：

(1)2/-3/-2=0；

(2)(——%)2—5(久2—%)+4=0.

【答案】(1)/=V2,x2=-V2

/c、1+V171—7171+V51-V5

(2)%1=-^―，%2=――，％3==―，％4==―

【分析】(1)根據換元思想，設y=%2,貝。=2或y=—%由此即可求解;

(2)設y=%2-%,則y=4或y=l,由此即可求解.

【詳解】⑴解：(1)設y=/,則原方程化為2y2-3、一2=0,

Ay=2或y=

當y=2時，%2=2,

x1=V2,x2——V2,

當y=—凱寸，x2=-|,此時方程無解，

?,?原方程的解是%i=V2,x2=—V2.

(2)解：設y=x2-x,則原方程化為y2-5y+4=0,

y=4或y=1,

當y=4時，x2—x=4,

1+V171-V17

??X