重難點(diǎn)02：充分必要條件的綜合考查

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

L總方針

①定義法：若pnq,則p是q的充分條件（或q是p的必要條件）；若pnq,且q分p,則p是q的充分不必要

條件（或q是p的必要不充分條件）.

②集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，命題p：xEA,命題q：xEB,若AUB,則p是q的充分條件

（q是p的必要條件）；若AQB,則p是q的充分不必要條件（q是p的必要不充分條件）；A=B,則p是q

的充要條件.

2.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)1（平面向量）

①向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

（1）已知兩個(gè)非零向量。=（%，乂），b=（x2,y2）,a-b=xtx2+y^2

（2）設(shè)。=（x,y）,則|a『=x?+或|止出+或

（3）如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（占,%）、（%,%）,那么

Ici|=小&-x?）~+（M—%）?（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距蜀公式）.

②平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示

設(shè)非零向量0=（占,％）/=（%,%），則。//6=（芯,％）=刈%，%），即J%,或

[%=&必

玉％一%乂=0?

③三點(diǎn)共線的判斷方法

判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知

A（X1,B（X2,y2）,C（x；,y3）,AB=（x2-xlty2-yt）,AC=（x3-xt,y3-yt）,

若（無(wú)?—玉）（%—%）—（W—玉）（%—%）=。，則A,B,C二點(diǎn)共線.

④向量在幾何中的應(yīng)用

（1）證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線）的充要條件

a//60a=76(6w0)o(%],%)=幾(%2，%)

（2）證明垂直問(wèn)題，常用垂直的充要條件Q_Lb=0o%%=。

（3）求夾角問(wèn)題，利用cos6=

（4）求線段的長(zhǎng)度，可以利用同=病或電卜/-乂）2

3.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)2（空間線面）

①要證線〃面，條件為3個(gè)，其中必有《線?面》

②要證線，面，條件為2個(gè)，其中必有《線〃線或面〃面》

③要證線〃線（面〃面），條件為2或3個(gè)，其中必有《兩個(gè)線，面》

④要證線，線（面，面），條件為2個(gè)，其中必有《，、〃（u）》

⑤要證線，線（面，面），條件為3個(gè)，其中必有《卜心工、》

、線，面、〃〃

4.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)3（不等式）

①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變，符號(hào)語(yǔ)言：a>0,b>0na+b>0；a<0,b<0=>a+b<0

②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)，符號(hào)語(yǔ)言：a>Q,b>0^ab>0；a<Q,b<0^ab>0

③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)，符號(hào)語(yǔ)言：a>0,b<0^ab<0

④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0,符號(hào)語(yǔ)言：XG/?^X2>0,%=0O%2=（）.

（1）對(duì)稱(chēng)性：QVQ（2）傳遞性：b>c=>〃>c（3）可力口性：Q>5OQ+C>5+C（C￡R）

c>0ac>be

（4）可乘性：a>b,vc=0=>〃c=Ac（5）可加法則：a>b,c>d^>a+c>b+d.

c<0^=>ac<be

(6)可乘法貝！J：a>b>0,c>d>0^a-c>b-d>0(7)可乘方性：a>b>b,neN"=a">bn>0

11

/c、2,廣，a+b,a?+/..a+b.2a+1).?.~

(8)-——-<yjab<——<J——-——(Q>0/>0)或a。W(——)<——-——(a>0,Z?>0)

ab

5.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)4(數(shù)列)

(1)等差數(shù)列中，公差為d,則

①若W，P，9EN*,且根+〃二夕+4，則%i+%=〃p+4，特別地，當(dāng)m+〃=2p時(shí)4+%=24.

②下標(biāo)成公差為根的等差數(shù)列的項(xiàng)?,ak+m,a-小…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為他?

③若數(shù)列也｝也為等差數(shù)列，貝火。“±2｝，｛也土耳，（歷人為非零常數(shù)）也是等差數(shù)歹人

2/14

(4)6(1++4Zj,%+4+。6，%+。8+。9,.......仍是等差數(shù)列.

⑤數(shù)列｛彳為+可(九6為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.

(2)設(shè)等比數(shù)列｛風(fēng)｝的公比為q

①若rn,n,p,qwN,,.1.m+n=p+q,則4,=。屋/，特別地，當(dāng)〃2+"=2p時(shí)明?<?”=a；.

②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為機(jī)的項(xiàng)右，ak+m,q+2,“，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為小.

③若僅“｝,｛a｝是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則｛。,“｝、｛<?,?_1｝>｛kan｝(左是常數(shù)且左/0)、｛—｝>[a：｝(meN,,

,an

，〃是常數(shù))、｛4?"｝、｛"｝也是等比數(shù)列；

b”

④連續(xù)七項(xiàng)和(不為零)仍是等比數(shù)列.即為s2k-sk,s3k-%,…成等比數(shù)列.

6.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)5(直線與圓)

已知4:\x++￡=o,，2：+B2y+G=o

4_L4o44+B[B2=0

/"http://2=4打-44=0且y1^2-4(7尸0或4。2-820力0,記憶式(區(qū)="大三)

&B2C2

4與4重合，462—44=0,AG—4ci=。，4G—52G=o

7.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)6(常規(guī)不等式)

1.一元二次不等式

一元二次不等式以2+6x+c〉0(。w0),其中A=Zj2-4ac,是方程ax?+6x+c〉0(。w0)的兩個(gè)

根，且石<%

(1)當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上.(2)①若△>(),解集為｛x|X〉％或^<西｝.

②若A=0,解集為x|xeR且xw.③若△<(),解集為R.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.①若A>0,解集為②若AW0,解集為0

2、分式不等式

(1)y〉0=/(x)?g(x)〉0(2)嚕<0o/(x).g(x)<0(3)裂之。。[,「，唱‘)'。

g(x)g(x)g(x)[g(x)N0

y(x).g(x)<o

(4)

g(x)g(x)豐o

3、絕對(duì)值不等式

⑴lf(x)\>|g(x)|O[/(x)]2>[g(x)]2(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>。)of(x)>g(x)或4%)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

8.充分必要條件涉及知識(shí)點(diǎn)7(三角函數(shù))

(1)平方關(guān)系：sin2cir+cos2a=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：包W=tana(a^—+k7r)；

cos。2

(3)奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫(xiě)作〃?工土a；(2)無(wú)論有多大，

2

一律視為銳角，判斷W?工土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)〃為奇數(shù)是，“奇

2

變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可

(4)兩角和與差的正余弦與正切

①sin(a±4)=sinacos0±cosasin4；②cos(a±/7)=cosacos0sinasin尸；③tan(a±/)=t&ntan'

’1.tanatanf3

(5)二倍角公式

①sin2。=2sincircosa；②cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；③tan2a=(，皿j

1—tana

…二，一、八q.1.入?21-cos2a21+cosla

(6)降次(累)公式：sinacosor=—sin2a\sina=--------------;cosa-----------------

222

二、題型精講精練

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.已知向量d=(x+1,-1),b=(x,2),則［)

A.“x=-2”是的充分條件B.“x=l”是“2工廠的充分條件

2

C.“x=-2”是%工6”的必要條件D.“x=§”是“°//6”的必要條件

【答案】B

【分析】由向量平行和垂直的條件計(jì)算即可.

4/14

2

【詳解】若a//b，貝iJ2（x+l）+x=0,解得x=-（；

若a_Z,6，貝！Jx（x+l）-2=。，解得x=l或x=-2；

所以ACD錯(cuò)誤，B正確.

故選：B.

2.已知P：x2-x<0,那么命題P的一個(gè)充分不必要條件是（）

121

A.0<x<1B.—1<x<1C.—<x<—D.—<x<2

232

【答案】C

【分析】首先解不等式――％<0,得到不等式的解，利用集合之間的關(guān)系判斷充分必要性，得到結(jié)果.

【詳解】x2-x<0,/.0<x<l,-P：0<x<l,運(yùn)用集合的知識(shí)易知，

A中0<xvl是P的充要條件；

B中-Ivxvl是。的必要不充分條件；

C中:是。的充分必要條件條件；

23

D中!<x<2是"的既不充分也不必要條件.

2

故選：C.

已知〃，都是實(shí)數(shù)，則“竺

3.62”是“0＞人＞0”的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】通過(guò)舉反例可以證明充分性不成立，再利用重要不等式可以證明必要性.

【詳解】取。=1,b=-l,止匕時(shí)匕91=0,J『+（T）2=i，

滿(mǎn)足等

,此時(shí)a>6>0不成立;

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?+/>2ab,

所以2（/+62）>（0+32,

所以工+廿>5+6）2,所以

24

a+b

即”

2Y2

綜上，“巴W<p+Zr,，是“a>b>0”的必要不充分條件.

2V2

故選：B.

b

4."a>Z?>0”是-6>如一”的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要的定義即可判斷.

b

【詳角牟】由a>b>。，得a—b>0,0<—<1,

a

bb

貝ijln—<0,從而a—0〉ln—.

aa

b

取〃=-1/=-2,滿(mǎn)足a—b〉ln—,不滿(mǎn)足a>Z?>0.

a

b

故“。>6>0”是"a”>In—”的充分不必要條件.

a

故選：A.

5.設(shè)aeR,則“a=-1"是"直線L：x+y-2a=0與直線4：(a~-2)x-y+2=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)直線平行求得a=-1，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】因?yàn)?「〃因貝q1x(/-2)=1x(-1),解得。=±1,

若a=—l,則A：x+y+2=0,l2:x+y-2=0,兩直線平行，符合題意；

若a=l,則L：x+y-2=0,Z2:x+y-2=0,兩直線重合，不符合題意；

綜上所述：匕〃/2,等價(jià)于a=-L

所以“a=-1”是“直線。：尤+y-2”0與直線4:_2卜-y+2=0平行”的充要條件.

故選：C.

6/14

6.“x>3”是“|無(wú)一|>2"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求出絕對(duì)值不等式的解，由充分、必要條件概念得解.

【詳解】由|無(wú)一1|>2,得x>3或x<-l,

故”>3”是“|尤-1|>2”的充分不必要條件.

故選：A

7.已知實(shí)數(shù)則“m>bc”是“〉>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】實(shí)數(shù)。>源則。―6>0,

當(dāng)時(shí)，ac-bc=c（a-b）>0,因此c>0,

當(dāng)C>0時(shí)，而a>〃，則ac>反?，

所以“農(nóng)>兒”是“c>0”的充要條件.

故選：C

8.已知a,bwR,貝『'a=匕=0"是g）"=（；）"成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷即可.

【詳解】若a=6=0,則（：）"=1=（乎，

反之，取6=1,a=1。823,§）〃=§產(chǎn)23=；=（；匕即§）〃=《）〃成立，不能推出a=6=0,

所以“a=6=0"是（1）a=（乎成立的充分不必要條件.

故選：A

TT

9.已知xeR,貝『'sin(x+—)=1”是“sinx=O”的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角公式判斷得解.

兀.

【詳解】isin(x+—)=1,得cosx=l,而sin2%+cos2x=l,貝lJsinx=O；

當(dāng)sinx=O時(shí)，由sin2%+cos2%=l,解得cosx=±l,貝！JsinO+5)=±1,

所以“sin(尤+?=1”是“sinx=0”的充分不必要條件.

故選：A

10.設(shè)xeR,則“|x-2>3”是“爐-5%_6>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)?一2|>3,所以無(wú)一2<-3或無(wú)一2>3,解得或x>5,

所以不等式|x-2]>3的解集為｛x|x<T或無(wú)>5｝；

因?yàn)?-5元一6>0,所以(x-6)(x+l)>。，解得x<-l或x>6,

所以不等式/一5尤一6>0的解集為｛尤1尤<-1或%>6｝；

因?yàn)椋鹸|x<-l或無(wú)>6｝是｛x|x<T或x>5｝的真子集，

所以“卜-2|>3”是“尤2一5X一6>0”的必要不充分條件.

故選：B.

11.若P：l<x<2,q：2無(wú)>1,則P是4的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【分析】分析由。能否推出q,由4能否推出。，結(jié)合充分條件與必要條件的定義判斷結(jié)論.

【詳解】因?yàn)橛蒟W｛鄧<X<2｝可推出xe｛尤|2x>l｝,

8/14

所以pnq,故P是g的充分條件，

由xw{x|2x>1}不能推出xe{尤|1<尤<2},

所以44P,P不是4的必要條件，

所以P是4的充分不必要條件.

故選：B.

12.“加<L是“工>4”的（）

4m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義研究條件的充分性和必要性.

111—<—=A1

【詳解】若上〉4,假設(shè)加2：,則由加之:>0可知加一1一"，矛盾，所以加<：,這表明條件是必要的;

m44-4

4

對(duì)機(jī)=-1,有機(jī)=-1<J，—=-1<4,這表明條件不是充分的.

4m-1

所以“加<!”是“工>4”的必要不充分條件.

4m

故選：B.

13.對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，b,t^a2+b2>2ab,,^a2>b2,，^（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

［分析］賦值法可知“4+廿>2a6"是>b?”的不充分條件，由a?〉/?'所以。片匕，從而可得片+b2>2ab,

可得結(jié)論.

【詳解】當(dāng)。=2,6=3時(shí)，滿(mǎn)足力+62>2"成立，但不滿(mǎn)足/>〃成立，

所以+/>2"”是"/>62，，的不充分條件，

因?yàn)椤?>萬(wàn)2，所以Xa2+b2-2ab=（a-b）2>0,所以片+">2a6,

所以“a2+b2>2ab”是“a2>b2”的必要條件，

所以“小+廿>2"”是“a?>片”的必要不充分條件.

故選:B.

14.設(shè)aeR,貝/'sina=cos夕"是"sin2a;=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)0!?￡+8$22=1以及倍角公式，結(jié)合充要條件分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閟in?cr+cos2a=1,

貝(|sina=cosa,等價(jià)于(sina-cosaJ=sin2a+cos2a-2sin?coscr=l-sin2a=0,

等價(jià)于sin2(z=l,所以“sina=cosc"是"sin2a=1”的充要條件.

故選：C.

15.已知集合4={尤,+2尤<3},8=卜忙+x<3},則“xeA”是“xeB”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求得集合48,可得結(jié)論.

【詳解】由尤?+2x<3,可得一3<x<l,所以A={x|-3<x<l},

因?yàn)?(x)=2，+尤在R上單調(diào)遞增，又/⑴=3,

由2'+x<3,可得x<l,所以8={x|x<l},所以AuB,

所以“xeA”是“尤e8”的充分不必要條件.

故選：A.

16.設(shè)x,yeR,貝『'沖+l=x+y”的充要條件為()

A.x,y至少有一個(gè)為1B.蒼〉都為1

C.蒼V都不為1D.x2+y2=2

【答案】A

【分析】將孫+i=x+y化為(x-i)(y-D=。求解，結(jié)合充分、必要性定義即可得答案.

【詳解】由移+i=x+y,貝Mx-D(y-D=。，可得*=1或y=l,即見(jiàn)丁至少有一個(gè)為1,

所以“個(gè)+l=x+y”的充要條件為至少有一個(gè)為1,故只有A符合，其它選項(xiàng)均不符.

故選：A

17.“x>2024”是“白<^—”的()

x2024

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

10/14

件

【答案】A

【分析】由不等式的性質(zhì)分析即可求得.

【詳解】若x>2024,則由不等式的性質(zhì)知，故充分性成立；

x2024

11112024-r

若上〈一，則上一三7<°，即々：<0，解得無(wú)<°或%>2024,故必要性不成立;

x2024x20242024.x

所以“x>2024”是“工<工”的充分不必要條件.

x2024

故選：A.

4

18.對(duì)于實(shí)數(shù)x,“XH2”是“x+—>4”成立的()

x

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】去絕對(duì)值符號(hào)后由分式不等式的解法求出即可；

44

【詳解】不等式等價(jià)于x+—>4或x+—<-4,

XX

4丫2-4丫-|-4/7

當(dāng)％+—>4時(shí)，即x討十今>0,即2x)2>0,解得％>0且XW2；

XX

當(dāng)尤+±<—4時(shí)，Bp-r+4%+4<0,即X(X+2)2<0,解得x<0且XH—2；

%X

所以不等式的解集為{X|XH0,且XH±2},

4

所以“"2”是"％+—〉4”成立的必要而不充分條件，

x

故選：B.

TT

19.已知xeR,貝『'x=—+Z兀(kwZ)”是“cosx=0”的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

兀71

【詳解】cos%=0ox=2左兀±—=%=E+—,左￡Z,

故選：C.

20.若向量a=（2x,l）,6=（元-則“a’b"是“x=!”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先證明充分性，然后構(gòu)造反例說(shuō)明條件不是必要的.

【詳解】當(dāng)x=|時(shí)，°/=2元（尤一1）+X2=2X：X[：-1]+]|：=0,所以a'b，故條件是必要的.

2

當(dāng)x=0時(shí)，有XW],但此時(shí)=2x（x-l）+x2=0+0=0,故aJ_b，所以條件不是充分的.

故選：B.

21.已知平面向量4=（1,2）,6=（加,-1）,則“加<2”是“°與》的夾角為鈍角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】若。與b的夾角為鈍角，則°.6<0且。與5不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得他得取值范圍，再

根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.

【詳解】若。與b的夾角為鈍角，則°力<0且&與方不共線，

[m-2<01

可得，解得機(jī)<2且加工彳，

[2mw-112

因?yàn)椋?W卜1,21是（f2）的真子集，

所以“m<2”是“