第11講一次函數(shù)與正比例函數(shù)（6種題型）

3【知識(shí)梳理】

一.一次函數(shù)的定義

（1）一次函數(shù)的定義：

一般地，形如y=fcv+b（左WO,k、6是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).

（2）注意：

①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)=其解析式為y=fcc+b（k￥3k、b是常數(shù)）的形式.

②一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：左W0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)6可以為任意實(shí)數(shù).

③一般情況下自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù).

④若左=0,則y=6（6為常數(shù)），此時(shí)它不是一次函數(shù).

二.正比例函數(shù)的定義

（1）正比例函數(shù)的定義：

一般地，形如（左是常數(shù)，30）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中左叫做比例系數(shù).

注意：正比例函數(shù)的定義是從解析式的角度出發(fā)的，注意定義中對(duì)比例系數(shù)的要求：/是常數(shù)，上W0,左是

正數(shù)也可以是負(fù)數(shù).

（2）正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

正比例函數(shù)y=依1是常數(shù)，左=0）,我們通常稱之為直線

當(dāng)左＞0時(shí)，直線y=依依次經(jīng)過第三、一象限，從左向右上升，y隨x的增大而增大；當(dāng)上＜0時(shí)，直線y

=日依次經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，y隨x的增大而減小.

（3）“兩點(diǎn)法”畫正比例函數(shù)的圖象：經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)（1,k）的直線是y=&（左是常數(shù)，k￥0）的圖象.

三.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y=Ax+b；

（2）將自變量尤的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對(duì)尤，y的值就可以，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)待定系數(shù)；而求一次函數(shù)y=fcc+6,則需

要兩組x,y的值.

四.根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式

根據(jù)實(shí)際問題確定一次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題.需要注意的是實(shí)

例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定.

①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮鳎@類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是一次函數(shù)還是其他函數(shù)，

再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題.

②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有

些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式.

【考點(diǎn)剖析】

一.一次函數(shù)的定義

1.（2022春?臥龍區(qū)期中）下列函數(shù)關(guān)系中，y是x的一次函數(shù)的是（）

1

A.y=x-x7B.y=----C.y=kx+bD.y=-x

x+1

2.（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）已知函數(shù)＞=（加+1）/如1+4,y是x的一次函數(shù)，則機(jī)的值是（）

A.1B.-1C.1或-1D.任意實(shí)數(shù)

3.（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)y=（k+3）x-2+k是關(guān)于x的一次函數(shù)，那么k的取值范圍

是.

4.當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)y=（m+5）x2mx+7x-3（xWO）是一'一■次函數(shù)？

二.正比例函數(shù)的定義

5.（2022秋?無為市月考）若y關(guān)于x的函數(shù)y=（a-4）x+6是正比例函數(shù)，則mb應(yīng)滿足的條件是（）

A.且Z?WOB.〃￡-4且/?=0C.〃=4且/?=（）D.且/?=（）

6.（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)月考）下列函數(shù)是正比例函數(shù)的是（）

A.y=W+2B.y="乙C.y=-2xD.y=—

2x

7.（2021春?新化縣期末）若函數(shù)y=（m-3）X+/7?-9是正比例函數(shù)，求m的值.

8.（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知y=（k-3）xk，-8是關(guān)于x的正比例函數(shù),

（1）寫出y與x之間的函數(shù)解析式:

（2）求當(dāng)x=-4時(shí)，y的值.

三.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

9.（2022秋?相山區(qū)校級(jí)期末）已知一次函數(shù)y=Ax+b,當(dāng)尤=2時(shí)，y=-1,當(dāng)x=-2時(shí)，y=3,求該一

次函數(shù)的表達(dá)式.

10.一次函數(shù)y=kx+b（kWO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,0）和（0,2）,求k,b的值.

11.（2021春?江城區(qū)期末）已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x=2時(shí)，y=5；當(dāng)x=-2時(shí)，y=-11,求k和b的

值.

四.待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式

12.（2021春?惠州期末）已知y與x成正比例，且x=2時(shí)，y=-6.求：y與x的函數(shù)解析式.

13.已知y與x成正比例，且當(dāng)x=l時(shí)，y=2,求當(dāng)x=3時(shí)，y的值.

14.(2022秋?迎江區(qū)校級(jí)期末)已知y+2與4-尤成正比例，且x=3時(shí)，y=l.

(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)-2<y<l時(shí)，求x的取值范圍.

15.(2021春?饒平縣校級(jí)期末)已知y與x+1成正比例，且x=-2時(shí)y=2.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)點(diǎn)P(a,4)在(1)中的函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

16.已知：y=yi+y2，yi與x成正比例，y2與x-2成正比例，當(dāng)x=l時(shí)，y=0；當(dāng)x=3時(shí)，y=4.

(1)求y與x之間的關(guān)系式；

(2)當(dāng)x=-l時(shí)，求y的值.

五.一次函數(shù)與一元一次方程

17.利用函數(shù)圖象解下列方程

(1)0.5x-3=1

(2)3x-2=x+4

【思路導(dǎo)引】

把0.5x-3=1變化為y=畫出函數(shù)y=的圖象，求得函數(shù)和x軸的交點(diǎn).

18.用函數(shù)圖象求解下列方程.

①2x-3—x-2；

②x+3=2x+l.

六.根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式

19.已知矩形48co的周長為20cm.若設(shè)4B=xcm,BC^ycm.請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x

的取值范圍.

D

B

20.已知等腰三角形的周長是18cm,腰長y(cm)是底邊長x(cm)的函數(shù)，試求函數(shù)的關(guān)系式，并寫出

自變量的取值范圍.

21.一輛汽車以50千米/小時(shí)的速度，從相距150千米的甲城市開往乙城市.

（1）求汽車與乙城市的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)解析式，寫出自變量的取值范圍.

（2）判斷y是x的什么函數(shù).

【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023春?四川瀘州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)＞=-2》+3,則滿足了46的尤的取值范圍是

（）

、3/3、9,9

A.x—B.xV—C.x—D.x—

2222

2.（2023春?陜西西安?八年級(jí)校考階段練習(xí)）一次函數(shù)y=f+l的一次項(xiàng)系數(shù)左和常數(shù)項(xiàng)人的值分別為

（）

A.1,-1B.1,1C.-1,1D.—1,—1

3.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過的象限是（）

A.第一三象限B.第一二象限C.第二三象限D(zhuǎn).第二四象限

4.（2023春,湖北黃岡?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若點(diǎn)（相，可在函數(shù)y=2尤+1的圖象上，則2〃的值是（）

A.-1B.1C.±1D-I

5.（2023春?北京?八年級(jí)校考期中）注射器的出現(xiàn)是醫(yī)療用具領(lǐng)域一次劃時(shí)代的革命.用針頭抽取、注入

氣體或液體的這個(gè)過程叫作注射.如圖，現(xiàn)要利用注射器將一定量的液體藥劑進(jìn)行人體注射，并同時(shí)開始

計(jì)時(shí).若在注射過程中不考慮其他干擾，保持注射速度不變.注射結(jié)束之前，注射器內(nèi)液體藥劑的高度口

注入人體的藥劑量V隨對(duì)應(yīng)的注水時(shí)間?的變化而變化，貝股與乙V與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.正比例函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系B.正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D.一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

6.（2020秋?廣東深圳?八年級(jí)深圳市龍崗區(qū)龍城初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的

是（）

A.y=-3x+5B.y=-3x2C.y=-D.丫="

X

7.（2023春?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）汽車由北京駛往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/時(shí)，

則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時(shí)間/（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是（）

A.S=120-30?（0<r<4）B,S=30?（0<?<4）

C.S=120-30/（/>0）D.S=30（=4）

8.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）一段導(dǎo)線，在00時(shí)的電阻為2歐，溫度每增加篦，電阻增加0.008歐，那么

電阻R歐表示為溫度愈的函數(shù)關(guān)系為（）

A.7?=-1.992?+2B.7?=0.008?+2C.R=2.QO8t+2D.R=2t+2

9.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各點(diǎn)不在直線＞=2x+6上的是（）

A.（―5,T）B.（3,12）C.1別D.（0,6）

10.（2023春?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若函數(shù)＞=-2/-2+〃+1是正比例函數(shù)，則加+〃=（）

A.3B.2C.1D.-1

二、填空題

3

11.（2020秋,廣東深圳?八年級(jí)深圳市龍崗區(qū)龍城初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知＞=（左-1）尤-1+:是一次函

數(shù)，則k.

12.（2023春?上海靜安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）判斷點(diǎn)（2,3）是否在函數(shù)y=2x-7的圖像上.（填"是"或

13.（2023春?山西大同?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知y-2與2x+3成正比例，當(dāng)x=l時(shí)，>=12,求y與尤

的函數(shù)關(guān)系式,

14.（2023春?北京海淀?八年級(jí)校考期中）若入（2也,X）,見30,為）是一次函數(shù)y=2x-l的圖象上的兩個(gè)

點(diǎn)，則%與力的大小關(guān)系是3%.（填">"，"="或"<"）

15.（2023春?上海普陀?八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)〃x）=-；x-2,則/（2）=.

16.（2023春?四川德陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)尸（〃"”）在直線>=-3》+2上，則9〃z+3〃-5的值為

17.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于函數(shù)y=-5x,自變量尤取2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為.

18.（2023春?重慶九龍坡?八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)〉=》-〃7（機(jī)為常數(shù)），當(dāng)>>。時(shí)，在x的取值范圍

內(nèi)有且僅有三個(gè)負(fù)整數(shù)，則根的取值范圍是.

三、解答題

19.（2023春?廣東珠海?八年級(jí)珠海市文園中學(xué)校考期中）已知》關(guān)于x的函數(shù)y=（2〃z+4）x+〃z-2.

⑴若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求機(jī)的值；

⑵若點(diǎn)。，5）在函數(shù)圖像上，求加的值.

20.（2023春?河北邢臺(tái)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=2x-3.

（1）當(dāng)y=i時(shí)，求％.

（2）當(dāng)-3<yv。時(shí)，求工的取值范圍.

21.（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）北京冬季奧運(yùn)會(huì)和冬殘奧運(yùn)會(huì)的吉祥物"冰墩墩"和"雪容融"深受全世界人

民的喜愛，某生產(chǎn)廠家經(jīng)授權(quán)每天生產(chǎn)兩種吉祥物掛件共600件，且當(dāng)天全部售出，原料成本、銷售單價(jià)

及工人生產(chǎn)提成如表所示：設(shè)該廠每天制作“冰墩墩"掛件x件，每天獲得的利潤為y元.

原料成本（元/件）生產(chǎn)提成（元/件）銷售單價(jià)（元/件）

“冰墩墩"32545

"雪容融”28640

⑴求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若該廠每天生產(chǎn)"雪容融"200件，該廠一天所獲得的總利潤是多少？

22.（2023春,八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面是八年級(jí)上冊(cè)《4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)》的問題解決：某電信公

司手機(jī)的A類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：不管通話時(shí)間多長，每部手機(jī)每